8.6.2直線與平面的垂直感性認(rèn)識(shí)感性認(rèn)識(shí)能否用確切的數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻畫直線與平面垂直？

如圖，是在陽(yáng)光下觀察直立于地面的旗桿AB及它在地面的影子BC.隨著時(shí)間的變化，影子BC的位置在不斷地變化，旗桿所在直線AB與其影子BC所在直線是否保持垂直?旗桿AB與地面上任意一條不過(guò)旗桿底部B的直又是什么位置關(guān)系？定義：一般地，如果直線

l與平面α內(nèi)任意一條直線都垂直，我們就說(shuō)直線

l

與平面α互相垂直，記作

l⊥α.“任意”可以改為“無(wú)數(shù)”嗎？直線

l叫做平面α的垂線.平面α記作直線

l的垂面.直線與平面垂直時(shí)它們唯一的公共點(diǎn)P叫做垂足.“任意”可以改為“無(wú)數(shù)”嗎？平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線，所以當(dāng)然可以。無(wú)數(shù)≠所有！無(wú)數(shù)條平行線我們知道，過(guò)直線外一點(diǎn)，有且僅有一條直線與已知直線垂直.將這個(gè)結(jié)論推廣到空間內(nèi)，過(guò)平面外一點(diǎn)與已知平面垂直的直線有幾條呢？為什么？PQH結(jié)論：平面外一點(diǎn)與已知平面垂直的直線有且僅有一條.PQ：垂線段|PQ|：點(diǎn)P到平面的距離探究—直線與平面垂直的判定過(guò)直線l上一點(diǎn)O作它的垂面α.任取直線a?α，b?α，且a,b交于點(diǎn)O∵l⊥α∴l(xiāng)⊥a,l⊥b∵經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且僅有一個(gè)平面∴直線a,b所確定的平面（記為β）就是已知垂面α判定定理：如果一條直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直.例題—直線與平面垂直的判定（P151）例3求證：如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個(gè)平面，那么另一條直線也垂直于這個(gè)平面.證明：如圖2，在平面α內(nèi)取兩條相交直線m，n∵直線a⊥α，∴a⊥m,a⊥n.∵b//a，∴b⊥m，b⊥n.又m?a，n?a，m,n是兩條相交直線，∴b⊥α.直線與平面垂直是直線與平面的相交時(shí)的一種特殊情況．當(dāng)它們不垂直時(shí)，我們給出以下定義：如圖，一條直線與一個(gè)平面相交，但不與這個(gè)平面垂直，這條直線叫做這個(gè)平面的斜線，斜線和平面的交點(diǎn)A叫做斜足，過(guò)斜線上斜足以外的一點(diǎn)P向平面α引垂線PO，過(guò)垂足和斜足A的直線AO叫做斜線在這個(gè)平面上的射影.平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.特別地，一條直線垂直于平面，我們說(shuō)它們所成的角是90°；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，我們說(shuō)它們所成的角是0°，直線與平面所成的角的取值范圍是0°≤≤90°.（P152）例4如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求直線AB和平面A1DCB1所成的角.解：連接BC1交B1C于點(diǎn)O，連接A1O，記∠BA1O為∠α顯然，在正方體ABCD-A1B1C1D1中BC1⊥B1C且CD⊥平面BB1C1C又∵BC1∈平面BB1C1C∴BC1⊥CD又∵B1C∩CD=CB1C，CD?平面A1DCB1∴BC1⊥平面A1DCB1∴∠α即為所求角易得：BO=1/2BC1=1/2A1B∴在Rt▲A1BO中∠α=30°【注】直線與平面所成的角的取值范圍是

0°≤≤90°.知識(shí)點(diǎn)小結(jié)1.直線與平面垂直的定義（垂足，垂線，垂面，垂線段，點(diǎn)到平面的距離）2.直線與平面垂直的判定定理3.直線與平面所成角