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第4章廣義胡克定律與彈性常數(shù)§4.1廣義胡克定律§4.2各向同性彈性§4.3彈性應(yīng)變能函數(shù)§4.4橫觀各向同性彈性2

問題的提出§4.1廣義胡克定律彈性力學(xué)問題中，物體的受力與變形情況，需用15個變量來描述。即：6個應(yīng)力分量，3個位移分量，6個應(yīng)變分量。已學(xué)的基本方程-9個。包括：變形體的平衡微分方程（微元體的力平衡）3個，幾何方程（應(yīng)變-位移關(guān)系）6個。未知變量的個數(shù)（15）多于方程數(shù)（9）。因此，必須研究受力物體的應(yīng)力-應(yīng)變之間的關(guān)系-物理方程（本構(gòu)方程）。對于彈性問題，即廣義胡克定律。3

§4.1廣義胡克定律（一）單向應(yīng)力狀態(tài)下胡克定律對于各向同性的均勻材料，單向應(yīng)力狀態(tài)下，處于線彈性階段材料，其應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系可由下式表示：νν4

（二）平面應(yīng)力狀態(tài)§4.1廣義胡克定律對于各向同性的均勻材料，根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，在小變形的情況下，正應(yīng)力和剪應(yīng)變沒有關(guān)系，而剪應(yīng)力只與剪應(yīng)變有關(guān)，且應(yīng)力的

疊加原理是適用的。平面雙向拉（壓）應(yīng)力純剪應(yīng)力狀態(tài)由于應(yīng)力

x的作用：x方向應(yīng)變?yōu)?/p>

y方向應(yīng)變?yōu)橛捎趹?yīng)力

y的作用：y方向應(yīng)變?yōu)閤方向應(yīng)變?yōu)?/p>

同時有

x和

y作用在x方向及y方向的應(yīng)變?yōu)?/p>

（二）平面應(yīng)力狀態(tài)§4.1廣義胡克定律在

x和

y作用下，z方向的應(yīng)變

56在剪應(yīng)力作用下，X-Y平面內(nèi)的剪應(yīng)變與純剪時相同，即：

式中，為剪切彈性模量

純剪應(yīng)力狀態(tài)（二）平面應(yīng)力狀態(tài)§4.1廣義胡克定律7

（三）三維應(yīng)力狀態(tài)§4.1廣義胡克定律用相同的方法，可以導(dǎo)出三維應(yīng)力狀態(tài)下的各向同性均勻材料的廣義胡克定律，其形式為：（各向同性均勻材料的含義，即材料內(nèi)部各處的不同方向具有相同的

v、E、G值）8將上式的前三式左右兩邊相加后，則有如令則上式可寫為或上式表明：彈性變形時，體積變化與三個正應(yīng)力之和即應(yīng)力張量的球張量成正比，而與應(yīng)力偏量無關(guān)。

（三）三維應(yīng)力狀態(tài)§4.1廣義胡克定律9

（三）三維應(yīng)力狀態(tài)-應(yīng)變表示應(yīng)力§4.1廣義胡克定律v10

§4.1廣義胡克定律（三）三維狀態(tài)下胡克定律11

§4.1廣義胡克定律（三）三維狀態(tài)下胡克定律其中，（）為彈性常數(shù)。上式建立了應(yīng)力與應(yīng)變之間的一般關(guān)系，稱之為廣義胡克定律。式中共有36個常數(shù)。12

§4.1廣義胡克定律（四）彈性常數(shù)矩陣的對稱性上述36個常數(shù)并不都是獨(dú)立的，從§4.3節(jié)能量角度考慮，彈性常數(shù)矩陣是對稱的，即極端各向異性的彈性體其獨(dú)立彈性常數(shù)只有21個。根據(jù)材料本身性質(zhì)的對稱性，獨(dú)立的彈性常數(shù)個數(shù)將發(fā)生變化:若材料具有一個對稱面，則彈性常數(shù)減少至13個；若材料具有三個正交的對稱面，即材料具有正交各向異性，則彈性常數(shù)減少至9個；若材料是橫觀各向同性的，則彈性常數(shù)減少至5個；若材料是各向同性的，則彈性常數(shù)只有2個。13

§4.1廣義胡克定律（五）彈性常數(shù)矩陣對稱性證明假設(shè)材料具有一個對稱面，證明彈性常數(shù)可由21個減少至13個。材料在坐標(biāo)系下，其應(yīng)力張量為：

其應(yīng)變張量為：14

§4.1廣義胡克定律（五）彈性常數(shù)矩陣對稱性證明則根據(jù)廣義胡克定律，其本構(gòu)方程可表達(dá)為：現(xiàn)在如圖所示旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系，旋轉(zhuǎn)后應(yīng)力張量為：15

§4.1廣義胡克定律（五）彈性常數(shù)矩陣對稱性證明旋轉(zhuǎn)后應(yīng)變張量為：新坐標(biāo)系下應(yīng)力與應(yīng)變分量關(guān)系仍可用廣義胡克定律表示：16

§4.1廣義胡克定律（五）彈性常數(shù)矩陣對稱性證明坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)前與旋轉(zhuǎn)后應(yīng)力、應(yīng)變分量關(guān)系可用轉(zhuǎn)換公式獲得新舊坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換矩陣為：且有：根據(jù)上述兩式得：17

§4.1廣義胡克定律（五）彈性常數(shù)矩陣對稱性證明將上述關(guān)系帶入轉(zhuǎn)軸后廣義胡克定律得：因此：同理：如此，彈性常數(shù)矩陣變?yōu)椋簭椥猿?shù)減少至13個。18

§4.1廣義胡克定律（五）彈性常數(shù)矩陣對稱性證明特別地，在正交各向異性條件下，彈性常數(shù)矩陣為：19

§4.2彈性常數(shù)（一）拉梅常數(shù)

在主坐標(biāo)系內(nèi)考慮各向同性材料，由于，對影響與對和對影響相同，因此有同理，對和對影響、對和對影響、以及對和對影響相同：因此，各向同性材料只有兩個常數(shù)和。20

§4.2各向同性彈性（一）拉梅常數(shù)若令常數(shù)、稱為拉梅常數(shù)。通過坐標(biāo)變換，可得任意坐標(biāo)系下表達(dá)式：式中21

（二）工程彈性常數(shù)工程中，各向同性材料常采用彈性模量和泊松比表示，即：式中，為剪切模量。§4.2各向同性彈性22

（二）工程彈性常數(shù)根據(jù)上式，三個正應(yīng)變相加得：式中，，，K

為體積變形模量。至此，各向同性彈性材料可由以下三對參數(shù)表示：（、），（、），（，）§4.2各向同性彈性23

（三）工程彈性常數(shù)關(guān)系證明考慮純剪狀態(tài)下彈性體受力與變形：純剪狀態(tài)下，彈性體應(yīng)力張量與應(yīng)變張量可表示為：根據(jù)廣義胡克定律：式中，G為剪切模量。§4.2各向同性彈性24

（三）工程彈性常數(shù)關(guān)系證明轉(zhuǎn)換坐標(biāo)系到主坐標(biāo)系，根據(jù)廣義胡克定律：對比式與式，不難得到：§4.2各向同性彈性25

（四）常見材料彈性常數(shù)§4.2各向同性彈性26

（五）彈性常數(shù)關(guān)系§4.2各向同性彈性27

（六）示例試求體積彈性模量、拉壓彈性模量、泊松比與彈性常數(shù)、μ

之間的關(guān)系。解：在求解體積彈性模量K時，利用如圖所示的三向均勻壓縮狀態(tài)，令為常數(shù)。由于，故得§4.2各向同性彈性28

（六）示例可得另外，由K為體積彈性模量的定義，在三向均勻壓縮時，有即所以σ=Kθ§4.2各向同性彈性29

（六）示例在求拉壓彈性模量、泊松比與、之間的關(guān)系時，利用如右圖所示的單向拉伸圓截面桿，則可令:其中b、c

為常數(shù)，則有將代入，得§4.2各向同性彈性30

（六）示例由于是單向拉伸受力狀態(tài)，則有則有將代入式中的中，得將式與進(jìn)行比較可得§4.2各向同性彈性靜水壓縮實(shí)驗(yàn)體積模量（七）彈性常數(shù)的測定§4.2各向同性彈性單軸拉伸實(shí)驗(yàn)使用物理關(guān)系，有彈性模量和泊松比：相反，有

（七）彈性常數(shù)的測定§4.2各向同性彈性純剪實(shí)驗(yàn)使用物理方程，

xy

=2G

xy，

因此，

G也是剪切模量。（七）彈性常數(shù)的測定§4.2各向同性彈性各向同性彈性本構(gòu)關(guān)系用其他參數(shù)表示：正應(yīng)力只產(chǎn)生正應(yīng)變；剪應(yīng)力只產(chǎn)生剪應(yīng)變。每個應(yīng)變等于各個應(yīng)力單獨(dú)作用時產(chǎn)生的應(yīng)變之和。（七）彈性常數(shù)的測定§4.2各向同性彈性彈性常數(shù)的限制實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，E、G、K總為正值，有大多數(shù)材料為正值，而

，有即材料彈性不可壓縮，如橡膠。（七）彈性常數(shù)的測定§4.2各向同性彈性36

§4.3彈性應(yīng)變能函數(shù)在彈性體的變形過程中，外力（體積力和表面力）作功，轉(zhuǎn)化為物體中儲存的能量。假設(shè)物體的變形是絕熱的，在時間內(nèi)，一物體總能量的增加，等于外力所作的功。動能先看動能質(zhì)量微元其速度在坐標(biāo)軸上的投影為內(nèi)能37

在同一時間內(nèi)，作用于彈性體上的外力所作的功為體力功面力功如物體表面的方向余弦為

，則表面力為：

§4.3彈性應(yīng)變能函數(shù)38

格林公式將上列面積分變換為體積分，得考慮物體運(yùn)動時，平衡微分方程擴(kuò)展為幾何方程§4.3彈性應(yīng)變能函數(shù)39

能量表示物體的特性，是物體的狀態(tài)的單值函數(shù)，所以必定是全微分，可寫為§4.3彈性應(yīng)變能函數(shù)稱為應(yīng)變能密度函數(shù)。40

可以作為六個形變分量的函數(shù)，的全微分為應(yīng)力和應(yīng)變張量均能分解為球張量和偏張量,因此可將彈性應(yīng)變能分解為兩部分:§4.3彈性應(yīng)變能函數(shù)41

因此總應(yīng)變能與坐標(biāo)選擇無關(guān)，也為一個不變量。由高等數(shù)學(xué)知識，對于一個多元函數(shù)，根據(jù)積分交換定律有?！?.3彈性應(yīng)變能函數(shù)42

§4.4橫觀各向同性彈性(transverselyisotropy)（一）概念橫觀各向同性是指材料在某一平面內(nèi)性質(zhì)相同，但與垂直于該平面內(nèi)材料性質(zhì)不同。典型橫觀各向同性材料：沉積巖、復(fù)合路面等。存在一個彈性對稱軸（z軸），在垂直該軸的平面內(nèi)材料各向同性（在此平面內(nèi)所有射線方向的彈性性質(zhì)均相同）。取兩個特殊的變換：將x，y軸互換時，材料彈性關(guān)系不變c11=c22，c13=c23，c55=c66將坐標(biāo)系繞z軸旋轉(zhuǎn)45?，剪切應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系不變，得c44=0.5(c11

c12)43

§4.4橫觀各向同性彈性（一）概念

x

=c11

x+c12

y+c13

z

y

=c12

x+c11

y+c13

z

z

=c13

x+c13

y+c33

z

xy

=0.5(c11

c12)

xy

yz

=c55

yz

zx

=

c55

zx有5個獨(dú)立參數(shù)正應(yīng)變只產(chǎn)生正應(yīng)力；剪應(yīng)變只產(chǎn)生剪應(yīng)力。44

§4.4橫觀各向同性彈性（二）橫觀各向同性彈性方程45

§4.4橫觀各向同性彈性（二）橫觀各向同性彈性方程假設(shè)各向同性平面為水平面。 是垂直于各向同性平面的彈性模量； 是平行于各向同性平面的彈性模量； 是施加垂直應(yīng)變引起水平應(yīng)變的泊松比； 是施加水平應(yīng)變引起垂直應(yīng)變的泊松比； 各向同性平面內(nèi)的泊松比； 是垂直于各向同性平面的剪切模量； 是各向同性平面內(nèi)的剪切模量。各向同性平面內(nèi)與和滿足如下關(guān)系式：46

§4.4橫觀各向同性彈性（二）橫觀各向同性彈性方程彈性材料一定滿足熱力學(xué)條件，由此、和、滿足如下關(guān)系式：因此，獨(dú)立的彈性常數(shù)只有5個，這5個彈性常數(shù)能夠完全的描述橫觀各向同性材料。這5個彈性常數(shù)是、、、和，即：47

§4.4橫觀各向同性彈性（二）橫觀各向同性彈性方程在主空間：（三）橫觀各向同性彈性常數(shù)測定（1）彈性常數(shù)和的測定方法采用各向同性平面為水平的模型，建立空間直角坐標(biāo)系，令垂直于各向同性平面的方向?yàn)閆(v)軸，平行于各向同性平面的方向分別為相互正交的X(h2)軸和Y(h1)軸，如右圖所示。48

§4.4橫觀各向同性彈性（三）橫觀各向同性彈性常數(shù)測定在上述情形下，水平面內(nèi)力學(xué)性質(zhì)相同，三軸試驗(yàn)中各向同性平面內(nèi)X軸和Y軸方向應(yīng)力相等，應(yīng)變也相等，則有和，其中和分別表示水平面內(nèi)應(yīng)力和應(yīng)變的變化量，再將用表示，用表示，方程進(jìn)一步簡化為：v49

§4.4橫觀各向同性彈性（三）橫觀各向同性彈性常數(shù)測定由此得到的表達(dá)式：綜上所述，可以利用各向同性平面為水平的試樣開展三軸試驗(yàn)測定橫觀各向同性2個彈性常數(shù)和。三軸試驗(yàn)時只改變Z軸方向應(yīng)力，保持水平方向應(yīng)力不變，即

，利用方程可以得到如下的關(guān)系式：50

§4.4橫觀各向同性彈性（三）橫觀各向同性彈性常數(shù)測定（2）彈性常數(shù)和的測定方法