反比例函數(shù)挑戰(zhàn)綜合壓軸題(11大題型)

(全章題型梳理與分類(lèi)講解)

第一部分【知識(shí)梳理與題型目錄】

題型目錄

【綜合篇】

【題型1】反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)...........................................1

【題型2】反比例函數(shù)中的平移問(wèn)題..........................................2

【題型3］反比例函數(shù)中的折疊問(wèn)題...........................................3

【題型4】反比例函數(shù)中的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題..........................................4

【題型5】反比例函數(shù)中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題...........................................5

【壓軸篇】

【題型6】反比例函數(shù)中的存在性問(wèn)題........................................6

【題型7】反比例函數(shù)中的三角形問(wèn)題........................................8

【題型8】反比例函數(shù)中的四邊形問(wèn)題........................................9

【題型9】反比例函數(shù)中的探究性問(wèn)題........................................10

【直通中考與拓展延伸篇】

【題型10］直通中考.......................................................12

【題型11］拓展延伸.......................................................13

第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】

【題型11反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)

12

【1-1］(2024九年級(jí)下?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))已知反比例函數(shù)了=—.

x

(1)若了＜4,則x的取值范圍是；

(2)若＞22,則X的取值范圍是；

(3)若一2＜了＜2,且則x的取值范圍是.

1

4

[1-2](23-24九年級(jí)上?山東聊城?期末)一次函數(shù)必=履+6與反比例函數(shù)為=——的圖象交于點(diǎn)4-4,機(jī)),

x

8(〃,一2),點(diǎn)C(0,5)是與軸上一點(diǎn).

⑴求出一次函數(shù)的表達(dá)式；

⑵觀察圖象，當(dāng)%>為時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出x的取值范圍；

(3)求△N2C的面積.

【題型2】反比例函數(shù)中的平移問(wèn)題

【1-1](2024?浙江杭州?一模)一次函數(shù)>=米+6(左，6為常數(shù)，且左片0)的圖象和反比例函數(shù)歹="(加為

常數(shù)，7"*0)的圖象交于點(diǎn)A(l,n)和點(diǎn)5(-2,-2).

(1)求”的值及一次函數(shù)的表達(dá)式.

(2)點(diǎn)C為反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，點(diǎn)C關(guān)于>軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)再向下平移4個(gè)單位得到點(diǎn)D,點(diǎn)、D恰好落在反

比例函數(shù)圖象上，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

【1-2](2024?山東濟(jì)南?二模)如圖，一次函數(shù)y=-2x+8的圖象與反比例函數(shù)y=A(x>0)的圖象交于點(diǎn)

X

/(私6),3(3,〃),交x軸于C,交》軸于D.

(1)求加、〃的值及反比例函數(shù)的表達(dá)式；

(2)求△048的面積：

⑶將直線V=-2x+8向下平移/個(gè)單位，若直線與反比例函數(shù)的圖象有唯一交點(diǎn)，求才的值.

2

[1-3]（2024?河南周口三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQv中，直線CD的圖象與反比例函數(shù)了=4

X

（左＞0,x＞0）的圖象相交于/（a,4a）、8（a+3,l）兩點(diǎn)，與x、y軸分別交于點(diǎn)C、。兩點(diǎn).

⑴求反比例函數(shù)的表達(dá)式；

⑵將直線。向下平移，若平移后的直線與反比例函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，試說(shuō)明直線向下平移了

幾個(gè)單位長(zhǎng)度？

【1-4]（23-24八年級(jí)下?重慶）如圖，RtZX/BC的直角邊在x軸上，N4BC=90°,邊NC交V軸于點(diǎn)

。，點(diǎn)C在反比例函數(shù)＞第一象限的圖象上，NC所在直線的解析式為y="+4,其中點(diǎn)4（—2,0）,

X

5（1,0）.

（1）求反比例函數(shù)和NC所在直線的解析式；

⑵將RtAABC的邊直角邊8c沿著x軸正方向平移加個(gè)單位長(zhǎng)度得到線段B'C,線段B'C與反比例函數(shù)的

圖象交于點(diǎn)E,問(wèn)當(dāng)加為何值時(shí)，四邊形OOC'E是平行四邊形？

【題型3】反比例函數(shù)中的折疊問(wèn)題

【1-1]（23-24八年級(jí)下?浙江紹興?期末）如圖，在坐標(biāo)系中有一矩形0/8C,滿足Z（10,0）,C（0,8）,點(diǎn)。

為AB上一點(diǎn)，ABC。關(guān)于8折疊得到AEC?,點(diǎn)E落于邊CM上.

⑴求的長(zhǎng)度；

⑵若＞關(guān)于x的反比例函數(shù)y=￡（后*0）圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D,與CD另一交點(diǎn)記為點(diǎn)F；

①求該反比例函數(shù)解析式；

②在CE上有一動(dòng)點(diǎn)尸，當(dāng)點(diǎn)尸坐標(biāo)為多少時(shí)，△尸。尸的周長(zhǎng)最??？

3

[1-2]（2019?江蘇蘇州?二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在P軸正半軸上，/C〃x軸,點(diǎn)、B、C

的橫坐標(biāo)都是3,且8c=2,點(diǎn)。在NC上，若反比例函數(shù)y=*>0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、D,IAO_3

~BC~2'

（1）求人的值及點(diǎn)。的坐標(biāo)；

（2）將沿著折疊，設(shè)頂點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)/的坐標(biāo)是/（%〃），求代數(shù)式機(jī)+3〃的值.

【題型4】反比例函數(shù)中的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題

k

【1-1]（2022?吉根一模）如圖，正比例函數(shù)了=2x與反比例函數(shù)了=；（尤>0）的圖像交于點(diǎn)過(guò)點(diǎn)A作

軸于點(diǎn)8,延長(zhǎng)至點(diǎn)C,連接OC.BC=8,OC=10.

⑴求點(diǎn)C的坐標(biāo)和反比例函數(shù)的解析式；

⑵將△498繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)90。，請(qǐng)直接寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)/的對(duì)應(yīng)點(diǎn)H的坐標(biāo).

4

【1-2]（20-21九年級(jí)上?陜西西安?階段練習(xí)）如圖，已知直線/5：>=7%與雙曲線》=—交于45兩點(diǎn),

且點(diǎn)4的橫坐標(biāo)為4.

（1）求左的值；

k

（2）將直線繞坐標(biāo)原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)得到另一條直線/,交雙曲線卜=人于P,。兩點(diǎn)（尸點(diǎn)在第一象限）.若

X

由點(diǎn)/、3、尸、。為頂點(diǎn)的四邊形面積為24,求點(diǎn)尸的坐標(biāo)，并判斷此時(shí)四邊形的形狀.

[1-3]（20-21九年級(jí)上?河南信陽(yáng)?期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線04分別與反比例函數(shù)

必=2（X>O）和%="（x>0）的圖象相交于點(diǎn)B,已知。4=

xx

（1）求左的值.

7k

（2）將直線0/繞著點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)后得到直線CO,并分別與反比例函數(shù)乂=3和%=￡的圖象相交于點(diǎn)。，

xx

C,連接求證：ADHBC.

【題型5】反比例函數(shù)中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

k

【1-1]（24-25九年級(jí)上?廣西桂林?階段練習(xí)）如圖，在平面直坐標(biāo)系中，雙曲線>=嚏（》>0）經(jīng)過(guò)5、C兩

點(diǎn)，△42C為直角三角形，4C〃龍軸，48〃7軸，/（6,3）,AC=2.

⑴反比例函數(shù)的表達(dá)式為,點(diǎn)8的坐標(biāo)為;

（2）點(diǎn)M是〉軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，連接M3、MC：

①當(dāng)+為最小值時(shí)，求點(diǎn)M坐標(biāo)：

②點(diǎn)N是反比例函數(shù)y=￡（x>0）的圖像上的一個(gè)點(diǎn)，若AQW是以CN為直角邊的等腰直角三角形，求

所有滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo).

5

[1-2]（24-25九年級(jí)上?湖南邵陽(yáng)?階段練習(xí)）如圖，一次函數(shù)＞=x-l的圖象與反比例函數(shù)＞=人的圖象交

X

于點(diǎn)/（%1）,8（-1,加）.

k

⑴求函數(shù)》=—的表達(dá)式；

k

（2）點(diǎn)C是反比例函數(shù)》=—的圖象上第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△/BC的面積等于的面積時(shí)，求C

x

點(diǎn)的坐標(biāo).

【1-3]（2024?山東泰安?二模）一次函數(shù)了=-才+加與反比例函數(shù)了=8的圖象交于4,8兩點(diǎn)，點(diǎn)/的坐標(biāo)

X

為（3,5）.

（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；

⑵求△048的面積；

⑶過(guò)動(dòng)點(diǎn)7億0）作x軸的垂線/,/與一次函數(shù)V=f+M和反比例函數(shù)＞="的圖象分別交于N兩點(diǎn),

6

【題型6】反比例函數(shù)中的存在性問(wèn)題

【1-1](24-25九年級(jí)上?山東威海?期中)如圖，矩形/8CO的頂點(diǎn)C,N分別在x軸、y軸的正半軸上，

點(diǎn)8的坐標(biāo)為(4,2),反比例函數(shù)＞=&的圖象經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)D,與8C交于點(diǎn)￡,連接OE,DE.

X

⑴直接寫(xiě)出結(jié)果：k=，點(diǎn)E的坐標(biāo)為；

(2)點(diǎn)M是/軸正半軸上一點(diǎn)，若S.MBO=SAODE，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

⑶點(diǎn)尸為x軸上一點(diǎn)，點(diǎn)。為反比例函數(shù)了="圖象上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P,Q,使得以點(diǎn)尸，Q,D,E

X

為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)0的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【1-2](22-23九年級(jí)上?四川成都?階段練習(xí))已知：如圖，直線夕=任+4與函數(shù)y=；(x＞0,機(jī)＞0)的圖像

交于48兩點(diǎn)，且與x,y軸分別交于C,。兩點(diǎn).

⑴若直線N=履+4與直線，=-X-2平行，且△/OD面積為2,求加的值；

(2)若△CO。的面積是ZUOB的面積的④倍，過(guò)/作NE_Lx軸于￡,過(guò)B作8/軸于足4E與BF交

于H點(diǎn).

①求的值；

②求左與加之間的函數(shù)關(guān)系式.

⑶若點(diǎn)P坐標(biāo)為(2,0),在(2)的條件下，是否存在左，m,使得為直角三角形，且//網(wǎng)=90。,

若存在，求出發(fā)，機(jī)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

備用圖

7

【1-3］（24-25九年級(jí)上?上海普陀?階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQy中，一次函數(shù)y=；x+l的圖像

與X軸、y軸分別交于/、2兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)＞=左力0）的圖像相交于C、D兩點(diǎn)，點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為

3.OELx軸，垂足為E.

k

（1）寫(xiě)出點(diǎn)/、B、。的坐標(biāo)，并求反比例函數(shù)了=—的解析式：

x

k

（2）M是反比例函數(shù)＞=嚏（420）圖像上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)且在點(diǎn)。右側(cè)，過(guò)點(diǎn)〃作軸，垂足為R是否存

在這樣的點(diǎn)使得以點(diǎn)〃、￡、尸為頂點(diǎn)的三角形與相似？如果存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的點(diǎn)M

坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【題型7】反比例函數(shù)中的三角形問(wèn)題

【1-1］（23-24九年級(jí)上,四川成都,階段練習(xí)）如圖，矩形0/8C的頂點(diǎn)/,C分別在y軸和x軸的正半軸

上，點(diǎn)8的坐標(biāo)為（2。,。），反比例函數(shù)的圖象與8c分別交于點(diǎn)。，點(diǎn)E,連接。。，OE,DE.

⑴若△4DO的面積為3,

①當(dāng)。=3,求人的值和AOAE的面積；

7

②當(dāng)直線。E的解析式為＞=加、+5,求AODE的面積.

（2）我們定義有一個(gè)內(nèi)角為45。的三角形稱(chēng)為"半直角三角形”，這個(gè)45。角所對(duì)的邊為"半直角邊若。=3,

當(dāng)AODE為"半直角三角形”時(shí)，求反比例函數(shù)的解析式.

缶用圖

【1-2］（23-24九年級(jí)上?廣西南寧?階段練習(xí)）定義：有一邊是另一邊的百倍的三角形叫做智慧三角形,

這兩邊中較長(zhǎng)邊稱(chēng)為智慧邊，這兩邊的夾角叫做智慧角

8

(1)如圖①，在△4BC中，ZC=105°,ZB=30°,求證：△4BC是智慧三角形；

(2)如圖②，已知△N2C是智慧三角形，3c為智慧邊，以為智慧角，且ZB/C=90。，4(3,0),點(diǎn)2、C

k

在函數(shù)y=?(x>0)的圖象上，點(diǎn)C在點(diǎn)2的上方，且點(diǎn)5的縱坐標(biāo)為1,求左的值.

【1-3](22-23九年級(jí)上?廣東深圳?階段練習(xí))如圖所示，直線了=辦+1與X軸、V軸分別相交于A、8兩

點(diǎn)，與反比例函數(shù)V=￡(x>0)相交于點(diǎn)尸，尸CJLx軸于點(diǎn)C,且尸C=2,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0).

⑴求雙曲線的解析式；

⑵直接寫(xiě)出x在什么范圍時(shí)，反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值；

⑶若點(diǎn)。為雙曲線上點(diǎn)P右側(cè)的一點(diǎn)，且軸于H,當(dāng)以點(diǎn)。、C、5為頂點(diǎn)的三角形與a/OB相

【題型8】反比例函數(shù)中的四邊形問(wèn)題

【1-1](23-24九年級(jí)下?廣東汕頭?階段練習(xí))如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，矩形。/8C的邊。C、04分

k

別在坐標(biāo)軸上，且。/=3,0c=6,反比例函數(shù)丁=一(x>0)的圖象與/2、8c分別交于點(diǎn)。、E,

x

連結(jié)。￡.

圖1圖2圖3

(1)如圖2,連結(jié)OD、OE,當(dāng)△04。的面積為3時(shí)，①左=_;②SA°DE=_;

9

(2)如圖3,將A。四沿DE翻折，當(dāng)點(diǎn)B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)尸恰好落在邊0C上時(shí)，求上的值.

[1-21(23-24八年級(jí)下?浙江金華?階段練習(xí))如圖1,正方形中，C(—2,0),。(0,3).過(guò)A點(diǎn)作“尸，丁

軸于尸點(diǎn)，過(guò)8點(diǎn)作x軸的垂線交過(guò)A點(diǎn)的反比例函數(shù)的圖象于E點(diǎn)，交x軸于G點(diǎn).

(1)求證：ACDO%DAF；

⑵求反比例函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(3)如圖2,過(guò)點(diǎn)C作直線/〃4E,點(diǎn)P是直線/上的一點(diǎn)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)。，使得以點(diǎn)4C、尸、Q

四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)。的橫坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

->

GCOGXCOx

[1-3](24-25九年級(jí)上?河南南陽(yáng)?開(kāi)學(xué)考試)【教材呈現(xiàn)】

下圖是華師版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教材第75頁(yè)練習(xí)的部分內(nèi)容：

如圖，如果直線4〃4那么A/BC的面積和的面積是相等的.請(qǐng)你證明這個(gè)結(jié)論.

【方法探究】

如圖，在口/BCD中，點(diǎn)￡在邊2C上，若BE=2EC,則S..與黑3之間的關(guān)系為：

【方法應(yīng)用】

4

如圖，已知四邊形0/8C是菱形，軸，垂足為。，函數(shù)＞=—的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,且與力B交于點(diǎn)

E.若。。=2,求△。?！甑拿娣e.

10

【題型9】反比例函數(shù)中的探究性問(wèn)題

【1-1](23-24九年級(jí)上?四川成都?期末)【實(shí)踐探究】

一14

(1)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，正比例函數(shù)V=x(x>。)分別與反比例函數(shù)歹>=一(%>0)

%x

OA

交于點(diǎn)，、點(diǎn)8,求蕓的值.

OB

kk

(2)如圖2,在平面直角坐標(biāo)系中，正比例函數(shù)歹=加工(工>0)分別與反比例函數(shù)》=」■(%>0)、=—(x>0)

XX

r)A

交于點(diǎn)/、點(diǎn)8,求妥的值.

OB

【拓展應(yīng)用】

2

(3)如圖3,在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)》=r+3與反比例函數(shù)y=—(x〉0)交于點(diǎn)4、點(diǎn)5,連結(jié)

x

Q

04、OB,延長(zhǎng)04、08分別與反比例函數(shù)>=((%>0)交于點(diǎn)。、C,連結(jié)CD,求S四邊形相⑺.

mim2rai

[1-2](2023?山西運(yùn)城?模擬預(yù)測(cè))閱讀與思考

閱讀下列材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù).

探究反比例函數(shù)圖象中的等線段

k

我們知道，若反比例函數(shù)>=—的圖象與正比例函數(shù)歹=加、的圖象相交于點(diǎn)A,B,則根據(jù)反比例函數(shù)的

k

圖象與正比例函數(shù)的圖象都關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，不難發(fā)現(xiàn)。4=。3,那么如果反比例函數(shù)>=—的圖象與一次

x

函數(shù)V=+〃的圖象相交于點(diǎn)A,B,一次函數(shù)的圖象與1軸，》軸分別交于點(diǎn)C,D,是否也存在相等

線段？

11

下面分別從反比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)在同一象限和不同象限兩種情況進(jìn)行分析:

情況1:交點(diǎn)在同一象限（以交點(diǎn)在第一象限為例）.

如圖①，過(guò)點(diǎn)8作軸于點(diǎn)￡,作/尸_Ly軸于點(diǎn)尸，BE,/尸交于點(diǎn)G,連接EF.

設(shè)點(diǎn)B^b,^a>O,b>^,

則GE=（,GB=---,GF=b,GA=a-b,

aba

k

.GE~bGF_b,GEGF

GB~a-b'~GA^a-b''^GB~~GA'

ba

又；NEGF=NBGA,:.AGEF-AGBA（依據(jù)），

ZGEF=NGBA,FE//BA.

又?.?4F〃C￡,.??四邊形4FEC是平行四邊形，

AC=EF.

同理可得AD=EF,從而4C=BD；

情況2：交點(diǎn)在不同象限（以交點(diǎn)在一、三象限為例）.

⑴上述證明過(guò)程中的依據(jù)是：；

⑵請(qǐng)參照情況1的分析過(guò)程，寫(xiě)出情況2的分析過(guò)程；

（3）“從一般到特殊”的思想拓展研究數(shù)學(xué)中的一些問(wèn)題，是數(shù)學(xué)中經(jīng)常使用的解題方法，結(jié)合以上信息，猜

k

想：當(dāng)反比例函數(shù)>=—的圖象與一次函數(shù)、=??+〃的圖象只有1個(gè)交點(diǎn)時(shí)，設(shè)交點(diǎn)為尸，一次函數(shù)

>=加、+〃的圖象與X軸，y軸分別交于點(diǎn)c,D,試著找出一條結(jié)論：.

12

【題型10】直通中考

【1-1]（2024?山東青島?中考真題）如圖，點(diǎn)4,4,&…,4,4+1為反比例函數(shù)了=*＞0）圖象上的點(diǎn)，其

橫坐標(biāo)依次為1,2,3,…，%"+1.過(guò)點(diǎn)4,4,4,…,4作X軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)區(qū),生，旦，???，4；過(guò)點(diǎn)4

作44,4d于點(diǎn)片，過(guò)點(diǎn)&作小當(dāng)，4生于點(diǎn)鳥(niǎo)，…，過(guò)點(diǎn)4M作4+四，4區(qū)于點(diǎn)紇.記△同片卻

的面積為岳,2\4&4的面積為$2,…,△44.4M的面積為s“.

sl+s2+s3+-+sn=

（用含〃的代數(shù)式表示）;

⑵當(dāng)左=3時(shí)，岳+邑+/+…+s“=（用含"的代數(shù)式表示）.

[1-