2024-2025學(xué)年天津市南開區(qū)高二上學(xué)期階段性數(shù)學(xué)檢測試題

一、單選題（本大題共10小題）

1.下列說法錯誤的是（）.

A.有的直線斜率不存在

B.截距可以為負值

C.若直線1的傾斜角為且"390。，則它的斜率后=tana

3兀

D.若直線1的斜率為1,則它的傾斜角為彳

2.過點/《-亞,-1）,，（一的直線的傾斜角是（）

兀兀2兀57r

A.6B.3C,3D.6

3.己知點8是點/0，7，-4）在xOz平面上的射影，則1°同等于（）.

A,（9,0,16）B.5C,13D.25

4.將直線1沿x軸正方向平移2個單位，再沿y軸負方向平移3個單位，又回到了原

來的位置，則/的斜率是（）

_3J_

A.2B.4C.1D.2

5.已知空間向量”（I?，/）,'=（3",〃一1）,若￡/小，則2+〃=（）

A.1B.-1C.2D.-2

6.過點A（1,2）的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為（）

A.x-y+l=0B.x+y-3=0C.y=2x或x+y-3=0D.y=2x或x-

y+1=0

7.圓Cjx2+/+8x-2y+9=°和圓。2：/+/+6》-4了+11=°的公切線方程是（）

A.y=-x+lBy=-x+l或y=x+5

Qy=-x+5Dy=x+l或y=2x+5

8.如圖，在底面為平行四邊形的四棱柱"BCD-43cA中，M是/C與8。的交點,

若八二,42=6,=則下列向量中與4M相等的向量是（）

D

C

A

B

A/

Ci

4f

Bi

1-1；-]-I：—

——a+—b+c—a+—b+c

A.22B.22

]-17f

——a——b+c

C.22D.22

9,已知圓M：/+V+2砂=°（a>0）的圓心到直線3x+2y=2的距離是瓦，則圓M與

圓N:（x-2y+（y+2）2=l的位置關(guān)系是（）

A.相離B.相交C.內(nèi)切D.內(nèi)含

10.在平面直角坐標(biāo)系中，過直線2x7-3=。上一點尸作圓C:X2+2X+/=1的兩條切

線，切點分別為",則sinN/P8的最大值為（）

2a2A/5V6y/s_

A.5B.5C.5D.5

二、填空題（本大題共5小題）

11.過點O'）且與直線*+2卜-1=0平行的直線方程是.

12.已知圓的圓心為點,（2,一3）,一條直徑的端點分別在x軸和N軸上，則該圓的標(biāo)準

方程為.

13.已知G=（2,T3）,“=（-1,4,-2）,"（7,5"）,若&、方、2三向量共面，則實數(shù)

4=.

14.設(shè)點"（一2,3）,以3,2）,若直線以->+2=°與線段4B沒有交點，則。的取值范圍

是.

15.空間四邊形?！?C中，OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,ZOAC=45°,NOAB=60°,

則。/與2c所成角的余弦值等于.

三、解答題（本大題共5小題）

16.已知直線1：kx—y+1+2k=0(k￡R).

(1)證明：直線1過定點；

(2)若直線1不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍.

17.如圖，三棱柱N8C-4耳G,底面/BC,底面VN8C中，CA=CB=\,

NBC4=90。,棱旗??？，MN分別是44，44的中點.

(1)求麗的模：

(2)求cos'4,CB］的值；

⑶求證

18.AABC中，A(0,l),AB邊上的高CD所在直線的方程為x+2y—4=0,AC邊上

的中線BE所在直線的方程為2x+y-3=0.

(1)求直線AB的方程；

(2)求直線BC的方程；

(3)求ABDE的面積.

19.如圖，將邊長為2的正方形NBC。沿對角線3。折成一個直二面角，且平面

ABD,4E=a.

⑴若"2亞，

(i)求證：/B//平面8E；

(ii)求直線BC與平面8E所成角的正弦值；

(2)求實數(shù)。的值，使得二面角"EC-。的大小為60°.

20.已知過原點的動直線/與圓C|：/+V-6x+5=°相交于不同的兩點A,B.

(1)求圓G的圓心坐標(biāo)；

(2)求線段AB的中點M的軌跡C的方程；

(3)是否存在實數(shù)k,使得直線L：P=《(x-4)與曲線c只有一個交點？若存在，求出

上的取值范圍；若不存在，說明理由.

答案

1.【正確答案】D

【詳解】當(dāng)直線與x軸垂直，斜率不存在，A正確；

截距是直線與坐標(biāo)軸交點的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)，可以為負，B正確;

由斜率與傾斜角的關(guān)系知C正確；

直線1的斜率為1,則它的傾斜角為“，D錯.

故選：D.

2.【正確答案】C

_k=——T+1—=一百

【詳解】'（1一"一1）,'（一"8一1）的斜率為-母）,

2兀

故直線的傾斜角為7,

故選：C

3.【正確答案】B

【詳解】由題意8（3。-町，

所以陷=次+。2+（-4）2=5,

故選：B.

4.【正確答案】A

【詳解】設(shè)直線1上任意一點尸（X。/。），將直線1沿x軸正方向平移2個單位，則P

點移動后為4（”。+2，%）,再沿y軸負方向平移3個單位，則4點移動后為

P］（X。+2,%-3）

k=y0-^-y0=_3

???尸，心都在直線1上，.??直線1的斜率/+2-/2.

故選：A.

5.【正確答案】A

【詳解】因為Z//3,。=0,2，-2）,否=（3",〃一1）,

3_2_/￡-1

所以,一萬一-2,解得彳=6,〃=_5,

所以，+〃=1.故選A.

6.【正確答案】D

【分析】考慮直線是否過坐標(biāo)原點，設(shè)出直線方程，分別求解出直線方程.

-----=2

【詳解】當(dāng)直線過原點時，其斜率為1-0,故直線方程為y=2x；

xy12,

—I-----=1—I=1

當(dāng)直線不過原點時，設(shè)直線方程為a-a,代入點（1,2）可得。-?,解得

a——1,故直線方程為x-y+1=0.

綜上，可知所求直線方程為y=2x或x-y+1=0,

故選：D.

本題主要考查直線方程的截距式以及分類討論思想的應(yīng)用，考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運算.在利用

直線方程的截距式解題時，一定要注意討論直線的截距是否為零.

7.【正確答案】A

【分析】先判斷兩個圓的位置關(guān)系，確定公切線的條數(shù)，求解出兩圓的公共點，然后根

據(jù)圓心連線與公切線的關(guān)系求解出公切線的方程.

【詳解】解:G：（x+4）2+（yT）J8,圓心G（-4,1）,半徑彳=2',

Cz：（x+3/+（y-2＞=2,圓心。2（-3,2）,半徑々=也，

因為\C\C2\=^=ri~r2,

所以兩圓相內(nèi)切，公共切線只有一條，

因為圓心連線與切線相互垂直，kcj=l,

所以切線斜率為-1,

（x2+y2+8x-2y+9=0（x=-2

由方程組於+/+61y+11=0解得［y=3,

故圓G與圓的切點坐標(biāo)為（々3）,

故公切線方程為＞一3=-（尤+2）,即y=r+l.

故選：A.

8.【正確答案】A

llM=llB+BM=c+-BD=c+-（AD-AB）=--a+-b+c

【詳解】2222.

故選：A

9.【正確答案】D

【詳解】圓M：x2+y2+2ay=0^x2+（y+a^=a2所以圓心"（°，-。），半徑為a.

|20+2|=|2a+2|=^^11

由點到直線距離公式得：.+”V13，且。＞0,所以“一2.

又圓N的圓心"（2,-2）,半徑為:

1.

V659

-----<——

由22,所以兩圓內(nèi)含.

故選：D

10.【正確答案】A

【分析】由題意圓C：/+2x+/=l的標(biāo)準方程為C：(x+l)+/=2,如圖

sin乙4PB=sin2a=2sinacosa,

cosa=J1-sin2a

匕習(xí)的最小值，進而求解.

,又由圓心到直線的距離可求出

【詳解】如下圖所示:

由題意圓C的標(biāo)準方程為C：(x+l)+/=2,sinZAPB=sin2a=2sinacosa,

sinZAPB=2sinacosa-2

所以

?J：。=4

又圓心C(T°)到直線2xr-3=0的距離為,2?+(-1?

所以詞”=住所以不妨設(shè)他‘”，

、

21

sinZAPB=21J=2回(1-2/)=2-4+*(，)

則

0_1

又因為,（'）在I二」單調(diào)遞增，所以當(dāng)且僅當(dāng)‘二即|CP|=逐，即當(dāng)且僅當(dāng)直線c尸垂

直已知直線2x-y-3=0時，

（sinZAPB）=/（，］=2=巫

sin//總有最大值'"15；V4；45

故選：A.

11.［正確答案］x+2—=0

【詳解】由題意，設(shè)所求直線方程為：x+2y+l=0,

因為x+2y+/=0過（1,2）,

所以1+2x2+/=。,解得/=-5,

從而所求直線方程為-+2夕-5=°

故答案為.》+2了-5=°

12.【正確答案】（x-2）+。+3）一=13

【詳解】設(shè)直徑的端點分別為（a，°），（°，6）,

因為圓的圓心為點/°，7），

。+0

------=2

,2

0+Z?_3Ja=4

所以I2,解得正=-6,

r=2J（O-4）2+（-6-O）2=V13

所以圓的半徑2。''）

所以該圓的標(biāo)準方程為卜-2）2+&+3）2=13

故答案為.卜一2）+5+3）2=13

65

13.【正確答案】T

【詳解】因為“萬不平行，且&、在、1三向量共面,

所以存在實數(shù)x,y,使展=￡+同，

x=—33

7

17

7=2x-yy=n

<5=-x+4y。65

所以解得A=——

U=3x-2y,7

65

故了

（-00,——]u[0,+00）

14.【正確答案】2

【詳解】易知直線"一了+2=°過定點尸（°，2）,。是該直線的斜率,

3-21

又PA~-2-0--2,kPB=0,

（-00,——]o[0,+oo）

由圖可知。的取值范圍是2

=+AB)=ft42+|ft4|-|2B|cosl20°=40

【詳解】

用友=血@+就）=而+網(wǎng).西cosl35。=64-16收

OABC=OA-(dC-OB^=OA-OC-OA-OB=(64-1.642y40=24-1672

所以，

OABC24-16723-272

cosOA,BC=

碉.阿8x5-5

所以，

3-2夜

所以，?！芭c8c所成角的余弦值為5

3-2亞

故答案為.5

16.【正確答案】（1）見解析（2）[0,+8）.

【詳解】(1)證明：直線1的方程可化為y=k(x+2)+l,故無論k取何值，直線1總

過定點(一2,1).

(2)直線1的方程為y=kx+2k+l,則直線1在y軸上的截距為l+2k,要使直線1不

經(jīng)過第四象限，則I射榴醯解得k的取值范圍是［0,+-).

17.【正確答案】⑴目

V30

⑵10

(3)證明見解析

【詳解】(1)以C為坐標(biāo)原點，以而、在、°G的方向為x,y,z軸的正方向，建立空

間直角坐標(biāo)系°一到z,如圖

由題意得NO，。/)，％［，。)，

故網(wǎng)="+(-1)2+12=?

(2)依題意得4(1,0,2),3(o,l,o),C(0,0,0),與(0,1,2)6(0,0,2)

故=(1,-1,2),eg=(0,1,2)|j|||BA^-CBX=0—1+4=3

畫卜71+1+4=跖函卜V0+1+4=V5

18.【正確答案】(1)2X->4=0.(2)2x+3y=70.(3)10

【詳解】試題分析：(1)由CD所在直線的方程求出直線42的斜率，再由點斜式寫出

的直線方程；

(2)先求出點3,點C的坐標(biāo)，再寫出8c的直線方程；

(3)由點到直線的距離求出后到42的距離d,以及8到CD的距離3。，計算即

可或求出2瓦0到BE的距離d,計算S^DE.

試題解析：

(1)由已知得直線AB的斜率為2,

；.AB邊所在的直線方程為y—l=2(x—0),

即2x—y+1=0.

=1

2x-y+l=Cri

⑵由LIi-3=0,得1=2

I

即直線AB與直線BE的交點為B(7,2).

設(shè)C(m,n),

+4=0

?m1

則由已知條件得-I'N-3°,

|m=2

解得I,AC(2,1).

；.BC邊所在直線的方程為?一2,即2x+3y-7=0.

(3)：E是線段AC的中點,/.E(l,l).

；.D(S,S),

2q

廠3|2

AD到BE的距離為d=S'<F=5不

=

?,?SABDE5*d?|BE|=1°.

19.【正確答案】(1)(i)證明見解析，(ii)3

（2）?=2+V2

【詳解】（1）（i）證明：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)正方形/8C。的對角線相交于。，

由于OA=OB=OC=OD=V2,

則N（O,O,O）,5（2,O,O）,C（1,1，0）D（O,2,O）,E9,O,2&）

所以方=（2,0,0）,方=0,一2,2后）》7,0）

設(shè)平面CDE的一個法向量為4=（W/）,

n-DE=—2y+2>/2z=0

<x

nx?DC=x-y+y[lz=0

取z=0時，％=（°20）,

____ULUU

由于石E=0,故/B,%,

又不在平面CDE內(nèi)，所以/8//平面CDE；

（ii）平面3的一個法向量為4=（°2亞），SC=（-1,1,72）

設(shè)直線3c與平面8E所成角為。,

2+2戈

V6x23

（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，/（°，°，°），8（2,0,0）,砍,1,收）。（0,2,0）,￡（0,0,。）,

反=（o,-2,。）,而=a，T0）

設(shè)平面CDE的一個法向量為的=（m，弘*）,則有

-------

n-DE=-2y+az=0

<2xx

n2-DC=再一y