第12講解三角形解答題十大題型總結(jié)

【題型目錄】

題型一：利用正余弦定理面積公式解題

題型二：解三角形與三角恒等變換結(jié)合

題型三：三角形面積最大值，及取值范圍問題

題型四：三角形周長最大值，及取值范圍問題

題型五：角平分線相關(guān)的定理

題型六：有關(guān)三角形中線問題

題型七：有關(guān)內(nèi)切圓問題（等面積法）

題型八：與向量結(jié)合問題

題型九：幾何圖形問題

題型十：三角函數(shù)與解三角形結(jié)合

【典例例題】

題型一：利用正余弦定理面積公式解題

【例1】AABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,已知△ABC的面積為「一

3sinA

⑴求sin8sinC;

(2)若6cos3cosc=1,a=3,求小ABC的周長.

2廣

【答案】(l)sinBsinC=—(2)3+733.

3

[2a

【詳解】：（1）由題設(shè)得上acsin3=，一即—csinB

23sinA23sinA

IsinA

由正弦定理得一sinCsinB=-------.

23sinA

故sinBsinC=—.

3

(2)由題設(shè)及(1)得cosBcosC-sinBsinC=-g,,BPcos(B+C)

2

所以3+。=二，故人=工.

33

i2

由題設(shè)得上6csinA=，一，即Z?c=8.

23sinA

由余弦定理得〃+02—/7c=9,即3+cf—3人c=9,得6+°=底.

故AABC的周長為3+屈.

【例2】A48C的內(nèi)角力,8,(7的對邊分別為“，仇。，已知sin(A+C)=8sin2g.

(1)求cos5;

(2)若Q+C=6,AABC面積為2,求

【答案】(1)—；(2)2.

17

2;22

【詳解】：(1)sin(A+C)=8sin1,/.sinB=4(l-cosB),VsinB+cosB=b

16(l-cosB)2+cos25=l,(17cosB-15)(cosB-l)=0,.,.cosB=^；

Q

(2)由(1)可知sinB=——,

17

??1?17

?3q--ac-smBn=2,...ac--,

△ZIDC22

1715oo/、2

b19="9+/9-2accosB=a2-he92—2x——x——=a2+c2-15=(a+c)-2ac-15=36-17-15=4,

217V7

??b—2.

【例3】△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為〃，b,c.已知2cosc(〃cos5+Z?cosA)=c.

(1)求角c；(2)若c=#i，SMBC=孚，求A4BC的周長.

TTf—

【答案】(1)C=-(2)5+不

【詳解】：(1)由已知可得2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC

171

2cosCsin(A+B)=sinCncosC--=>C=—

23

(2)S^BC=；abs\nC=g6==ab=6

又,.?/+H—2tzZ?cosC—

.a2+b2=13?(a+b)2=25=>a+/?=5

???AABC的周長為5+萬

【例4】已知〃，b,。分別為AA5c三個內(nèi)角A,/,C的對邊，c=y/3asinC-ccosA.

(I)求A；

(II)若。=2,AABC的面積為g,求b,

7C

【答案】(1)A=—(2)b=c=2

3

【詳解】(1)由。=百公111(7-。以將4及正弦定理得

石sinAsinC-cosAsinC=sinC

由于sinCw0,所以sinfA——j=—1,

2

JI

又0<Av?,故人=一.

3

(II)AABC的面積S=gbcsinA=也,故be=4,

2

而a?=人2+。2_2/7cCOSA故C?+b=8,解得Z?=c=2

【例5】(2022?陜西?安康市教學(xué)研究室高三階段練習(xí)(文))在AABC中a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對

邊.csin=sinC.

2

(1)求角8的大小;

11?

⑵若^—+^—=^^,6=2,求△ABC的面積.

tanAtanCtanB

jr_

【答案】(l)B=W，(2)g

【分析】(1)利用正弦定理化簡求解即可.

(2)利用三角函數(shù)的和差公式，得到上+」=sm(,+?=.進而利用正弦定理可求出碇,

tanAtanCsmAsmCsinAsmC

利用面積公式即可求解.

(1)

A-L-CA+C

由csin---=bsinC及正弦定理得sinCsin―--=sinBsinC

因為8,Ce(0,tr),貝lJsinC>0且L。弓

74+「.7i-BB

所以sin5=sin-------=sin-=---c-o--s—

222

.BBB.B1./日B7ib”“幾

n即n2nsin—cos—=cos—,n貝a(Jsin-=—,—=一，以5=1.

22222263

(2)

11_cosAcosC_cosAsinC+cosCsinA_sin(A+Q_sin3

I——i———

tanAtanCsinAsinCsinAsinCsinAsinCsinAsinC

---=—：~~,所以sinAsinC=sin.25,所以ac=/=4,

tanBsinBsmB

故心區(qū)=:。石113=百.

【題型專練】

1.已知a,b,c分別為AABC二個內(nèi)角A氏C的對邊，〃cosC+y/3cisinC—b—c=0

(1)求角A(2)若a=2,AABC的面積為JJ；求

【答案】(1)600(2)b=c=2

【解析】：(1)由跚瀚鰥*6.雌如鰥-顆-￡；=顧及正弦定理得

sinAcosC+百sinAsinC-sinB-sinC=0?

因為B=TT—A—C,所以gsinAsinC-cosAsinC-sinC=0.

jr1Jr

由于sinCwO,所以sin(A——)=-.又0<A<〃，故人=一.

623

(2)AABC的面積S=—/?csinA=6，故/?c=4,而4+c?-2Z?ccosA，故匕2+°2=8.

2

解得b=c=2.

2.已知a,b,c分別是AABC內(nèi)角A,5c的對邊，sin2B=2sinAsinC.

(1)若a=b,求cosB;

(2)若6=90°，且。=J5,求AABC的面積.

【答案】(1)(2)1

4

【解析】：(1)由題設(shè)及正弦定理可得廿=2ac

又a=b,可得b=2c,a=2c

由余弦定理可得cosB=幺1——=-

lac4

(2)由(1)知"=2ac

因為3=90°，由勾股定理得4+C2=廿

故。2+/=lac>得c=。=V2

所以的面積為1

3.(2021新高考2卷)在AABC中，角A、B、。所對邊長分別為。、b、c,b^a+1,c=a+2..

(1)若2sinC=3sinA,求AABC的面積；

(2)是否存在正整數(shù)。，使得AABC為鈍角三角形?若存在，求出。的值；若不存在，說明理由.

【詳解】⑴因為2sinC=3sinA,則2c=2(a+2)=3a,則a=4,故力=5,c=6,

cosC=———,所以，C為銳角，則sinC=J1—cos?C=§幣

2ab88

E山c1,.〃1,u3近15近

因此，SA——ctbsinC=-x4x5x----=-----；

△ARBC2284

(2)顯然c>Z?>a,若△ABC為鈍角三角形，則C為鈍角，

m-r/H—a2+Z>2—c2ci"+(tz+1)_(a+2)a2—2a—3

由余弦定理可得cosC=-----------=---------y——\-----=----z----7-<0,

lab2a(a+1)2a(a+1)

解得一l<a<3，貝！］0<a<3,

由三角形三邊關(guān)系可得a+a+1>a+2,可得a>l,?eZ,故a=2.

4.(2022?廣東佛山?高三階段練習(xí))在AABC中，角A,8,C所對的邊分別為a,6,c,且百c=gacosB+asinB.

(1)求角A的大小;

(2)若a=2j7,3sinB=2sinC,求AABC的面積.

【答案】(1)A=1

⑵6月

【分析】(1)利用正弦定理邊角轉(zhuǎn)化、和角的正弦公式進行化簡求值.

(2)利用正弦定理、余弦定理以及三角形的面積公式求解.

(1)

由正弦定理可知：?::c=sinA:sinB:sinC,

得6sinC=6sinAcosB+sinAsinB,

因為V5sinC=\^sin(A+B)=^sinAcosB-^-yfscosAsinB,

得6cosAsinB=sinAsinB,

*.*A5￡(0,兀),sinBW0,/.V3cosA=sinA,

**?tanA=A/3,即A三.

（2）

由3sin5=2sinC,得3Z?=2c,

由余弦定理可得：tz2=b2+c2-2Z?ccosA=28,

又a=2A/7，A=］，

937

貝一—〃=28,即_〃=28,解得〃=4,c=6,

424

故”18。的面積為S=—Z?csinA=—x4x6x=6A/3.

222

5.（2022.安徽省宿松中學(xué)高二開學(xué)考試）在△ABC中，角4氏C的對邊分別為

a,b,c,tanB=，si"-2fsinCsinB.

⑴求角C的大?。?/p>

（2）若△回€?的面積為竺叵，求△ABC外接圓的半徑.

196

【答案】⑴告27r，⑵1

【分析】（1）由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出sinB,再由兩角和的正弦公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求

出tanC,即可得解；

（2）設(shè)AABC外接圓的半徑是R,由正弦定理得到6=研尺，a=^R,再由面積公式計算可得.

77

門sinB5指

_/、tanB=-------=------

5V3nInICOSB11

tanB=-----G0,—.n,2_1

⑴解：由11得I2人且2B+cosBR=1,

.R5y/3

sinB=—smB=-------

解得■it或，（舍去），

cosB=——cosB=-----

14114

由因為sinA=4csinCsinB,所以3sinC=7sinA，

5

因為sinA=sin(5+C),所以3sinC=7sin(_B+C)=7sin5cosc+7cos5sinC,

即3sinC=上^cosC+UsinC,化簡得tanC=-6，

22

27r

因為0<C<?,所以C=~

(2)解：設(shè)A^C外接圓的半徑是R,

因為b=2Rsin8=^R,a=2/?sinA=-7?sinC=—R,

777

6斤3aszp5yA/?_備用7日p_i

/71以S——ctbsinC——x------Rx-----Rx——--------，用牢R=1,

22772196

故AASC外接圓的半徑是1.

題型二解三角形與三角恒等變換結(jié)合

【例1】AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知8=150。.

（1）若（1=布c,b=2幣,求AAAC的面積；

（2）若sinA+布sinC=-,求C.

【答案】（1）百；（2）15°.

【分析】(1)由余弦定理可得"=28=。2+。2一2ac-cosl50°=7c2，

二c=2,a=273,AABC的面積S=gacsin3=G；

(2)vA+C=30°，

sinA+A/3sinC=sin(30°-C)+A/3sinC

_1「?「_?qc。、

=—cosCH——sinC=sin(C+30)—-，

?.0°<C<30°,30°<C+30°<60°,

.?.C+30°=45o,.-.C=15°.

ju5

【例2】△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知cos“—I-A)+cosA=—.

24

(1)求A；

(2)若b-c=^a，證明：△ABC是直角三角形.

3

冗

【答案】(1)A=-；(2)證明見解析

3

【分析】(1)因為cos?]m+A]+COSA=*,所以sir/A+cosA=9,

U)44

51

即l—cos9A+cosA=—,解得cosA=—,又0vA<?,

42

7V

所以A二一；

3

(因為工，所以=工,即加+?！獌?/①，又②，將②代入

2)A=cosA=.+,一127cb-c=^a

326c23

①得，b2+c2-3(b-c)"=bc,即2b2+2。2—5bc=0,而Z?>c,解得b=2c,

所以a=y/3c，故/J?=a?+<?2，

即△A3C是直角三角形.

【例3】在AABC中，滿足sin2A-cos2B+A/2sinAsinB=-cos2C-

⑴求C；

/八,幾，n3A/2cos(a+A)cos(a+5)y/2鉆/升

(2)設(shè)COSACOSBM-2?—,——--------1~~-----二,求taniz的值.

5cosa5

【詳解】

(1),**cos2B=1—sin2B，cos2c=1—sin2C?sin1A—cos2B+yf2sinAsinB=—cos2C變形為

sin1A-(1-sin2B)+y/lsinAsinB=-(1-sin2。，

即sin2A+sin2B+y/lsinAsmB=sinC,

利用正弦定理可得：cr+b1+y[2ab=c^由余弦定理可得cosC=-Y2,即C=型.

24

(2)由(1)可得cos(A+B)=正，A+B=-,

24

TV.cos(A+J3)+cos(A—B)3\/2―z=,._.7,\/2

又cosAcosDB=——-------------------------=-^―,可r得cos(A-B)=——，

2510

￡7夜

同時cos(a+A)cos(a+B)=cos(2a+A+B)+cos(A-B)_c°s(4)+JQ,

2―2

s上兀、」7①及、.、

??A、/.T-)\cos(2ctH—)H--------------cos2ct—sin2aH-------

.?cosZ(a+A)cos(a+B)_410_210

2cos1a2cos1a2cos1a

cos1a-sir^a-2sinacosa+7迎(cos2a+sir^a)

=210______________

2cos1a

602,A/2.2A.

-----cosaH------sina-vzsmacosa

=55_________________

Icos2a

_3A/2y[2V2_A/2

I-----tan2a~----tana，

51025

tan2cf-5tancr+6=2，

幻"。=1或4.

【題型專練】

1.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC.

(1)求A；

(2)若收a+b=2c,求sinC.

【答案】(1)A=-(2)sinC="+血.

34

【分析】【詳解】

(1)(sinB-sinC)2=sin2B-2sinBsinC+sin2C=sin2A-sinBsinC

即：sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC

由正弦定理可得：b2+c2-a2=bc

?「A￡(0,?),A=?

(2)?/yp2a-i-b=2c由正弦定理得：yp2sinA+sinB=2sinC

又sin5=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,A=y

/.A/2x^-+^-cosC+—sinC=2sinC

222

整理可得：3sinC-V6=73cosC

,.?sin2C+cos2C=1.?.(3sinC-?)=3(l-sin2C)

曰+-p-—y/2

解得：sinC=--------?；?...-

44

>°所以sinC>乎'故20=苧

(2)法二：*/y[2a+b=2c由正弦定理得：V2sinA+sinB=2sinC

又sin5=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,A=y

.-.V2x^+^cosC+-sinC=2sinC

222

整理可得：3sinC-A/6="COSC，即3sinC—A/^COSC=2A/3sinfC--j=A/6

sin(C-^

一2

由CG(0,—),C-—G，所以。一：二;^0二二+二

36626446

sinC=sin(—+—)=娓+

464

2.（2022?重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí)）已知在銳角△ABC中，tanA^SmB

1+cosB

⑴證明：3=2A；

,tanB-tanA，―什工，

⑵求v1+tanAtanS的取值氾圍.

【答案】（1）證明見解析

【分析】（1）化簡題干條件得到sinA=sin（3-A）,從而根據(jù)AABC是銳角三角形，得到A=3—A,得到3=24；

兀兀

（2）先根據(jù)銳角三角形得到Ae再逆用正切的差角公式，結(jié)合第一問的結(jié)論得到

6；4

tanB-tanA

=tanAG

1+tanA-tanB

(1)

、十”，sinAsinB,

證明：由tanA=——-=----------知:

cosA1+cosB

sinA(l+cosB)=sinBcosA,

即sinA+sinAcosB=sinBcosA,

所以sinA=sinBcosA-sinAcosB=sin(B—A),

因為△MC是銳角三角形,

所以0,抖5—AwHP

71兀

y=sinx在上單調(diào)遞增,

252

所以A=5—A,即5=2A.

(2)

由銳角△ABC知：AGf0,—j,B=2AG(0,71

7171

解得：Ae

6?4

,,tanB-tanA八

故-----------=tan(B-A)=tanAA

1+tanA-tanB'7

QA3

3.在△ABC中，已知sinAcos2——1-sinCcos2—=—sinB.

222

(1)求證：a+c=2b；

(2)求角5的取值范圍.

【詳解】

CA3

證明：(1)\?sinAcos?——i-sinCcos2—=—sinB

222

.A1+cosC.「1+cosA3.「

sinA-------------------1-sinC------------=—sinB

222

/.sinA(1+cosC)+sinC(l+cosA)=3sin5

/.sinA+sinC+sinAcosC+sinCeosA=3sinB

/.sinA+sinC+sin(A+C)=3sinB

A+C+JB=萬

A+C-7i—B

sin（A+C）=sinB

/.sinA+sinC=2sinB

根據(jù)正弦定理得：a+c=2b,得證.

（2）由（1）知在AABC中，a+c=2b

又cosB=」+c2消去6化簡得：cosB=3（-+。2）」之^￡_1=1

2acSac4Sac42

當(dāng)且僅當(dāng)。=c時取等號，又3為三角形的內(nèi)角，...Be］。,（

題型三：三角形面積最大值，及取值范圍問題

A

【例1】在AABC中，角A,B,。所對的邊分別為c,若tan（3+C）=tane，且。=2,則AABC

的面積的最大值為

A.昱B.3C.V3D.

32

【答案】A

A

【解析】：因為tan（5+C）=tan,,且5+。=兀一人，

cA

2tan—AAo

所以tan（3+C）=-tanA=--------tan—>0,所以tan—=6，則A=」.

l-tan2-223

2

27r

由于a=2為定值，由余弦定理得4="+。2—2Z?ccos——，即4=從+。2+/7c.

3

4

根據(jù)基本不等式得4=廿+02+秘22秘+歷=3兒，即沙cW§，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時，等號成立.

所以SABC=-bcsinA<-x-x—=—.

4ABe22323

故選:A

AA-C

【例2】A4BC的內(nèi)角A5c的對邊分別為","c,已知asin-----=bsinA.

2

⑴求B；

(2)若A45C為銳角三角形，且c=l,求AABC面積的取值范圍.

7T

【答案】(1)B=y；(2)(

【分析】（1）根據(jù)題意asin-------=Z?sinA,由正弦定理得sinAsin--------=sinBsinA,因為0<A<?,

22

A+C

故sinA>0,消去sinA得sin-------=sinB.

2

44.c4A+C

0<B<71,0<-------<〃因為故------=3或者------+B=7T,而根據(jù)題意A+5+C=?,故

222

4+14+1Tt

-------+3=;?■不成立，所以------=B,又因為4+3+。=%,代入得33=?,所以3=—.

223

712

（2）解法一：因為AA3c是銳角三角形，由（1）知3=—,A+5+C=；7■得到A+C=—乃，

33

0<C<-

2

故<,解得恭c<f.

2萬n

0<——C<-

32

又應(yīng)用正弦定理上Jc=l,

sinAsinC

由三角形面積公式有:

27r

2sinA.R73疝（5-。

v

乙ABCc-------sin5=--------------------

22c2sinC4sinC

sin-cosC-cos-sinC

=叵行」.2〃12?、31y/3,

33=-----（sin-------------cos——）=----------F

一丁sinC43tanC38tanC-8~

又因》得刖邛，故曰<|熹+曰<4

故S"

故邑MC的取值范圍是

解法二：若AABC為銳角三角形，且c=l,

由余弦定理可得匕=d~+1-2c,?l*cos—=\lCl~—6Z+1,

3

由三角形ABC為銳角三角形，可得/+儲一。+1>1且1+/一［+1>〃2,且1+〃2>〃2,

解得—<a<2,

2

可得AABC面積S=—a?sin—=—ae

234

【例3】在△ABC中，a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對邊，若a+c=4,2sinB=sinA+sinC,則八45。

的面積的最大值為（）

A.73B.2C.2也D.4

【答案】A

【解析】

因為2sinB=sinA+sin。，所以2Z?=a+c,因a+c=4,所以/?=2,

由余弦定理得COSB="一+1*=("+。)-2"。-=16-2a0-4=12-2a°

2aclacZac2ac

所以2accos5=12—2ac,所以COSB：6,所以

ac

與里=9-(62

\(ac)ac

因SMBC=-acsinB=-ac-力*―先+⑵’-"*=1J12ac-36=/3ac-9

22ac2

因為a+c22Vac,所以ac<=4'^MBC=，3ac-9<A/12—9=百

注：此題也可用橢圓軌跡方程做

【例4】在△ABC中，a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對邊，若a=2,b=?,則△ABC的面積的最

大值為（）

A.A/3B.2C.2也D.4

【答案】A

【解析】

因為a=2,b=瓜,由余弦定理得cosA=/+/—〃=（J3c〃仁—4=土二

2bc243c-c2V3c2

所以sinA.JI3嬴:一k（4°2—4『一1'—16c4+32,2—J—4,4+32,2—16

所以smcosA'12C4-2怎2

-

mc1j.1nr2A/4c4+32,—161/427

SS/.ARr——Z?csinA=-，3c-------產(chǎn)-----------——y—c+8c—4

由222底22

設(shè)，=''則Lc=；J-d+M_4=W",上W行

注：此題也可用圓軌跡方程做

【題型專練】

1.已知a也c分別為&L8C三個內(nèi)角兒及。的對邊，a=2,且（2+取向分.血協(xié)=（ed）而C,則

盛也翦面積的最大值為.

【答案】6

【解析】：由a=2，且(2+b)(血血B)=(c-b)sinC,故(a+人)(s比A-sz力3)=(c-Z?)s比C,又根

72.221

222

據(jù)正弦定理，得（。+勿3-勿=（。—勿。，化簡得，b+c-a=bc，故cosA-―。=，，所以

2bc2

A=60°>又我+c1-be=ANbc，故5兇m=gbcs%AV百.

2.已知a,b,c分別為△ABC角4B,C的對邊，cos2?1—cos2B—cos2c=cosAcosB+cosC—cos2B,且c=V3,

則下列結(jié)論中正確的是（）

A.TB.C=—

3

C.△ABC面積的最大值為更D.△ABC面積的最大值為出

44

【答案】BC

【解答】解??,cos?/—COS2B—cos2c=cosAcosB+cosC-cos2B,:.(1—sin2i4)—(1—sin2B)—(1—sin2C)

=cosAcosB-cos(i4+B)—(1—2sin2B),???sinXsinB+sin2B+sin2X—sin2c=0,

由正弦定理可得a6+/)2+a2-c2=0,cosC="十。一，=又0VC<TT,，C=?,

2ab23

即/=3=a2+h2—2abeos等=a24-b2+ah>2ab+ab=3ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時取等號,

ab(1,S——2cibsinC44

故選：BC.

3.AAAC的內(nèi)角A民C的對邊分別為,已知a=Z?cosC+csin反

(I)求5；

(II)若b=2,求△ABC面積的最大值.

【詳解】(l);Q=bcosC+csin5

由正弦定理知sinA=sinBcosC+sinCsinB①

在三角形ABC中，A=〃—(3+C)

sinA=sin(B+C)=sinBcosC+sinCsinB②

由①和②得sinBsinC=cosBsinC

而?！?0,%)，.大!!!。。。，.??sin5=cos5

又Bw(0,?),???5;工

4

22

^AARC=—acsmB=—^ac，由已知及余弦定理得：4=tz+c-2?ccos—>2ac-2acx

AA"244

4

整理得：ac^——,當(dāng)且僅當(dāng)4=c時，等號成立,

則^ABC面積的最大值為一xx------==一XJ^x(2+=y/2+1

222—，22''

4.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別是〃，b,c,設(shè)sinAcos3=sinB(2-cosA).

(1)若b+c=V5Q,求A;

(2)若a=2,求△ABC的面積的最大值.

【解析】(1)VsinAcosB=sinB(2-cosA),

結(jié)合正、余弦定理，可得。?日芷±=加(2-西嘉上)，

2ac2bc

化簡得，c=2b,代入。+c=V5m得〃=

222222

由余弦定理知，cosA=ba=b+及2b3b=(0,兀)，.\A=

(2)由(1)知，c=2b,

由余弦定理知，cosA=b藍"=到J=1-^2，

2bc

4廬4b2

/.AABC的面積S=^bcsinA=fe2Vl—cos2A=廿?1—--^)2=b2*—得+—

=j1a+沙T=j卷爐—黃+等,

當(dāng)公=等時，S取得最大值，為土

5.在A45c中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a,6,c,。是A5的中點，若CD=1且

(a-Z?)sinA=(c+Z?)(sinC-sinB),則zXABC面積的最大值是一

【答案】巫

5

22

—+1-/72—+l-a2

在ACDA和\CDB中，分別由余弦定理可得cos6=/-------,cos(7r叫=/--------

CC

兩式相加，整理得萬+2—(〃2+/)=0,???。2=2(〃2+/)-4.①

由a——6忡小4=(0+6)卜抽。一51113)及正弦定理得a——ba-(c+Z?)(c-b),

整理得〃=一,②

2

由余弦定理的推論可得COSC='+"—/=!，所以sinC二巫.

lab44

把①代入②整理得a2+b2+—^4,

2

又"+從22他，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立，所以422扇+半="，故得a》v|.

225

而“c_1,.8715_V15

所以SA.Rr——cibsinC<—x—x----=-----

AABC22545

即A45c面積的最大值是巫.故答案為亞.

55

6.(2023?全國?高三專題練習(xí))在AABC中，角AB,C的對邊分別為a,仇c,且a-bcosC=&sinB.

⑴求B；

（2）若a=2,且AABC為銳角三角形，求AABC的面積S的取值范圍.

71fyfi2\/3

【答案】（1）B=Z，（2）——

6I23J

【分析】《1）由正弦定理邊角互化得sinA=^sinCsinB+sinBcosC,再結(jié)合三角恒等變換得tan8=—^,

3

進而得答案；

h_1_2sinC

（2）結(jié)合題意得￡<C<g,再根據(jù)正弦定理得,；n（且_/丫'=（網(wǎng)_.），進而根據(jù)面積公式與三

3*2-

ITJJ

s=—!_

角恒等變換得1也,再求范圍即可.

--------------1-------

2tanC2

（1）

解：,**a-bcosC=V3csinB,

由正弦定理可得：sinA=^3sinCsinB+sinBcosC，

又sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,

V3sinCsinB+sinBcosC=sinBcosC+cosBsinC,即：^3sinCsinB=sinCeosB,

B,Cs(0,冗),sinCw0,

???tan8=g即3=f

36

(2)

B林

解：AASC為銳角三角形，所以o<c<1,解得

八5萬「乃

0<------C<—

62

2_b_c

2b

??.”2,由正弦定理得砧=嬴萬即.(5IT-T-sinC-

sinCsin(—>zr-C)—

62

sinCtanC]

L￡anC1+昱，

-cosC+—sinC

22222tanC2

?「tanC>tan—=A/3,

.1,■鄧2、

"2tanCTe'

1由2瓦

，1?指e(耳,亍).

2tanC2

(n亦、

???△ABC的面積S的取值范圍為三，年.

I23J

題型四：三角形周長最大值，及取值范圍問題

【例1】在銳角5c中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若4A5c的面積為也(/+/_02卜

且c=4,則△A5C的周長的取值范圍是.

【答案】(44+4,12]

【解析】

因為AA5c的面積為也(1+/—°2),所以

[2%222.z22

/+/—°2)=_L"sinC，所以有X--------------二-=sinC.由余弦定理可得cosC=-~匕工

'22