（趣味數(shù)學(xué)）第三講分解質(zhì)因數(shù)一2025年五年級下冊數(shù)學(xué)思維拓展

，第三講分解質(zhì)因數(shù)

板塊一：趣味數(shù)學(xué)m

教室裝飾中的數(shù)學(xué)問題

六一兒童節(jié)快要到了，班委的同學(xué)聚在一起商量如何裝飾教室，班長劉小娟說：“我們剪

一些小彩旗吧，最寬的,米，最窄的工米，中間再剪4面不同寬度的，肯定非常漂亮?！贝蠹?/p>

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都非常贊同這個建議。這時張山同學(xué)問：“那中間的4面彩旗分別應(yīng)該是多寬呢？”小樂說:

“我們只要能找出4個小于,而大于工的分數(shù)來就可以了?！贝蠹蚁肓税胩?，都說：“這樣的太

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難找了?！边@時劉小娟說：“我找到了?！蓖瑢W(xué)們，你們知道劉小娟找到的是哪些數(shù)嗎？

分析：將工和工通分為亙和生,大于需小于言的同分母分數(shù)有粉裾備

45100100

—,所以中間4面彩旗的寬度分別是2米，烏米，與米，二米。

100100100100100

答案：4面彩旗的寬度分別是米，2米，二米，與米。

100100100100

小試牛刀：同學(xué)們看了上面的解決方法，你覺得‘和工之間能找到多少個分數(shù)？自己動手

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試一試吧?

板塊二：知識精講m

一個自然數(shù)的因數(shù)中，為質(zhì)數(shù)的因數(shù)叫做這個數(shù)的質(zhì)因數(shù)。

把一個合數(shù)，用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。例如：24=2X2X2X3,

75=3X5X5o

我們數(shù)學(xué)課本上介紹的分解質(zhì)因數(shù)，是為求最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)服務(wù)的。其實，把

一個數(shù)分解成質(zhì)因數(shù)相乘的形式，能啟發(fā)我們尋找解答許多難題的突破口，從而順利解題。

板塊三：典例好題m

【例題1](老師可以先引入：小明一家四兄弟，大哥叫大毛，二哥叫二毛，三哥叫三毛，那老四叫

什么？)大毛、二毛、三毛、小明四個人，他們的年齡一個比一個大2羅他們四個人年齡的乘積是48384。

問他們四個人的年齡各是幾歲？

【分析】題中告訴我們，48384是四個人年齡的乘積，只要我們把48384分解質(zhì)因數(shù)，再按照每組相差2來

分成四個數(shù)相乘，這四個數(shù)就是四個人的年齡了。

[詳解】48384=28x33x7=(22x3)x(2x7)x24x(2x32)=12x14x16x18,由此得出這四個人的年齡分別是12

歲、14歲、16歲、18歲。

答：這四個人的年齡分別是12歲、14歲、16歲、18歲。

【點睛】由題意可知，這四個數(shù)是相差2的四個整數(shù)。它們的積是偶數(shù)，當然這四個數(shù)不是奇數(shù)，一定是

偶數(shù)。又因為48384的個位數(shù)字不是0,顯然這四個數(shù)中，沒有個位數(shù)字是0的，那么這四個數(shù)的個位數(shù)字

一定是2、4、6、8,又因為我<48384,而48384<20”，所以可以斷定，這四個數(shù)一定是12、14、16、18,

也就是說，這四個人的年齡分別是12歲、14歲、16歲、18歲。

練習一：

1.已知a與b的最大公約數(shù)是12,a與c的最小公倍數(shù)是300,b與c的最小公倍數(shù)也是300,那么滿足

上述條件的自然數(shù)a,b,c共有多少組？

(例如：a=12、b=300、c-300,與a=300、b=12、c=300是不同的兩個自然數(shù)組)

2.小明買紅藍兩種筆各1支共用了17元,兩種筆的單價都是整元，并且紅筆比藍筆貴,小強打算用35元來

買這兩種筆(也允許只買其中一種)，可是他無論怎么買都不能把35元恰好用完，問紅筆、藍筆每支各多

少元？

3.4個一位數(shù)的乘積是360,并且其中只有一個是合數(shù)，那么在這4個數(shù)字所組成的四位數(shù)中，最大的一

個是多少？

【例題2】小聰?shù)拿妹脜⒓恿私衲甑闹袑W(xué)數(shù)學(xué)競賽，小聰問妹妹：“這次競賽你得了多少分？獲第幾

名？”妹妹告訴他：“我得的名次和我的歲數(shù)及我的分數(shù)乘起來是2910,你看我的成績和名次各是多少？”

【詳解】解：既然2910是三個數(shù)的乘積，那么就把2910分解質(zhì)因數(shù)：2910=2x3x5x97.

小聰?shù)拿妹檬侵袑W(xué)生，不可能是2歲、3歲、5歲，也不可能是6歲、10歲，因此可以肯定小聰妹妹是

(3x5)=15羅則名次是第2名，成績是97分.

答：小聰?shù)拿妹妹问堑?名，成績是97分.

練習二：

1.有四個學(xué)生，他們的年齡恰好是一個比一個大1歲，而他們的年齡的乘積是5040,那么，他們的年齡

各是多少？

2.甲數(shù)有9個因數(shù)，乙數(shù)有10個因數(shù)，甲、乙兩數(shù)最小公倍數(shù)是2800,那么甲數(shù)和乙數(shù)分別是多少?

3.有一種最簡真分數(shù)，它們的分子與分母的乘積都是420.如果把所有這樣的分數(shù)從小到大排列，那么第

三個分數(shù)是多少？

【例題3】在射箭運動中，每射一箭得到的環(huán)數(shù)是“0”(脫靶)，或者是不超過10的自然數(shù)。甲、乙

兩名運動員各射了5箭，每人5箭得到的環(huán)數(shù)的積都是1764,但是甲的總環(huán)數(shù)比乙少4環(huán)。求甲、乙的

總環(huán)數(shù)各是多少？

【詳解】1764=2x2x3x3x7x7,1764對應(yīng)為5個小于10的自然數(shù)乘積,于是只能是1764=4'3'3'7*7

=2X6X3X7X7=2X2X9X7X7=1X6X6X7X7=1X4X9X7X7O

對應(yīng)的和依次為4+3+3+7+7=24,2+6+3+7+7=25,2+2+9+7+7=27,1+6+6+7+7=27,

1+4+9+7+7=28。

對應(yīng)的和中只有24,28相差4,所以甲的5箭環(huán)數(shù)為4、3、3、7、7,乙的5箭環(huán)數(shù)為1、4、9、7、7。

所以甲的總環(huán)數(shù)為24,乙的總環(huán)數(shù)為28。

練習三：

1.已知兩個自然數(shù)的和為54,它們的最小公倍數(shù)與最大公因數(shù)的差為114,求這兩個自然數(shù)。

2.在1到200這200個自然數(shù)中任意選數(shù)，至少要選出多少個才能確保其中必有2個數(shù)的乘積等于

238?

3..一個自然數(shù)與自身相乘的結(jié)果稱為完全平方數(shù).已知一個完全平方數(shù)是四位數(shù)，且各位數(shù)字均小于

7.如果把組成它的數(shù)字都加上3,便得到另外一個完全平方數(shù)，求原來的四位數(shù).

【例題4】將八個數(shù)14、33、35、30、75、39、143、169分成兩組，每組四個數(shù)，并且每組四個數(shù)的

乘積相等，應(yīng)該怎樣分？

【分析】要使兩組數(shù)的乘積相等，就要使兩組中的質(zhì)因數(shù)一樣，并且相同質(zhì)因數(shù)的個數(shù)相同.為此，我們

先將八個數(shù)分解質(zhì)因數(shù)：

14=2x7

33=3x11

35=5x7

30=2x3x5

75=3x5x5

39=3x13

143=11x13

169=13x13

通過觀察各式可知，八個數(shù)中，質(zhì)因數(shù)2、7、11各有兩個，質(zhì)因數(shù)3、5、13各有四個，所以每組中應(yīng)該

是2、7、11各有一個，3、5、13各有兩個.

【詳解】首先將14=2x7分在第一組，另外兩個含有質(zhì)因數(shù)2和7的數(shù)30=2x3x5和35=5x7就應(yīng)分在第

二組.這樣，在第二組中不僅有2與7,還有兩個5,所以另外兩個質(zhì)因數(shù)5就應(yīng)分在第一組，即

75=3x5x5歸在第一組中.其次，將169=13x13分在第一組，含有13的另外兩個數(shù)39=3x13和

143=11x13就應(yīng)分在第二組.由于質(zhì)因數(shù)11只有兩個，因而含有11的另一個數(shù)33=3x11就應(yīng)分在第一

組.

在上述分組過程中沒有考慮過質(zhì)因數(shù)3,所以，應(yīng)核對一下兩組中的質(zhì)因數(shù)3,結(jié)果是各含有兩個，所以

分組結(jié)果是正確的，即

第一組有14,75,169,33；第二組有35,30,39,143.

在上述分組過程中，當然也可以將169分在第二組，那么39、143在第一組，33在第二組，因此，還可

得到另外的一種分組方法：

第一組：14,75,39,143；第二組:35,30,169,33.

【點睛】利用八個數(shù)分解質(zhì)因數(shù)的式子，容易驗證兩組數(shù)的乘積相等.

練習四：

1.把37拆成若干個不同質(zhì)數(shù)之和，如果要使這些質(zhì)數(shù)的積最大，問這幾個質(zhì)數(shù)分別是多少？

2.學(xué)區(qū)舉行團體操表演，有1430名學(xué)生參加，分成人數(shù)相等的若干隊要求每隊人數(shù)在100至200之間，共有

幾種分法？

3.如果a,b為正整數(shù)，且24a+168b為完全平方數(shù)，求a+b的最小值.

板塊四：數(shù)學(xué)故事m

約分術(shù)

我國古代的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》就介紹了“約分術(shù)”：“可半者半之，不可半者，副置

分母、子之數(shù)，以少減多，更減損，求其等也。以等數(shù)約之?！币馑际钦f：如果分子、分母全

是偶數(shù)，就先除以2；否則以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，把所得的差與上一步中的減數(shù)比較，并

再以大數(shù)減去小數(shù)，如此重復(fù)進行下去，當差與減數(shù)相等即出現(xiàn)“等數(shù)”時，用這個等數(shù)約分。

這種方法被后人稱為“更相減損術(shù)”。

板塊五：答案解析m

練習一

1.30組

【分析】先將12、300分別進行質(zhì)因數(shù)分解：12=22x3,300=2?x3x52,

(1)確定a的值.依題意a只能取12或12x5=60或12x25=300；

(2)確定b的值；

當a=12時，b可取12,或12x5,或12x25；

當a=60,300時，b都只能取12；

所以，滿足條件的a、b共有5組：

a=12,b=12；a=12,b=60；a=12,b=300；a=60,b=12；a=300,b=12；

(3)確定a,b,c的組數(shù).

對于上面a、b的每種取值，依題意，c均有6個不同的值：52,52X2,52X22,52X3,52X2X3,52X22X3,

即25,50,100,75,150,300；

所以滿足條件的自然數(shù)a、b、c共有：5x6=30(組).

此類題的關(guān)鍵是認真審題，弄清數(shù)量間的關(guān)系，然后根據(jù)題中給出的條件，進行比較、分析，進而得出結(jié)

論.

【詳解】12=22X3,300=22X3X52,

a=12或a=12x5=60或a=12x25=300；

當a=12時,b=12或b=12x5或b=12x25；

當a=60,300時,b都只能取12；

滿足條件的a、b共有5組：

a=12,b=12；a=12,b=60；a=12,b=300；a=60,b=12；a=300,b=12；

對于a、b的每種取值，依題意，c均有6個不同的值：25,50,100,75,150,300.

所以滿足條件的自然數(shù)a、b、c共有：5x6=30（組）

答：滿足上述條件的自然數(shù)a,b,c共有30組.

2.紅筆：13元藍筆：4元

【詳解】35=5x7.

紅、藍的單價不能是5元或7元（否則能把35元恰好用完），也不能是17-5=12（元）和17-7=10

（元），否則另一種筆1支是5元或7元.

對筆價來說，已排除了5,7,10,12這四個數(shù).

筆價不能是35-17=18（元）的因數(shù).如果筆價是18的因數(shù)，就能把18元恰好都買成筆，再把17元買兩

種筆各一支，這樣就把35元恰好用完了,因此筆價不能是18的因數(shù)：1,2,3,6,9.

當然也不能是17-1=16,17-2=15,17-3=14,17-6=11,17-9=8.現(xiàn)在筆價又排除了:1,2,3,6,

8,9,11,14,15,16.

綜合兩次排除，只有4與13未被排除，而4+13=17,就知道紅筆每支13元，藍筆每支4元.

答：紅筆每支13元，藍筆每支4元.

3.8533

【詳解】將360分解質(zhì)因數(shù)得360=2x2x2x3x3x5,它是6個質(zhì)因數(shù)的乘積。因為題述的四個數(shù)中只有一

個是合數(shù)，所有該合數(shù)必至少為6-3=3個質(zhì)因數(shù)的積，又只有3個2相乘才能是一位數(shù)，所以這4個乘

數(shù)分別為3,3,5,8,所組成的最大四位數(shù)是8533。

練習二

1.7歲、8歲、9歲和10歲

［詳解］我們先把5040分解質(zhì)因數(shù)：5040=24X32X5X7.

再把這些質(zhì)因數(shù)湊成四個連續(xù)自然數(shù)的乘積：2"X32X5X7=7X8X9X10.

所以，這四名學(xué)生的年齡分別是7歲、8歲、9歲和10歲.

2.甲數(shù)是100,乙數(shù)是112

【詳解】一個整數(shù)被它的因數(shù)除后，所得的商也是它的因數(shù)，這樣的兩個因數(shù)可以配成一對只有配成對的

兩個因數(shù)相同時，也就是這個數(shù)是完全平方數(shù)時，它的因數(shù)的個數(shù)才會是奇數(shù),因此，甲數(shù)是一個完全平方

數(shù).

2800=24X52X7.

在它含有的因數(shù)中是完全平方數(shù)，只有1,22,24,52,22X52,24X52.

在這6個數(shù)中只有22X丁=100,它的因數(shù)是(2+1)x(2+1)=9(個).

2800是甲、乙兩數(shù)的最小公倍數(shù)，上面已算出甲數(shù)是100=22x52,因此乙數(shù)至少要含有24和7,而2、7

=112恰好有(4+1)x(1+1)=10(個)因數(shù)，從而乙數(shù)就是112.

綜合起來，甲數(shù)是100,乙數(shù)是112.

3?上

【詳解】把420分解質(zhì)因數(shù)420=2x2x3x5x7.

為了保證分子、分母不能約分(否則約分后，分子與分母的乘積不再是420了)，相同質(zhì)因數(shù)(上面分解

中的2),要么都在分子，要么都在分母，并且分子應(yīng)小于分母,分子從小到大排列是1,3,4,5,7,

12,15,20.

3457121520

分子再大就要超過分母了，它們相應(yīng)的分數(shù)是：-

420140"W5,麗’60*35'28'21

從小到大排列中第三個是與.

練習三

1.24；30

【分析】把這兩個自然數(shù)表示為最大公因數(shù)和互質(zhì)數(shù)的乘積，最小公倍數(shù)是最大公因數(shù)的倍數(shù)，據(jù)此表示

出這兩個數(shù)的和以及它們的最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)的差，分析出最大公因數(shù)與54和114的關(guān)系，進而

求得最大公因數(shù)，最后把最大公因數(shù)的值代入計算出這兩個自然數(shù)的值即可。

【詳解】設(shè)這兩個自然數(shù)分別是""和"仍，其中機為它們的最大公約數(shù)，且。與b互質(zhì)(aMb)

由題意可知得，ma+mb=m(a+b)=54,mab-m-m(ab-1)=114

則m是54和114的公因數(shù)。

54=2x3x9,114=2x3x19,54和114的最大公因數(shù)是6,加的值可能是1,2,3,6。

當m=1時，ab=U5,a+b=54,貝(|a=l,6=115或a=5,6=23；1+115X54,5+23X54,所以

"2=1不符合題意；

當m=2時，ab=58,a+b=27,貝!]a=l,6=58,或a=2,b=29；1+58聲27,2+29W27,所以

”7=2不符合題意；

當機=3時，ab=39,a+b=18,貝6=39或。=3,6=13；1+39#18,3+13X18,所以根=3

不符合題意；

當機=6時，aZ?=20,a+b=9,貝6=20,1+20戶9不符合題意；a=4,6=5,4+5=9符合題

意。

所以，m=6,a=4,b-5

"?a=6x4=24,"浴=6x5=30,這兩個自然數(shù)分別是24和30。

答：這兩個自然數(shù)分別是24和30。

【點睛】根據(jù)等量關(guān)系計算出這兩個數(shù)的最大公因數(shù)是解答題目的關(guān)鍵。

2.198

3.1156

【詳解】設(shè)這個四位數(shù)為麗=加①，

由于其各位數(shù)字都小于7,所以每位數(shù)字都加3,沒有發(fā)生進位，故

(a+3)(5+3)(c+3)(d+3)=〃?②

由②-①得：3333=n2-mWn-m)(n+m)③

將3333分解質(zhì)因數(shù)，有3333=3x11x101,其有(l+l)x(l+l)x(l+l)=8個約數(shù)，但是有“+機>”-初，所

以只有4種可能，即3333=1x3333=3x1111=11x303=33x101.

由于療=皿?/21000,故相>30,所以(〃+機)一("-機)=2機>60；

又/=(a+3)(6+3)(c+3)(、+3)<10000,所以“<100,故(w+沉)+("-機)=2〃<200;

——檢驗，只有33x101滿足101-33>60且101+33<200,所以“+〃z=101,n-m=33,得〃z=34,原來

的四位數(shù)為34。=1156.

練習四

1.2s7Slls17.

【分析】如果若干個數(shù)的和一定，那么拆的數(shù)越多(不能有1)則積越大，并可推出拆出的數(shù)(1除外)

越多，積越大.

【詳解】假設(shè)37拆成的是五個質(zhì)數(shù)的和，那么最小的五個質(zhì)數(shù)和為3+5+7+11+13=39,大于37,所以

37不能拆成五個質(zhì)數(shù)的和.不難發(fā)現(xiàn)，五個質(zhì)數(shù)中，如有一個為2是偶數(shù)，剩下的四個必為奇數(shù)，而其和

為偶數(shù)，2與四個質(zhì)數(shù)的和也必為偶數(shù)，37是奇數(shù)，所以不能取從2開始的五個最小質(zhì)數(shù)，當取3、5、

7、11、13這五個質(zhì)數(shù)時和就大于37了，所以六個以上質(zhì)數(shù)的和更不可能為37.

假設(shè)把37拆成是四個不同質(zhì)數(shù)的和，而四個質(zhì)數(shù)中必有一個取2,否則四個奇數(shù)的和為偶數(shù)，不可能得到

和為37,這樣剩下三個數(shù)的和為37-2=35,拆的方法有下列幾種：

37=2+7+5+23相對應(yīng)的積為2x7x5x23=1610

37=2+5+11+19相對應(yīng)的積為2x5x11x19=2090

37=2+5+13+17相對應(yīng)的積為2x5x13x17=2210

37=2+7+11+17相對應(yīng)的積為2x7x11x17=2618

37=2+3+13+19相對應(yīng)的積為2x3x13x19=1482

在這五組不同的