第03講拓展一函數(shù)的概念與性質(zhì)中的新定義題目錄TOC\o"1-1"\h\u新定義題之小題 1新定義題之解答題 7新定義題之小題 1．（24-25高一上·上?！るS堂練習(xí)）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，．已知函數(shù)，其中，則關(guān)于函數(shù)的敘述中正確的是（

）．A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)C．是奇函數(shù) D．的值域是【答案】A【分析】根據(jù)奇偶性的定義直接判斷各選項.【詳解】因為，所以，所以為偶函數(shù)，B選項錯誤；，所以為偶函數(shù)，A選項正確，C選項錯誤；又因為，所以，所以值域不可能負數(shù)，D選項錯誤；故選：A.2．（23-24高二下·浙江·期末）我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，若函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱圖形，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)為圖象的對稱中心，為奇函數(shù)，利用為奇函數(shù)，則，即可得出結(jié)果.【詳解】因為函數(shù)圖象的對稱中心為，則，因為為奇函數(shù)，所以，即，所以得，解得，.故選：B3．（2024·湖北荊州·三模）任取一個正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2．反復(fù)進行上述兩種運算，經(jīng)過有限次步驟后，必進入循環(huán)圈1→4→2→1．這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”等）．如取正整數(shù)，根據(jù)上述運算法則得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需經(jīng)過8個步驟變成1（簡稱為8步“雹程”）．我們記一個正整數(shù)經(jīng)過次上述運算法則后首次得到1（若經(jīng)過有限次上述運算法則均無法得到1，則記），以下說法正確的是（

）A．可看作一個定義域和值域均為的函數(shù)B．在其定義域上不單調(diào)，有最小值，有最大值C．對任意正整數(shù)，都有D．【答案】C【分析】對于A：直接確定定義域判斷；對于B：由經(jīng)過有限次角谷運算均無法得到1，記來排除；對于C：通過和的關(guān)系計算判斷；對于D：列舉來判斷.【詳解】對于A：依題意，的定義域是大于1的正整數(shù)集，A錯誤；對于B：由，得在其定義域上不單調(diào)，而，，則有最小值1，由經(jīng)過有限次角谷運算均無法得到1，記，得無最大值，B錯誤；對于C：對任意正整數(shù)，，而，因此，C正確；對于D：由，知不正確，D錯誤.故選：C.4．（23-24高一下·山西大同·階段練習(xí)）高斯函數(shù)是用德國著名的數(shù)學(xué)家高斯的名字命名的，即設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，例如，．已知函數(shù)，有下列四個結(jié)論：①；②在上單調(diào)遞增；③的最小值為0；④沒有最大值，其中所有正確結(jié)論的序號為（

）A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②【答案】B【分析】根據(jù)所給定義計算出，，即可判斷①②，分段分別化簡函數(shù)解析式，再確定相應(yīng)的函數(shù)值的取值范圍，畫出函數(shù)圖象（部分），即可判斷③④.【詳解】因為，所以，，所以，故①正確；因為，所以在上不可能單調(diào)遞增，故②錯誤；當(dāng)時，所以，當(dāng)時，所以，所以，所以；當(dāng)時，所以，所以，所以；當(dāng)時，所以，所以，所以；，所以當(dāng)時；所以的圖象（部分）如下所示：由圖可知有最小值且最小值為，無最大值，故③、④正確.故選：B5．（23-24高一上·江西新余·期末）對于函數(shù)，若存在，使得，則稱點與點是函數(shù)的一對“隱對稱點”，若函數(shù)的圖象存在“隱對稱點”，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】把問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程在給定的區(qū)間上有解，求參數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)為奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則時，.則原問題轉(zhuǎn)化為方程：在上有解，求的取值范圍問題.由在有解得：.故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)“隱對稱點”的概念，把函數(shù)位于軸左側(cè)的圖象關(guān)于原點對稱后，必與函數(shù)位于軸右側(cè)的圖象有公共點，從而轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在給定區(qū)間上有零點的問題解決是該問題的關(guān)鍵.屬于中檔題.6．（23-24高一上·上?！て谀┮阎强占希瑵M足：，.已知函數(shù)，對于下列兩個命題：①存在無窮多非空集合對，使得方程無解；②存在唯一的非空集合對，使得為偶函數(shù).下列數(shù)斷正確的是（

）A．①正確，②錯誤 B．①錯誤，②正確C．①、②都正確 D．①、②都錯誤【答案】A【分析】分別求出與的解，即可判斷無解的條件，從而判斷①，即可得解；在同一平面直角坐標(biāo)系畫出與的圖象，結(jié)合函數(shù)圖象即可判斷②；【詳解】令，解得，令，解得，因為，，，所以當(dāng)，時滿足無解，故存在無窮多非空集合對，使得方程無解，故①正確；在同一平面直角坐標(biāo)系畫出與的圖象如下所示：

由，解得，由函數(shù)圖象可知當(dāng)，或等時，都為偶函數(shù)，故②錯誤；故選：A7．（23-24高一上·上?！て谀┮阎x在上的函數(shù)，對于給定集合A，若對任意，當(dāng)時都有，則稱是“A封閉”函數(shù)．已知給定兩個命題：：若是“封閉”函數(shù)，則是“封閉”函數(shù)．：若是“封閉”函數(shù)，則在區(qū)間上嚴(yán)格減．則下列正確的判斷為（

）A．是真命題，是真命題 B．是假命題，是真命題C．是真命題，是假命題 D．是假命題，是假命題【答案】C【分析】通過定義進行證明若是“封閉”函數(shù)，則一定是“封閉”函數(shù)，命題為真命題，再舉出反例得到命題為假命題.【詳解】命題：若是“封閉”函數(shù)，即對，都有，對于集合，任意的，使得，則，而，所以，故一定是“封閉”函數(shù)，當(dāng)時，命題正確；命題：不妨設(shè)，，當(dāng)時，，此時是“封閉”函數(shù)，但為單調(diào)遞增區(qū)間，命題是假命題.故選：C8．（23-24高一下·上?！ら_學(xué)考試）給定集合和定義域為的函數(shù)，如果對于任意、及均成立，則稱函數(shù)是“關(guān)聯(lián)”的.對于下列兩個命題：①若是“關(guān)聯(lián)”的，則一定是“關(guān)聯(lián)”的（為正整數(shù)）；②若是“關(guān)聯(lián)”的（、為正整數(shù)），則一定是“關(guān)聯(lián)”的.判斷正確的是（

）A．①、②都是真命題 B．①、②都是假命題C．①真命題，②是假命題 D．①是假命題，②是真命題【答案】A【分析】根據(jù)定義可得都有，利用遞推關(guān)系可證都有，可證命題①；對于命題②，將看成自變量每次增量為，共增了次，也可以看成自變量每次增量為，共增了次，從兩方面計算，即可證明.【詳解】對命題①：對于集合使，則，而是“封閉”函數(shù)，則，即都有，對于集合使，則，而所以即，故一定是“封閉”函數(shù)，所以①是真命題；對命題②：對于任意，我們估計的范圍.一方面，考慮自變量每次增量為，共增了次，則；另一方面，考慮自變量每次增量為，共增了次，則.由此可得，即，即一定是“關(guān)聯(lián)”的，所以②為真命題.故選：A新定義題之解答題1．（23-24高一上·云南麗江·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，對于點，若函數(shù)滿足：“，都有”，則稱這個函數(shù)是點的“界函數(shù)”.(1)試判斷是否是點的界函數(shù)？是否是點的界函數(shù)？(2)若點在函數(shù)上，是否存在實數(shù)，使得函數(shù)是點的界函數(shù)？若存在，求出實數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由.【答案】(1)是，不是(2)存在，【分析】（1）根據(jù)點的“界函數(shù)”的定義分析判斷即可；（2）由題意得，則，都有，然后分，，和求解函數(shù)的值域，再結(jié)合求解實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）因為，所以，所以是點的界函數(shù)；因為，，所以，所以不是點的界函數(shù)；（2）因為在函數(shù)上，所以，所以，都有.當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，所以，所以，得，解得或（舍去）；當(dāng)，即時，，所以，無解；當(dāng)，即時，，所以，無解；當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增，所以，所以，得，解得或（舍去）.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.【點睛】思路點睛：關(guān)于新定義題的思路有：（1）找出新定義有幾個要素，找出要素分別代表什么意思；（2）由已知條件，看所求的是什么問題，進行分析，轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語言；（3）將已知條件代入新定義的要素中；（4）結(jié)合數(shù)學(xué)知識進行解答.2．（23-24高二下·福建福州·期末）設(shè)函數(shù)的定義域為，對于區(qū)間，若滿足以下兩條性質(zhì)之一，則稱為的一個“Ω區(qū)間”.性質(zhì)1：對任意，均有；性質(zhì)2：對任意，均有.(1)分別判斷說明區(qū)間是否為下列兩函數(shù)的“Ω區(qū)間”；；.(2)若是函數(shù)的“Ω區(qū)間”，求的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用給定定義逐步檢驗即可.（2）利用給定定義結(jié)合對參數(shù)分類討論，求解即可.【詳解】（1）對于，由一次函數(shù)性質(zhì)得它在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，，故區(qū)間是的“Ω區(qū)間”，對于，由反比例函數(shù)性質(zhì)得它在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，，此時不滿足，也不滿足，故區(qū)間不是的“Ω區(qū)間”，（2）若是函數(shù)的“Ω區(qū)間”，而，不滿足性質(zhì)2，必然滿足性質(zhì)1，由二次函數(shù)性質(zhì)得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，且，即，所以，滿足，符合題意，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，所以，而，符合題意，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，，所以，不符合題意，綜上可得的取值范圍為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查函數(shù)新定義，解題關(guān)鍵是利用給定定義，然后對參數(shù)進行分類討論，得到所要求的取值范圍即可．3．（23-24高一下·貴州六盤水·期末）對于定義域為的函數(shù)，如果存在區(qū)間，同時滿足：①在上是單調(diào)函數(shù)；②當(dāng)時，，則稱是該函數(shù)的“優(yōu)美區(qū)間”.(1)求證：是函數(shù)的一個“優(yōu)美區(qū)間”；(2)求證：函數(shù)不存在“優(yōu)美區(qū)間”；(3)已知函數(shù)有“優(yōu)美區(qū)間”，當(dāng)取得最大值時求的值.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)優(yōu)美區(qū)間的定義來證明即可；（2）假設(shè)函數(shù)存在“優(yōu)美區(qū)間”，結(jié)合已知導(dǎo)出矛盾即可得證；（3）原題條件等價于是方程（*）的兩個同號且不等的實數(shù)根，結(jié)合判別式可得的范圍，結(jié)合韋達定理可用表示，進一步即可求解.【詳解】（1）在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，當(dāng)時，，根據(jù)“優(yōu)美區(qū)間”的定義，是的一個“優(yōu)美區(qū)間”；（2），設(shè)，可設(shè)或，則函數(shù)在上單調(diào)遞增.若是的“優(yōu)美區(qū)間”，則是方程的兩個同號且不等的實數(shù)根.方程無解.函數(shù)不存在“優(yōu)美區(qū)間”.（3），設(shè).有“優(yōu)美區(qū)間”，或，在上單調(diào)遞增.若是函數(shù)的“優(yōu)美區(qū)間”，則，是方程，即（*）的兩個同號且不等的實數(shù)根.，或，由（*）式得.，或，當(dāng)時，取得最大值..【點睛】關(guān)鍵點點睛：第三問的關(guān)鍵是得出的范圍以及關(guān)于的表達式，由此即可順利得解.4．（23-24高一下·貴州貴陽·階段練習(xí)）如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意的，都有成立，那么就稱函數(shù)是定義域上的“平緩函數(shù)”．(1)判斷函數(shù)是否是“平緩函數(shù)”；(2)若函數(shù)是閉區(qū)間上的“平緩函數(shù)”，且，證明：對于任意的，都有成立.【答案】(1)是“平緩函數(shù)”(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)“平緩函數(shù)”的定義結(jié)合所給函數(shù)分析判斷即可；（2）當(dāng)時，結(jié)論成立，當(dāng)時，不妨設(shè)，結(jié)合，可得，再利用絕對值不等式的性質(zhì)可證得結(jié)論.【詳解】（1）對于任意的，有，即，從而，所以函數(shù)是“平緩函數(shù)”．（2）當(dāng)時，由已知，得；當(dāng)時，因為，不妨設(shè)，所以，因為，所以所以對任意的，都有成立．【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查函數(shù)的新定義，解題的關(guān)鍵是對“平緩函數(shù)”的定義的正確理解，考查理解能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題.5．（23-24高一上·上海閔行·期末）已知函數(shù)與的定義域均為，若對任意的都有成立，則稱函數(shù)是函數(shù)在上的“L函數(shù)”.(1)若，判斷函數(shù)是否是函數(shù)在上的“函數(shù)”，并說明理由；(2)若，函數(shù)是函數(shù)在上的“函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍；(3)若，函數(shù)是函數(shù)在上的“函數(shù)”，且，求證：對任意的都有.【答案】(1)函數(shù)是函數(shù)在上的“L函數(shù)”，理由見解析(2)(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)“L函數(shù)”定義判斷即可；（2）根據(jù)數(shù)是函數(shù)在上的“L函數(shù)”得到對任意的恒成立，據(jù)此計算的取值范圍即可；（3）對分和兩種情況，根據(jù)“L函數(shù)”定義證明即可.【詳解】（1）對任意的，且，.顯然有，所以函數(shù)是函數(shù)在上的“L函數(shù)”；（2）因為函數(shù)是函數(shù)在上的“L函數(shù)”，所以對任意的恒成立，即對任意的恒成立，化簡得對任意的恒成立，即對任意的恒成立，即，解得；（3）對于，不妨設(shè)，（i）當(dāng)時，因為函數(shù)是函數(shù)在上的“L函數(shù)”，所以.此時成立；（ii）當(dāng)時，由得，因為，函數(shù)是函數(shù)在上的“函數(shù)，所以，此時也成立，綜上，恒成立.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題關(guān)鍵在于對“L函數(shù)”定義的正確理解，據(jù)此計算即可.6．（23-24高一上·廣東珠?！て谥校┰O(shè)函數(shù)的定義域為，對于區(qū)間（，），若滿足以下兩條性質(zhì)之一，則稱在區(qū)間上具有性質(zhì).性質(zhì)1：對任意，有；性質(zhì)2：對任意，有.(1)分別判斷下列兩函數(shù)在區(qū)間是否具有性質(zhì)；①；②；(2)若函數(shù)在區(qū)間（）具有性質(zhì)，求的取值范圍【答案】(1)①具有性質(zhì)，②不具有性質(zhì)；(2).【分析】（1）記當(dāng)時，的值域為M，則性質(zhì)1；性質(zhì)2.然后求出①的值域，根據(jù)集合包含關(guān)系即可判斷；注意當(dāng)時，②的函數(shù)值不存在即可判斷；（2）分，和分別求出函數(shù)值域，根據(jù)集合關(guān)系討論即可.【詳解】（1）記當(dāng)時，的值域為M，則性質(zhì)1；性質(zhì)2

.對于①，當(dāng)時，，即，所以，，即函數(shù)滿足性質(zhì)1，具有T性質(zhì).對于②，因為當(dāng)時，函數(shù)值不存在，故函數(shù)不具有T性質(zhì).（2）由二次函數(shù)性質(zhì)知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，的值域為，顯然不滿足性質(zhì)2，故，要使具有T性質(zhì)，則，所以，解得（舍去）或（舍去）；當(dāng)時，，所以的值域為，滿足，即滿足性質(zhì)1，具有T性質(zhì)；當(dāng)時，的值域為，因為，所以不是