2024學年遼寧省名校高二數(shù)學上學期12月聯(lián)考試卷

一、單選題(本大題共8小題)

1.90x91x.......xlOO可表示為()

?；

A.A；：。B.A；；。CA*D.A100

22

2.已知橢圓C:=+4=l(a>6>0)的左焦點為尸(-1,0),且橢圓C上的點與長軸兩端點構成的三

ab

角形的面積的最大值為6收，則橢圓。的方程為()

222222

22rXyY

A.二+匕=1B.±+Jc.土+匕=1D.—+—=1

98968765

3.若C：76=c：「2,則〃=()

A.2B.8C.2或8D.2或4

4.已知直線/：丘-丁-2左+2=0(0R)過定點0,若尸為圓C:(x-5)2+(尸6)2=4上任意一點，則

盧。|的最大值為()

A.3B.5C.7D.9

5.已知向量值=(2,-1,2),5=(一1,3,-3),?=(13,61),若一已忑共面,則4=()

A.2B.3C.4D.6

22oc

6.已知雙曲線C：土+匕=1,則C的漸近線方程為了=嚀》是C的離心率為9的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.如圖，在正方體N8CD-44GA中，E是棱。2的中點，點尸在棱上，且取方高,

若4尸〃平面48E,則4=()

8.據(jù)典籍《周禮?春官》記載，"宮,商、角、徵‘羽"這五音是中國古樂的基本音階，成語"五音不

全"就是指此五音.如果把這五個音階全用上，排成一個五音階音序，要求"宮"不為末音階，"羽"

不為首音階，"商""角"不相鄰，則可以排成不同音序的種數(shù)是（

A.50B.64C.66D.78

二、多選題（本大題共3小題）

9.已知在卜+亍J的二項展開式中第3項和第4項的二項式系數(shù)最大，則（）

A.n=6B.展開式的各項系數(shù)和為243

C.展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為16D.展開式中不含常數(shù)項

10.已知空間中三點/（2,0,1）,8（2,2,0）,C（0,2,1）,則（）

A.與向量方方向相同的單位向量是0,——,--—

（55J

B.池在刀上的投影向量是（TL0）

C.冠與瑟夾角的余弦值是:

D.坐標原點0（0,0,0）關于平面/3C的對稱點是

11.圓錐曲線具有豐富的光學性質.雙曲線的光學性質：從雙曲線的一個焦點￡處發(fā)出的光線,

經過雙曲線在點尸處反射后，反射光線所在直線經過另一個焦點招，且雙曲線在點P處的切線

平分/耳尸耳.如圖，對稱軸都在坐標軸上的等軸雙曲線。過點（3,-1）,其左、右焦點分別為

若從月發(fā)出的光線經雙曲線右支上一點尸反射的光線為PQ,點尸處的切線交無軸于點T,

FX,F2.

則下列說法正確的是（）

A.雙曲線C的方程為/-/=8B.過點尸且垂直于PT的直線平分/月尸。

貝?尸刀=生獸

C.若PFJPQ,則附|.颶|=18D.若夕與=60。

三、填空題（本大題共3小題）

12.已知P為拋物線丁=以上任意一點，F(xiàn)為拋物線的焦點，M（4,2）為平面內一定點，則

2

|尸川+|尸則的最小值為.

13.若直線x+(l+〃?)y-2=0和直線機x+2y+4=0平行，則加的值為.

14.如圖，在三棱錐中，底面是邊長為2的等邊三角形，分別是的中點，且

VA=VD=VE=\,則直線以與平面EBC所成角為四棱錐憶-8CDE的外接球的表

面積為.

四、解答題(本大題共5小題)

15.已知（1+2x）~+（1+2x）3+…+（］+2x）"=9+%尤+a?x~+…+a.x".

⑴求〃的值；

a

⑵求^—）—（a2+a4+6—）的值；

⑶求。2的值.（結果用數(shù)字表示）

16.如圖，在平行六面體/BCD-44GA中，以頂點A為端點的三條棱長都是1,且它們彼此的

夾角都是60°,M為4cl與3Q的交點.若9=萬，AD=b,441=3,

(1)用瓦8,5表示而7;

(2)求對角線/G的長;

(3)求cos〈/8,/C］〉

17.在平面直角坐標系xQy中，已知動圓M與圓f+黃一2》=0內切，且與直線x=-2相切，設動

圓圓心M的軌跡為曲線￡.

⑴求曲線E的方程；

⑵過點尸(1,0)作兩條互相垂直的直線與曲線E相交于A,8兩點和C,。兩點，求四邊形/CBD

3

的面積S的最小值.

18.在四棱柱N3CD—&BC]Z)]中，已知3c，平面48CZ),AD//BC,ABLAD,AD=2AB=2BC=2,

BB『下,E是線段4。上的點.

(1)點G到平面與力的距離;

⑵若E為4。的中點，求異面直線。2與NE所成角的余弦值；

⑶在線段4。上是否存在點E，使得二面角的余弦值為亭？若存在，請確定￡點位

置；若不存在，試說明理由.

19.通過研究發(fā)現(xiàn)對任意平面向量方=(x,y),把刀繞其起點A沿逆時針方向旋轉。角可得到向

量4P=(xcos6-jsin仇居in6+廣os。)，這一過程叫做把點8繞點A逆時針方向旋轉(9角得到點尸.

⑴已知平面內點川-后2碼,點8陵,-2@,把點B繞點A逆時針旋轉三得到點P,求點P的

坐標；

22

⑵已知二次方程f+/-xy=l的圖像是由平面直角坐標系下某標準橢圓1r+}=l(a>6>0)繞

原點。逆時針旋轉三所得的斜橢圓C.

4

(i)求斜橢圓。的離心率；

//—i—\

(ii)過點。半，半作與兩坐標軸都不平行的直線4交斜橢圓。于點過原點。作直線人與

J71

直線4垂直，直線乙交斜橢圓。于點G,",判斷』+R3是否為定值？若是，請求出定值，

\MN\|OHI

若不是，請說明理由.

4

參考答案

1.【答案】B

【分析】根據(jù)排列數(shù)公式判斷.

【詳解】90x91x……xlOO=A；*o.

故選B.

2.【答案】A

【分析】根據(jù)題意列式求Ac,即可得方程.

【詳解】因為橢圓C的左焦點為b（-L0）,所以c=L

又因為橢圓C上的點與長軸兩端點構成的三角形的面積的最大值為6板,

所以、2ax6=ab=642,

2

結合/=/+/=/+i,可得°=3,6=2^/^,

故橢圓C的方程為1+4=1.

9o

故選：A.

3.【答案】A

【分析】利用組合數(shù)的性質求出〃的值.

[3力+6V18

【詳解】由組合數(shù)的性質可得而_2<18'解得“V4，

又C；16=c*2,所以3〃+6=4〃-2或3〃+6+4”—2=18，

解得〃=2或〃=8（舍去）

故此題答案為A.

4.【答案】C

【詳解】由/:日一了一2左+2=0（左eR）,得了一2=左卜一2）,

所以直線/過定點。（2,2）,

由C:（尤-5）2+（y-6）2=4,知圓心坐標（5,6）,半徑為2,

所以。到圓心的距離為d=J（5-2）2+（6-2）2=5>2,

所以。在圓外，故|PQ|的最大值為d+2=7.

故選：C.

5.【答案】B

5

【詳解】因為a=(2,T,2),6=(-1,3,-3)3=(13,61),三個向量共面,

所以存在唯一實數(shù)對(尤)),使得》=拓+企，

-x+13y=2

所以(2,T2)=x(-l,3,-3)+y(13,6㈤，所以，3x+6y=-l,解得

-3x+yA=2

故選；B.

6.【答案】D

【詳解】充分性：當雙曲線c的焦點在x軸上時，由漸近線方程為歹=￡》，知

4a4

所以離心率e=￡5

4

當雙曲線C的焦點在夕軸上時，由漸近線方程為了=±|》，知￡=3，即2=:，

4b4a3

所以離心率e=?=jl+t：=,所以充分性不成立.

必要性：由離心率為知《=￡=11+[2丫=3,所以2=?，

當雙曲線C的焦點在x軸上時，漸近線方程為y=±2x=±：x；

a4

a4

當雙曲線C的焦點在V軸上時，漸近線方程為y=±：x=±;X,所以必要性不成立.

b3

35

綜上所述，C的漸近線方程為＞=與》是C的離心率為二的既不充分也不必要條件.

44

故選：D.

7.【答案】C

【詳解】解法一：以A為坐標原點，工。,44所在直線分別為x軸、了軸、z軸，建立如圖所示

的空間直角坐標系，設正方體的棱長為1,

6

則8(1,0,0),2(0,1,1),G(1,1,1),4(0,0,1),可得萩=(一1,0,1),礪=(一1,1,；

n-BA^=-x+z=0

設元=(x,y,z)是平面AXBE的法向量,則

n-BE=-x+y+^=0

令z=2,則x=2,y=l,BP?=(2,1,2),

由配'=(1,0,0),且取^2萬高，可得尸(2,1，D(OV4V1),

又因為耳(1,0,1),則率=(2-1,1,0),

由Bp//平面&BE,可得人率=2("1)+1x1+2x0=0,

解得八！.

2

解法二：如圖，取C￡＞中點M,連接BM,EM,易證AR//EM,

所以平面4BE即為平面A.BME,

易知當下為G°i的中點時，B\F11BM,"Fa平面々BE,BMu平面48￡,

從而用戶//平面48￡,所以2=：.

故選：C.

8.【答案】A

【詳解】①若"宮"為首音階，"商""角"可取24,25,35音階，

排成的音序有C；A：A：=12種；

②若"宮"為第2音階，"商""角"可取13,14,15,35音階,

排成的音序有C；A；A；+A；=14種;

③若"宮”為第3音階，"商""角"可取14,15,24,25音階,

排成的音序有C；A；A；+C；A；=12種;

④若"宮"為第4音階，"商""角"可取13,15,25,35音階,

7

排成的音序有c；A；A；+C；A；=12種.

由分類加法計數(shù)原理可知，一共有12+14+12+12=50種排法.

故選：A.

9.【答案】BCD

【詳解】A項，在龍+彳的二項展開式中第3項和第4項的二項式系數(shù)最大,

C/C：是展開式的中間兩項的二項式系數(shù),

則”為奇數(shù)，且ck與C丁最大，

JnJn

M+1

所以〒=3,解得"5,A項錯誤;

B項，=35=243,故展開式的各項系數(shù)和為243,B項正確;

C項，的展開式中的二項式系數(shù)和為25=32,其中奇數(shù)項和偶數(shù)項的二項式系數(shù)和

相等，所以展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為16,C項正確;

D項，的展開式的通項公式為且,為整數(shù),

cy-2小=C5-TXF<r<5

令5-彳3r=0,解得〃=1；0,不滿足要求，所以展開式中不含常數(shù)項，D項正確.

23

故選：BCD.

10.【答案】ABD

【詳解】AB=(0,2,-1),AC=(-2,2,0),SC=(-2,0,^,

對于A,與向量與方向相同的單位向量是故A正確;

_AB-ACAC4(-2,2,0)/一小

對于B,冠在NC上的投影向量是:甲,府=翁已宕=(-1，1，°)，故B正確;

—rrcAB,BC1

對于C,cosAB,BC==--故c錯誤;

\ABrc\'f

對于D,設平面的法向量是五二(%,y,z),

8

AB?萬=0\2y-z=0

則一，即:c八，令x=l，可得y=i,z=2,

AC-n=0[-2x+2y=0

所以平面的一個法向量是為=。,1,2）,

原點。（0,0,0）至1」平面/3C的距離d==1（2，?！梗?，1,2.邁,

同V63

n「448、

坐標原點。（0,0,。）關于平面的對稱點是2"同=[§，§，1），故D正確.

故選：ABD.

11.【答案】ABD

22

【分析】選項A,利用條件，設雙曲線方程為=再利用雙曲線過點（3,-1）,即可

aa

求解；選項B,根據(jù)條件，借助圖形，即可求解；選項C,利用余弦定理及雙曲線的定義，得到

2

v-___________cb

△取格一NRPF,，再結合條件，即可求解；選項D,利用C中結果七國巡ZF.PF,，

tan!——-tan--1———

22

再結合條件，即可求解.

22

【詳解】對于A,因為雙曲線為等軸雙曲線，設雙曲線方程為三-<=l（a>0）,

aa

a1

所以=-二=1,解得標=8，得到雙曲線的方程為一一/=8,正確,

a'a"

對于B,如圖，由題知/月尸7=/心尸7,NRPT=NQPM,所以/MPQ=NF?PT,

若HP1TM,所以NFFH=NQPH,正確，

對于C,記|尸甲=叫尸耳=〃，所以

222

閨聞2=m+n_2mncosZFxPF2=(m-n)+2mn-2mncosAFXPF2,

2/721

又由閭=2c,m-〃=2。，得到小"=—os/—，又$△尸0=不加〃sin//尸尸2，

lx24

9

所以S△及%=^x］嬴2正義51必77里=京三百，又4”三,

一2

由工加〃=-——=8,得加〃=16,錯誤，

2tan45°

對于D,因為4尸6=60。，|尸白卜叫尸閭=〃，

由—mHsin60°=--—，得mn=32，

2tan30P

又m—n=Aypi，得至iJ加之—2加〃+/=32,得至ll加之+/=95,

從而有(冽+=160,得到m+n=4V10,

b2[Z)2

由—m|P7|sin30o+—n.pT|sin30°=得至！J-(m+力I尸外sin300=-----

2112tan302V711tan3(F

從而有3（機+〃）|尸?、?0°=—=873,解得戶7|=生?

正確,

故選ABD.

12.【答案】5

【分析】

利用拋物線的定義，將|尸尸|轉化為P到準線的距離，再由三點共線求最小值.

【詳解】

由題意，拋物線的準線為x=-l,焦點坐標為尸。,0）,過點尸向準線作垂線，垂足為A,則

\PF\+\PM\=\PA\+\PM\,

當P,M,/共線時，和最?。贿^點尸向準線作垂線，垂足為8,則歸人+|尸閭=|尸/|+|9閨九@=5,

所以最小值為5.

故答案為：5.

13.【答案】1

【詳解】由于兩直線平行，所以1x2=0+〃。加，

10

解得加=1或加=-2,

當加=1時，兩直線方程為％+2>—2=0、、+2>+4=0,符合題意.

當冽=—2時，兩直線方程為x—y—2=0、—2x+2y+4=0,

即x—y—2=0、x—>―2=0,兩直線重合，不符合題意.

所以加的值為1.

故答案為：1

■■71117T

14.【答案】--

22

【詳解】以3c中點。為原點，直線CM為X軸，直線。3為V軸，過點O與平面A8C垂直的直線

為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.

底面ABC是邊長為2的等邊二角形，AB=BC=AC=2,AO=V3,

分別是的中點，且以=ED=J7￡=1,

所以三棱錐憶-/E。為正四面體，作物，平面4BC于點石，

則H為等邊三角形4ED的重心，AH=-AM=-AO=—,HM=-,VH=yJVA2-AH2

33363

則。(0,0,0),4(6,0,0),5(0,1,0),c(o,-i,o)，H半0,事,

則數(shù)=(0,-2,0),VB=廿士=(-V3,l,o).

1—7

設為=(%//)為平面陽C的一個法向量,

-2y=0

BC,元=0

則r一，即＜V6_

VB-n=0-----x+V----z=0

133

令X=1,則y=0,z=-V2，

則元=(1,0,-收)為平面EBC的一個法向量,

11

n付

又以=----

所以歸〃為,

所以直線以與平面EBC所成角為￡

2

因為ADOCQEOB都為等邊三角形，DO=OC=OB=OE=l,

所以球心在過BC中點與平面4BC垂直的直線上，

（2巧后、

設球心G（O,OM）,半徑為R,則％G=GC=R,憶,C（0,-1,0）,

所以「痣丫22

m------=1+m=Rf解得加==

3744

.11兀

故四棱錐憶-5CDE的外接球的表面積為手.

故答案為：生方

15.【答案】（1）10；

(2)8；

(3)660.

【分析】（1）利用給定等式，取x=0求出"值.

（2）根據(jù)給定等式，取尤=-1即可得解.

（3）求出（l+2x）〃展開式的通項公式，再結合組合數(shù)的性質求出外.

【詳](1)(1+2x)2+(1+2x)3H----F(1+2%)”=9+ci^x+a2%?H—+a/"中，

令x=0,得〃-1=9,所以〃=10.

(2)在(1+2x)2+(1+2x)3+,,,+(1+2x)1。=9+qx+CL^X^+…+cinx^中，

令X=—1,得9—Q]+2一％----。9+。10=1—1+1—1+，bl—1+1=1,

月f以(%+%+〃5)一(“2+%+4)=8,

(3)(1+2x)n的展開式的通項公式&]=C；(2%丫=才CJX,

因止匕的=22(C；+C；+C；+…+C：o)=4(C；+C；+C；+…+C；o)=4C：i=66O.

所以的=660.

16.【答案】(1)—5H—b+c?(2)yj~6;(3).

223

12

【詳解】（1）連接/0/c,/G，如圖:

在,根據(jù)向量減法法則可得：BAX=AAX-AB=c-a

因為底面45cZ）是平行四邊形

故/=次+而=五+B

因為4。//44且|4C|二|4G|

A^Cx=AC=a+b

又M為線段4G中點

——?1——?1一

??.AXM=-AxCx=-(a+b)

在AA[MB中

BM=BA{+A^i=c-a+^+b)=-$+/+(?

(2)因為頂點A為端點的三條棱長都是工，且它們彼此的夾角都是60,

故5.B=同同coMO。=；

a-c=\a\-\c\cos600=g

一一?1

b-c=\b|-|c|cos60=-

由(1)可知/C=a+6

故平行四邊形44CG中

故：IC^AC+TA^a+b+c

|1C|2=(^C)2=(a+ft+c)2

=(a)2+(b)2+(c)2+2a-b+2a-c+2b-c

13

=|5|2+1|2+|c|2+215|?||cos60°+215|?|c|cos60°+2\b\-\c\cos60°

=l+l+l+2x-+2x-+2x-=6

222

故|ACX|=V6

（3）因為=N+B+AB=a

a-（d+b+c）

又cos(屈就.皿-

1.V6

_（a）2+a-b+a-c_^+2+2_2_&>

V6V6-V6-3

17.【答案】（l）/=4x

(2)32

【分析】(1)利用圓和圓，圓和直線的位置關系的性質和拋物線的定義即可求解.

(2)設直線的方程為1=切+1,加。0,聯(lián)立方程組得力IPi+為V?-4m,，，再利用拋物線的的性質

1yM=-4，

求|/同，同理求最后利用基本不等式求解即可.

【詳解】(1)設圓M的半徑為「，圓龍2+「-2x=0的圓心尸(1,0),半徑為1,

因為圓”與圓尸內切，且與直線尤=-2相切,

所以圓心W到直線x=-2的距離為「，因此圓心M到直線x=-l的距離為一1,且VR=r-l,

故圓心/到點尸的距離與到直線x=-l的距離相等,

據(jù)拋物線的定義，曲線E是以尸。,0)為焦點,直線產-1為準線的拋物線，所以曲線E的方程為

y2=4x.

(2)設直線的方程為x=〃9+1,〃-0,」（"J,B（x2,y2）.

x=my+1,乂+%=4"?,

聯(lián)立方程組2_4整理得y-4加了-4=0,故

.弘力=一4

所以AB=AF+BF=x{+l+x2+\=myx+1+l+mj2+1+1

=冽（必+?2）+4=4m2+4.

因為直線。的方程為x=-Ly+l,

m

14

4

同理可得C0=F+4.

m

所以$機2+4)[=+4)=812+TT?+1)

28(2+2jl」]=32,

Vm

當且僅當加=4，即加=±i時，取等號.

"T

⑵回

10

⑶存在，點E在Z）處或在靠近耳的三等分點處

【詳解】（1）過/作直線z,平面NBCD,

則可以點/為坐標原點，建立如下圖所示的空間直角坐標系,

則有4(0,0,0),5(1,0,0),C(l,l,0),￡>(0,2,0),巴(1,1,2),G(1,1,2),

則西=(0,0,2),CD=(-l,l,0),西=西=(0,1,2),

n-CB,=2w=0

設面B】CD的一個法向量為五=（〃,％?）,貝!J__J

nCD=-u+v=0

15

令式=1,則v=l,w=Q,所以元=(1,1,0),

CC.-ni

所以點。到面卻力的距離d=

n飛=2

1313

(2)因為E為穌D的中點，所以E，1，所以/E=,1DD=函=(0,1,2),

2'22'2t

3+2

V70

所以cos(4E,￡>〃>=]AE-DQ2

AE\10

DDXlxVi+4

所以異面直線與所成角的余弦值為畫.

10

(3)設瓦=2函=2(1,-1,2)=(九一九22),其中0VXW1,

則/E=AD+DE=(42-422),=(1,1,0),AD=(0,2,0),

設平面/CE的一個法向量為力=(x,y,z),

?AE=Xx+(2-2)y+2Az=0

則有令x=A,貝1]>=一4,z=l-A,

n?AC=x+y=0

所以平面NCE的一個法向量為為=(九-2,1-刈,

設平面/DE的一個法向量為所=(a,6,c),

m-AE=Aa+(2—A)b+2Ac=0

則_，令。=1,則b=0,a=—2,

m-AD=2b=0

所以平面/DE的一個法向量為麗=(-2,0,1),

/一一\m.幾1-32

所以c°s施〃人而

>/5-^22+22+(1-2)2

若存在點E,使得二面角C-/D-E的余弦值為9，

則——「3%二呼,所以3%—22=0,解得2=0或2=2,

V5j22+22+(l-2)5