高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)目錄TOC\o"1-4"\h\u知識(shí)01集合與常用邏輯用語(yǔ) ②直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系：直線(xiàn)的方向向量為，平面的法向量為，且．若∥，即，則；若，即，則．（3）平面與平面的位置關(guān)系平面的法向量為，平面的法向量為．若∥，即，則；若⊥，即，則⊥．十、空間角與距離公式（1）異面直線(xiàn)所成角公式：設(shè)，分別為異面直線(xiàn)，上的方向向量，為異面直線(xiàn)所成角的大小，則．（2）線(xiàn)面角公式：設(shè)為平面的斜線(xiàn)，為的方向向量，為平面的法向量，為與所成角的大小，則．（3）二面角公式：設(shè)，分別為平面，的法向量，二面角的大小為，則或（需要根據(jù)具體情況判斷相等或互補(bǔ)），其中．（4）異面直線(xiàn)間的距離：兩條異面直線(xiàn)間的距離也不必尋找公垂線(xiàn)段，只需利用向量的正射影性質(zhì)直接計(jì)算．如圖，設(shè)兩條異面直線(xiàn)的公垂線(xiàn)的方向向量為，這時(shí)分別在上任取兩點(diǎn)，則向量在上的正射影長(zhǎng)就是兩條異面直線(xiàn)的距離．則即兩異面直線(xiàn)間的距離，等于兩異面直線(xiàn)上分別任取兩點(diǎn)的向量和公垂線(xiàn)方向向量的數(shù)量積的絕對(duì)值與公垂線(xiàn)的方向向量模的比值．（5）點(diǎn)到平面的距離為平面外一點(diǎn)（如圖），為平面的法向量，過(guò)作平面的斜線(xiàn)及垂線(xiàn)．故知識(shí)05平面解析幾何一、直線(xiàn)的方程1．直線(xiàn)的傾斜角（1）定義：當(dāng)直線(xiàn)與軸相交時(shí)，取軸作為基準(zhǔn)，軸正向與直線(xiàn)向上方向之間所成的角叫做直線(xiàn)的傾斜角．（2）規(guī)定：當(dāng)直線(xiàn)與軸平行或重合時(shí)，它的傾斜角為0．（3）范圍：直線(xiàn)傾斜角的取值范圍是．2．斜率公式（1）定義式：直線(xiàn)的傾斜角為，則斜率．（2）坐標(biāo)式：（在直線(xiàn)上，且，則的斜率．3．直線(xiàn)方程的5種形式名稱(chēng)方程適用條件點(diǎn)斜式 不含垂直于軸的直線(xiàn)斜截式 不含垂直于軸的直線(xiàn)兩點(diǎn)式 不含直線(xiàn)和直線(xiàn)截距式 不含垂直于坐標(biāo)軸和過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)一般式 平面內(nèi)所有直線(xiàn)二、兩直線(xiàn)的位置關(guān)系1．兩條直線(xiàn)平行與垂直的判定（1）兩條直線(xiàn)平行：①對(duì)于兩條不重合的直線(xiàn)，若其斜率分別為，則有．②當(dāng)直線(xiàn)不重合且斜率都不存在時(shí)，．兩條直線(xiàn)平行時(shí)，不要忘記它們的斜率有可能不存在的情況．（2）兩條直線(xiàn)垂直：①如果兩條直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)為，則有．②當(dāng)其中一條直線(xiàn)的斜率不存在，而另一條直線(xiàn)的斜率為0時(shí)，．2．兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)的求法直線(xiàn)，則與的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解．3．三種距離公式（1）兩點(diǎn)之間的距離：．（2）點(diǎn)到直線(xiàn)的距離：．應(yīng)用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式時(shí)，直線(xiàn)方程必須是一般式（3）平行線(xiàn)與間距離：．兩平行線(xiàn)的距離公式中，兩直線(xiàn)方程的一般式中的系數(shù)要對(duì)應(yīng)相等常用結(jié)論1．過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)系方程：，還可以表示為和．2．平行于直線(xiàn)的直線(xiàn)系方程：．3．垂直于直線(xiàn)的直線(xiàn)系方程：．4．過(guò)兩條已知直線(xiàn)交點(diǎn)的直線(xiàn)系方程：（不包括直線(xiàn)）和．5．點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為．6．點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為．7．點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為．8．點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為．9．點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為．三、圓的方程1．圓的定義及方程定義平面內(nèi)與定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合（軌跡）標(biāo)準(zhǔn)方程 圓心：（a，b），半徑：兩條直線(xiàn)垂直時(shí)，不要忘記一條直線(xiàn)的斜率不存在、另一條直線(xiàn)的斜率為零的情況．一般方程圓心：，半徑：2．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：（1）若在圓外，則．（2）若在圓上，則．（3）若在圓內(nèi)，則．常用結(jié)論（1）二元二次方程表示圓的充要條件是（2）以為直徑端點(diǎn)的圓的方程為．四、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系、圓與圓的位置關(guān)系1．直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系（半徑為，圓心到直線(xiàn)的距離為）相離相切相交圖形量化方程觀(guān)點(diǎn) 幾何觀(guān)點(diǎn) 2．圓與圓的位置關(guān)系設(shè)兩圓的圓心距為，兩圓的半徑分別為，則位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含公共點(diǎn)個(gè)數(shù)01210的關(guān)系 公切線(xiàn)條數(shù)43210判斷圓與圓位置關(guān)系的注意點(diǎn)對(duì)于圓與圓的位置關(guān)系，從交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，也就是方程組的解的個(gè)數(shù)來(lái)判斷，有時(shí)得不到確切的結(jié)論．如當(dāng)時(shí)，需要再根據(jù)圖形判斷兩圓是外離，還是內(nèi)含；當(dāng)時(shí)，還需要判斷兩圓是外切，還是內(nèi)切．常用結(jié)論1．圓的切線(xiàn)方程常用結(jié)論（1）過(guò)圓上一點(diǎn)的圓的切線(xiàn)方程為．（2）過(guò)圓上一點(diǎn)的圓的切線(xiàn)方程為．（3）過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線(xiàn)，則兩切點(diǎn)所在直線(xiàn)方程為．2．圓系方程（1）同心圓系方程：，其中是定值，是參數(shù)；（2）過(guò)直線(xiàn)與圓交點(diǎn)的圓系方程：；（3）過(guò)圓和圓交點(diǎn)的圓系方程：（該圓系不含圓，解題時(shí)，注意檢驗(yàn)圓是否滿(mǎn)足題意，以防漏解）．五、橢圓的幾何性質(zhì)1．橢圓的定義平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離的和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．兩定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)．集合，其中，且為常數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是橢圓；（2）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是線(xiàn)段；（3）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)不存在．2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程 圖形性質(zhì)范圍 對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱(chēng)中心：原點(diǎn)頂點(diǎn) 離心率，且的關(guān)系離心率表示橢圓的扁平程度．當(dāng)越接近于1時(shí)，越接近于，從而越小，因此橢圓越扁；當(dāng)越接近于0時(shí)，越接近于0，從而越大，因此橢圓越接近圓；當(dāng)時(shí)，，兩焦點(diǎn)重合，圖形就是圓．常用結(jié)論1．焦半徑：橢圓上的點(diǎn)與左（下）焦點(diǎn)與右（上）焦點(diǎn)之間的線(xiàn)段的長(zhǎng)度叫做橢圓的焦半徑，分別記作．（1）；（2）；（3）焦半徑中以長(zhǎng)軸為端點(diǎn)的焦半徑最大和最?。ń拯c(diǎn)與遠(yuǎn)日點(diǎn)）．2．焦點(diǎn)三角形：橢圓上的點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的叫做焦點(diǎn)三角形，的面積為，則在橢圓中（1）當(dāng)為短軸端點(diǎn)時(shí)，最大．（2），當(dāng)時(shí)，即點(diǎn)為短軸端點(diǎn)時(shí)，取最大值，最大值為．（3）焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)為．3．焦點(diǎn)弦（過(guò)焦點(diǎn)的弦）：焦點(diǎn)弦中以通徑（垂直于長(zhǎng)軸的焦點(diǎn)弦）最短，弦長(zhǎng)．4．為橢圓的弦，，弦中點(diǎn)，則（1）弦長(zhǎng)；（2）直線(xiàn)的斜率．六、直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系1．點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系：點(diǎn)在橢圓上；點(diǎn)在橢圓內(nèi)部；點(diǎn)在橢圓外部．2．直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系：聯(lián)立消去得一個(gè)關(guān)于的一元二次方程．位置關(guān)系解的個(gè)數(shù)的取值相交兩解 相切一解 相離無(wú)解 七、雙曲線(xiàn)1．雙曲線(xiàn)的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于非零0常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線(xiàn)．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線(xiàn)的焦距．集合，其中為常數(shù)且．2．雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程 圖形性質(zhì)范圍或或?qū)ΨQ(chēng)性對(duì)稱(chēng)軸：坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)頂點(diǎn)坐標(biāo)：，頂點(diǎn)坐標(biāo)：，漸近線(xiàn) 離心率的關(guān)系實(shí)虛軸線(xiàn)段叫做雙曲線(xiàn)的實(shí)軸，它的長(zhǎng)；線(xiàn)段叫做雙曲線(xiàn)的虛軸，它的長(zhǎng)；叫做雙曲線(xiàn)的實(shí)半軸長(zhǎng)，叫做雙曲線(xiàn)的虛半軸長(zhǎng)（1）若將雙曲線(xiàn)的定義中的“差的絕對(duì)值等于常數(shù)”中的“絕對(duì)值”去掉，則點(diǎn)的集合是雙曲線(xiàn)的一支，具體是左支還是右支視情況而定．（2）設(shè)雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為，則，這一條件不能忽略．①若，則點(diǎn)的軌跡是分別以為端點(diǎn)的兩條射線(xiàn)；②若，則點(diǎn)的軌跡不存在；③若，則點(diǎn)的軌跡是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)．常用結(jié)論1．雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)到其漸近線(xiàn)的距離為．2．若是雙曲線(xiàn)右支上一點(diǎn)，分別為雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，則．3．同支的焦點(diǎn)弦中最短的為通徑（過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦），其長(zhǎng)為；異支的弦中最短的為實(shí)軸，其長(zhǎng)為．4．若是雙曲線(xiàn)上不同于實(shí)軸兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，分別為雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，則，其中為．5．若是雙曲線(xiàn)右支上不同于實(shí)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，分別為雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，為內(nèi)切圓的圓心，則圓心的橫坐標(biāo)為定值．6．等軸雙曲線(xiàn)（1）定義：中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸，實(shí)半軸長(zhǎng)與虛半軸長(zhǎng)相等的雙曲線(xiàn)叫做等軸雙曲線(xiàn)．（2）性質(zhì)：；③漸近線(xiàn)互相垂直；④等軸雙曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)到中心的距離是它到兩焦點(diǎn)距離的等比中項(xiàng)．7．共軛雙曲線(xiàn)（1）定義：如果一條雙曲線(xiàn)的實(shí)軸和虛軸分別是另一條雙曲線(xiàn)的虛軸和實(shí)軸，那么這兩條雙曲線(xiàn)互為共軛雙曲線(xiàn)．（2）性質(zhì)：①它們有共同的漸近線(xiàn)；②它們的四個(gè)焦點(diǎn)共圓；③它們的離心率的倒數(shù)的平方和等于1．八、拋物線(xiàn)1．拋物線(xiàn)的定義滿(mǎn)足以下三個(gè)條件的點(diǎn)的軌跡是拋物線(xiàn)：（1）在平面內(nèi)；（2）動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線(xiàn)的距離相等；（3）定點(diǎn)不在定直線(xiàn)上．（C）其中點(diǎn)叫做拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，直線(xiàn)叫做拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)．2．拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程 的幾何意義：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離圖形頂點(diǎn) 對(duì)稱(chēng)軸軸軸焦點(diǎn) 離心率 準(zhǔn)線(xiàn)方程 范圍 開(kāi)口方向向右向左向上向下焦半徑（其中 （1）若定點(diǎn)在定直線(xiàn)上，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為過(guò)點(diǎn)且垂直于的一條直線(xiàn)．（2）四種不同拋物線(xiàn)方程的異同點(diǎn)共同點(diǎn)（1）原點(diǎn)都在拋物線(xiàn)上；（2）焦點(diǎn)都在坐標(biāo)軸上；（3）準(zhǔn)線(xiàn)與焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸垂直，垂足與焦點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，它們與原點(diǎn)的距離都等于一次項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值的，即不同點(diǎn)（1）焦點(diǎn)在軸上時(shí)，方程的右端為，左端為；焦點(diǎn)在軸上時(shí)，方程的右端為，左端為；（2）開(kāi)口方向與軸（或軸）的正半軸相同，即焦點(diǎn)在軸（或軸）的正半軸上，方程的右端取正號(hào)；開(kāi)口方向與軸（或軸）的負(fù)半軸相同，即焦點(diǎn)在軸（或軸）的負(fù)半軸上，方程的右端取負(fù)號(hào)．常用結(jié)論設(shè)是過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的弦，若，則（1）；（2），，弦長(zhǎng)（為弦的傾斜角）；（3）；（4）以弦為直徑的圓與準(zhǔn)線(xiàn)相切；（5）以或?yàn)橹睆降膱A與軸相切；（6）過(guò)焦點(diǎn)弦的端點(diǎn)的切線(xiàn)互相垂直且交點(diǎn)在準(zhǔn)線(xiàn)上．九、曲線(xiàn)與方程1．曲線(xiàn)與方程一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線(xiàn)上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程的實(shí)數(shù)解建立了如下關(guān)系：（1）曲線(xiàn)上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解．（2）以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線(xiàn)上的點(diǎn)．那么這個(gè)方程叫做曲線(xiàn)的方程，這條曲線(xiàn)叫做方程的曲線(xiàn)．2．求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的一般步驟（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y）表示曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）寫(xiě)出適合條件的點(diǎn)的集合．（3）用坐標(biāo)表示條件，列出方程；（4）化方程為最簡(jiǎn)形式；（5）說(shuō)明化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線(xiàn)上．①如果曲線(xiàn)的方程是，那么點(diǎn)在曲線(xiàn)上的充要條件是．“曲線(xiàn)是方程的曲線(xiàn)”是“曲線(xiàn)上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解”的充分不必要條件．②坐標(biāo)系建立的不同，同一曲線(xiàn)在不同坐標(biāo)系中的方程也不同，但它們始終表示同一曲線(xiàn)．有時(shí)此過(guò)程可根據(jù)實(shí)際情況省略，直接列出曲線(xiàn)方程．知識(shí)06三角函數(shù)及解三角形一、任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)1．角的概念的推廣（1）定義：角可以看成平面內(nèi)的一條射線(xiàn)繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形．按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零角．按終邊位置不同分為象限角和軸線(xiàn)角．（3）終邊相同的角：所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合．2．弧度制的定義和公式（1）定義：把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad．（2）公式角的弧度數(shù)公式（弧長(zhǎng)用表示）角度與弧度的換算 弧長(zhǎng)公式弧長(zhǎng)扇形面積公式 3．任意角的三角函數(shù)（1）定義：設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)，那么．（2）幾何表示：三角函數(shù)線(xiàn)可以看作是三角函數(shù)的幾何表示，正弦線(xiàn)的起點(diǎn)都在軸上，余弦線(xiàn)的起點(diǎn)都是原點(diǎn)，正切線(xiàn)的起點(diǎn)都是（1，0）．如圖中有向線(xiàn)段分別叫做角的正弦線(xiàn)，余弦線(xiàn)和正切線(xiàn)．二、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（1）平方關(guān)系：．（2）商數(shù)關(guān)系：．2．三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式公式-二三四五六角 正弦 sincoscos余弦 cos sin 正切 tanα 口訣函數(shù)名不變，符號(hào)看象限函數(shù)名改變，符號(hào)看象限3．常用結(jié)論（1）同角三角函數(shù)關(guān)系式的常用變形．（2）誘導(dǎo)公式的記憶口訣“奇變偶不變，符號(hào)看象限”，其中的奇、偶是指的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變指函數(shù)名稱(chēng)的變化．（3）在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時(shí)，若開(kāi)方，要特別注意判斷符號(hào)．三、三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)1．用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖（1）正．弦函數(shù)的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：．（2）余弦函數(shù)的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：．2．正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)（下表中）函數(shù) 圖象定義域 值域[-1，1][-1，1] 周期性 奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)遞增區(qū)間 遞減區(qū)間 無(wú)對(duì)稱(chēng)中心對(duì)稱(chēng)軸方程無(wú)四、正弦定理余弦定理1．正弦定理：，其中是三角形外接圓的半徑．由正弦定理可以變形：2．余弦定理：．余弦定理可以變形：，3．，并可由此計(jì)算．4．在中，已知和時(shí)，解的情況如下：為銳角為鈍角或直角圖形關(guān)系式 解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解5．實(shí)際問(wèn)題中的常用角（1）仰角和俯角與目標(biāo)線(xiàn)在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線(xiàn)和目標(biāo)視線(xiàn)的夾角，目標(biāo)視線(xiàn)在水平視線(xiàn)上方叫仰角，目標(biāo)視線(xiàn)在水平視線(xiàn)下方叫俯角（如圖①）．（2）方向角：相對(duì)于某正方向的水平角，如南偏東，北偏西等．（3）方位角指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線(xiàn)的水平角，如點(diǎn)的方位角為（如圖②）．（4）坡度：坡面與水平面所成的二面角的正切值．知識(shí)07概率與統(tǒng)計(jì)一、隨機(jī)抽樣1．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣（1）定義：設(shè)一個(gè)總體含有個(gè)個(gè)體，從中逐個(gè)不放回地抽取個(gè)個(gè)體作為樣本，如果每次抽取時(shí)總體內(nèi)的各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)都相等，就把這種抽樣方法叫做簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣．（2）最常用的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法：抽簽法和隨機(jī)數(shù)法．2．分層抽樣（1）定義：在抽樣時(shí)，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨(dú)立地抽取一定數(shù)量的個(gè)體，將各層取出的個(gè)體合在一起作為樣本，這種抽樣方法叫做分層抽樣．（2）應(yīng)用范圍：當(dāng)總體是由差異明顯的幾個(gè)部分組成時(shí)，往往選用分層抽樣．二、用樣本估計(jì)總體1．頻率分布直方圖（1）頻率分布表的畫(huà)法：第一步：求極差，決定組數(shù)和組距，組距第二步：分組，通常對(duì)組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開(kāi)區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間；第三步：登記頻數(shù)，計(jì)算頻率，列出頻率分布表．（2）頻率分布直方圖：反映樣本頻率分布的直方圖（如圖）橫軸表示樣本數(shù)據(jù)，縱軸表示，每個(gè)小矩形的面積表示樣本落在該組內(nèi)的頻率．2．樣本的數(shù)字特征（1）眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)，叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．（2）中位數(shù)：把個(gè)數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)（或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．（3）平均數(shù)：把稱(chēng)為這個(gè)數(shù)的平均數(shù)．（4）標(biāo)準(zhǔn)差與方差：設(shè)一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差和方差分別是 常用結(jié)論1．頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)的關(guān)系（1）最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù)．（2）中位數(shù)左邊和右邊的小長(zhǎng)方形的面積和是相等的．（3）平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘以小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和．2．平均數(shù)、方差的公式推廣（1）若數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，那么的平均數(shù)是．（2）數(shù)據(jù)的方差為．①數(shù)據(jù)的方差也為；②數(shù)據(jù)的方差為．三、變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計(jì)案例1．變量間的相關(guān)關(guān)系（1）常見(jiàn)的兩變量之間的關(guān)系有兩類(lèi)：一類(lèi)是函數(shù)關(guān)系，另一類(lèi)是相關(guān)關(guān)系；與函數(shù)關(guān)系不同，相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系．（2）從散點(diǎn)圖上看，點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系稱(chēng)為正相關(guān)，點(diǎn)散布在左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系為負(fù)相關(guān)．2．兩個(gè)變量的線(xiàn)性相關(guān)（1）從散點(diǎn)圖上看，如果這些點(diǎn)從整體上看大致分布在通過(guò)散點(diǎn)圖中心的一條直線(xiàn)附近，稱(chēng)兩個(gè)變量之間具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，這條直線(xiàn)叫做回歸直線(xiàn)．（2）回歸方程為，其中．（3）通過(guò)求的最小值而得到回歸直線(xiàn)的方法，即使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回歸直線(xiàn)的距離的平方和最小，這一方法叫做最小二乘法．（4）相關(guān)系數(shù)：當(dāng)時(shí)，表明兩個(gè)變量正相關(guān)；當(dāng)時(shí)，表明兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)．的絕對(duì)值越接近于1，表明兩個(gè)變量的線(xiàn)性相關(guān)性越強(qiáng)．的絕對(duì)值越接近于0時(shí)，表明兩個(gè)變量之間幾乎不存在線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系．通常大于0．75時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線(xiàn)性相關(guān)性．3．獨(dú)立性檢驗(yàn)（1）分類(lèi)變量和列聯(lián)表分類(lèi)變量：變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的不同類(lèi)別，像這樣的變量稱(chēng)為分類(lèi)變量．列聯(lián)表：①定義：列出的兩個(gè)分類(lèi)變量的頻數(shù)表稱(chēng)為列聯(lián)表．②2×2列聯(lián)表．一般地，假設(shè)有兩個(gè)分類(lèi)變量X和Y，它們的取值分別為{，}和{，}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表（稱(chēng)為2×2列聯(lián)表）為：總計(jì)總計(jì)從列表中，依據(jù)與的值可直觀(guān)得出結(jié)論：兩個(gè)變量是否有關(guān)系．（2）等高條形圖①等高條形圖和表格相比，更能直觀(guān)地反映出兩個(gè)分類(lèi)變量間是否相互影響，常用等高條形圖表示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征．②觀(guān)察等高條形圖發(fā)現(xiàn)與相差很大，就判斷兩個(gè)分類(lèi)變量之間有關(guān)系．（3）獨(dú)立性檢驗(yàn)計(jì)算隨機(jī)變量利用的取值推斷分類(lèi)變量X和Y是否獨(dú)立的方法稱(chēng)為χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)．0．100．050．0100．0050．0012．7063．8416．6357．87910．828四、兩個(gè)計(jì)數(shù)原理1.兩個(gè)計(jì)數(shù)原理完成一件事的策略完成這件事共有的方法分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理有兩類(lèi)不同方案1，在第1類(lèi)方案中有種不同的方法，在第2類(lèi)方案中有種不同的方法種不同的方法分步乘法計(jì)數(shù)原理需要兩個(gè)步驟2，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法種不同的方法（1）每類(lèi)方法都能獨(dú)立完成這件事，它是獨(dú)立的、一次的，且每次得到的是最后結(jié)果，只需一種方法就可完成這件事．（2）各類(lèi)方法之間是互斥的、并列的、獨(dú)立的．①每一步得到的只是中間結(jié)果，任何一步都不能獨(dú)立完成這件事，只有各個(gè)步驟都完成了才能完成這件事．②各步之間是相互依存的，并且既不能重復(fù)也不能遺漏．常用結(jié)論1．完成一件事可以有類(lèi)不同方案，各類(lèi)方案相互獨(dú)立，在第1類(lèi)方案中有種不同的方法，在第2類(lèi)方案中有種不同的方法……在第類(lèi)方案中有種不同的方法．那么，完成這件事共有種不同的方法．2．完成一件事需要經(jīng)過(guò)個(gè)步驟，缺一不可，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法．．．．．．做第步有種不同的方法．那么，完成這件事共有種不同的方法．五、排列、組合問(wèn)題1．排列、組合的定義排列的定義從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素按照一定的順序排成一列，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)排列組合的定義合成一組，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)組合2．排列數(shù)、組合數(shù)的定義、公式、性質(zhì)排列數(shù)組合數(shù)定義從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)公式 性質(zhì) 六、二項(xiàng)式定理1．二項(xiàng)式定理（1）二項(xiàng)式定理：；（2）通項(xiàng)公式：，它表示第項(xiàng)；（3）二項(xiàng)式系數(shù)：二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)為，，，，．2．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)七、隨機(jī)事件的頻率與概率1．頻數(shù)、頻率和概率（1）頻數(shù)、頻率：在相同的條件下重復(fù)次試驗(yàn)，觀(guān)察某一事件是否出現(xiàn)，稱(chēng)次試驗(yàn)中事件出現(xiàn)的次數(shù)為事件出現(xiàn)的頻數(shù)，稱(chēng)事件出現(xiàn)的比例為事件出現(xiàn)的頻率．（2）概率：對(duì)于給定的隨機(jī)事件，如果隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件發(fā)生的頻率穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)上，把這個(gè)常數(shù)記作，稱(chēng)為事件的概率．2．事件的關(guān)系與運(yùn)算名稱(chēng)條件結(jié)論符號(hào)表示包含關(guān)系發(fā)生發(fā)生事件包含事件（事件包含于事件） 相等關(guān)系若且事件與事件相等 并（和）事件發(fā)生或發(fā)生事件與事件的并事件（或和事件） 交（積）事件發(fā)生且發(fā)生事件與事件的交事件（或積事件） 互斥事件為不可能事件事件與事件互斥 對(duì)立事件為不可能事件．為必然事件事件與事件互為對(duì)立事件，3．概率的幾個(gè)基本性質(zhì)（1）概率的取值范圍：．（2）必然事件的概率：．（3）不可能事件的概率：．（4）概率的加法公式：如果事件與事件互斥，則．（5）對(duì)立事件的概率：若事件與事件互為對(duì)立事件，則為必然事件，．常用結(jié)論探究概率加法公式的推廣（1）當(dāng)一個(gè)事件包含多個(gè)結(jié)果時(shí)，要用到概率加法公式的推廣，即．（2）．注意涉及的各事件要彼此互斥．八、古典概型1．古典概型（1）古典概型的特征：①有限性：在一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限的，即只有有限個(gè)不同的基本事件；，②等可能性：每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性是相等的．一個(gè)試驗(yàn)是否為古典概型，在于這個(gè)試驗(yàn)是否具有古典概型的兩個(gè)特征——有限性和等可能性．（2）古典概型的概率計(jì)算的基本步驟：①判斷本次試驗(yàn)的結(jié)果是否是等可能的，設(shè)出所求的事件為；②分別計(jì)算基本事件的總數(shù)和所求的事件所包含的基本事件個(gè)數(shù)；③利用古典概型的概率公式，求出事件的概率．（3）頻率的計(jì)算公式與古典概型的概率計(jì)算公式的異同名稱(chēng)不同點(diǎn)相同點(diǎn)頻率計(jì)算公式頻率計(jì)算中的均隨隨機(jī)試驗(yàn)的變化而變化，但隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多，它們的比值逐漸趨近于概率值都計(jì)算了一個(gè)比值古典概型的概率計(jì)算公式二是一個(gè)定值，對(duì)同一個(gè)隨機(jī)事件而言，都不會(huì)變化九、離散型隨機(jī)變量及其分布列1．隨機(jī)變量的有關(guān)概念（1）隨機(jī)變量：隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量，常用字母表示（2）離散型隨機(jī)變量：所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量．2．離散型隨機(jī)變量分布列的概念及性質(zhì)（1）概念：若離散型隨機(jī)變量可能取的不同值為取每一個(gè)值的概率，以表格的形式表示如下： ．．． ．．． ．．． ．．． 此表稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量的概率分布列，簡(jiǎn)稱(chēng)為的分布列．有時(shí)也用等式，表示的分布列．（2）分布列的性質(zhì)：①②．3．常見(jiàn)的離散型隨機(jī)變量的分布列（1）兩點(diǎn)分布列 01 若隨機(jī)變量的分布列具有上表的形式，則稱(chēng)服從兩點(diǎn)分布，并稱(chēng)為成功概率在含有件次品的件產(chǎn)品中，任取件，其中恰有件次品，則，，其中，且． 01．．．m ．．． 若隨機(jī)變量的分布列具有上表的形式，則稱(chēng)服從超幾何分布，十、二項(xiàng)分布及正態(tài)分布1．條件概率及其性質(zhì)（1）條件概率的定義：對(duì)于任何兩個(gè)事件和，在已知事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號(hào)來(lái)表示，其公式為．（2）條件概率的性質(zhì)①非負(fù)性：；②可加性：如果和是兩個(gè)互斥事件，則．2．全概率公式（1）；（2）定理若樣本空間中的事件，，…，滿(mǎn)足：①任意兩個(gè)事件均互斥，即，，；②；③，．則對(duì)中的任意事件，都有，且．注意：（1）全概率公式是用來(lái)計(jì)算一個(gè)復(fù)雜事件的概率，它需要將復(fù)雜事件分解成若干簡(jiǎn)單事件的概率計(jì)算，即運(yùn)用了“化整為零”的思想處理問(wèn)題．（2）什么樣的問(wèn)題適用于這個(gè)公式？所研究的事件試驗(yàn)前提或前一步驟試驗(yàn)有多種可能，在這多種可能中均有所研究的事件發(fā)生，這時(shí)要求所研究事件的概率就可用全概率公式．3．貝葉斯公式（1）一般地，當(dāng)且時(shí)，有（2）定理若樣本空間中的事件滿(mǎn)足：①任意兩個(gè)事件均互斥，即，，；②；③，．則對(duì)中的任意概率非零的事件，都有，且注意：（1）在理論研究和實(shí)際中還會(huì)遇到一類(lèi)問(wèn)題，這就是需要根據(jù)試驗(yàn)發(fā)生的結(jié)果尋找原因，看看導(dǎo)致這一試驗(yàn)結(jié)果的各種可能的原因中哪個(gè)起主要作用，解決這類(lèi)問(wèn)題的方法就是使用貝葉斯公式．貝葉斯公式的意義是導(dǎo)致事件發(fā)生的各種原因可能性的大小，稱(chēng)之為后驗(yàn)概率．（2）貝葉斯公式充分體現(xiàn)了，，，，，之間的轉(zhuǎn)關(guān)系，即，，之間的內(nèi)在聯(lián)系．4．相互獨(dú)立事件（1）對(duì)于事件，若事件的發(fā)生與事件的發(fā)生互不影響，則稱(chēng)事件是相互獨(dú)立事件（2）若，則與相互獨(dú)立．（3）若與相互獨(dú)立，則與與與也都相互獨(dú)立．（4）若與相互獨(dú)立，則，（5）一般地，如果事件相互獨(dú)立，那么這個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積，即．5．獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布（1）獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)：一般地，在相同條件下重復(fù)做的次試驗(yàn)稱(chēng)為次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)．獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的條件：①每次試驗(yàn)在相同條件下可重復(fù)進(jìn)行；②各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的；③每次試驗(yàn)都只有兩種結(jié)果，即事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生．（2）二項(xiàng)分布：一般地，在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，設(shè)事件發(fā)生的次數(shù)為，在每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率為，則事件恰好發(fā)生次的概率為，則稱(chēng)隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，記作，并稱(chēng)為成功概率．判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布，要看兩點(diǎn)：，（1）是否為次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)；，（2）隨機(jī)變量是否為某事件在這次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)．6．正態(tài)分布（1）正態(tài)曲線(xiàn)的特點(diǎn)①曲線(xiàn)位于軸上方，與軸不相交；②曲線(xiàn)是單峰的，它關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)；③曲線(xiàn)在處達(dá)到峰值；④曲線(xiàn)與軸之間的面積為1；⑤當(dāng)一定時(shí)，曲線(xiàn)的位置由確定，曲線(xiàn)隨著的變化而沿軸平移；⑥當(dāng)一定時(shí)，曲線(xiàn)的形狀由確定，越小，曲線(xiàn)越“瘦高”，表示總體的分布越集中；越大，曲線(xiàn)越“矮胖”，表示總體的分布越分散．（2）正態(tài)分布的三個(gè)常用數(shù)據(jù)①；②；③．十一、離散型隨機(jī)變量的均值與方差1．均值一般地，若離散型隨機(jī)變量的分布列為：．．．．．．．．．．．． 則稱(chēng)為隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望．它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．（1）期望是算術(shù)平均值概念的推廣，是概率意義下的平均．，（2）是一個(gè)實(shí)數(shù)，由的分布列唯一確定，即作為隨機(jī)變量，是可變的，可取不同值，而是不變的，它描述取值的平均狀態(tài)．（3）直接給出了的求法，即隨機(jī)變量取值與相應(yīng)概率分別相乘后相加．2．方差設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布列為： ．．．．．． ．．．．．．則描述了相對(duì)于均值的偏離程度．而pi為這些偏離程度的加權(quán)平均，刻畫(huà)了隨機(jī)變量與其均值的平均偏離程度．稱(chēng)為隨機(jī)變量的方差，并稱(chēng)其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差．（1）隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度．越大，表明平均偏離程度越大，的取值越分散．反之，越小，的取值越集中在附近．，（2）方差也是一個(gè)常數(shù)，它不具有隨機(jī)性，方差的值一定是非負(fù)．3．兩個(gè)特殊分布的期望與方差分布期望方差兩點(diǎn)分布 二項(xiàng)分布 常用結(jié)論若，其中是常數(shù)，是隨機(jī)變量，則（1），其中為常數(shù)；（2）；（3）；（4）；（5）若相互獨(dú)立，則．知識(shí)08數(shù)列一、數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示1．?dāng)?shù)列的概念（1）數(shù)列的定義：按照一定順序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)．（2）數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系：從函數(shù)觀(guān)點(diǎn)看，數(shù)列可以看成以正整數(shù)集（或它的有限子集）為定義域的函數(shù)，當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時(shí)所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值．（3）數(shù)列的表示法：列表法、圖象法和通項(xiàng)公式法．?dāng)?shù)列的圖象是一系列孤立的點(diǎn)，而不是連續(xù)的曲線(xiàn)．2．?dāng)?shù)列的分類(lèi)分類(lèi)原則類(lèi)型滿(mǎn)足條件按項(xiàng)數(shù)分類(lèi)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限無(wú)窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無(wú)限按項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系分類(lèi)遞增數(shù)列 其中遞減數(shù)列 常數(shù)列 3．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式（1）通項(xiàng)公式：如果數(shù)列的第項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．?dāng)?shù)列通項(xiàng)公式的注意點(diǎn)①并不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式；②同一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式在形式上未必唯一；③對(duì)于一個(gè)數(shù)列，如果只知道它的前幾項(xiàng)，而沒(méi)有指出它的變化規(guī)律，是不能確定這個(gè)數(shù)列的．（2）遞推公式：如果已知數(shù)列的第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且從第二項(xiàng)（或某一項(xiàng)）開(kāi)始的任一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式．通項(xiàng)公式和遞推公式的異同點(diǎn)不同點(diǎn)相同點(diǎn)通項(xiàng)公式可根據(jù)某項(xiàng)的序號(hào)的值，直接代入求出都可確定一個(gè)數(shù)列，也都可求出數(shù)列的任意一項(xiàng)遞推公式可根據(jù)第一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)）的值，通過(guò)一次（或多次）賦值，逐項(xiàng)求出數(shù)列的項(xiàng)，直至求出所需的，也可通過(guò)變形轉(zhuǎn)化，直接求出二、等差數(shù)列及前項(xiàng)和1、等差數(shù)列的定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母表示，定義表達(dá)式為（常數(shù)）．2、等差中項(xiàng)若三個(gè)數(shù)，，成等差數(shù)列，則叫做與的等差中項(xiàng)，且有．3、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式如果等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，那么它的通項(xiàng)公式是．4、等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式設(shè)等差數(shù)列的公差為，其前項(xiàng)和．5、等差數(shù)列的常用性質(zhì)已知為等差數(shù)列，為公差，為該數(shù)列的前項(xiàng)和．（1）通項(xiàng)公式的推廣：．（2）在等差數(shù)列中，當(dāng)時(shí)，．特別地，若，則．（3），…仍是等差數(shù)列，公差為．（4），…也成等差數(shù)列，公差為．（5）若，是等差數(shù)列，則也是等差數(shù)列．（6）若是等差數(shù)列，則也成等差數(shù)列，其首項(xiàng)與首項(xiàng)相同，公差是公差的．（7）若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，則；；．（8）若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，則；；．（9）在等差數(shù)列中，若，則滿(mǎn)足的項(xiàng)數(shù)使得取得最大值；若，則滿(mǎn)足的項(xiàng)數(shù)使得取得最小值．（10）．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列?（為常數(shù)）．（11）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值公差為遞增等差數(shù)列，有最小值；公差為遞減等差數(shù)列，有最大值；公差為常數(shù)列．特別地若，則有最大值（所有正項(xiàng)或非負(fù)項(xiàng)之和）；若，則有最小值（所有負(fù)項(xiàng)或非正項(xiàng)之和）．（12）若已知等差數(shù)列，公差為，前項(xiàng)和為，則：①等間距抽取為等差數(shù)列，公差為．②等長(zhǎng)度截取為等差數(shù)列，公差為．③算術(shù)平均值為等差數(shù)列，公差為．三、等比數(shù)列及前項(xiàng)和1、定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)（不為零），那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列．這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母表示，定義的表達(dá)式為．2、等比中項(xiàng)：如果，，成等比數(shù)列，那么叫做與的等比中項(xiàng)．即是與的等比中項(xiàng)?，，成等比數(shù)列?．3、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，則它的通項(xiàng)公式．推廣形式：4、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為注①等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式有兩種形式，在求等比數(shù)列的前項(xiàng)和時(shí)，首先要判斷公比是否為1，再由的情況選擇相應(yīng)的求和公式，當(dāng)不能判斷公比是否為1時(shí)，要分與兩種情況討論求解．②已知（項(xiàng)數(shù)），則利用求解；已知，則利用求解．③，為關(guān)于的指數(shù)型函數(shù)，且系數(shù)與常數(shù)互為相反數(shù)．5、等比數(shù)列的性質(zhì)（1）等比中項(xiàng)的推廣．若時(shí)，則，特別地，當(dāng)時(shí)，．（2）①設(shè)為等比數(shù)列，則（為非零常數(shù)），，仍為等比數(shù)列．②設(shè)與為等比數(shù)列，則也為等比數(shù)列．（3）等比數(shù)列的單調(diào)性（等比數(shù)列的單調(diào)性由首項(xiàng)與公比決定）．當(dāng)或時(shí)，為遞增數(shù)列；當(dāng)或時(shí)，為遞減數(shù)列．（4）其他衍生等比數(shù)列．若已知等比數(shù)列，公比為，前項(xiàng)和為，則：①等間距抽取為等比數(shù)列，公比為．②等長(zhǎng)度截取為等比數(shù)列，公比為（當(dāng)時(shí)，不為偶數(shù)）．四、數(shù)列求和（1）公式法①等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式．推導(dǎo)方法：倒序相加法；②等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式推導(dǎo)方法：乘公比，錯(cuò)位相減法．（2）分組轉(zhuǎn)化法把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)或幾項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列，再求解．（3）裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差求和，正負(fù)相消剩下首尾若干項(xiàng)．（4）倒序相加法把數(shù)列分別正著寫(xiě)和倒著寫(xiě)再相加，即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過(guò)程的推廣．（5）錯(cuò)位相減法主要用于一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘所得的數(shù)列的求和，即等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過(guò)程的推廣．（6）并項(xiàng)求和法一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱(chēng)之為并項(xiàng)求和．形如類(lèi)型，可采用兩項(xiàng)合并求解．

知識(shí)09復(fù)數(shù)一、復(fù)數(shù)的概念（1）叫虛數(shù)單位，滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，．（2）形如的數(shù)叫復(fù)數(shù)，記作．=1\*GB3①?gòu)?fù)數(shù)與復(fù)平面上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，叫z的實(shí)部，b叫z的虛部；Z點(diǎn)組成實(shí)軸；叫虛數(shù)；且，z叫純虛數(shù)，純虛數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)組成虛軸（不包括原點(diǎn)）．兩個(gè)實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)的復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)．=2\*GB3②兩個(gè)復(fù)數(shù)相等（兩復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)同一點(diǎn)）=3\*GB3③復(fù)數(shù)的模：復(fù)數(shù)的模，也就是向量的模，即有向線(xiàn)段的長(zhǎng)度，其計(jì)算公式為，顯然，．二、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算1、復(fù)數(shù)運(yùn)算（1）（2）其中，叫z的模；是的共軛復(fù)數(shù)．（3）．實(shí)數(shù)的全部運(yùn)算律（加法和乘法的交換律、結(jié)合律、分配律及整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算法則）都適用于復(fù)數(shù)．注意：復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義以復(fù)數(shù)分別對(duì)應(yīng)的向量為鄰邊作平行四邊形，對(duì)角線(xiàn)表示的向量就是復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的向量．對(duì)應(yīng)的向量是．2、復(fù)數(shù)的幾何意義（1）復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)平面內(nèi)的點(diǎn)；（2）復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)平面向量；（3）復(fù)平面內(nèi)實(shí)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)，除原點(diǎn)外虛軸上的點(diǎn)表示虛數(shù)，各象限內(nèi)的點(diǎn)都表示復(fù)數(shù)．（4）復(fù)數(shù)的模表示復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．3、復(fù)數(shù)的三角形式（1）復(fù)數(shù)的三角表示式一般地，任何一個(gè)復(fù)數(shù)都可以表示成形式，其中是復(fù)數(shù)的模；是以軸的非負(fù)半軸為始邊，向量所在射線(xiàn)（射線(xiàn)）為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)的輻角．叫做復(fù)數(shù)的三角表示式，簡(jiǎn)稱(chēng)三角形式．（2）輻角的主值任何一個(gè)不為零的復(fù)數(shù)的輻角有無(wú)限多個(gè)值，且這些值相差的整數(shù)倍．規(guī)定在范圍內(nèi)的輻角的值為輻角的主值．通常記作，即．復(fù)數(shù)的代數(shù)形式可以轉(zhuǎn)化為三角形式，三角形式也可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式．（3）三角形式下的兩個(gè)復(fù)數(shù)相等兩個(gè)非零復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的模與輻角的主值分別相等．（4）復(fù)數(shù)三角形式的乘法運(yùn)算①兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，積的模等于各復(fù)數(shù)的模的積，積的輻角等于各復(fù)數(shù)的輻角的和，即．②復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的三角表示的幾何意義復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量為，把向量繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角（如果，就要把繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角），再把它的模變?yōu)樵瓉?lái)的倍，得到向量，表示的復(fù)數(shù)就是積．（5）復(fù)數(shù)三角形式的除法運(yùn)算兩個(gè)復(fù)數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角所得的差，即．知識(shí)10平面向量一、向量的有關(guān)概念（1）定義：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度（或模）．（2）向量的模：向量的大小，也就是向量的長(zhǎng)度，記作．（3）特殊向量：①零向量：長(zhǎng)度為0的向量，其方向是任意的．②單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量．③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共線(xiàn)向量．規(guī)定：與任一向量平行．④相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量．⑤相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量．二、向量的線(xiàn)性運(yùn)算（1）向量的線(xiàn)性運(yùn)算運(yùn)算定義法則（或幾何意義）運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法則平行四邊形法則①交換律②結(jié)合律減法求與的相反向量的和的運(yùn)算叫做與的差三角形法則數(shù)乘求實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算（1）（2）當(dāng)時(shí)，與的方向相同；當(dāng)時(shí)，與的方向相同；當(dāng)時(shí)，【注意】（1）向量表達(dá)式中的零向量寫(xiě)成，而不能寫(xiě)成0．（2）兩個(gè)向量共線(xiàn)要區(qū)別與兩條直線(xiàn)共線(xiàn)，兩個(gè)向量共線(xiàn)滿(mǎn)足的條件是：兩個(gè)向量所在直線(xiàn)平行或重合，而在直線(xiàn)中，兩條直線(xiàn)重合與平行是兩種不同的關(guān)系．（3）要注意三角形法則和平行四邊形法則適用的條件，運(yùn)用平行四邊形法則時(shí)兩個(gè)向量的起點(diǎn)必須重合，和向量與差向量分別是平行四邊形的兩條對(duì)角線(xiàn)所對(duì)應(yīng)的向量；運(yùn)用三角形法則時(shí)兩個(gè)向量必須首尾相接，否則就要把向量進(jìn)行平移，使之符合條件．（4）向量加法和減法幾何運(yùn)算應(yīng)該更