專題2.2函數(shù)的解析式與定義域、值域

【新高考專用】

題型基礎(chǔ)練

題型一[具體函數(shù)的定義域的求解

1.(2024?海南?模擬預(yù)測(cè))函數(shù)/(x)=VT4+三的定義域?yàn)?)

A.(-oo,l]B.(1,2]C.(-oo,2]D.(―8,1)U(1,2]

【解題思路】根據(jù)表達(dá)式有意義列出不等式組求解即可

【解答過程】由題知《二jig,解得”42且無力1

即函數(shù)f(x)=VT%+吉的定義域?yàn)?―8,l)u(l,2]

故選：D.

2.(24-25高一上?河南漠河?階段練習(xí))已知函數(shù)/0)=恐，則函數(shù)丫=/。)一/(13-久)的定義域?yàn)?)

A.2<x<llB.[2,11]C.(2,15)D.(2,11)

【解題思路】結(jié)合復(fù)合函數(shù)的定義域，建立使各個(gè)式子有意義的不等式求解可得.

11

【解答過程】由/(刀)=及三有意義，可得X—2>0,解得x>2.

要使函數(shù)y=f(x)—/(13—x)有意義，

則｛13紇1>2,解得2<%<1L

對(duì)函數(shù)y=定義域?yàn)樽宰兞縳的取值范圍4

其中集合4為非空數(shù)集，

所以函數(shù)y=/0)-/(13-%)的定義域?yàn)?2,11).

故A錯(cuò)誤，D正確.

故選：D.

3.(2024?北京朝陽?二模)函數(shù)/(x)=的定義域?yàn)?

【解題思路】解不等式久-120即可得函數(shù)的定義域.

【解答過程】令缶20,可得工—120,解得尤21.

故函數(shù)/(")=的定義域?yàn)閧用久>1}.

故答案為:{x|x>1].

4.(2024?四川南充?三模)函數(shù)"/)=￥字的定義域?yàn)椤惨?,1)U(14].

【解題思路】根據(jù)解析式列出不等式求解.

【解答過程】因?yàn)?(幻=^^,

所以16-%2>。且%-1H0,

解得一4<%<4且％W1,

故函數(shù)的定義域?yàn)閇-4,1)U(1,4].

故答案為：[-4,1)U(14].

題型二抽象函數(shù)、復(fù)合函數(shù)的定義域的求解

5.(24-25高一上?吉林白城?期中)若函數(shù)/'(3x-l)的定義域?yàn)?0,3),則函數(shù)/'(1-3乃的定義域?yàn)?)

A.(-3,0)B.(-|，9

C.(-1,8)D.

【解題思路】根據(jù)條件，利用抽象函數(shù)定義域的確定方法，先確定/(*)的定義域，即可求解.

【解答過程】因?yàn)楹瘮?shù)/(3x-l)的定義域?yàn)?0,3),則—l<3x—1<8,

由一l<l-3x<8,解得一(<x<g,所以函數(shù)f(-3x)的定義域?yàn)?一,|),

故選：D.

6.(23-24高一上?河南駐馬店?階段練習(xí))已知函數(shù)y="2x—1)的定義域是[―2,3],則丫=雋的定義域是

()

A.[-2,5]B.(-2,3]C.[-1,3]D.(-2,5]

【解題思路】利用復(fù)合函數(shù)求函數(shù)的定義域的原則及分式有意義即可求解.

【解答過程】因?yàn)楹瘮?shù)y=f(2x—1)的定義域是[―2,3],

所以一2WxW3,所以-5W2X-1W5,

所以函數(shù)、=/O)的定義域?yàn)閇—5,5],

要使y=磊有意義，則需要解得一2<XW5,

所以y=雋的定義域是(-2,5].

故選：D.

7.(2024?吉林延邊?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)丫=/(%+1)的定義域是[-2,3],貝！|y=的定義域是

【解題思路】根據(jù)給定條件，利用抽象函數(shù)定義域列式求解即得.

【解答過程】由函數(shù)y=/(x+1)的定義域是[一2,3],得一2WxW3,則一1WX+1W4,

由—1WX—1W4,解得

所以y=〃%—1)的定義域是[0,5].

故答案為；[0,5].

8.(2024?湖北武漢?二模)已知函數(shù)/(2x+l)的定義域?yàn)閇-1,1),則函數(shù)/'(lr)的定義域?yàn)樯掀讪D-

【解題思路】借助函數(shù)定義域的定義計(jì)算即可得.

【解答過程】由函數(shù)f(2x+l)的定義域?yàn)閇―1,1),則有2x+lC[—1,3),

4-1<1-%<3,解得一2〈久W2.

故答案為：(-2,2].

題型三1已知函數(shù)定義域求參數(shù)

9.(23-24高一上?陜西西安?期中)已知函數(shù)/(X)=Jzn/+(^―3)x+1的定義域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)小的取值范

圍是()

A.[1,9]B.(1,9)

C.(-co,l]u[9,+oo)D.{3}

【解題思路】利用題給條件列出關(guān)于6的不等式，解之即可求得實(shí)數(shù)小的取值范圍.

【解答過程】由題意得小久2+(m-3)x+1>0對(duì)任意xeR恒成立，

當(dāng)爪=0時(shí)，不等式可化為-3x+120,其解集不是R,不符合題意；

當(dāng)加力0時(shí)，由該不等式恒成立可得

{(m-3)2-4m<0,解之得1功式9,

綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是14m工9

故選：A.

10.(23-24高一上?遼寧鞍山?期中)已知函數(shù)/(%)=J(Q2—1)%2+胃+1)%+1的定義域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)。的

取值范圍為()

A.[-1,1]B.(-oo-l)u[|,+ra)

C.[|,+8)D.(-oo-l]u[|,+c?)

【解題思路】分a=l、a=-l、a4±l三種情況，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【解答過程】當(dāng)a=l時(shí)，f(x)=V2ITT,則2x+lN0,得％2號(hào)，即定義域?yàn)閇一1+8),不符合題意；

當(dāng)a=-l時(shí)，/(%)=1,定義域?yàn)镽,符合題意；

當(dāng)a7±1時(shí)，由題意得關(guān)于x的不等式(02-1)%2+(a+l)x+1>0恒成立，

故1=(a+：)=湍-1)<0'解得a<T或。-1

綜上，實(shí)數(shù)。的取值范圍是(―8,—l]u[|,+8).

故選：D.

11.(24-25高一上?天津靜海?階段練習(xí))已知函數(shù)、=J(1—a2)N+(a—1)支+1的定義域是R,則a的取

值范圍是一[-1^]--

【解題思路】通過1-。2=0和1-。2中0兩類情況討論即可.

【解答過程】當(dāng)l—a2=0時(shí)，可得a=l或a=—1,

當(dāng)a=l時(shí)，y=l符合題意；

當(dāng)。=-1時(shí)，y=V-2x+1,顯然不符合題意.

當(dāng)1-a2Ko時(shí),由于定義域?yàn)镽,可得｛(aT)；Wf)W。，解得：一|三”1,

綜上所述：a的取值范圍是[-,1]

故答案為：[-1,1]

X

12.(24-25高一上?寧夏銀川?期中)若函數(shù)八久)=、皿2+2皿+4的定義域?yàn)榇藙t實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是—

[04).

【解題思路】根據(jù)分式不等式及偶次根式有意義，再結(jié)合函數(shù)定義域R即可轉(zhuǎn)化

為不等式恒成立問題，利用一元二次不等式的性質(zhì)即可求解.

【解答過程】由題意可知，函數(shù)八為=標(biāo)告示的定義域?yàn)镽，

所以不等式加必+2mx+4>0在R上恒成立.

當(dāng)7n=。時(shí)，4>0在R上恒成立,

當(dāng)加力0時(shí)，財(cái)滿足卜=(2巾/iKxmVO,解得°<血<4,

綜上，實(shí)數(shù)M的取值范圍是［0,4).

故答案為：［0,4).

題型四1已知函數(shù)類型求解析式

13.(23-24高一上?廣西桂林?期中)已知一次函數(shù)/(x)滿足/(x+2)—2/(2x+l)=—9x—4,則/(%)解析式

為()

A./(x)=-2x-4B./(x)=-2x+3

C.f(x)=3%+4D./(%)=-3%+2

【解題思路】假設(shè)出一次函數(shù)的解析式，根據(jù)題意列出方程，待定系數(shù)法求解即可.

【解答過程】設(shè)一次函數(shù)

則/(%+2)—2/(2%+1)=a%+2Q+b—4ax—2a—2b=—9%—4,

即—3ax—b=—9x—4,所以｛之二二:解得｛/￡，

所以/'(%)=3%+4,

故選:C.

14.(23-24高三?全國(guó)?中職高考)已知二次函數(shù)/(X)滿足f(2)=—1/(1—x)=/(x),且f(x)的最大值是8,

則此二次函數(shù)的解析式為f(x)=()

A.-4x2+4x+7B.4x2+4x+7

C.—4X2—4X+7D.—4x2+4x-7

【解題思路】根據(jù)條件設(shè)二次函數(shù)為/(>)=a(x-1)2+fc(a*0),代入條件求解即可.

【解答過程】根據(jù)題意，由x)=f(x)得：/(>)圖象的對(duì)稱軸為直線x=3，

設(shè)二次函數(shù)為f(x)=a(x-?+fc(ct0),

因/'(x)的最大值是8,所以a<0,當(dāng)x時(shí)，/(9=左=8，

即二次函數(shù)/'(%)=《萬一斗+8(a#0),

由-2)=-1得:/(2)=《2-￡)2+8=-1,解得：a=-4,

則二次函數(shù)/(%)=—4(x—0+8=—4x2+4x+7,

故選：A.

15.(24-25高一上?江蘇無錫?階段練習(xí))已知/(久)是二次函數(shù)，且-0)=3,若f(久+l)-f(x)=2x+3,

則/'(X)的解析式為=X2+2x土3_.

【解題思路】設(shè)/(x)=a/+bx+c(a^0),結(jié)合已知條件利用待定系數(shù)法即可求解.

【解答過程】由已知設(shè)/'(X)=ax2+bx+c(a豐0),

因?yàn)閒(0)=3,所以c=3,

因?yàn)?l)—/(x)=a(x+I)2+b(x+1)+3-(ax2+bx+3)=2ax+a+b,

f(x+l)-/(x)=2x+3,

所以｛言二3,解得GN，

所以/(%)=+2x+3.

故答案為：/(%)=/+2%+3.

16.(2024?山東濟(jì)南?一模)已知集合Z={u(x)|u(x)=ax2—(a+b)x+b,a,bGR},函數(shù)f(%)=1.若函

數(shù)9(%)滿足：對(duì)任意”(%)w4存在尢〃ER,使得a(%)="(%)+〃g(%),則9(%)的解析式可以是一弘?三生11

(答案不唯一).(寫出一個(gè)滿足條件的函數(shù)解析式即可)

【解題思路】根據(jù)"(1)=0,求得9(1)=0,則滿足9(1)=0的一次函數(shù)或二次函數(shù)均可.

【解答過程】u(x)=ax2-(a+b)x+b,/(x)=x2-l,

u(l)=a—(a+b)+b=0,/(l)=0,

“(%)=〃(%)+〃0(第)，〃⑴=〃⑴⑴=〃。⑴=。，

所以g(i)=。，則g(%)的解析式可以為g(%)=x-i.

經(jīng)檢驗(yàn)，9(%)=%-1滿足題意.

故答案為：9(%)=%-1(答案不唯一).

題型五1已知1Ag(%))求解析式

17.(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))已知函數(shù)打1一切=詈070),則/(x)=()

11

4?(%_1)2-1(、工。)B.H1)

44

CW0)D.(工_1)2_1(%W1)

【解題思路】利用換元法令七二1-心求解析式即可.

【解答過程】令力=1一%,則％=1—且久H0,貝8工1,

可得/(t)=(L)?=(t—1)2T(七W1),

1

所以/'(x)=蓬#-1。41).

故選：B.

18.(23-24高一上?湖南衡陽?期中)函數(shù)f(x)滿足若f(g(x))=9久+3,g(x)=3久+1,則/(久)=()

A.f(%)=3%B./(x)=3

C./(%)=27%+10D.f(%)=27%+12

【解題思路】對(duì)/(g(%))的式子適當(dāng)變形，即可直接求出了(%).

【解答過程】因?yàn)?(g(%))=9%+3應(yīng)⑺=3%+因

所以/(3%+1)=9%+3=3(3%+1),則/(%)=3%.

故選：A.

19.(23-24高一上?四川雅安?期中)已知函數(shù)/(2久+1)=/—3x+1,則/?⑺=2x+今.

【解題思路】利用換元法求函數(shù)的解析式即可.

【解答過程】令t=2x+l,貝收=(，

從而/1?)=(*)-3x^+1=1t2-2t+

即/Q)=#_2X+M

故答案為：+2—2x+*

20.(24-25高一上?廣東東莞?階段練習(xí))已知函數(shù)/(?+2)=尤+2立+2,則/(x)的解析式為/.(>)=如

一2%土2(xE[2,土8)).

【解題思路】依題換元，求出新元的范圍和函數(shù)關(guān)于新元的表達(dá)式，再將新元改成久即得.

【解答過程】令y+2=t,因%之0,故tN2,且y=t-2,可得％=(t-2)2

故/(t)=(t-2)2+2(—2)+2=t2-2t+2(t>2)

所以/(久)=x2-2x+2(%G[2,+oo)).

故答案為：/(%)=x2-2x+2(%e[2,+oo)).

題型六、函數(shù)值域的求解

21.(23-24高一上?江西撫州?階段練習(xí))函數(shù)/(幻=疹不1—%的值域是()

A.(-oo,-|]B.+C.(-oo,l]D.[l,+oo)

【解題思路】令t=V27T1,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)y=帶出(t>0)在定區(qū)間的值域，即得解

【解答過程】由題意，函數(shù)的定義域?yàn)閇-J+8)

令t=V2x+1???尤=>0)

故/'(%)=A/2久+l-x=y==-'誓+1(1>0)

由于丫=弓出(t20)為開口向下的二次函數(shù)，對(duì)稱軸為t=l

故當(dāng)t=l時(shí)，ymax=1,無最小值

故函數(shù)/(%)="2%+1-%的值域是(一8,1]

故選：C.

V

22.(23-24高一上?吉林長(zhǎng)春?期中)已知函數(shù)/(X)=K的定義域?yàn)閇0，+8)，則函數(shù)/(%)的值域?yàn)?)

A.[O,+oo)B.[2,4-00)C.[o,1]D.七,+8)

【解題思路】將函數(shù)變形為f(x)=±,利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性求得t(x)=x+：的值域，結(jié)合不等式的性質(zhì)

即可求解.

【解答過程】人乃二備，定義域?yàn)閇0,+8),且f(0)=0,

X1

?。(0,+8),則化簡(jiǎn)得/(%)=正五=正

令力(%)=X+1,XG(0,+00),

利用對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)?shù)?(0,1)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)TE(L+8)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；??.KWmin

=￡(1)=2,即t(%)Z2,???％€(0,+8)時(shí)，0</(%)<9

又八0)=0,所以，xe[0,+8)時(shí)，函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇o,J

故選：c.

23.(24-25高一上?江西南昌?期中)函數(shù)〃式)=x—2萬三的值域?yàn)?—8,1].

【解題思路】根據(jù)換元法得到有關(guān)t的函數(shù)，根據(jù)取值可得到值域.

【解答過程】令VTR=t,則t20,x=l-t2,則/?)=—/—2t+1在[0,+8)上是減函數(shù)，

所以f(t)max=f(0)=11

所以r(t)wi,故fo)=x-2vr反的值域?yàn)?一8山，

故答案為：

24.(23-24高一上?浙江寧波?期中)函數(shù)丫=高=，/>0的值域?yàn)?一8,-守“一夕+8).

【解題思路】由題意分析可得關(guān)于X的方程y%2一（6y+i）x+7y+1=0有正根，分y=。和y豐。兩種情況,

結(jié)合二次函數(shù)分析求解.

【解答過程】因?yàn)檠?總上，整理得y/-（6y+i）x+7y+l=0,

可知關(guān)于X的方程y%2-（6y+l）x+7y+1=。有正根，

若y=0,則-x+l=O,解得x=l,符合題意；

若y40,則/一（6+；）x+7+：=0,

（6+1（6+1

可得1I—2z「v0或I《9/>0小，

［7+亍<0［A=（6+1）-4（7+1）>0

解得;<一7或;>2魚—4且2K0,則一2<y<0或y>0或y<—彎;

綜上所述：丫>一"或丫<一弩，

即函數(shù)丫=渣3,%>。的值域?yàn)椋ㄒ?,一空］0（4,+8）.

故答案為：（―8,—當(dāng)心］lj（—.,+8）.

」艮據(jù)函數(shù)的值域或最值求參數(shù)O|

25.（23-24高一上?云南曲靖?階段練習(xí)）若函數(shù)f（x）=7ax2+x+1的值域?yàn)椋?,+8）,則實(shí)數(shù)a的取值范

圍為（）

B.{0}u[l,+oo)

D-[p+°°)

【解題思路】對(duì)a分a=0,aR0兩種情況討論，分別根據(jù)一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合值域求參數(shù)取值

范圍即可.

【解答過程】①a=0時(shí)，/（%）=，％+1,值域?yàn)椋?,+8）,滿足題意；

②QH0時(shí)，若f（%）=7ax2+X+1的值域?yàn)椋?,+8）,

貝必解得°<a.，

綜上，0<a<-

4

故選：C.

26.（23-24高一上?遼寧?期中）已知函數(shù)/（無）=J4ax2+（8—4a）x+1的值域?yàn)椋?,+電,則實(shí)數(shù)a的取值范

圍是()

A.(0,4)B.[1,4]U{0}

C.(0,1]U[4,+co)D.[0,1]U[4,+oo)

【解題思路】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，由題意，可得內(nèi)函數(shù)的值域，分類討論，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可得

答案.

【解答過程】由題意，令g(x)=4a/+(8-4砌久+1,則[0,+8)為其值域的一個(gè)子集，

當(dāng)a=0時(shí)，/(X)=V8IT1,令8X+1N0,解得故當(dāng)工€[-,+8)時(shí)，/(%)>0；

當(dāng)a<0時(shí)，g(x)=4ax2+(8—4a)x+l,該函數(shù)為開口向下的二次函數(shù)，則必定存在最大值，故不符合題

思；

當(dāng)a>0時(shí)，g(x)=4ax2+(8-4a)x+1,該函數(shù)為開口向上的二次函數(shù)，令A(yù)20,則(8-4a)2

-4x4a20,整理可得a2-5a+420,即((1一1)((1一4)20,解得aW1或a24,此時(shí)符合題意.

綜上，可得a￡[0,1]U[4,+oo).

故選：D.

27.(23-24高一上?寧夏銀川?期中)已知函數(shù)/(>)=7kx2—4x+3的值域?yàn)閇0,+8),則實(shí)數(shù)人的取值范圍

為—[詞—?

【解題思路】根據(jù)函數(shù)/(%)=?kx2-4x+3的值域?yàn)閇0,4-oo),可得[0,+8)是函數(shù)y=kx2-4x+3的值域的

子集，再分k=0和卜力0兩種情況討論即可.

【解答過程】因?yàn)楹瘮?shù)/'(X)=7kx2-4x+3的值域?yàn)閇0,+oo),

所以[0,+8)是函數(shù)y=kx2-4x+3的值域的子集，

當(dāng)k=0時(shí)，y=-4x+3eR,符合題意，

當(dāng)kKO時(shí)，

^(16-12fc>0,解得

綜上所述，fce[o,i].

故答案為：[o,J

28.(24-25高一上?江蘇南京?期中)已知函數(shù)〃>)=x2_2ax+a2-9,xG[a-3,a2](a>0),若函數(shù)/(x)

的值域?yàn)閇-9,0],則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_[上巧逗]

【解題思路】首先化簡(jiǎn)函數(shù)/(%)=/一2。%+小一9二(無一。)2-9,根據(jù)f(q)=-9,/(a-3)=0,列不等式

求實(shí)數(shù)G的取值范圍.

【解答過程】/(%)=x2-2ax+a2-9=(x-a)2-9,則有/(a)=-9,/(a-3)=0,

由丁€[a—3以2](a>0),9,0],

a—3<a<a2__

所以《。一(。一3)之一a,解得

a>0

故答案為：［1,當(dāng)豆］.

題型八

29.(23-24高一上?安徽阜陽?期中)已知函數(shù)/(久)=八二若f。)值域?yàn)椋垡唬?2］，則實(shí)數(shù)c的取

值范圍是()

A.［-1,0］B.［-1,o］

cd-

【解題思路】根據(jù)分段函數(shù)/(x)的解析式、/(x)的值域、y=<2),y=X2-X(x<2)的圖象來求得a的取

值范圍.

【解答過程】當(dāng)x=2時(shí)，/⑵=4-2=2,/(%)=乂2_久=々-3>-j,

,?"(X)值域?yàn)椋?^,2］,；?當(dāng)x<c時(shí)，由/0)=-!=2,得

由/(%)=x2—x=2,得%2—%—2=0,解得％=2或%=—1,

作出y=-：(％42),y=/-%(%42)的圖象如下圖所示，

由圖象可得：—1WCW—,即實(shí)數(shù)c的取值范圍是［—1,—).

故選：C.

(0,x<1

30.(23-24高一上?江西宜春?階段練習(xí))已知函數(shù)/(%)=1%+1,1<%<2,若/(y(Q))=l,則。=(

I—X2+5,x>2

A.4B.3C.2D.1

【解題思路】先分析了(%)在各段區(qū)間上的值域，再根據(jù)條件由外而內(nèi)依次求得/(a)",從而得解.

(0,%<1

【解答過程】因?yàn)?(%)=%+1,1工工<2,

I-%2+5,%>2

當(dāng)汽V1時(shí)，/(x)=0；

當(dāng)14%V2時(shí),/(%)=%+1E[2,3)；

當(dāng)口之2時(shí),/(%)=-x2+56(-00,1]；

令t=f(a),則由f(/(a))=1,得f(t)=L

由上述分析可得tN2且一/+5=1,解得1=2,即/(a)=2,

所以14Q<2且a+1=2,解得a=l.

故選：D.

31.(24-25高一上?四川內(nèi)江?期中)函數(shù)/(無)=°號(hào);22，則該函數(shù)值域?yàn)?-8,6)

【解題思路】分段求值域，再取并集即可求解.

【解答過程】當(dāng)0<x<2時(shí)，二次函數(shù)對(duì)稱軸是x=-(且開口向上，

此時(shí)/⑶在(0,2)上單調(diào)遞增f(x)=/+乂=(x+鄉(xiāng)2_；6(0,6)；

當(dāng)比22時(shí)，/(%)=—2乂+8W—2x2+8=4,即/'(x)C(—8,4]

(0,6)U(—oo,4]=(-8,6)

所以?、?匕把0得值域?yàn)?-8,6).

故答案為：(一8,6).

32.(23-24高一上?上海?階段練習(xí))已知a€R,若函數(shù)f(久)=口匕；；］］的值域?yàn)镽,貝M的取值范圍

是—［二M一?

【解題思路】當(dāng)”>1時(shí)，x+l>2,/(x)C(2,+8),則有(—8,2］a{f(x),(%)=a/-2x,xWl},分類討

論此時(shí)函數(shù)的值域即可.

【解答過程】函數(shù)/。)=1優(yōu)度的值域?yàn)镽，

當(dāng)%>1時(shí)，x+1>2,/■(%)e(2,+00),

則有(—8,2］￡{/(x)|f(x)=ax2-2x,x<1},

a=0時(shí)，/(x)=-2x,x<1,不合題意，

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，a>0時(shí)不合題意，

故a<0,又由S=：<0<1，故時(shí),必3=利=一r2,

zuua

i

解得一5<a<0.

所以a的取值范圍是

故答案為：［-go).

模擬提升練(19題)

一、單選題

1.(23-24高一上?甘肅酒泉?期中)下列四組函數(shù)，表示同一函數(shù)的是()

A./(x)-x,g(x)=9B.f(x)=,g(x)-X

C./(x)=|x|,g(x)——xD./(x)=%+1,g(t)=t+1

【解題思路】根據(jù)若兩函數(shù)的定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，則這兩函數(shù)為同一個(gè)函數(shù)逐個(gè)分析判斷即可.

【解答過程】對(duì)于A,因?yàn)?(")的定義域?yàn)镽,g(x)的定義域?yàn)閧x|x羊0},

所以兩函數(shù)的定義域不相等，所以這兩函數(shù)不是相等函數(shù)，所以A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,/(x),g(x)的定義域都為R,因?yàn)?'(%)=瘍=|%|Wg(x),

所以兩函數(shù)不是相等函數(shù)，所以B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,/(X),g(x)的定義域都為R,因?yàn)閒(x)=因=與9(%)=-久解析式不同，

所以這兩個(gè)函數(shù)不是相等函數(shù)，所以C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,因?yàn)閒(x),g(t)的定義域都為R,且對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，所以f(x),g(t)是相等函數(shù)，

所以D正確，

故選：D.

2.(2024?遼寧遼陽?一模)已知函數(shù)f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy/(q=*則/100)=()

A.10000B.10082C.10100D.10302

【解題思路】賦值得到fO+l)-f(x)=2x+2,利用累加法得至療(x+99)-f(x)=198久+9900,令x=1

得到f(100)-f(l)=10098,賦值得到f(l),從而求出答案.

【解答過程】f(x+y)=f(x)+/(y)+2xy中,令y=2得，

f[x+1)=y(x)+/(1)+x=/(x)+x+p

+l)=/(x+|)+%+|+^=/(x+1)+x+p

故+1)=f(x)+x+-+x+-=/(x)+2x+2,

其中f(x+l)—/(x)=2x+2,①

f(x+2)-/(%+1)=2(%+1)+2=2%+4,②

f(x+3)-/(x+2)=2(x+2)+2=2x+6,③

f(x+99)-f(x+98)=2(%+98)+2=2x+198,

上面99個(gè)式子相加得，

99x(2+198)

以x+99)-/(x)=99x2無+2+4+…+198=198%+-------------------

=198x4-9900,

令x=1^/(100)-/(I)=198+9900=10098,

/(x+1)=/(x)+x+*中,令%=3得/'⑴=熊)+T+RI+T+R2,

故/'(100)=10098+/(1)=10100.

故選：C.

3.(23-24高一上?遼寧?期中)已知函數(shù)y=/(x)的定義域是[—4,5],貝切:若費(fèi)的定義域是()

A.[—2,4]B.[—2,6]C.(—2,4]D.(—2,6]

【解題思路】根據(jù)抽象函數(shù)的定義域可得滿足-3〈％W6,結(jié)合根式的意義即可求解.

【解答過程】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)閇-4,5],

所以/(%—1)滿足—4<x—1<5,即—3<%<6,

又％+2>0,即％>—2,

所以「*士/，解得一2<xW6.

所以函數(shù)y=￡J)的定義域?yàn)?-2,6].

故選：D.

4.(2024?北京懷柔?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(乃二裊，則對(duì)任意實(shí)數(shù)x,函數(shù)/(久)的值域是()

A.(0,2)B.(0,2]C.[0,2)D.[0,2]

【解題思路】根據(jù)給定條件，利用不等式的性質(zhì)求出函數(shù)值域得解.

【解答過程】依題意，/⑴=2穹胃2=2-高,

顯然2/+121,則0〈五不32,于是0W2—五不<2,

所以函數(shù)/(%)的值域是[0,2).

故選：C.

5.(2024?陜西?模擬預(yù)測(cè))設(shè)函數(shù)/(久)的定義域?yàn)镽,且f(—x+l)=-fO+l)/Q+2)=f(—x+2),當(dāng)

久6[0,1]時(shí)，/(x)=2x2+bx+c,/(3)-f(2)=6,則6+c=()

A.-4B.-3C.1D.-2

【解題思路】根據(jù)題意，通過賦值法求得/(1),/(2)/(3),即可聯(lián)立方程解出be

【解答過程】由題意可得f(T+1)=-/卜+1)①;f(x+2)=/(—%+2)②.

令x=L由①得：f(0)=~/(2)=c,

令％=1,由②得/(3)=f(l)=2+6+c,因?yàn)椤?)—八2)=6,

所以2+b+c+c=6,即b+2c=4.

令X=0,由①得/(I)==0=2+h+c=0,

解得力=-8/=6,所以b+c=-2.

故選：D.

6.(25-26高一上?全國(guó)?課后作業(yè))設(shè)％ER,用團(tuán)表示不超過％的最大整數(shù)，貝！)丁=因稱為高斯函數(shù)，例如:

[-2.1]=-3,[3,1]=3.已知函數(shù)/(%)=尊普一,則函數(shù)y=[/(%)]的值域是()

A.{0,1}B.{0,1,2}C.{-1,0,1}D.{-1,04,2}

1121

【解題思路】求得/(0)=也當(dāng)X不。時(shí)，將函數(shù)化簡(jiǎn)變形得/0)=!+正，令t=x+3然后分x>0和x<0

兩種情況結(jié)合基本不等式可求出t的取值范圍，從而可求出的值域，再由高斯函數(shù)的定義求出y=[/(x)]

的值域.

【解答過程】顯然,/(0)=1.

當(dāng)時(shí)-n=—4葉1.)2K一=工Z+4X+工工義

JW-2-2(N+1)—2(N+1)一2十％+;

X2+1

令t=%+g當(dāng)久>0時(shí)，t=x+^>2Jx-1=2,當(dāng)且僅當(dāng)％=1時(shí)等號(hào)成立，

11111Q

WJ0<7<-,-</(%)<-+2x-=f；

當(dāng)x<0時(shí)，t=x+；W—2?=-2,當(dāng)且僅當(dāng)x=-1時(shí)等號(hào)成立,

則"<|<0,|-2x1=-|</(%)<

綜上所述，f(x)的值域?yàn)閇-表1]，

所以根據(jù)高斯函數(shù)的定義，函數(shù)y=[/(x)]的值域是{-1,0,1},

故選：C.

7.(2024?廣東佛山?二模)如圖，△O4B是邊長(zhǎng)為2的正三角形，記△04B位于直線x=t(0WtW2)左

側(cè)的圖形的面積為f(t).則函數(shù)y=f(t)的大致圖象是()

【解題思路】結(jié)合圖形，分類討論O<twi與l<tW2,求得/t)的解析式，從而得解.

【解答過程】依題意，當(dāng)o<twi時(shí)，可得直角三角形的兩條直角邊分別為

從而可以求得f(t)=夕?=等，

當(dāng)1<tW2時(shí)，陰影部分可以看做大三角形減去一個(gè)小三角形，

可求得/'?=痘一?/=一爭(zhēng)2+2V3C-V3,

字(0<t<1)

所以饞)=

、一爭(zhēng)2+2V3t-V3(l<t<2)

從而可知選項(xiàng)A的圖象滿足題意.

故選：A.

8.(24-25高一上?山東荷澤?期中)設(shè)函數(shù)/(%)=巴4：避若/(/(。))<-1，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

()

A.-2<a<1B.-1Wa<0

C.-2<a<-1^0<a<lD.0<a<l

【解題思路】令t=f(a),分類求解可得一14tWO,可得一lWf(a)W0,再分類求解可得實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【解答過程】令t=/(a),則1,

當(dāng)t<0時(shí)，可得一解得t2-L又t<0,所以-lWt<0,

當(dāng)t20時(shí)，可得出一13—1,解得［=0,

所以一1WtWO,所以—lW/(a)W0,

當(dāng)a<0時(shí)，得—1<—a—2<0,解得—2<a<-1,滿足a<0,

當(dāng)a20時(shí)，W-l<a2-l<0,所以又a20,所以O(shè)WaWl,

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是一2<a<一1或0<a<1.

故選：C.

二、多選題

9.(2024?湖南益陽?模擬預(yù)測(cè))下列命題中，正確的是()

1,當(dāng)x>0時(shí)

A函數(shù)"(x)=4與u(x)=0,當(dāng)x=0時(shí)表示同一函數(shù)

-1,當(dāng)x<0時(shí)

B.函數(shù)。(x)=x2-2x+2與a(t)=t2—2t+2是同一函數(shù)

C.函數(shù)y=/O)的圖象與直線x=2024的圖象至多有一個(gè)交點(diǎn)

D.函數(shù)/(x)=|x—1|一%,貝葉(/?))=0

【解題思路】根據(jù)相等函數(shù)的定義判斷A、B,根據(jù)函數(shù)的定義判斷C,由函數(shù)解析式求出函數(shù)值，即可判

斷D.

【解答過程】對(duì)于A："。)=m={,!鼠°0,因?yàn)閮珊瘮?shù)的定義域不相同，故不是同一函數(shù)，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：函數(shù)"(%)=/-2%+2與〃?)=/-21+2定義域相同，解析式一致故是同一函數(shù)，故B正確；

對(duì)于C：根據(jù)函數(shù)的定義可知，函數(shù)y=/(%)的圖象與直線久=2024的圖象至多有一個(gè)交點(diǎn)，故C正確；

對(duì)于D：因?yàn)閒(X)=|x—1|一%,所以/?=1—1卜：=°，

貝療(f(9)=f(0)==1，故D錯(cuò)誤.

故選：BC.

10.(2024?浙江杭州?一■模)已知函數(shù)/(久)的定義域?yàn)镽,若+yz)=x+/(丫)/%),則()

A./(I)=0B./(/(%))=%

C.f(xy)=f(x)f(y)D./(x+y)=/(x)/(y)

【解題思路】取特殊值0和1,建立等式，得出7(0)或f(l)的相應(yīng)結(jié)論，再前面結(jié)論取特殊值得到BC選項(xiàng)

的結(jié)論，借助前面的結(jié)論，先求出f(l)的值，令z=l化簡(jiǎn)得到+y)=f(/(x))+f(y)即可得出結(jié)論.

【解答過程】令x=y=0,z=l,貝!=/(0)/(1)

令x=y=z=0,則f(f(0))=f(0)/(0)

則，/W))=f(0)f(0)=f(0)f⑴，

■?■/(0)=0W(l)=/(0)

令x=l,y=z=0,則f(f(l))=1+/(0)/(0)

若f(1)=/(0),則)W))=l+/(0)/(0)H/(0)/(0),矛盾，

???/(O)=0,則f(l)豐/(O)=o,.-.A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

令y=z=O,則/■(/■(%))=x+/(O)f(O)="，.'B選項(xiàng)正確:

令x=0,貝!J/(/(O)+yz)=0+/'(y)f(z),則/(yz)=/(y)/(z),即f(xy)=/(x)/(y)，C選項(xiàng)正確；

由A、C選項(xiàng)中結(jié)論，令x=y=L則f(l)=f(l)f(l),則f(l)=l

令z=1,則/'(/(x)+y)=x+=%+f(y)=f(/(x))+/(y)，

HP/(x+y)=/(x)+/(7)>D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：BC.

11.(2024?云南?模擬預(yù)測(cè))已知定義在R上的函數(shù)/(%),對(duì)任意的招y滿足/(x+/(x+y))+/(孫)=久+/

(久+y)+yf。),下列說法正確的是()

A.若/'(x)為一次函數(shù)，則/'(0)=0

B.若/(*)為一次函數(shù)，則f⑴=1

c.若/(%)不是一次函數(shù)且f(0)=0,W(-i)=-i

D.若/'(比)不是一次函數(shù)且/'(())=0,則.1)=1

【解題思路】根據(jù)題意，令/(x)=ax+b,列出方程組，求得a力的值，得到函數(shù)的解析式，再結(jié)合賦值法,

求得了(-1)/(1)的值，即可求解.

【解答過程】若/O)為一次函數(shù)，令/(X)=ax+b,

由/'(久+f(x+y))+f(xy)=/(%+a(x+y)+b)+/(xy)=ax+a2x+a2y+ab+b+axy+b

又由x+f(x+y)+yf(x)=x+a(x+y)+b+axy+by,

因?yàn)?(Y+f(x+y))+/(xy)=x+/(x+y)+y/(x),

a2=1

可得+y)+(a+l)b=x+(a+b)y,即(a2=a+b,

(a+l)b—0

解得a=l,b=0或a=—l,b=2,

當(dāng)a=l/=0時(shí)，/(%)=x；當(dāng)a=-l/=2時(shí)，/(%)=2-x,

所以當(dāng)/'(x)為一次函數(shù)時(shí)，/(0)=0或/(0)=2,所以A不正確；

令％=1,可得f(i)=i,所以B正確；

令y=l,貝行(久+f(x+l))=x+f(x+l),因?yàn)閒(0)=0,

令x=-1,所以/(—1)=—1,所以C正確；

令y=-1,則+f(x-l))+/(-%)=x+f(x-l)-f(x),

由y(o)=o,令x=i,所以/(i)=i,故D正確.

故選：BCD.

三、填空題

12.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))若函數(shù)f(x)=二01的值域?yàn)榉矂t口的一個(gè)值為1(答案不唯一).

【解題思路】分a<0,aNO兩種情況分類討論可求得a的取值范圍.

【解答過程】當(dāng)xWa時(shí)，/(x)=x3-2<a3-2.若a<0,則當(dāng)x>a時(shí)，/(x)=%2-2>-2,

要使f(x)的值域?yàn)镽,需。3—22—2,即a20,與a<0矛盾.

若a20,則當(dāng)x>a時(shí)，/(x)=x2-2>a2-2.若f(x)的值域?yàn)镽,

則a3—2Na2—2,即a=0或a21,

可取a的一個(gè)值為1,答案不唯一，滿足a=0或aN1的數(shù)都可以.

故答案為：1(答案不唯一).

13.(2024?廣東惠州?模擬預(yù)測(cè))若函數(shù)/(%)=告定義域?yàn)椋?2,+8),則實(shí)數(shù)。=d；實(shí)數(shù)6的取值范

圍是(-8,-2)?

【解題思路】利用函數(shù)的定義域求解即可.

【解答過程】函數(shù)打久)=然,故｛『言就,即｛);與

函數(shù)/(x)的定義域?yàn)椋?2,+00),故a=2力<-2.

故答案為：2；(-c?-2).

14.(2024?江蘇?模擬預(yù)測(cè))己知定義在R上的/(久)滿足中0,且對(duì)于任意的%,yeR,有久久+y)+/(%)

/(y)=4xy,則/(0)=_二1_.

【解題思路】令％=y=0得/■(())=-1或/'(0)=0,排除/■(())=0即可.

【解答過程】在/(x+y)+/(x)/'(y)=4xy中，令x=y=0,有/'(0)+［f(0)］2=0,解得/(0)=一1或/(0)

=0,

若/'(0)=0，則在fo+y)+f(x)f(y)=4xy中，令x=0,有/'(y)=0恒成立，但這與/'(—。力。矛盾，

所以只能/(0)=-1,經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.

故答案為：-L

四、解答題

15.(2024?江西九江?模擬預(yù)測(cè))若人嗎的定義域?yàn)椋邸?,4］,求9。)=/(2%+1)+/(/)的定義域.

【解題思路】由題意列出不等式組解之即得.

【解答過程】由函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)椋邸?,4］,則要使函數(shù)9(%)=/(2%+1)+/(一)有意義，

?.-4<2x+l<4

貝H|r-4<%2<4'

解得一2W比4|,

???函數(shù)g(x)=f(2久+1)+/'(尤2)的定義域?yàn)椋?2,升

16.(24-25高一上?新疆阿克蘇?期中)求下列函數(shù)的定義域或值域：

(1)求y=吉+(2%-1)°+44-%2的定義域;

(2)/(%)=《一支2+4%+5的值域;