/2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教材考點(diǎn)復(fù)習(xí)二次函數(shù)的面積問題（二階）學(xué)生版考法探究突破考法一表示三角形面積平面直角坐標(biāo)系中的面積問題，方法見提分微專題2.考法二表示四邊形面積1.求四邊形面積，通常利用割補(bǔ)法將四邊形轉(zhuǎn)化為幾個三角形面積的和.2.當(dāng)四邊形的兩邊在坐標(biāo)軸上，常見的求面積的方法有：（1）如圖1，連接OP，S四邊形OBPC＝S△OCP＋S△OBP；（2）如圖2，連接BC，過點(diǎn)P作x軸的垂線交BC于點(diǎn)D，S四邊形OBPC＝S△OBC＋S△BCP＝S△OBC＋S△CPD＋S△BPD.類型一面積求值1.（2023歷下三模節(jié)選）如圖1，拋物線C：y＝14x2＋bx＋c過A（6，0），B（0，－3）兩點(diǎn)，將拋物線C繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°，得到新的拋物線C'，拋物線C'交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)D，作直線BD（1）求拋物線C的表達(dá)式和點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）如圖2，過點(diǎn)O作EE'∥BD，交拋物線C'于點(diǎn)E和F，交拋物線C于點(diǎn)E'和F'，求△EF'B的面積.類型二面積平分2.（2024天橋二模節(jié)選）已知拋物線C1：y＝－x2－mx＋6m交x軸于點(diǎn)A，B，交y軸于點(diǎn)C.（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)A坐標(biāo)為（－3，0）時，求拋物線的表達(dá)式；（2）在（1）的條件下，點(diǎn)D是第二象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)，連接BD，若BD將四邊形ABCD平分成面積相等的兩部分，求點(diǎn)D的橫坐標(biāo).類型三面積最值3.（2024長清一模節(jié)選）如圖，直線y＝－12x＋3交y軸于點(diǎn)A，交x軸于點(diǎn)C，拋物線y＝－14x2＋bx＋c經(jīng)過點(diǎn)A，點(diǎn)C，且交x軸于另一點(diǎn)（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）在直線AC上方的拋物線上有一點(diǎn)M，求四邊形ABCM面積的最大值及此時點(diǎn)M的坐標(biāo).類型四面積比值定值4.（2023長清東片區(qū)一模節(jié)選）已知拋物線y＝ax2＋bx＋3經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（－3，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P為第二象限內(nèi)拋物線上動點(diǎn).（1）拋物線的表達(dá)式為y＝－x2－2x＋3＝－（x＋1）2＋4，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（－1，4）；（2）如圖1，是否存在點(diǎn)P，使四邊形BOCP的面積為8？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.（3）如圖2，連接OP交BC于點(diǎn)D，當(dāng)S△CPD∶S△BPD＝1∶2時，請求出點(diǎn)D的坐標(biāo).類型五面積比值最值5.（2024章丘二模節(jié)選）拋物線y＝ax2＋2x＋c與x軸交于A（－1，0），B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3）.（1）求拋物線的表達(dá)式.（2）點(diǎn)P為第一象限拋物線上的一點(diǎn)，連接OP，交BC于點(diǎn)Q，連接CP，求△CPQ與△OCQ面積的比值的最大值.達(dá)標(biāo)演練檢測1.（2023歷城一模）拋物線y＝ax2＋bx＋3過點(diǎn)A（－1，0），點(diǎn)B（3，0），頂點(diǎn)為C，與y軸相交于點(diǎn)D.點(diǎn)P是該拋物線上一動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m（0＜m＜3）.（1）求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）如圖，連接BD，PB，PD，若△PBD的面積為3，求m的值.2.（2023歷下九校聯(lián)考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2＋bx－4（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（－1，0），B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C.（1）求該拋物線的表達(dá)式；（2）直線l為該拋物線的對稱軸，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于直線l對稱，點(diǎn)F為直線AD下方拋物線上一動點(diǎn)，連接FA，F(xiàn)D，求△FAD面積的最大值.3.如圖，二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中B（1，0），C（0，3）.（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）在二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)P，使得S△PAC＝S△ABC？若存在，請求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.2025年山東濟(jì)南中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教材考點(diǎn)復(fù)習(xí)二次函數(shù)的面積問題（二階）教師版考法探究突破考法一表示三角形面積平面直角坐標(biāo)系中的面積問題，方法見提分微專題2.考法二表示四邊形面積1.求四邊形面積，通常利用割補(bǔ)法將四邊形轉(zhuǎn)化為幾個三角形面積的和.2.當(dāng)四邊形的兩邊在坐標(biāo)軸上，常見的求面積的方法有：（1）如圖1，連接OP，S四邊形OBPC＝S△OCP＋S△OBP；（2）如圖2，連接BC，過點(diǎn)P作x軸的垂線交BC于點(diǎn)D，S四邊形OBPC＝S△OBC＋S△BCP＝S△OBC＋S△CPD＋S△BPD.類型一面積求值1.（2023歷下三模節(jié)選）如圖1，拋物線C：y＝14x2＋bx＋c過A（6，0），B（0，－3）兩點(diǎn)，將拋物線C繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°，得到新的拋物線C'，拋物線C'交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)D，作直線BD（1）求拋物線C的表達(dá)式和點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）如圖2，過點(diǎn)O作EE'∥BD，交拋物線C'于點(diǎn)E和F，交拋物線C于點(diǎn)E'和F'，求△EF'B的面積.解：（1）∵拋物線y＝14x2＋bx＋c經(jīng)過A（6，0）和B（0，－3）兩點(diǎn)，∴9+6b∴拋物線C的表達(dá)式為y＝14x2－x－3∵拋物線C繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°，得到新的拋物線C'，∴點(diǎn)A與點(diǎn)D關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是（－6，0）.（2）設(shè)直線BD的表達(dá)式為y＝kx＋n.將B（0，－3），D（－6，0）分別代入得－3=n，0=－6k＋n，∵EE'∥BD，∴直線EE'的表達(dá)式為y＝－12x聯(lián)立y＝14x2－x－3，y＝－12x，解得x1＝1＋13，x2＝1－∵拋物線C繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°，得到新的拋物線C'，∴xE＝－1－13，∴S△EF'B＝S△EOB－S△F'OB＝12OB·（xF'－xE）＝12×3×（1－13＋1＋13）＝類型二面積平分2.（2024天橋二模節(jié)選）已知拋物線C1：y＝－x2－mx＋6m交x軸于點(diǎn)A，B，交y軸于點(diǎn)C.（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)A坐標(biāo)為（－3，0）時，求拋物線的表達(dá)式；（2）在（1）的條件下，點(diǎn)D是第二象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)，連接BD，若BD將四邊形ABCD平分成面積相等的兩部分，求點(diǎn)D的橫坐標(biāo).解：（1）將A（－3，0）代入y＝－x2－mx＋6m中，得－9＋3m＋6m＝0，解得m＝1，∴y＝－x2－x＋6.（2）設(shè)D（a，－a2－a＋6），y軸與直線BD交于點(diǎn)E，當(dāng)y＝0時，0＝－x2－x＋6，解得x＝－3（舍去），x＝2，∴B（2，0）.設(shè)直線BD的表達(dá)式為y＝kx＋b，∴2解得k∴直線BD的表達(dá)式為y＝－（a＋3）x＋2a＋6.令x＝0得，y＝2a＋6，∴E（0，2a＋6），∴CE＝6－2a－6＝－2a.∵S△BCD＝S△ABD，∴12×（－2a）×（2－a）＝12×5×（－a2－a＋6），∴a＝2或a＝－∵D是第二象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)，∴a＝2（舍去），∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)是－157類型三面積最值3.（2024長清一模節(jié)選）如圖，直線y＝－12x＋3交y軸于點(diǎn)A，交x軸于點(diǎn)C，拋物線y＝－14x2＋bx＋c經(jīng)過點(diǎn)A，點(diǎn)C，且交x軸于另一點(diǎn)（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）在直線AC上方的拋物線上有一點(diǎn)M，求四邊形ABCM面積的最大值及此時點(diǎn)M的坐標(biāo).解：（1）令x＝0，得y＝－12×0＋3＝3，∴A（0，3），令y＝0，得y＝－12x＋3＝0，解得，x＝6，∴C（6，0），把A，C兩點(diǎn)代入y＝－14x2＋bx＋c得，c=3，－14×36+6b+3=0，解得b=1（2）連接OM，如圖，設(shè)Mx,?令y＝0，得y＝－14x2＋x＋3＝0，解得x＝－2，或x＝6∴B（－2，0）.則S四邊形ABCM＝S△ABO＋S△AOM＋S△OCM＝12×3×2＋12×3x＋12×＝－34x2＋92x＋12＝－34（x－3）2∵－34＜0，∴當(dāng)x＝－b2a＝3時，四邊形ABCM的面積最大，其最大值為754，此時－14x2＋x＋3＝154類型四面積比值定值4.（2023長清東片區(qū)一模節(jié)選）已知拋物線y＝ax2＋bx＋3經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（－3，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P為第二象限內(nèi)拋物線上動點(diǎn).（1）拋物線的表達(dá)式為y＝－x2－2x＋3＝－（x＋1）2＋4，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（－1，4）；（2）如圖1，是否存在點(diǎn)P，使四邊形BOCP的面積為8？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.（3）如圖2，連接OP交BC于點(diǎn)D，當(dāng)S△CPD∶S△BPD＝1∶2時，請求出點(diǎn)D的坐標(biāo).解：（2）不存在，理由：如圖，連接BC，過點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)H.令二次函數(shù)x＝0，解得y＝3，∴C（0，3）.設(shè)直線BC的表達(dá)式為y＝kx＋b，把C（0，3），B（－3，0）代入得3=b，0=－3k＋b，解得k=1設(shè)點(diǎn)P（x，－x2－2x＋3），點(diǎn)H（x，x＋3），則S四邊形BOCP＝S△OBC＋S△PBC＝12×3×3＋12（－x2－2x＋3－x－3）×3＝8，整理，得3x2＋9x＋7＝0，Δ＜0，故方程無解，則不存在滿足條件的點(diǎn)（3）∵OB＝OC，∴∠CBO＝45°，∴BC＝BO2＋CO2＝32.∵S△CPD∶S△BPD＝1∶2，∴BD＝23BC＝23×32＝22，∴yD＝BDsin∠CBO＝22×22＝2，代入直線BC得2＝x＋3，解得x＝－1類型五面積比值最值5.（2024章丘二模節(jié)選）拋物線y＝ax2＋2x＋c與x軸交于A（－1，0），B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3）.（1）求拋物線的表達(dá)式.（2）點(diǎn)P為第一象限拋物線上的一點(diǎn)，連接OP，交BC于點(diǎn)Q，連接CP，求△CPQ與△OCQ面積的比值的最大值.解：（1）∵拋物線y＝ax2＋2x＋c與x軸交于A（－1，0），B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），∴把A（－1，0），C（0，3）代入y＝ax2＋2x＋c，得a－2+c=0，c=3，解得a＝－1，c（2）如圖，過點(diǎn)P作PD∥OB，交BC于點(diǎn)D，∵拋物線的表達(dá)式為y＝－x2＋2x＋3，與x軸交于A（－1，0）、B兩點(diǎn)，∴令y＝0，則－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1（為點(diǎn)A橫坐標(biāo)），x2＝3，∴B（3，0），OB＝3，設(shè)直線BC的表達(dá)式為y＝kx＋b，把B（3，0），C（0，3）代入y＝kx＋b，得3k＋b=0，b=3，解得k＝－1，b=3，∴直線BC的表達(dá)式為y＝－x＋3.∵點(diǎn)P為第一象限拋物線上的一點(diǎn)，∴設(shè)點(diǎn)P（m，－m2＋2m＋3）（0＜m＜3）.∵PD∥OB，交BC于點(diǎn)D，∴yD＝y(tǒng)P＝－m2＋2m＋3，∴把y＝－m2＋2m＋3代入y＝－x＋3，得－x＋3＝－m2＋2m＋3，整理，得x＝m2－2m，∴xD＝m2－2m，∴PD＝xP－xD＝m－（m2－2m）＝－m2＋3m.∵△CPQ的邊PQ上的高與△OCQ的邊OQ上的高相同，∴S△CPQS△OCQ＝PQOQ.∵PD∥OB，∴∠PDQ＝∠OBQ，∠DPQ＝∠BOQ，∴△PDQ∽△OBQ，∴PQOQ＝PDOB＝－m2+3m3＝－13m2＋m，∴S△CPQS△OCQ＝－1達(dá)標(biāo)演練檢測1.（2023歷城一模）拋物線y＝ax2＋bx＋3過點(diǎn)A（－1，0），點(diǎn)B（3，0），頂點(diǎn)為C，與y軸相交于點(diǎn)D.點(diǎn)P是該拋物線上一動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m（0＜m＜3）.（1）求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）如圖，連接BD，PB，PD，若△PBD的面積為3，求m的值.解：（1）將點(diǎn)A（－1，0），點(diǎn)B（3，0）代入y＝ax2＋bx＋3，得a－b∴拋物線的表達(dá)式為y＝－x2＋2x＋3.∵y＝－x2＋2x＋3＝－（x－1）2＋4，∴頂點(diǎn)C（1，4）.（2）設(shè)直線BD的表達(dá)式為y＝kx＋b.∵點(diǎn)D（0，3），點(diǎn)B（3，0），代入表達(dá)式，得b∴解得k＝－1，b=3，∴直線BD表達(dá)式為y＝－x＋3.過點(diǎn)P作PQ∥y軸交BD于點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)P（m，－m2＋2m＋3），點(diǎn)Q（m，－m＋3），∴S△＝12×3（－m2＋2m＋3＋m－3＝－32m2＋92m，∵△PBD的面積為3，∴－32m2＋92m＝3，∴m1＝1，m2.（2023歷下九校聯(lián)考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2＋bx－4（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（－1，0），B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C.（1）求該拋物線的表達(dá)式；（2）直線l為該拋物線的對稱軸，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于直線l對稱，點(diǎn)F為直線AD下方拋物線上一動點(diǎn)，連接FA，F(xiàn)D，求△FAD面積的最大值.解：（1）將A（－1，0），B（4，0）代入y＝ax2＋bx－4，得a－b－4=0，16a+4b－4=0，∴（2）當(dāng)x＝0時，y＝－4，∴點(diǎn)C（0，－4），∵點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于直線l對稱，且對稱軸為直線x＝32∴D（3，－4）.∵A（－1，0），∴直線AD的函數(shù)關(guān)系式為y＝－x－1.設(shè)F（m，m2－3m－4），作FH∥y軸交直線AD于點(diǎn)H，∴H（m，－m－1），∴FH＝－m－1－（m2－3m－4）＝－m2＋2m＋3，∴S△AFD＝S△AFH＋S△DFH＝12×FH×4＝2（－m2＋2m＋3）＝－2m2＋4m＋6＝－2（m－1）2＋8，當(dāng)m＝1時，S△AFD最大為83.如圖，二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中B（1，0），C（0，3）.（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）在二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)P，使得S△PAC＝S△ABC？若存在，請求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.解：（1）將點(diǎn)B（1，0），C（0，3）代入y＝x2＋bx＋c得1+b＋∴拋物線表達(dá)式為y＝x