2024-2025學年湖南省永州市祁陽縣高二上學期第一次段考數(shù)學

檢測試題

一、單選題（本大題共8小題）

1,圓0d+/+2》一4了+1=0的圓心坐標為（）

A.(1,2)B.0，一2)c.T-2)D.（T2）

2.已知向量°=（°」廠1）,則向量&的模同為（）

1

A.1B.2C.&D.2

3兀

3.過點（一42）,傾斜角為彳的直線方程為（）

Ax_y2=0Bx~by~h2,=0QX—y=2D%—y+i=0

知向量方(，)且貝(

4.4=2T3,B=(-4,2,X),-4,I]x=）

1011

A.3B.3C.4D.6

5.已知兩條直線4：3x-2y+l=0和/2："+2）+1=0相互垂直，則〃二（）

4_4

A.2B.3C.3D.3

6.經過以3㈤兩點的直線的方向向量為M）,則人的值為（）

A.1B.2C.3D.4

7.圓C：（XT）2+"-2）2=4關于直線x+y=°對稱的圓的方程為（）

A.(x+l)2+(y+2)2=4B.(x-I)2+(y-2)2=4

22

C.(x-2)+(y-l)=4D(x+2>+(y+l)2=4

8.在直三棱柱中，4B1AC,AB=AC=AAt=2,夕為該三棱柱表面上一

動點，若CP=B、P,則尸點的軌跡長度為（）

A.3A/2B.3A/2+\[6

Q6cD6^2+

二、多選題（本大題共3小題）

9.已知直線/：6'一了+1=°,則下列結論正確的是（）

A.直線/的一個方向向量為

B.若直線機二瓜一2y+2=0,貝］"〃加

C.點3'°）到直線/的距離是2

D.過G"’2）與宜線/平行的直線方程是百x-N-4=°

10.已知空間向量以=0,2,4）,8c=（0,-2,1）,則（）

A.RABC=0

B.而在無上的投影向量為（02-1）

C.若向量而=（L°，5）,則點E在平面“8C內

限半書一

D.向量I1是與8c平行的一個單位向量

11.如圖，平行六面體/8co-44G2的所有棱長均為2,AB,AD,44兩兩所成

夾角均為60°,點E,尸分別在棱84，DR卜，且BE=2B1E,DtF=2DF；則

1___?

―-3-AC

B."4在"G方向上的投影向量為31

叵

C.A,E,G,尸四點共面D.直線/G與即所成角的余弦值為15

三、填空題（本大題共3小題）

12.已知向量1=（1，°，1）,*=（1，1，2）,則向量萬與B的夾角為.

13.已知圓G：/+戶2辦+/_1=0,>0）,圓一5=0,若兩圓相交，則

實數(shù)a的取值范圍為.

14.已知圓C：（x-3>+（尸4『=1,點/（-1,0）,僅1,0）,點？為圓上的動點，則

照「十阿『的最大值是.

四、解答題(本大題共5小題)

15.己知直線32x+3y-2=0,￡小+(2吁1)尸1=0,其中機為實數(shù).

(1)當時，求直線/1,72之間的距離；

(2)當加=1時，求過直線4,4的交點，且垂直于直線x-2y+4=°的直線方程.

16.在空間直角坐標系中，已知點(，，),(，，),(，，).

(1)若/C,8C=2,求x的值；

⑵求M3的最小值.

17.在如圖所示的幾何體中，四邊形NBC。為正方形，AFHBE,/尸，平面N8CO,

且4B=BE=2AF=2.

(1)求直線/C與平面CZJE所成角的大??；

(2)求點A到平面CDE的距離

18.已知圓。過點"QB,圓心在直線＞=x+l上，截了軸弦長為2石.

(1)求圓C的方程；

(2)若圓C半徑小于10,點。在該圓上運動，點后(3,2),記M為過￡、。兩點的弦的中

點，求河的軌跡方程；

19.如圖，N2是半圓。的直徑，C是半圓。上除48外的一個動點，DC垂直于半圓

,,tanZ.EAB=—

°所在的平面，DC//EB,DC=EB,AB=4,4.

(1)證明：平面亞比，平面/CD；

(2)當三棱錐C-/OE體積最大時，求二面角D-/E-5的余弦值.

答案

1.【正確答案】D

【詳解】由/+產+2尤-4了+1=0得(尤+1丫+(了-2)=4,故圓心坐標為(-1,2)

故選：D.

2.【正確答案】C

【詳解】因為°=(°，1，T),所以H=J°2+l2+(」)2=^.

故選：C

3.【正確答案】B

【詳解】由題可得直線的斜率為tanl350=-l,

所以直線方程為：夕-2=-(X+4),

化簡可得：》+了+2=0；

故選：B

4.【正確答案】A

【詳解】因為所以75=0,所以2'(-4)-2+3%=0,

10

x——

整理得：3x=10,解得3.

故選：A

5.【正確答案】C

3

【詳解】易知4&-2了+1=0的斜率為萬，

/2："+2y+l=0的斜率為一5,所以一萬二一一；

4

解得”3.

故選：C

6.【正確答案】C

【詳解】由，僅°),8(3,3),有AB=(1,3),

經過4(2,0),8(3,3)兩點的直線的方向向量為(1,%),則有后=3.

故選：C.

7.【正確答案】A

【詳解】圓C：(xT)2+(尸2)2=4的圓心為C。,2),半徑外=2,

設點c關于直線》+了=°的對稱點為

直線x+y=°化為v=-x,所以直線的斜率為k=-i,

設直線cc的斜率為左,則林'=-1,

n

即”1,整理得："6=T①，

p+16+2]

C、C'的中點坐標為122J,

又C、C'的中點坐標滿足直線x+J=0方程，

a+1b+2_

——+------=0

所以22,整理得：。+6=-3②，

[a-b=-1（a=-2

聯(lián)立①②，1。+。=-3,解得標=-1,所以C'（-2,-1）

所以圓C關于直線x+>=°對稱的圓的圓心為o,（一2，T）,半徑為2,

所以圓。關于直線x+>=°對稱的圓的方程為.。+2）一+0+1）一=4

故選：A

8.【正確答案】B

【分析】

將三棱柱補形為正方體，容易找到2c的中垂面，因為0尸=37，所以確定點P在中

垂面內，通過幾何關系求解中垂面與三棱柱相交的軌跡長度即可.

【詳解】

因為AB=AC=AAl=2^所以可將直三棱柱/^一/4G補形為邊長為？的

正方體一，取/瓦以4G，GA，DDL的中點￡F,G,H,K,工按順

8Cn〃?V=。如圖所示,

正方體ABCD-AM。中AQ14C,ACX1,與4c4c=Ax

所以AC'1■面片4J

所以因為G尸〃NG,所以用C，G尸

同理可得B—EF,

因為GRcEF=尸，所以BC，面EFGHKL,其中EEGk為正六邊形.

因為￡,G,H,4為/民4G，CQ”D8的中點，所以乂,N為4cBe的四等分點，

根據(jù)正方體對稱性，知。為MN中點也是3c中點，因為0尸=用尸，所以點P在過點

。垂直于2C的平面內，即點P在面EFGHKL內.

又因為點P在三棱柱表面上，所以P點的軌跡為五邊形MNEFG,

MN=^-Bc\+BB；=V6

J,由正六邊形及正方體對稱性可知

NE+EF+FG+MG=3EF=3應

故點P的軌跡長度為3亞+C,

故選：B

處理此類問題的關鍵是熟練掌握立體幾何中的點線面垂直平行異面的關系，找到與包含

未知點的量和已知量之間的等量關系或不等關系即可.本題把到兩點距離問題轉化為找

中垂面，再通過線面垂直的判定定理即可證明垂面位置，由此確定點P的軌跡為五邊

形，求出長度即可.

9.【正確答案】ACD

【詳解】對于A,因為直線/：6x-〉+i=°的斜率%=后，

所以直線的一個方向向量為G"),因為(4)=41勺,

所以直線/的一個方向向量為S'),A正確；

對于B,直線“：2百x-2y+2=0,可化為瓜一產1=0,

所以/與加重合，B錯誤；

對于c,點《瓦°)到直線/的距離

,故C正確;

對于D,過(2鳳)與直線/平行的直線方程是y一2=可一2灼,

即后7—4=0,故口正確.

故選：ACD.

10.【正確答案】ABCD

【詳解】由已知可得歷(=(124),5C=(O,-2,1)；BAXBC=O-4+4=0,A正確;

由于所以泡在無上的投影向量即為屈=(0,2,T),B正確；

若屜在平面NBC內，則存在實數(shù)x,九使得BE=2B4+〃BC,

而屜=(1,0,5),函=(1,2,4),BC=(0,-2,l)；

/或=(/,2/,4/),rrBC=^,-2mn)

1=2

<0=24-2〃J/l=1

所以15=4彳+〃，解得1〃=1,故點￡在平面/2C內，C正確；

_'o「走,也\=也前「

由8C=(0,-2,1),故I55J5，且'

所以D正確.

故選：ABCD.

11.【正確答案】BCD

【詳解】

EF=AF-AE=A15+-DD,-AB--BB.=-AB+AD-]-AA,

對于A,31313I,

---、2---?2---?21----?2---?----?2---*,----*2---*----*

EF=AB+AD+-AA—2AB?AD+—AB?AA1一一ADAA

913131,

=|2B|2+而2+」瑟『-2|2B||AD|-COS60°+-\AB\\AA\-COS60°--|2o|\AA\-COS60°

訴I2回

=4+4+土4+一=竺EF=____

9339,則?3,故A錯誤;

對于B,因為平行六面體棱長均為2,4B、AD、44兩兩所成夾角均為60°,

所以4cl=AB+AD+AAy

,2、2，2?2、,,,,,

貝°=AB+AD+AAX+2AB-AD+2AB-AA1+2AD-AAX

2

=網2+|2D|+M?+2網版.cos60。+2網畫,cos60°+2M陽-cos60°

則匹卜2代

4+4+4+4+4+4=24,

AA..AC,布—卷?口+通+刀3為

.同=HK24

(2+2+4)花」〒

24-31

對于C,在4/上取點打，使得4H=2也4,連接NE,C\F,EF,臺"，

因為“〃=4生AH//B.E；所以四邊形”印尼為平行四邊形，可得AE〃B\H,

因為HF=叼，HF=B?,所以四邊形HFCB為平行四邊形，可得B,HHC,F,

所以/E//C/,可得A,E,G,尸四點共面，故C正確；

—ZT—X-TVHP——CD-I-AU

對于D,因為招=/3+4。+/4,3

所以3

------?2?21*24?*2**

-AB+AD--AA--AB^AA+-AD^AA

=3i3i3i

8回

8_

.'3-

8A15

3,D正確.

故選：BCD.

71

12.【正確答案】6

【詳解】?.?'=Q0D,B=（I/，2）,

...晨B=1X1+0*1+1X2=3,同==收問=Vl2+12+22=A/6

3V3

72x76~2

71

故答案為.不

13.【正確答案】（0,2g）

22

［詳解］圓G：x2+/-2ax+/_l=o化為標準方程得（x-a）+y=l^

則圓心G（”，0）,半徑11,

圓g:X?+/一切-5=0化為標準方程得x?+（y-2）2=9,

則。2（。，2）,半徑々=3,

因為兩圓相交，

所以h-引（Gel＜八+為，

2

gp2＜yla+4＜4?解得0＜。＜2百（一2百＜Q＜0舍去）,

所以實數(shù)。的取值范圍為

故答案為.2

14.【正確答案】74

【詳解】設點％.向.???點4T⑼，8（1，0）,

.」尸/「+|尸8「=（“+1）2+/+（°-1）2+62=2伍2+/）+2

其中1+從的幾何意義為：點PS/）到原點的距離的平方.

?.?點尸為圓C：（x-3）2+（y-4）2=l上的動點，圓心C（3,4）到原點的距離為5）

...點PQ6）到原點的距離的最大值為5+1=6,

■,-M2+\PBf=2（/+/）+2的最大值為2x36+2=74.

故74.

3岳

15.【正確答案】（1）13

（2）2x+y+6=0

【分析】（1）直接根據(jù)兩直線平行的公式計算出加，再由兩直線間的距離公式求解即

可；

（2）求出兩直線的交點，再利用點斜式求解即可.

【詳解】（1）由4〃，2得2（2加-1）=3加，解得“=2,

此時直線L2x+3尸2=0,￡2x+3y+l=0,4，不重合,

|-2-1|_3V13

則直線4,4之間的距離為J4+913

（2）當加=1時，12：x+y+l=0.

2x+3y—2—0,

聯(lián)立X+v+l=0,解得x=_5,y=4

又直線x-2y+4=0斜率為5,

故過直線t4的交點，且垂直于直線x-2y+4=°的直線方程為歹-4=-2。+5),

即2x+y+6=0

16.【正確答案】(1)2或3

叵

⑵7

【分析】(1)根據(jù)向量的數(shù)量積坐標運算公式計算求參；

(2)先由空間兩點間的距離公式計算，再結合二次函數(shù)值域求解.

【詳解】⑴由題意可得x-3,4-2x),8c=(O,-x,x+l),

因為ZC-3C=(1-x,x-3,4_2x)-(0,-x,x+l)=x(3-x)+(x+1)(4-2x)=2

解得x=2或3

（2）由空間兩點間的距離公式，

件\AB\=^（1-x）2+［（x+2）-（5-x）］2］+［（2-x）-（2x-1）］2=-32x+19

A/35

x=—.同有最小值7

當7時

17.【正確答案】(1)6

⑵C

【詳解】(1)????，平面ABu平面A8CD,ADu平面N8CD,

.AFLAB,AF1AD

??.

...四邊形ABCO為正方形，...ABLAD.

如圖，以A為原點建立空間直角坐標系，則40,0,0),C(2,2,0),0(2,0,0),E(0,2,2),

UUUJ_____?____.

...4C=(2,2,0),而=(0,-2,0),赤=(-2,0,2),

設平面8E的法向量為"=(x/，z),貝|j1一2x+2z=°,

令x=l,貝iJ)=0，z=l,An-(1,0,1)

AC-n\21

sin0=cosAC,n=i——n一---產——產=一

11q272x722

設直線zc與平面0。￡所成角為e,則卜同

0=-71

6,即直線ZC與平面CQE所成角為6.

AC-n\

d=亞

(2)由(1)得，點A到平面COE的距離問4=

18.【正確答案】⑴卜一2)2+5-3)2=9或(尤-12)2+&-13)2=149

2I21

x-|+7-

⑵12

【詳解】(1)因為圓心在直線＞=x+l上，設圓心為0(。，。+1),設圓C的半徑為

圓心到V軸的距離為何，且圓C截V軸弦長為2石，則r=/+5,①

且有'

a=24=12

聯(lián)立①②可得1廠=3或r.=V149

所以，圓C的方程為&-2)~+&-3)一=9或(12)2+&-13)2=149

(2)因為C半徑小于10,則圓C的方程為(x-2)2+(y-3)“=9,

由圓的幾何性質得CW，即CM_L,所以南