2025高考數(shù)學(xué)考二輪專題復(fù)習(xí)-第十五講-橢圓（四大考向）-專項訓(xùn)練

一：考情分析

命題解讀考向考查統(tǒng)計

2022?新高考口卷，

L高考對橢圓的考查，重點是橢圓的定義和弦長

16

（）橢圓的定義、幾何圖

12023?新高考□卷，

形、標準方程。橢圓的離心率

5

（2）橢圓的簡單幾何性質(zhì)2022?新高考□卷，

（范圍、對稱性、頂點、離心16

率）。直線與橢圓的應(yīng)用

2023?新高考□卷，

（3）直線和橢圓的位置關(guān)系5

及綜合應(yīng)用。2024?新高考□卷，

橢圓的軌跡方程

5

二：2024高考命題分析

2024年高考新高考口卷橢圓的考查體現(xiàn)在大題中，后續(xù)專題會解讀?？诰砜疾榱?/p>

橢圓的軌跡方程求法，難度較易。橢圓是圓雉曲線的重要內(nèi)容，高考主要考查橢圓定

義的運用、橢圓方程的求法以及橢圓的簡單幾何性質(zhì)，尤其是對離心率的求解，更是

高考的熱點問題，因方法多，試題靈活，在各種題型中均有體現(xiàn)。預(yù)計2025年高考還

是主要考查橢圓的定義和離心率。

三：試題精講

一、單選題

1.（2024新高考□卷-5）已知曲線C：x2+y2=16（y>0）,從C上任意一點P向x軸

作垂線段PP,P為垂足，則線段PP'的中點/的軌跡方程為（）

2222

A.工+匕=1(y>。)B.—+—=1(y>0)

164168

22

C.-^+―=1(y>0)D.匕+土=1(y>0)

164168

高考真題練

一、單選題

22

1.（2023新高考口卷6）設(shè)橢圓6：=+/=13>1）。：二+丁=1的離心率分別為

a4

，，4.若/=&，，貝!］。二（）

A.2，B.V2c.V3D.76

2.（2023新高考口卷6）已知橢圓C:：+;/=i的左、右焦點分別為6，F(xiàn)2,直線

y=x+7"與C交于4,8兩點，若△《AB面積是△BAB面積的2倍，則冽=（）.

A.-B.立C.一變D.--

3333

二、填空題

22

3.（2022新高考□卷T6）已知橢圓C：T+盤=l（a>6>0）,。的上頂點為4兩個焦

點為K,F2,離心率為過匕且垂直于A工的直線與c交于。，E兩點，|DE|=6,

則NADE的周長是.

22

4.（2022新高考□卷T6）已知直線/與橢圓一+三=1在第一象限交于4,3兩點，/與

63

X軸，了軸分別交于N兩點，且|MA|=|NB|,|MN|=2退，貝|/的方程

為.

知識點總結(jié)

一、橢圓的定義

平面內(nèi)與兩個定點與，鳥的距離之和等于常數(shù)2a（2〃>|百耳|）的點的軌跡叫做橢圓，

這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距，記作2c,定義用集合語

言表示為:｛尸||尸耳|+1尸"|=2a（2a>|月月|=2c>0）｝

注意：當(dāng)24=2c時，點的軌跡是線段;

當(dāng)2a<2c時，點的軌跡不存在.

、橢圓的方程、圖形與性質(zhì)

焦點的位

焦點在X軸上焦點在y軸上

置

*

3

圖形4kOXA1

22202

標準方程下方=1（?>0）%2（a>b>0）

統(tǒng)一方程mx2+ny2=l（m>0,n>0,mn）

\x=acos6AW,/、\x=acos0、r./、

參數(shù)方程7.八，。為參數(shù)（?！闧0,2加）7.為參數(shù)（6c[0,2捫）

[y=bsmu[y=bsmO

第一定義到兩定點百心的距離之和等于常數(shù)2a,^\MFt\+\MF2\=2a（2°>|百耳|）

范圍-a<x<a^-b<y<b-b<x<b^-a<y<a

A],0）、A25,0）A/。,-”）、A2（0,6i）

頂點

B/0,詢、B2（O,fe）B"-"0）、B2（&,0）

軸長長軸長=2a,短軸長=26長軸長=2a,短軸長=2萬

對稱性關(guān)于x軸、y軸對稱，關(guān)于原點中心對稱

焦點耳（-G。）、瑪（c,0）片（0,-。）、?（O,c）

X=±e

準線方程

C

點和橢圓>1外一外

芯_+近工+5,=10點(%,%)在橢圓<

=10點(%,%)在橢圓.上上

a2b2ab

的關(guān)系<1內(nèi)[<1內(nèi)

+^^=1((%,%)為切點)，亭+=1（（%,%）為切點）

abab

切線方程對于過橢圓上一點（尤0,%）的切線方程，只需將橢圓方程中f換為x°x,V換

為為y可得

切點弦所

在的直線笄+誓=1（點（無0,%）在橢圓外）理+等=1（點5,%）在橢圓外）

abab

方程

2h2一

□cos6=——1,4”=/耳母；，(8為短軸的端點)

1

n<-nh2tJc|%l,焦點在X軸上

□S.=—rnsva6=btan—=<,、_=ZEPF)

A呻PFF22y1223|%],焦點在肉上t'1?27

［當(dāng)。點在長軸端點時，（化）min=b2

□<

當(dāng)P點在短軸端點時，（?；G）max=〃2

焦點三角形中一般要用到的關(guān)系是

[\MFl\+\MF2|=2a(2a>2c)

<S^=^\PFx\\PF2\smAFlPF^

22

||KB|=|PF^+\PF21-213||PF1|cosqPF?

左焦半徑：\MF^=a+ex0上焦半徑：\MFl\=a-ey0

焦半徑

又焦半徑：\MF]=a-ex0下焦半徑：\MF^=a+ey0

焦半徑最大值“+c,最小值a-c

h2

通徑過焦點且垂直于長軸的弦叫通徑：通徑長=2匕（最短的過焦點的弦）

a

設(shè)直線與橢圓的兩個交點為A（Xi，y）,B（x2,y2）,kAB=k,

貝!!弦長AB\=JI+左2,_91=JI+k2J（玉+9）2-4菁X2

弦長公式

+%）2_4y%='1+左2各

Vk\a\

（其中。是消y后關(guān)于%的一元二次方程的%2的系數(shù)，A是判別式）

【橢圓常用結(jié)論】

1、過橢圓的焦點與橢圓的長軸垂直的直線被橢圓所截得的線段稱為橢圓的通徑，其長

小2及

79——?

a

□橢圓上到中心距離最小的點是短軸的兩個端點，到中心距離最大的點是長軸的兩個

端點.

□橢圓上到焦點距離最大和最小的點是長軸的兩個端點.

距離的最大值為a+c,距離的最小值為4-c.

2、橢圓的切線

22

詡圓,方13小。）上一點P5,%）處的切線方程是小等f

22

□過橢圓1+2=1（°>6>0）外一點尸（%,%）,所引兩條切線的切點弦方程是

ab

生絨一].

H+〃一1'

22

□橢圓二+與=1(a>b>0)與直線Av+3y+C=0相切的條件是A2a2+長片=02.

ab

名校模擬練

一、單選題

丫22

1.（2024?湖北荊州三模）已知橢圓C：/+匕=1的一個焦點為（0,2）,則上的值為

8k

（）

A.4B.8C.10D.12

222

2.（2024?山東煙臺三模）若橢圓上+2_=1與橢圓無2+與=1（/>>1）的離心率相同,

43

則實數(shù)b的值為（）

A,空]

cD

3-5-i

22

3.（2024?江西九江?三模）已知橢圓C:，+多=1（〃>"0）的左右焦點分別為耳，工，過

ab

片且傾斜角為3的直線交C于第一象限內(nèi)一點A.若線段鉆的中點在y軸上,A4耳工的

O

面積為26,則。的方程為（）

222

AX21oXJ

A.1-y=1B.----1=1

332

C.—+^=1D.—+^=1

9396

4.（2024?河南?三模）已知橢圓C:，+*=1（Q>A>0）的右焦點為尸，短軸長為2百，

點M在橢圓上，若IMF|的最大值是最小值的3倍，則橢圓的焦距為（）

A.3B.4C.1D.2

22

5.（2024?浙江紹興三模）已知直線、=區(qū)（人0）與橢圓C：二+2=1（°>6>0）交于

ab

A,8兩點，以線段AB為直徑的圓過橢圓的左焦點耳，若甯川=2閨同，則橢圓C的離

率

是

、D

5在5

ACD

.B.4-3-9-

22

6.（2024?江西鷹潭?三模）已知橢圓C:\+%=l（a>6>0）的左、右焦點分別為

耳,下2,傾斜角為45。且過原點的直線/交橢圓于兩點.若WW|=|耳區(qū)設(shè)橢圓的離

心率為e,則e?=（）

A.72-1B.2-72

C.73-1D.3-73

7.（2024?天津河西?三模）已知耳，B是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公

共點，且/片尸耳=],若橢圓的離心率為4,雙曲線的離心率為e?,則e；+e；的最小值

為（）

A.3+73B.C.D.4

22

22

8.（2024?四川?三模）已知橢圓C：L+A=i3>o）：的左、右焦點分別為月,工，點尸是

4b-

橢圓上一點，若居的內(nèi)心為連接尸加并延長交x軸于點Q,且

\PM\^y/3\QM\,則橢圓的短軸長為（）

A.2B.2后C.2A/3D.平

22

9.（2024?廣東汕頭?三模）已知橢圓C：工+二=1的兩個焦點分別為月，F(xiàn)2,P是C

1612

上任意一點，則下列不正確的是（）

A.C的離心率為gB.|P叫的最小值為2

C.附卜|尸閶的最大值為16D.可能存在點P,使得/4至=65。

22

10.（2024?河北衡水?模擬預(yù)測）已知橢圓C:0+當(dāng)=l（a＞6＞0）的左右焦點分別為

ab

F、,F＞過&向圓尤,+好=：〃引切線交橢圓于點p,。為坐標原點，若10P卜。閭，貝!j橢

圓的離心率為（）

A.|B.正C.@D.|

2233

22

11.（2024?浙江?三模）已知橢圓「2+廿=地”＞。）的左、右焦點分別為匕，B，

過尸?的直線/與橢圓「相交于/、B兩點,與了軸相交于點c.連接尸C,F{A.若。

為坐標原點，片C,與A,S^OF2=2S^AFIF2,則橢圓r的離心率為（）

A.叵D

57o--W

二、多選題

22

12.（2024?河南開封?三模）橢圓C:^—+當(dāng)=1（根＞0）的焦點為％F,上頂點為

m+1m2

jr

A,直線M與C的另一個交點為8,若/耳4月=1，則（）

A.C的焦距為2B.C的短軸長為26

C.c的離心率為gD.AAB鳥的周長為8

2

13.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知長軸長、短軸長和焦距分別為2a、2b和2c的橢圓C,

點A是橢圓。與其長軸的一個交點，點8是橢圓。與其短軸的一個交點，點月和乙為

其焦點，AB1BF,.點尸在橢圓。上，若/區(qū)尸片=三，貝IJ（）

A.a,b,c成等差數(shù)列

B.a,b,c成等比數(shù)列

C.橢圓C的離心率e=6+l

D.42月的面積不小于尸月月的面積

22

14.（2024?河南?三模）已知橢圓+斗=1（〃＞。＞0）經(jīng)過點尸（0,1）,且離心率為

—.記。在尸處的切線為/,平行于。尸的直線/'與。交于4B兩點,則（）

2

22

A.C的方程上+匕=1

42

B.直線OP與/的斜率之積為-1

C.直線。尸，/與坐標軸圍成的三角形是等腰三角形

D.直線為，心與坐標軸圍成的三角形是等腰三角形

22

15.（2024?全國?二模）已知圓O：Y+y2=3經(jīng)過橢圓c：[+三=1（a＞8＞0）的

ab

兩個焦點百，F(xiàn)],且尸為圓。與橢圓C在第一象限內(nèi)的公共點，且△尸片B的面積為

1,則下列結(jié)論正確的是（）

A.橢圓C的長軸長為2B.橢圓C的短軸長為2

C.橢圓C的離心率為3D.點P的坐標為

22

16.（2024?江西南昌?三模）將橢圓G：「+與=1（。＞匕＞。）上所有的點繞原點旋轉(zhuǎn)

ab

角，得到橢圓C2的方程：x2+y2-xy=6,則下列說法中正確的是（）

A.。=2石B.橢圓C2的離心率為更

3

C（2,2）是橢圓的一個焦點D.:

4

22

17.（2024?江西宜春?三模）設(shè)橢圓C：二+==1的左、右焦點分別為耳，F(xiàn),坐標

842

原點為。若橢圓。上存在一點P,使得|OP|=",則下列說法正確的有（）

3

A.cos“%=gB.PFlPF2=5

C.△月尸弱的面積為2D.△耳尸鳥的內(nèi)切圓半徑為四-1

三、填空題

18.（2024?上海?三模）已知橢圓。的焦點耳、工都在x軸上，尸為橢圓C上一點，

△尸久居的周長為6,且「國，閨周，儼閭成等差數(shù)列，則橢圓C的標準方程

為.

22

19.（2024?四川攀枝花?三模）已知橢圓C:，+[=l（a>6>0）的左、右焦點分別為

ab

4F2,點M,N在c上，且FF2=3MN,F\M1F?N,則橢圓C的離心率為.

22

20.（2024?山西?三模）已知橢圓C:=+A=l（a>b>0）的左、右焦點分別為G，B，若

C上存在一點尸，使線段尸月的中垂線過點則c的離心率的最小值是.

21.（2024?陜西咸陽?三模）已知橢圓C:三+反=1的左、右焦點分別為月、F2,M為

54

橢圓C上任意一點，尸為曲線E：/+y=6x-4y+12=0上任意一點，則|心|+|成|的

最小值為.

2

22.（2024?湖南長沙?三模）已知橢圓匕+/=1,尸為橢圓上任意一點，過點P分別作

9

與直線4：y=3x和/z：y=-3尤平行的直線，分別交4，（交于N兩點，則|肱v|的最

大值為.

22

23.（2024?重慶?三模）已知橢圓5+2=1（°>6>0）的左右焦點為月,工，若橢圓上存

ab

在不在無軸上的兩點43滿足片A+片3=片用，且sin/耳48=2sin/月48,則橢圓離

心率e的取值范圍為

參考答案與詳細解析

一：考情分析

命題解讀考向考查統(tǒng)計

2022?新高考口卷，

1.高考對橢圓的考查，重點是橢圓的定義和弦長

16

（）橢圓的定義、幾何圖

12023?新高考口卷,

形、標準方程。橢圓的離心率

5

（2）橢圓的簡單幾何性質(zhì)2022?新高考□卷，

（范圍、對稱性、頂點、離心16

率）。直線與橢圓的應(yīng)用

2023?新高考口卷，

（3）直線和橢圓的位置關(guān)系5

及綜合應(yīng)用。2024?新高考□卷，

橢圓的軌跡方程

5

—：2024高考命題分析

2024年高考新高考口卷橢圓的考查體現(xiàn)在大題中，后續(xù)專題會解讀?？诰砜疾榱?/p>

橢圓的軌跡方程求法，難度較易。橢圓是圓雉曲線的重要內(nèi)容，高考主要考查橢圓定

義的運用、橢圓方程的求法以及橢圓的簡單幾何性質(zhì)，尤其是對離心率的求解，更是

高考的熱點問題，因方法多，試題靈活，在各種題型中均有體現(xiàn)。預(yù)計2025年高考還

是主要考查橢圓的定義和離心率。

三：試題精講

一、單選題

1.（2024新高考□卷6）已知曲線C：x2+y2=l6（y>0）,從C上任意一點P向x軸

作垂線段PP，P為垂足，則線段尸產(chǎn)’的中點/的軌跡方程為（）

2222

A.工+匕=1(y>0)B.土+匕=1(y>0)

164168

22

C.“）D.二+土=1(y>0)

。卜168

【答案】A

【分析】設(shè)點M(x，y),由題意，根據(jù)中點的坐標表示可得P(x，2y),代入圓的方程即可

求解.

【詳解】設(shè)點M(x,y),貝(］七(羽為\尸(x,0),

因為M為尸尸'的中點，所以%=2%即P(x,2y),

又尸在圓好+/=16(丫>0)上，

所以x2+4yi=16(y>0),即/+=1(>>。)，

164

即點加的軌跡方程為I+二=l(y>0).

164

故選：A

高考真題練

一、單選題

22

1.(2023新高考口卷5)設(shè)橢圓G：，+y2=l(a>DC：二+y=1的離心率分別為

a4

。1，。2.若。2=，則〃=()

A.孚B.72C.V3D.76

【答案】A

【分析】根據(jù)給定的橢圓方程，結(jié)合離心率的意義列式計算作答.

【詳解】由02=6中得e；=3e：,因此=l=3x。，而“>1,所以。=空.

故選：A

2.(2023新高考口卷6)已知橢圓C:：+y2=i的左、右焦點分別為6，F(xiàn)2,直線

y=x+w與C交于4,B兩點,若△々AB面積是△gAB面積的2倍，貝1［加=().

A.-B.立C.一變D.--

3333

【答案】C

【分析】首先聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用△＞（）,求出〃?范圍，再根據(jù)三角形面積

比得到關(guān)于加的方程，解出即可.

y=x+m

【詳解】將直線y=x+機與橢圓聯(lián)立冗2「消去y可得4f+6盛+34—3=0,

一+y=1

[3'

因為直線與橢圓相交于AB點，貝！JA=36l-4x4（3療-3）＞0,解得-2＜相＜2,

設(shè)片到AB的距離4,耳到AB距離4,易知片（-72,0）,f；（72,0）,

[3.1,_I-A/2+m\|\/2+m\

ziy4=9d?=

|-V2+m|

解得根=一4或一3五（舍去）,

_FXAB_6_I+川_2

sF'ABI夜+.I\42+m\

F

故選：C.

二、填空題

22

3.（2022新高考□卷T6）已知橢圓C:?+多=l（a＞6＞0）,C的上頂點為/,兩個焦

ab

點為4,F2,離心率為3.過耳且垂直于A工的直線與c交于。，E兩點，1。&=6,

則VADE的周長是.

【答案】13

22

【分析】利用離心率得到橢圓的方程為?+5=1，即3/+4y272c2=0,根據(jù)離心

率得到直線AF2的斜率，進而利用直線的垂直關(guān)系得到直線DE的斜率，寫出直線上

的方程：x=^y-c,代入橢圓方程獷+分-2c2=0,整理化簡得到：

13y2-6,cy-9c2=0,利用弦長公式求得c=[,得。=2°=7，根據(jù)對稱性將VADE

o4

的周長轉(zhuǎn)化為△月止的周長，利用橢圓的定義得到周長為4a=13.

【詳解】□橢圓的離心率為e=9r=J1,La=2c,Ob2=a2-c2=3c2,□橢圓的方程為

a2

22

券+5=1,即3f+4y2-12c2=0,不妨設(shè)左焦點為耳，右焦點為巴，如圖所示，口

TT

AF2=a,OF2=C,a=2c,nZAF2O=—,口△△百耳為正三角形，「過￡且垂直于A外的

直線與C交于D,E兩點，DE為線段人工的垂直平分線，口直線DE的斜率為正，斜

3

率倒數(shù)為6，直線DE的方程：X=A-C,代入橢圓方程才+4尸-12/=0,整理化簡

得到：13y2-6百cy-9c2=0,

判另！I式△=(6&『+4X13X9C2=62X16XC2,

口|DE|=“+(若了|xf|=2x----=2x6x4x——=6

1313

133013

c=—,Q—2。=—

84

□DE為線段A8的垂直平分線，根據(jù)對稱性，AD=DF2,AE=EF2,口憶包圮的周長等

于△居OE的周長，利用橢圓的定義得到△入OE周長為

\DF2\+\EF2|+|D￡|=|DF21+|EF2%|￡＞耳卜|博|=|n耳|+|DF2\+\EFl\+\EF2\=2a+2a=4a=13.

故答案為：13.

4.（2022新高考口卷T6）已知直線/與橢圓1+?=1在第一象限交于48兩點，/與

63

X軸，>軸分別交于跖N兩點，且|MA|=|A?|,|MN|=2g,貝卜的方程

為.

【答案】x+-2^2=0

【分析】令A(yù)B的中點為E,設(shè)A（x”X）,8（x2,%），利用點差法得到臉?嘮=-：，

設(shè)直線河:y二區(qū)+根,k<09m>0,求出M、N的坐標，再根據(jù)|ACV|求出左、m,即

可得解；

【詳解】［方法一］:弦中點問題：點差法

令A(yù)B的中點為E,設(shè)AQ,%）,3（%,%）,利用點差法得到%=-；，

設(shè)直線AB\y=kx+m,左<0,m>0,求出M、N的坐標，

再根據(jù)|MN|求出3〃J即可得解;

解：令A(yù)3的中點為E,因為|阿=|A?|,所以

2222

設(shè)A（玉5（%2，%），貝［1*+*=1，今+^~=1，

6363

所以立_立+支._五=0,即（―一%2）（%+々）?（必+必）（1一%）=0

663363

能親得=［，即％設(shè)直線相-+"J<0,m>0,

所以

令％=0得'=根，令）=0得工=,即M5,1,A^（0,m）,

k（一。

所以"hr5,

m

即"W-，解得』日或女當(dāng)（舍去），

2k

又|腦V|=26，即[MN]=5m)=2A/3,解得m=2或相=一2(舍去),

所以直線A3:y=-區(qū)+2,即x+yf2y-2^/2=0；

2

故答案為：x+y[ly-2\/2=0

［方法二］:直線與圓錐曲線相交的常規(guī)方法

解：由題意知，點E既為線段A5的中點又是線段MN的中點,

設(shè)A（石,%），8%2，為），設(shè)直線題:y=kx+m9k<Q9m>0,

則<-亍,0卜N(0,m),E《《，因為|MN|=2。所以3=6

乙K乙）

y=kx+m

聯(lián)立直線AB與橢圓方程得Jy2消掉y得(1+2*謬+4加+2療-6=0

—+—=1

163

222

其中△二(4mA;)-4(1+2k)(2m-6)>0,xi+x2=--—9

"B中點E的橫坐標『-公，又母，=-母=-愛

口無<0,m〉0,「仁卓又|o?=J(一1y+.)2=6,解得m=2

所以直線AB:y=-冬+2,即x+yp2y—2^/2=0

知識點總結(jié)

一、橢圓的定義

平面內(nèi)與兩個定點耳，鳥的距離之和等于常數(shù)2a(2°>|百耳|)的點的軌跡叫做橢圓，

這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距，記作2c,定義用集合語

言表示為：{P||尸用+1%|=2a(2a>|耳8|=2c>0)}

注意：當(dāng)2a=2c時，點的軌跡是線段;

當(dāng)2a<2c時，點的軌跡不存在.

統(tǒng)一方程

[x=acosO公小心,、[x=acosO、i公出心/、

參數(shù)方程,八，。為參數(shù)（?！闧0,2加）,八/為參數(shù)（匹[0,2加）

[y=Z?sm6[y=bsin。

第一定義到兩定點耳、8的距離之和等于常數(shù)2a,^\MFl\+\MF2\=2a（2a>|百耳|）

范圍-a<x<a^-b<y<b-b<x<b^-a<y<a

A/-。,。)、A2(t2,0)A"。,-”)、A2(0,?)

頂點

B](O,詢、B2(O,Z?)B2(Z7,0)

軸長長軸長=2a,短軸長=26長軸長=2Q,短軸長=26

對稱性關(guān)于無軸、y軸對稱，關(guān)于原點中心對稱

焦點耳（-%0）、F2（C,0）耳(0,-c)、K(o,c)

焦距耳閶=2c(c2=a2-b2)

展j/11(°<e<D

離心率e=r\

準線方程

c

點和橢圓>1一外>1外

+西.

=10點(%,%)在橢圓<上=lo點(%,%)在橢圓W上

a2b2a1b2

的關(guān)系<1內(nèi)<1內(nèi)

”+誓=1((%,%)為切點)聾+H9）為切點）

ab

切線方程對于過橢圓上一點（x。,%）的切線方程，只需將橢圓方程中Y換為x°x,/換

為為y可得

切點弦所

號+至=1（點5,%）在橢圓外）薦+浮=i（點（%,為）在橢圓外）

abab

在的直線

（其中a是消y后關(guān)于尤的一元二次方程的x2的系數(shù)，A是判別式）

【橢圓常用結(jié)論】

1、過橢圓的焦點與橢圓的長軸垂直的直線被橢圓所截得的線段稱為橢圓的通徑，其長

為”.

a

□橢圓上到中心距離最小的點是短軸的兩個端點，到中心距離最大的點是長軸的兩個

端點.

□橢圓上到焦點距離最大和最小的點是長軸的兩個端點.

距離的最大值為a+c,距離的最小值為。-c.

2、橢圓的切線

22

□橢圓j+斗=1（。>6>0）上一點尸（毛，％）處的切線方程是岑+岑=1；

abab

22

□過橢圓二+1=1（a>b>0）外一點尸（不，％）,所引兩條切線的切點弦方程是

ab

"+從

22

□橢圓:+當(dāng)=1（。>5>0）與直線Ax+By+C=O相切的條件是A2a。+笈〃=，.

ab

名校模擬練

一、單選題

22

1.（2024?湖北荊州?三模）已知橢圓C：二+匕=1的一個焦點為（0,2）,則上的值為

8k

（）

A.4B.8C.10D.12

【答案】D

【分析】利用橢圓的標準方程與焦點位置即可得解.

【詳解】由題意得，<?=4,a2=k9b2=89所以上=4+8=12.

故選：D.

222

2.（2024?山東煙臺?三模）若橢圓L+2L=1與橢圓/+2=1"〉i）的離心率相同,

43b~

則實數(shù)6的值為（）

A.垣B.-C.2D.-

3324

【答案】A

【分析】由離心率相等列出關(guān)于6的方程求解即可.

222

【詳解】若橢圓一+3=1與橢圓/+與=1（6>1）的離心率相同，

43b2

則與2解得匕=在>1滿足題意.

4b23

故選：A.

22

3.（2024?江西九江?三模）已知橢圓C:「+2=l（a>6>0）的左右焦點分別為斗匕過

ab

jr

片且傾斜角為7的直線交C于第一象限內(nèi)一點A.若線段做的中點在y軸上,AA尸區(qū)的

0

面積為2石,則C的方程為（）

A.—+y2=lB.-------1-------=1

332

尤―t“'I

CD.

9396

【答案】D

【分析】根據(jù)題意得到RtAFtF2,ZAF1F2=:，設(shè)|但』，其它邊全部用t表示，運

6

用面積為2班構(gòu)造方程求出t.再用橢圓定義求出a,進而求出c,b即可.

【詳解】如圖，。為線段下田的中點,5為線段時的中點,.〔OBA工，又軸,

AF2J-x軸.

在Rt的工中，NAF匹=2,設(shè)|傷1=/,則|A耳|=2t,閨凡卜前巴的面積為2省,

6

22

2

2c=閨囚=y/3t=2yj3,c=y/3,b="一c?=6,則C的方程為土+匕=1.

故選：D.

Fi。

22

4.（2024?河南?三模）已知橢圓。邑+今=1（°>6>0）的右焦點為F,短軸長為26,

點M在橢圓上，若1河尸1的最大值是最小值的3倍，則橢圓的焦距為（）

【答案】D

【分析】利用橢圓的幾何性質(zhì)得到關(guān)于a，。的方程組，解之即可得解.

【詳解】依題意，橢圓短軸長為2/，得b=6,貝!|/-°2=〃=3,

又也尸1的最大值是最小值的3倍，即a+c=3（0-c）,

所以a=2c,所以。=2,c=l,則其焦距為2c=2.

故選：D

22

5.（2024?浙江紹興三模）已知直線〉="（人0）與橢圓C：1r+}=ig>b>o）交于

A,B兩點，以線段A3為直徑的圓過橢圓的左焦點%若優(yōu)⑷=2閨用，則橢圓C的離

心率是（）

C,昱

【答案】C

【分析】由題意可得四邊形AEBF,為矩形，結(jié)合橢圓定義與勾股定理可將閨A+14目

分別用。和c表示，即可得離心率.

【詳解】取右焦點F?,連接AB、BF2,由月在以線段AB為直徑的圓上，

故4月，團"結(jié)合對稱性可知四邊形用為矩形，有|A閶=|3

^OA=OB=OFl=c,又由⑷=2閨同，

由閨才+閨砰=（2。）2,則閨A|=竽c,帆目=孚’,

由橢圓定義可得|耳4|+|鉆卜2a,

故國4|+閨同=手0+^c=?c=2a,

c275

則”丁還一號.

故選：c.

22

6.（2024?江西鷹潭三模）已知橢圓C:1y+}=1（°＞人＞0）的左、右焦點分別為

片，尸2,傾斜角為45°且過原點的直線/交橢圓于M,N兩點.若村亞|=|耳心|,設(shè)橢圓的離

心率為e,則e?=（）

A.亞一1B.2-72

c.V3-1D.3-V3

【答案】B

【分析】根據(jù)題意|MN|=山閭=2c,得到四邊形的聞工為矩形，由直線/過原點且傾

斜角為45。，在一〃。月和AMO片中，利用余弦定理計算得國,閭，結(jié)合橢圓的定

義2°=|MK|+|M段,求得離心率，進而計算出e2.

【詳解】如圖所示，

因為|孫|=國司=2c,且。分別為MN和片B的中點，|OM|=|C閭=|ON|=|(叫=c,所

以四邊形N不因為矩形，

又直線/過原點且傾斜角為45°,即NMOg=45°,ZMOFt=135°,且MO工為等腰三角

形，

所以，在火歡