2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案（全國版）

第一章數(shù)與式

1.4二次根式

考點(diǎn)分布考查頻率命題趨勢

考點(diǎn)1二次根式的有關(guān)概數(shù)學(xué)中考中，有關(guān)二次根式的部分，每年考查1~2道

☆☆

念及性質(zhì)題,分值為3~6分，通常以選擇題、填空題、解答題

的形式考查。二次根式的運(yùn)算的考查多是體現(xiàn)在其他

考點(diǎn)2二次根式的運(yùn)算☆☆☆

解答題里。二次根式的估值雖然不常見，但屬于能力

考點(diǎn)3二次根式的估值☆

亮點(diǎn)問題，估計(jì)會成為今后高頻考點(diǎn)。

☆☆☆代表必考點(diǎn)，☆☆代表?？键c(diǎn)，☆星表示中頻考點(diǎn)。

夯實(shí)基礎(chǔ)

考點(diǎn)1.二次根式的有關(guān)概念及性質(zhì)

1.二次根式的概念

我們把形如a(a0)的式子叫做二次根式．其中符號“”叫做二次根號，二次根號下的數(shù)

叫做_______．注意：a可以是數(shù)，也可以是式.

2.二次根式有意義的條件

要使二次根式a在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，即需滿足被開方數(shù)_____，列不等式求解即可.若二次根

式為分母或二次根式為分式的分母時(shí)，應(yīng)同時(shí)考慮分母不為_____。

3.最簡二次根式：_______所含因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根

式，叫做最簡二次根式．

4.同類二次根式：化成最簡二次根式后，被開方數(shù)______的幾個(gè)二次根式，叫做同類二次根式．

5．二次根式的性質(zhì)

（1）a≥0（a≥0）(二次根式雙重______)；

【解讀】二次根式a中,a≥0且a≥0,即為二次根式的雙重非負(fù)性。

1）正數(shù)和零叫做非負(fù)數(shù)．常見的非負(fù)數(shù)有|a|，a2，a(a≥0)．

2）若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于零，則這幾個(gè)數(shù)都為零．

如：若a2+|b|+c=0，則a2=0，|b|=0，c=0，可得a=b=c=0．中考經(jīng)常出現(xiàn)利用這個(gè)性質(zhì)來解決

問題。

（2）(a)2a(a0)；

a(a0)

（3）a2a0(a0)；

a(a0)

（4）abab(a0,b0)；

aa

（5）(a0,b0)．

bb

【方法總結(jié)】歸納總結(jié)二次根式問題考點(diǎn)類型及解題方法（十分重要）

【類型1】判斷根式是否是二次根式。判斷一個(gè)式子是不是二次根式，要看所給的式子是否具備以下

條件：(1)帶二次根號“”；(2)被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)．

【類型2】根據(jù)二次根式有意義求字母的取值范圍。含二次根式的式子有意義的條件：

(1)如果一個(gè)式子中含有多個(gè)二次根式，那么它們有意義的條件是各個(gè)二次根式中的被開方數(shù)都必須

是非負(fù)數(shù)；(2)如果所給式子中含有分母，則除了保證二次根式中的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)外，還必須保

證分母不為零．

【類型3】利用二次根式的非負(fù)性求解。二次根式和絕對值都具有非負(fù)性，幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，這

幾個(gè)非負(fù)數(shù)都為0.

【類型4】和二次根式有關(guān)的規(guī)律探究性問題。解答規(guī)律探究性問題，都要通過仔細(xì)觀察找出字母和

數(shù)之間的關(guān)系，通過閱讀找出題目隱含條件并用關(guān)系式表示出來．

考點(diǎn)2.二次根式的運(yùn)算

1.二次根式的加減

（1）二次根式的加減：二次根式加減時(shí)，可以先將二次根式化為_____的二次根式，再將被開方數(shù)相

同的根式進(jìn)行合并。

（2）二次根式的混合運(yùn)算

1)明確運(yùn)算的順序，即先乘方、開方，再乘除，最后算加減，有括號先算括號里；

2)整式、分式中的運(yùn)算律、運(yùn)算法則及乘法公式在二次根式的混合運(yùn)算中也同樣適用。

2.二次根式的乘除

乘法法則：abab(a0,b0)；

aa

除法法則：(a0,b0)．

bb

3.二次根式的混合運(yùn)算

二次根式的混合運(yùn)算順序與實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序一樣，先乘方，后乘除，最后加減，有括號的先算括號內(nèi)

的．在運(yùn)算過程中，乘法公式和有理數(shù)的運(yùn)算律在二次根式的運(yùn)算中仍然適用．

【補(bǔ)充拓展】分母有理化

1.分母有理化的概念：

把分母中的______化去，叫做分母有理化。

2.常見類型：

bbaba

常見類型一：．

aaaa

cc(ab)c(ab)

常見類型二：．

ab(ab)(ab)ab

其中，我們稱nan1是na的“有理化因子”，ab是ab的“有理化因子”．分母有理化

的關(guān)鍵是找到分母的“有理化因子”．

3.有理化因式的概念：

兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，就說這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式。

注：二次根式的有理化因式不是唯一的，它們可以相差一個(gè)倍數(shù)。

4.熟記一些常見的有理化因式：

a的有理化因式是a；

anb的有理化因式是anb；

ab的有理化因式是ab；

manb的有理化因式是manb；

3a3b的有理化因式是3a23ab3b2。

5.分母有理化十法

分母有理化是一種極其重要的恒等變形，它廣泛應(yīng)用于根式的計(jì)算和化簡，除掌握基本方法外，

需根據(jù)不同題的特點(diǎn)，靈活應(yīng)用解法，講求技巧，以達(dá)化難為易，化繁為簡的目的。

通常有約分法、通分法、平方法、配方法、拆解法等十種方法。

【二次根式加減乘除運(yùn)算方法總結(jié)】

【類型1】被開方數(shù)相同的最簡二次根式。根據(jù)同類二次根式的概念求待定字母的值時(shí)，應(yīng)該根據(jù)同

類二次根式的概念建立方程或方程組求解．

【類型2】二次根式的加減運(yùn)算。二次根式相加減，先把各個(gè)二次根式化成最簡二次根式，再把被

開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并，合并時(shí)系數(shù)相加減，根式不變．

【類型3】二次根式的化簡求值。化簡求值時(shí)一般是先化簡為最簡分式或整式，再代入求值．化簡

時(shí)不能跨度太大，缺少必要的步驟易造成錯(cuò)解．

【類型4】二次根式加減運(yùn)算在實(shí)際生活中的應(yīng)用。利用二次根式來解決生活中的問題，應(yīng)認(rèn)真分

析題意，注意計(jì)算的正確性與結(jié)果的要求．

【二次根式的乘法類型題及解題方法總結(jié)】

【類型1】二次根式的乘法法則成立的條件。運(yùn)用二次根式的乘法法則：a·b＝ab(a≥0，b≥

0)，必須注意被開方數(shù)均是非負(fù)數(shù)這一條件．

【類型2】二次根式的乘法運(yùn)算。在運(yùn)算過程中要注意根號前的因數(shù)是帶分?jǐn)?shù)時(shí)，必須化成假分?jǐn)?shù)，

如果被開方數(shù)有能開得盡方的因數(shù)或因式，可先將二次根式化簡后再相乘．

【類型3】積的算術(shù)平方根的性質(zhì)。利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)可以對二次根式進(jìn)行化簡．

主要運(yùn)用公式ab＝a·b(a≥0，b≥0)和a2＝a(a≥0)對二次根式進(jìn)行化簡．

【類型4】二次根式乘法的綜合應(yīng)用。把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，列出相應(yīng)的式子進(jìn)行計(jì)算，體現(xiàn)

了轉(zhuǎn)化思想．

【二次根式的除法問題類型及解題方法總結(jié)】

【類型1】二次根式的除法運(yùn)算。利用二次根式的除法法則進(jìn)行計(jì)算時(shí)，可以用“除以一個(gè)不為零

的數(shù)等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”進(jìn)行約分化簡．

【類型2】二次根式的乘除混合運(yùn)算。二次根式乘除混合運(yùn)算的方法與整式乘除混合運(yùn)算的方法相

同，在運(yùn)算時(shí)要注意運(yùn)算符號和運(yùn)算順序，若被開方數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，要先將其化為假分?jǐn)?shù)．

b

【類型3】利用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)確定字母的取值范圍。運(yùn)用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：＝

a

b

(a＞0，b≥0)，必須注意被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)且分母不等于零這一條件．

a

【類型4】利用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)化簡二次根式。被開方數(shù)中的帶分?jǐn)?shù)要化為假分?jǐn)?shù)，被開方

數(shù)中的分母要化去，即被開方數(shù)不含分母，從而化為最簡二次根式．

【類型5】最簡二次根式。解決此題的關(guān)鍵是掌握最簡二次根式的定義，最簡二次根式必須滿足兩個(gè)

條件：(1)被開方數(shù)不含分母；(2)被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式．

【類型6】二次根式除法的綜合運(yùn)用。解決本題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用公式．用二次根式的除法進(jìn)行運(yùn)算，

解這類問題時(shí)要注意代入數(shù)據(jù)的單位是否統(tǒng)一．

考點(diǎn)3.二次根式的估值

1．比較二次根式的大小方法

比較兩個(gè)二次根式大小的方法：可_____為比較兩個(gè)被開方數(shù)的大小，即將根號外的正數(shù)平方后

移到根號內(nèi)，計(jì)算出被開方數(shù)后，再比較被開方數(shù)的大小被開方數(shù)大的，其算術(shù)平方根也大.也可以

采用平方法.

2.用有理數(shù)估算二次根式的大致范圍

用有理數(shù)估算二次根式的大致范圍時(shí),一般采用“______”法,即用兩個(gè)相鄰數(shù)的平方與被開方數(shù)

比較,若被開方數(shù)介于這兩個(gè)相鄰數(shù)的平方之間,則這個(gè)二次根式的值就在這兩個(gè)相鄰數(shù)之間,估算的

精確度可由相鄰數(shù)的精確度來確定.

3.二次根式估值一般步驟

（1）一般先對根式進(jìn)行平方，如(5)25；

（2）找出與平方后所得數(shù)相鄰的兩個(gè)完全平方數(shù)，如4<5<9；

（3）對以上兩個(gè)整數(shù)開方，如42，93；

（4）這個(gè)根式的值在這兩個(gè)相鄰整數(shù)之間，如2＜5＜3．

考點(diǎn)1.二次根式的有關(guān)概念及性質(zhì)

【例題1】（2024黑龍江綏化）若式子2m3有意義，則m的取值范圍是（）

2332

A.mB.mC.mD.m

3223

【對點(diǎn)變式練1】（2024內(nèi)蒙古赤峰市一模）下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？

311

(1)11；(2)－5；(3)（－7）2；(4)13；(5)－；

56

(6)3－x(x≤3)；(7)－x(x≥0)；(8)（a－1）2；(9)－x2－5；(10)（a－b）2(ab≥0)．

【對點(diǎn)變式練2】（2024哈爾濱一模）若式子42x在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）

A．x2B．x2C．x2D．x2

x2【對點(diǎn)變式練3】（2024吉林長春一模）若a2|b1|0，則(a+b)2025=．

考點(diǎn)2.二次根式的運(yùn)算

3

【例題2】（2024甘肅威武）計(jì)算：1812．

2

【對點(diǎn)變式練1】（2024哈爾濱二模）計(jì)算﹣2的結(jié)果是．

【對點(diǎn)變式練2】（2024沈陽一模）計(jì)算18a·2a的結(jié)果是________．

【對點(diǎn)變式練3】（2024湖南一模）化簡：

3c3

(a＞0，b＞0，c＞0)．

4a4b2

考點(diǎn)3.二次根式的估值

【例題3】（2024河北?。┮阎猘，b，n均為正整數(shù)．

（1）若n10n1，則n______；

（2）若n1an,nbn1，則滿足條件的a的個(gè)數(shù)總比b的個(gè)數(shù)少______個(gè)．

【對點(diǎn)變式練1】（2024遼寧一模）估計(jì)的值在（）

A．3和4之間B．4和5之間C．5和6之間D．6和7之間

【對點(diǎn)變式練2】（2024廣州一模）下列各數(shù)中比3大比4小的無理數(shù)是（）

10

A．10B．17C．3.1D．

3

9＜10＜163＜10＜410

考點(diǎn)1.二次根式的有關(guān)概念及性質(zhì)

2

1.（2024四川德陽）化簡：3＝__________．

2.（2024江蘇連云港）若式子x2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是_____．

3.（2024上海市）已知2x11，則x___________．

考點(diǎn)2.二次根式的運(yùn)算

1.（2024湖南?。┯?jì)算27的結(jié)果是（）

A.27B.72C.14D.14

2

2.（2024四川樂山）已知1x2，化簡x1x2的結(jié)果為（）

A.1B.1C.2x3D.32x

3.（2024山東威海）計(jì)算：1286________．

4.（2024貴州?。┯?jì)算23的結(jié)果是________．

5.（2024天津市）計(jì)算111111的結(jié)果為___．

0

6.（2024河南?。┯?jì)算：25013；

11

7.（2024上海市）計(jì)算：|13|242(13)0．

23

考點(diǎn)3.二次根式的估值

1.（2024重慶市A）已知m273，則實(shí)數(shù)m的范圍是（）

A.2m3B.3m4C.4m5D.5m6

2.（2024四川資陽）若5m10，則整數(shù)m的值為（）

A.2B.3C.4D.5

3.（2024重慶市B）估計(jì)1223的值應(yīng)在（）

A.8和9之間B.9和10之間C.10和11之間D.11和12之間

4.（2024江蘇鹽城）矩形相鄰兩邊長分別為2cm、5cm，設(shè)其面積為Scm2，則S在哪兩個(gè)連

續(xù)整數(shù)之間（）

A.1和2B.2和3C.3和4D.4和5

5.（2024內(nèi)蒙古赤峰）請寫出一個(gè)比5小的整數(shù)_____________

6.（2024深圳）如圖所示，四邊形ABCD，DEFG，GHIJ均為正方形，且S正方形ABCD10，

S正方形GHIJ1，則正方形DEFG的邊長可以是________．（寫出一個(gè)答案即可）

考點(diǎn)1.二次根式的有關(guān)概念及性質(zhì)

1.若x8在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是_______．

2.若代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是．

考點(diǎn)2.二次根式的運(yùn)算

1．下列各式是最簡二次根式的是（）

A．B．C．D．

35

1312a3

135

2.把下列式子（的1）分母有；理（化2：）；

22232

22

3．已知a＝，b＝，求a2－ab＋b2的值．

7＋57－5

4.若實(shí)數(shù)m，n滿足∣mn5∣2mn40，則3mn_______．

2

5.計(jì)算2的結(jié)果是_________．

6.若a39a212ab4b20，則ab（）

9

A．3B．C．43D．9

2

7.(1)已知a、b滿足2a＋8＋|b－3|＝0，解關(guān)于x的方程(a＋2)x＋b2＝a－1；

(2)已知x、y都是實(shí)數(shù)，且y＝x－3＋3－x＋4，求yx的平方根．

8.計(jì)算：|22|3142(5)0．

9．下列計(jì)算中，正確的是（）

A．235B．2222C．236D．2323

10.從，﹣，﹣這三個(gè)實(shí)數(shù)中任選兩數(shù)相乘，所有積中小于2的有（）個(gè)．

A．0B．1C．2D．3

11.已知x為實(shí)數(shù)時(shí)，化簡x2－2x＋1＋x2.

12.計(jì)算：

132

(1)945÷32×2；

223

b9b2

(2)a2·ab·b÷.