題型144類解三角形大題綜合

（雙正弦及雙余弦、周長及面積類最值、邊長和差、積商類最值、圖

形類解三角形綜合）

技法01雙正弦及雙余弦模型

技法02周長及面積類最值問題

技法03邊長和差、積商類最值問題

技法04圖形類解三角形綜合

I___________________________________________________________________________________________________________________

技法01雙正弦及雙余弦模型

喟3?常見題型解讀

雙正弦及雙余弦模型是通過正余弦定理列方程組來求解相關(guān)問題，此類題型難度中等，是高考中的?？?/p>

考點(diǎn)，需強(qiáng)加練習(xí)

02

跟我學(xué)?解題思維剖析

例1.（2023?江蘇?高三專題練習(xí)）如圖，在AABC中，角A氏C的對邊分別為已知

(b+c)cosA—acosB—acosC=0.

IT

（1）求角A；⑵若。為線段延長線上一點(diǎn)，且“W＞皿=38,求tanZACB.

技巧點(diǎn)撥o

(1)A=|

(2)設(shè)NACB=a,在△ABD和中，由正弦定理可得

BD_AOCD_A0

,又BD=3CD,

sina

A/31.

——cosa+—sina

22

/.tan<z=-9-6石；

綜上，A=《，tana=-9-6百.

片篇i?知識(shí)遷移強(qiáng)化

1.(2022秋?安徽合肥?高三統(tǒng)考期末)在AABC中，點(diǎn)。在3c上，滿足AO=BC,ADsinABACABsinB.

(1)求證：AB,AD,AC成等比數(shù)歹！J；

(2)若BD=2DC,求cos8.

【答案】(1)證明見解析

(2)cosB=^-

24

【分析】(1)由正弦定理得AZ>3C=AB-AC,再由M>=3C,得到AD?=..4。，即得證;

(2)記A,B,C的對邊分別為a,b,c,由(1)得〃=bc,設(shè)NAD3=a,在MB。與EACO中，分別使

311

用余弦定理，解方程組可求出6=橙?；?。=$,依題意排除。=：c,利用余弦定理即可求出cosB.

BCAC不

【詳解】(1)在AABC中，由正弦定理得:----------=—C1)

sinZBACsinB

A

由已知得：ADsinZBAC=AB-sinB（2）,

由①②聯(lián)立得：ADBC=ABAC,

因?yàn)锳D=J?C,所以AZ）2=A6.AC.

故AB,AD,AC成等比數(shù)歹（J；

（2）在0ABe中，記A,B,C的對邊分別為a,b,c,

故AD=BC=a,由（1）知：a2=be（3）,

2

在EIAB。中，設(shè)NADB=a,由已知得=

由余弦定理得：AB2=AD2+BD2-2AD-BDcosZADB,

4

222

即cQ+Q

9---a2cosa④，

在MCD中，設(shè)NAZ>C=TI—c,由已知得CD=；〃，

由余弦定理得：AC2=AD2-bCD2-2AD-CDcosZADC,

b1=tz2+—+—a2cosa（5）,

93

由⑤+④x2整理得：。2+262=日“2⑥，

由③⑥聯(lián)立整理得：6k_1gc+3c2=0,

31

解得：6=或匕=丁，

當(dāng)b時(shí)，由/=/7c可求得所以a+b<c故舍去,

當(dāng)匕=：c時(shí)，由/=6c可求得a=Yfc,滿足a+c>6,

22

32,29

na2+c2-b25c+c--Crr2

在EIABC中，由余弦定理得cos2=--------------=---------r-

2

綜上：cosB=—―

24

cosA

2.（2023?全國?模擬預(yù)測）在AABC中，內(nèi)角A,B,。的對邊分別為〃，b,c,—，點(diǎn)。

cosC2b+6c

sin/BADsinZCAD3

是邊8C上的一點(diǎn)，且-------------+

b--------c2a

⑴求證：AD-j；

(2)若CD=2BD,求cos/ADC.

【答案】⑴詳見解析;

-it

【分析】（1）先利用余弦定理由*=-一丹=得到A=手，再利用正弦定理由

cosC2Z?+V3C6

sinABADsinZCAD3加一為,日“八a

——-——+--------=丁即可求得AD=彳；

bc2a3

c=\f3b13

（2）先利用余弦定理求得廣,進(jìn)而利用余弦定理求得cosNADC=

a=y/7b174T

cosA6a

【詳解】（1）在445C中,

cosC2b+6c

112

Mlib+C-alab

貝」---------X-；3---------Z-=---------------尸一

2bca+b—c2b+y3c

b2+c2—a2=—y/3bc,則cosA="十°——=

2bc2

5兀

又OVAVTT,貝IJA=——

6

,..sinZCADsinC..CD-sinC

在△ACD中，由正弦TE理得————,則nsmNC4Z)=——-一

CDADAD

..,.sinZBADsinB.._BD-sinB

在△B4O中，由正弦定理得——--,貝n!JsmNR4D=———

BDADAD

.sinABADsinZCADBD-sinBCD-sinC

則

_8?sinA+CD?sinA_―二+⑷〉1___3_

AD-aADaADaADa2AD2a

則cosZADC=4

X214

2x-ax-a9-

33

3.(2023?湖南婁底?高三漣源市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))在AABC中，角A,B,C的對邊分別為4涉,0,且

田日2cosC2sinC

滿足i=V扁4

⑴求角5的大小;

Q

(2)若人=8,。為邊AC的中點(diǎn)，且5。=］，求金。的面積.

2兀

【答案】(l)y

加40百

9

【分析】(1)由正弦定理邊角互化得2coscsinB=2sinA+sinC,再結(jié)合正弦和角公式得cosB=-g,進(jìn)而

可得答案;

（2）根據(jù)余弦定理，結(jié)合cosNCD5+cosZAZM=0得4+。2=寸，進(jìn)而根據(jù)余弦定理得ac=-黑，再計(jì)

算面積即可.

-兀、/、?力e、12cosc2sinC-2cosC2sinCe?一

【詳解】（1）斛：因?yàn)?----=—+-----，所rr以Ixl------=----+--------，即14r2lcoscsm5=2smA+sinC,

abZ?sinAsinAsinBsinBsinA

因?yàn)閟inA=sin（3+C）=sinBcosC+cosBsinC,

所以2cosCsinB=2sinBcosC+2cosBsinC+sinC,即2cosBsinC+sinC=0,

因?yàn)镃￡（0,兀）,sinCwO,所以cosB=—g,

因?yàn)?e（0,兀），所以B=與.

Q

（2）解：如圖，因?yàn)?=8,。為邊AC的中點(diǎn)，且3。=屋

因?yàn)镹AD3+NC￡>3=7r,

42+f8Y-c242+f8Y-?2

所以cosNaM+cos/AD3=0,即——包----+——業(yè)-----=0，整理得片+,2=——,

2x4x-2x4x-9

33

因?yàn)椤?+/一2〃ccosB,即64=—^―十a(chǎn)c,解得cic=9，

1604073

所以，AABC的面積為S=—acsinB=—x---X---=-----.

22929

B

C

D

技法02周長及面積類最值問題

叫曾三?常見題型解讀

周長及面積類最值問題是結(jié)合三角函數(shù)和基本不等式來求解相關(guān)問題，此類題型難度中等，是高考中的

常考考點(diǎn)，需強(qiáng)加練習(xí)

02

跟我學(xué)?解題思維剖析

例2-1.(2023?江蘇南京?南京師大附中校考模擬預(yù)測)已知b、c分別為AABC的三個(gè)內(nèi)角A、8、C的

對邊長，a=2,JL(Z?+2)(sinA-sinB)=c(sinB+sinC).

⑴求角A的值；

⑵求AABC面積的取值范圍.

技巧點(diǎn)撥?

【詳解】(1)由條件，可得(b+〃)(sinA—sin5)=c(sin3+sinC),

由正弦定理，得S+a)(a—b)=c(〃+c),所以人2+。2_/=—匕°,

所以COSA/。因?yàn)锳e(0,7t),所以A=§.

2bc23

a_4百

(2)由正弦定理，可知」

sinBsinCsinA3

114x/34J34J3

S=—besinA=---------sinB------sinCsinA=------sinBsinC

22333

sinBsin—cosB-cos—sinB=2sinBcosB--sin2B

[333

=sin2B-—(1-cos2B)=—f—sin2B+-cos2B]--=—sin(28+巴]一」

33(22J33I,6j3

例2-2.(2023?云南?校聯(lián)考模擬預(yù)測)AABC的內(nèi)角A,民C的對邊分別為o,6,c,且csin二0=asinC.

⑴求角A；

(2)若a=6，求AABC周長的取值范圍.

解題

技巧點(diǎn)撥o

【詳解】（）因?yàn)?，；。可?1-AA

1csin=asinC,csin=ccos—=tzsinC,

22

A

所以由正弦定理可得sinCcos-=sinAsinC,

又。為三角形內(nèi)角，sinCwO,

ul.>A..?AA

所以cos—=sinA=2sm—cos—,

222

因?yàn)锳e（。，兀）,Te［。，/

,cos—>0,

22

所以sin/：,可得.J,所以A=3.

(2)由(1)知A=],又a=JL

6bc

由正弦定理得二萬一任萬一而不=2

2

則b=2sinB,c=2sinC,

a+b+c=A/3+2sinB+2sinC

=A/3+2sinB+2sin

=V3+2sinB+cosB+—sinB

2

7

=6+2sinB+百cos3+sinB

=^3+3sinB+-s/3cosB

=V3+273sinB+,

,,B+(71571

6，-6-

g,l,2氐i

sinfB+1e;inB+—G

6

你來練?知識(shí)遷移強(qiáng)化

1.（2023?全國?模擬預(yù)測）在銳角AABC中，角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,已知

6（力+廿一/）=2力csinA.

⑴求sirA+cos*的取值范圍;

（2）若。是A3邊上的一點(diǎn)，且">:PB=1:2,CD=2,求AABC面積的最大值.

【答案】⑴13

⑵￡1

2

【分析】（1）利用正余弦定理對已知等式化簡可得tanC=7L則可求出角C,再利用三角函數(shù)恒等變換

公式可得助1?4+0^8=1+宮。05（23-弓），然后求出角B的范圍，再利用余弦函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果；

（2）根據(jù)題意可得CD=：C8+：CA,兩邊平方化簡后再利用基本不等式可求出必的最大值，從而可求出

AABC面積的最大值.

【詳解】（1）因?yàn)間（/+〃—o2）=2/7csi次，

故百一/+2〃bcosC）=2bcsinA,

整理得到：2點(diǎn)出?cosC=2bcsinA即COSC=csinA,

故J5sinAcosC=sinCsinA,而A為三角形內(nèi)角，故sinA>0,

所以6cosC=sinC,

故tanC=7L而。為銳角三角形內(nèi)角，故

sin2A+COS2B=1+^(cos2B-cos2A)

=14328321-5

1IcnI47兀l__

=IH—cos2B—cos------2B

23

=1+——cos2B+sin2B=1+^^cos（25一工）,

2（22J2I6；

0<B<-

因?yàn)槿切螢殇J角三角形，故。2,故

271_7162

0n<------B<—

[32

—,故一/

6662I6）2

17

故一<sin2A+COS2B<—.

44

（2）由題設(shè)可得麗=2方X，故麗-屈=2（百-①），

.1—.2—?

整理得到：CD=-CB+-CA,

故而2=-CB+-CA+-CBCA,^4=-a2+-b2+-abx-,

9999992

整理得至II：36=a?+4b2+2ab>4ab+2ab=6ab，

當(dāng)且僅當(dāng)a=2"b=省時(shí)等號(hào)成立，故（仍）1mx=6.

故三角形面積的最大值為工x6x1=地.

222

2.（2023?湖北武漢?華中師大一附中校考模擬預(yù)測）已知AABC中，角A,B,。所對邊分別為。，b,

若滿足a（sin2A—cos5cosc）+6sinAsinC=0.

⑴求角A的大?。?/p>

（2）若a=2,求AABC面積的取值范圍.

7T

【答案】

（2）（?！?/p>

【分析】（1）根據(jù)正弦定理和三角恒等變換化簡等式，可以得到角A=g冗.

（2）根據(jù)勾股定理，由基本不等式得到兩直角邊積的最值即可.

【詳解】（1）由正弦定理知，sinA（sin2A—cosBcosC）+sinBsinAsinC=0,

團(tuán)AE（0,兀），回sinAwO,

團(tuán)sin2A-cosBcosC+sinBsinC=O,

化簡得sin2A=cosBcosC—sinBsinC=cos（B+C）=cos（^-A）=sin^A-^-j,

?.?Ae（O,兀），.-.2A+A--=7t（其中2A=A-巴舍去），即A=3.

222

TT

（2）由（1）知4=彳，則加+°2=片=4,

2

1h2l,2

那么AABC的面積S=：bc43千r=1（當(dāng)且僅當(dāng)6=c=0時(shí)等號(hào)成立），

則AABC面積的取值范圍為（0,1].

3.（2023?陜西咸陽??？寄M預(yù)測）已知銳角AABC中，a,b,。分別為內(nèi)角A,B,C的對邊，若

sinAsinBsinC=^-^sin2A+sin2B-sin2C）.

⑴求sinC；

（2）若c=6，求AABC周長的取值范圍.

【答案】（1）走

2

（2）（3+右,3石]

【分析】（1）由己知及正弦定理角化邊，再利用余弦定理，可求出tanC,由已知條件得出角C的范圍,

進(jìn)而求出角C即可以求出sinC的值.

（2）由c,sinC的值，利用正弦定理求出。乃，進(jìn)而表示出三角函數(shù)的周長，利用三角形的內(nèi)角和

定理及兩角和與差的正弦公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)確定出周長的取值范圍.

【詳解】（1）由sinAsinBsinC=#^（sin2A+sin?B-sin,C）及正弦定理，

得absinC=-^-^a2+b2-c2）即absinC=6abeosC.

所以tanC=VL由。為銳角，得C=g，

所以sinC=—.

2

2R=c=^1-

（2）由sinC再得R=l.

~2

團(tuán)AABC得周長=1+6+0=27?（sinA+sin3）+g=2（sinA+sin6.

=2sinA+2sin3+石=2sinA+2sin[--A|+\^

=3sinA+百cosA+G=2^sinA+-^j+,

因?yàn)?/p>

所以A0*A+K€[pyy

所以26$出14+1+6€（3+6,36],

即Q+Z?+C=（3+,\/3,3^/3].

所以AABC周長的取值范圍為（3+g,3g]

技法03邊長和差、積商類最值問題

喟京?常見題型解讀

邊長和差、積商類最值問題是結(jié)合三角函數(shù)和基本不等式來求解相關(guān)問題，此類題型難度中等，是高考

中的?？伎键c(diǎn)，需強(qiáng)加練習(xí)

02

跟我學(xué)?解題思維剖析

例3-1.（2023?安徽合肥?合肥市第七中學(xué)?？既＃┮阎狝ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,

且cosA+6sinA="+".

c

⑴求角C；

⑵設(shè)5C的中點(diǎn)為O,且A0=百，求。+2方的取值范圍.

技巧點(diǎn)撥

【詳解】（]）AABC中，cosA+73sinA=^,由正弦定理得cosA+道sinA=吧"堊4.

csinC

所以sinCcosA+\/3sinAsinC=sinB+sinA,

BPsinCcosA+A/3sinAsinC=sin（A+C）+sinA=sinAcosC+sinCcosA+sinA,

所以若sinAsinC=sinAcosC+sinA;

又A￡（0,兀），則sinAW0,所以sinC-cosC=1,

貝I］有sin〔C_《卜（，又因?yàn)镃e（0,7r）,貝iJC-￡=g即C=J；

2oo3

(2)設(shè)NC4D=，，則△ACD中，由C=］可知。2兀

CDACAD

由正弦定理及人。=百可得金萬一可互一1丁

所以CD=2sin。，AC=2sinf——6）,

所以〃+2b=4sin6+4sin[g-6）=6sin6+2^cose=46sin[e+E）,

6

—i*心/■）兀71571,sin嗚七1,1,

由可知，6>+-G，-

O66"2

所以a+20e（2G,4可

即a+2Z＞的取值范圍(26,4方］.

例3-2.(2023?湖南長沙?長郡中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測)記AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已

sinC+sinB

知tanA=

cosC+cosB

⑴求A的值;

(2)若44BC是銳角三角形，求之^的取值范圍.

a

解題

技巧點(diǎn)撥o

?、注kn、/、E、1,sinC+sinB

【詳解】（1）因?yàn)閠anA=------------

cosC+cosB

所以sinAcosC+sinAcosB=cosAsinC+cosAsinB,

即sin（A-C）=sin（B-A）,

所以A—C=3—A或（A—C）+（B—4）=兀（舍去）.

所以A—C=3—A,結(jié)合A+8+C=TI,得A=1.

（2）由（1）得:

b2-besin2B-sinBsinC4/..”.小4

=—(^sin2Brt-sinBsmCj=—sin9B-sinBsin

a2sin2A、33

4..'君11

=—sin9-B-sinB-——cosB+—sinB——sin2B-—sinBcosB

3122.322

7

41i

=——(l-cos2B)-—sin2B

44

1(百sin2B+cos23)+—1

33

--cosf2B--711

+-

333

因?yàn)锳ABC是銳角三角形，所以5,。均為銳角,

TT2K71

即0<5<],Q<C=——B<-，所以5<2<弓,

32o2

271--cosf2B--71112

所以2人m0,+—e

33333?3

b2-be

所以的取值范圍是

a2rt-

你來練?知識(shí)遷移強(qiáng)化

1.（2023?遼寧?遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在平面凸四邊形ABC。中，CDLDB,CD=1,DB=6，

DA=2.

⑴若NZMB=60。，求cosNACB；

⑵求AB2+BC2+AC2的取值范圍.

【答案】(l)cosNACB="^

14

(2)(16-4若,20)

【分析】（1）先利用余弦定理得到的=1，根據(jù)邊的關(guān)系得到ABaDB，進(jìn)而得出0ABe=120。，再利用余弦定

理即可求解；

⑵設(shè)財(cái)￡?8=仇禾煙余弦定理分別求出A82,AC2,相加后整理變形得到關(guān)于角。的三角函數(shù)，利用正弦函數(shù)

的圖象和性質(zhì)即可求解.

【詳解】（1）在0A2。中，因?yàn)?括，DA=2,0DAB=6O°,由余弦定理得（若『=2?+人工一2x2xABcos60°,

解得AB=1,由AB?+加？=加2,得4施。8,此時(shí)RtiaCDBEIRfflABD,可得a4BC=120°.

在0ABe中，AB=1,BC=2,由余弦定理得AC?=f_2xlx2xcosl20。=7,解得AC=V7,所以

2?+7-F5s

cosZACB=

2X2X^/7R

TT

（2）設(shè)0AOB=O,由題意可知0＜。＜一,

2

在0ABD中，由余弦定理得Ag2=22+（石『一2x2x6cos6=7-46cos。，在EL4CO中，ZADC=3+^,由

余弦定理得AC?=22+12-2x2xlxcos[e+]j=5+4sin6?,在△BCD中，因?yàn)镃D_LD3,所以

BC=4CD2+BD2=2,

所以AB?+BC?+AC2=7-4Aos0+5+4sin0+22=16+8sin,

因?yàn)?＜6〈工，所以一工一色〈工，一且＜sin]。—二]＜工，

23362（3）2

所以AB?+BC?+AC2的取值范圍是（16-4百,20）.

2.（2023?江蘇?金陵中學(xué)校聯(lián)考三模）己知a=（sin公v,cosox）,b=^coscox,cos<oxj,其中（y>0,函數(shù)

f{x}=a-B-咚，的最小正周期為兀.

⑴求函數(shù)〃x）的單調(diào)遞增區(qū)間；

⑵在銳角融。中，角4B,C所對的邊分別是“，b,c,且滿足小嚇，求灑取值范圍.

71

【答案】⑴單調(diào)遞增區(qū)間為^-―,fat+—,keZ

【分析】(1)根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可知/(無)=sin(2。尤+向，由最小正周期為兀可得。=1,即可知

IJT\SJTJT

/(x)=sinl2X+-I,再利用三角函數(shù)單調(diào)性即可求得〃x)的單調(diào)遞增區(qū)間為kji-—,lai+—,丘Z；

(2)根據(jù)三角形形狀可得2<8<W，再由正弦定理得q=包且=及—，又sinBe(g,l],所以

62bsinB2sinB(2)

【詳解】(1)因?yàn)椤?(sinox,cosGX),b=(coscox,A/3COSCOX),

則忖=Vsin26yx+cos2a)x=1,

a-b=(sincox,coscox)■(coscox,6coscox)

=sincoxcosg%+Gcos2cox

=%n2s+且cos2s+且

222

A/3

=sin2a)x+—+

I3j2，

因?yàn)閒(x)最小正周期為兀，所以7="=無，所以。=1，故/(x)=sin(2x+(

jrjrjrSjrjr

由---—W—k2kii,keZ,角星-------------------------卜ku,keZ,

2321212

所以“X)的單調(diào)遞增區(qū)間為+含，keZ.

(2)由⑴及/fl,gpsin^2xy+^=sin^A+^=^,又

所以4+2=g，解得A=g,

71

0<B<-0<B<-

22

又AABC為銳角三角形，即,即

71

0<C<-O<71-B-A<-

22

解得

62

由正弦定理得色=包上=及一，又&B吟,則sinBej］。,

bsinB2sinB6212）

所％欄同

3.（2023?湖北恩施??？寄M預(yù)測）在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,/ABC的平分線

BD交AC于點(diǎn)、D.

⑴從下面三個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知條件，求/ABC的大小.

①2（6cosC-q）=c；②2a+c=6bsinA+Z?cosA；③a+ccosZABC=Z?cosC-c.

（2）若">=2CD,求「的取值范圍.

AB+BC

2Tl

【答案】⑴三個(gè)條件任選其一都有NABC=M

⑵I。,"

【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，再對等式進(jìn)行化簡，進(jìn)而根據(jù)/ABC的取值范圍求出其大小.

（2）運(yùn)用角平分線的條件求出>然后利用面積公式求出:w二的取值范圍.

8cCLZAD+/VC

【詳解】（1）選①，

因?yàn)?ScosC—a)=c,所以a+￡=bcosC.

2

由正弦定理得sinA+*|C=sinZABCcosC.

即sin(ZABC+C)+=sinZABCcosC,

+cssZA5C=0,

2

因?yàn)镹ABCGQTU),CG(0,TI),所以sinCwO,

12兀

所以cos/A3C=--,所以NA3C=—.

23

選②，

由2Q+C=gbsinA+Z?cosA及正弦定理，得

2sinA+sinC=^3sinZABCsinA+sinZABCcosA,

即2sinA+sin(A+ZABC)=石sinZABCsinA+sinZABCcosA,

2sinA+sinAcosZABC+cosAsinZABC=A/3sinAABCsinA+sinZABCcosA,

所以2sinA=A/3sinZABCsinA-sinAcosZABC.

因?yàn)锳￡(0,兀)，所以sinAwO,

所以2=AinZABC-cosZABC=2sin[/ABC-力，B|Jsin]/ABC-^=1.

TTTT9TT

又ZABC￡(0,TT),所以/ABC——所以

623

選③，

由a+ccosZABC=bcosC-c及正弦定理，得

sinA+sinCcosZABC=sinZABCcosC-sinC,

sin(ZABC+C)+sinCcosZABC=sinZABCcosC+cosZABCsinC+sinCcosZABC=sinZABCcosC-sinC

即2cosZABCsinC=-sinC.

因?yàn)镃w(0,7i),所以sinCwO,所以cos/A3C=-工.

2

9IT

又NABCW(0,TC),所以NA3C=1.

(2)因?yàn)?。平分/ABC,所以NABD=NCBD,

A。_ABADsinZABD

在中,即Rn——=--------

sinZABDsinZADBABsinZADB

CDBCCDsinZCBD

在△5CD中,即Rn——=--------，

sinZCBDsin/BDCBCsinZBDC

因?yàn)镹ADS+NBDC=JI,所以sinNAD5=sinN5￡)C,

-ADCDbyABAD3BDBD

所以——=——，所以——=——=2,故-------二----

ABBCBCCDAB+BC3BC

q

因?yàn)?△ABDAD_2

11='AB?2C?sinZABC,S.Alin=-ABBD-sinZABD

/y八八Cl.2,/\rxDL/q

°AABCAC-3

BD-sinZ.ABD2

所以------------=-

BC-sinZABC3

ZABC

又/ABD=

2

4.ZABCZABC

4sin--------cos—

所以需2sin/ABC4ZABC

22=—cos

nCc.ZABC2

35m幺些3sin—3

22

ZABC

又NABCwQ兀），所以

2

ZABC

所以cose(0,l),

2

所以咎$c4、BD<4、

o,_,,-------eo,_

nC3j3BCI9J

BD的取值范圍為|

即

AB+BC

技法04圖形類解三角形綜合

喟、考?常見題型解讀

圖形類解三角形綜合是通過在圖形中尋找正余弦定理來求解，此類題型難度中等，是高考中的常考考點(diǎn),

需強(qiáng)加練習(xí)

02

跟我學(xué)?解題思維剖析

例4.（2023?湖南郴州?校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,

a+2b=2ccos（B-gJ,角C的平分線交AB于點(diǎn)

旦BD=2幣,AD=出.

⑴求NACB的大小;

⑵求處

技巧點(diǎn)撥o

][得1百

【詳解】（1）由正弦定理a+26=2ccos8-sinA+2sin5=2sin/ACB—cosB+^-sinB,

22

7

即sinA+2sinB=sinACBcosB+sinXACBsinB,

因?yàn)閟inA=sin(5+/ACS)=sinBcos/ACB+cosBsinNACB,

所以sin3cos/AC3+2sinB=sinACBsinB,

因?yàn)閟in5w0,所以cos/AC5+2=V5sin/AC5,BPsinACB--j=1,

jrTT

因?yàn)镺VNACSVJI,所以/ACB—=—,

62

兀

所以NA包子2.

(2)已知角C的平分線交A3于點(diǎn)。，且30=2近，AD=47.

AC

在△AS中，由正弦定理得

sinZACZ)sinZADC

BDBC

在△3CD中，由正弦定理得

sin/BCDsinZBDC

因?yàn)閆ACD=/BCD,ZADC+ZBDC=兀，所以sinZACD=sin/BCD,sinZADC=sinZBDC,

所以需二言

2

設(shè)AC=%,BC=2x,由余弦定理得BC2+AC2-AB2=2BCxACxcosZACB，

gp4x2+x2-(3A/7(2=2-2x?x?

解得x=3,

因?yàn)镾^ACB=S^ACD+SABCD,

所以工x3x6x=—x3xCDx+—x6xCDx-^-,

222222

解得CD=2.

唁磊而?知識(shí)遷移強(qiáng)化

1.(2023?山東濰坊,統(tǒng)考二模)在四邊形ABCD中，2540=方，ZACD=|,AD=6,S為AABC的面

積，S.2S=-43BABC.

B

-------------、D

⑴求角3；

（2）若cosO=；,求四邊形ABCD的周長.

【答案】⑴玄27c

⑵2+24

【分析】（1）根據(jù)三角形面積公式及數(shù)量積的定義化簡方程可得tan3,即可得解;

TT

（2）求出再由正弦定理求出A3=8C=1,即可得解.

【詳解】（1）由2s=-6麗?就，

在AABC中得2xLASx5Csin5=-A/§A5x8Ccos3,

2

即sinB=一百cosB，可得tan3=-^3，

因?yàn)?￡（0,兀），所以5=彳.

1冗

（2）由cos0=5,0e（0,兀），所以。=§,

所以AABC為等邊三角形，AC=V3,^CAD=p

TTTT

所以/3AC=—,/AC3=—,

66

\rACsin/ACB

由正弦