2024-2025學年新教材高考數(shù)學第1章空間向量與立體幾何3直線與平面的夾角教學實錄新人教B版選擇性必修第一冊授課內(nèi)容授課時數(shù)授課班級授課人數(shù)授課地點授課時間課程基本信息1.課程名稱：2024-2025學年新教材高考數(shù)學第1章空間向量與立體幾何3直線與平面的夾角

2.教學年級和班級：高一（1）班

3.授課時間：2024年9月15日上午第二節(jié)課

4.教學時數(shù)：1課時核心素養(yǎng)目標分析本節(jié)課旨在培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象和數(shù)學運算等核心素養(yǎng)。通過直線與平面的夾角這一概念的學習，學生能夠理解空間幾何圖形的性質(zhì)，提高空間想象能力；通過公式的推導和計算，鍛煉學生的數(shù)學建模和數(shù)學運算能力；同時，通過問題解決的過程，培養(yǎng)學生的邏輯推理能力和應(yīng)用意識。學習者分析1.學生已經(jīng)掌握的相關(guān)知識：

學生在進入本節(jié)課之前，已經(jīng)學習了平面幾何的基本概念和性質(zhì)，對直線和平面的基本關(guān)系有一定的了解。此外，他們應(yīng)該掌握了空間向量的一些基本運算，如向量的加法、減法、數(shù)乘等。

2.學生的學習興趣、能力和學習風格：

高一學生對新知識充滿好奇心，對立體幾何的學習興趣較高。他們在學習過程中表現(xiàn)出較強的邏輯思維能力和空間想象能力。部分學生可能更喜歡通過圖形直觀理解問題，而另一部分學生則更傾向于通過公式和計算來解決問題。

3.學生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：

由于空間幾何概念較為抽象，部分學生可能會在理解直線與平面的夾角概念時遇到困難。此外，空間向量在立體幾何中的應(yīng)用可能讓學生感到復雜。學生在推導直線與平面夾角的公式時，可能會遇到計算上的困難。同時，將理論應(yīng)用于實際問題解決時，學生可能會面臨如何選擇合適的方法和策略的挑戰(zhàn)。教學資源準備1.教材：確保每位學生都有新人教B版選擇性必修第一冊教材。

2.輔助材料：準備與教學內(nèi)容相關(guān)的空間幾何圖形圖片、夾角計算公式圖表和立體幾何相關(guān)視頻。

3.教室布置：設(shè)置分組討論區(qū)，方便學生進行合作學習；在黑板上繪制輔助圖形，幫助學生直觀理解。教學過程一、導入（約5分鐘）

1.激發(fā)興趣：通過展示一些日常生活中常見的立體幾何圖形，如建筑物、家具等，引導學生思考這些圖形中的直線與平面之間的關(guān)系，激發(fā)學生對直線與平面夾角學習的興趣。

2.回顧舊知：簡要回顧平面幾何中直線與直線、直線與平面之間的關(guān)系，以及空間向量在幾何中的應(yīng)用。

二、新課呈現(xiàn)（約30分鐘）

1.講解新知：

a.引入直線與平面的夾角概念，講解其定義和計算方法。

b.詳細講解直線與平面夾角的公式推導過程，幫助學生理解公式的來源和適用范圍。

c.通過具體例子，展示如何利用公式計算直線與平面的夾角。

2.舉例說明：

a.利用幾何圖形展示直線與平面夾角的具體應(yīng)用場景。

b.通過實際案例，引導學生分析問題，并運用所學知識解決問題。

三、互動探究（約10分鐘）

1.引導學生分組討論，探討如何利用直線與平面夾角的知識解決實際問題。

2.教師巡視各組，給予指導和幫助，確保學生能夠積極參與討論。

四、鞏固練習（約20分鐘）

1.學生活動：

a.學生獨立完成課后習題，鞏固所學知識。

b.學生互相檢查作業(yè)，發(fā)現(xiàn)并糾正錯誤。

2.教師指導：

a.教師選取典型習題進行講解，幫助學生掌握解題方法。

b.教師針對學生在練習中遇到的問題，進行個別輔導。

五、總結(jié)與反思（約5分鐘）

1.教師總結(jié)本節(jié)課所學內(nèi)容，強調(diào)重點和難點。

2.學生分享學習心得，反思自己的學習過程。

六、作業(yè)布置（約2分鐘）

1.布置課后習題，鞏固所學知識。

2.鼓勵學生課后查閱資料，拓寬知識面。學生學習效果學生學習效果主要體現(xiàn)在以下幾個方面：

1.知識掌握：

學生通過本節(jié)課的學習，能夠正確理解直線與平面的夾角概念，掌握其計算方法，并能夠熟練運用公式進行計算。他們對空間向量在立體幾何中的應(yīng)用有了更深入的認識，能夠?qū)⒗碚撝R與實際問題相結(jié)合。

2.能力提升：

a.空間想象能力：學生在學習直線與平面夾角的過程中，通過觀察幾何圖形和推導公式，提高了空間想象能力，能夠更好地理解和描述空間幾何關(guān)系。

b.邏輯推理能力：學生在推導直線與平面夾角公式時，鍛煉了邏輯推理能力，學會了如何從已知條件出發(fā)，逐步推導出結(jié)論。

c.數(shù)學運算能力：學生在進行夾角計算時，提高了數(shù)學運算能力，能夠熟練運用向量運算和三角函數(shù)知識。

3.應(yīng)用能力：

學生能夠?qū)⑺鶎W知識應(yīng)用于解決實際問題，如計算建筑物的高度、分析幾何圖形的穩(wěn)定性等。他們能夠運用直線與平面夾角的知識，解決生活中遇到的一些幾何問題。

4.學習興趣：

通過本節(jié)課的學習，學生對立體幾何產(chǎn)生了濃厚的興趣，愿意主動探索和拓展相關(guān)知識。他們對數(shù)學的學習熱情得到提升，更加積極地參與課堂討論和實踐活動。

5.團隊合作能力：

在分組討論和互動探究環(huán)節(jié)，學生學會了與他人合作，共同解決問題。他們學會了傾聽他人的觀點，尊重他人的意見，并在團隊中發(fā)揮自己的優(yōu)勢，提高了團隊合作能力。

6.自主學習能力：

學生在完成課后習題和自主學習過程中，學會了如何查閱資料、整理筆記和總結(jié)規(guī)律。他們逐漸形成了良好的學習習慣，提高了自主學習能力。板書設(shè)計①直線與平面的夾角概念

-定義：直線與平面所成的角，即直線與它在平面上的投影線所成的銳角。

-記號：θ

②直線與平面夾角的計算方法

-公式：θ=arccos(向量n與向量l的點積/|向量n|*|向量l|)

-其中，向量n為平面的法向量，向量l為直線的方向向量。

③直線與平面夾角的應(yīng)用

-求解空間幾何問題，如建筑物的高度、幾何圖形的穩(wěn)定性等。

-分析直線與平面之間的垂直、平行關(guān)系。

④空間向量在計算中的應(yīng)用

-向量n與向量l的點積：向量n·向量l=|向量n|*|向量l|*cos(θ)

-向量n與向量l的叉積：向量n×向量l=|向量n|*|向量l|*sin(θ)

⑤舉例說明

-通過具體實例，展示直線與平面夾角的計算過程。

-分析實例中的關(guān)鍵步驟，如確定法向量、計算點積和叉積等。

⑥總結(jié)與反思

-強調(diào)直線與平面夾角計算的重要性和實用性。

-引導學生總結(jié)學習過程中的經(jīng)驗教訓，提高解題能力。重點題型整理1.**題型一：求直線與平面的夾角**

-**題目**：已知直線l：x=2t+1，y=t，z=t+1，平面π：x+y+z=4，求直線l與平面π的夾角。

-**解題步驟**：

1.求直線l的方向向量：s={2,1,1}。

2.求平面π的法向量：n={1,1,1}。

3.計算向量s與向量n的點積：s·n=2*1+1*1+1*1=4。

4.計算向量s和向量n的模：|s|=√(2^2+1^2+1^2)=√6，|n|=√(1^2+1^2+1^2)=√3。

5.計算cosθ=(s·n)/(|s|*|n|)=4/(√6*√3)=2/√18。

6.求得θ=arccos(2/√18)。

2.**題型二：求兩平面之間的夾角**

-**題目**：已知平面π1：x+y-z=1，平面π2：2x-y+z=1，求兩平面之間的夾角。

-**解題步驟**：

1.求平面π1的法向量：n1={1,1,-1}。

2.求平面π2的法向量：n2={2,-1,1}。

3.計算向量n1與向量n2的點積：n1·n2=1*2+1*(-1)+(-1)*1=0。

4.由于點積為0，兩平面垂直，夾角θ=90°。

3.**題型三：求直線與兩平面的夾角**

-**題目**：已知直線l：x=2t-1，y=3t，z=t+2，平面π1：x-y+z=1，平面π2：2x+y-2z=3，求直線l與平面π1、π2的夾角。

-**解題步驟**：

1.求直線l的方向向量：s={2,3,1}。

2.求平面π1的法向量：n1={1,-1,1}。

3.求平面π2的法向量：n2={2,1,-2}。

4.分別計算直線l與平面π1、π2的夾角，步驟與題型一類似。

4.**題型四：求點到平面的距離**

-**題目**：點P(1,2,3)到平面π：x+2y-3z=5的距離是多少？

-**解題步驟**：

1.求平面π的法向量：n={1,2,-3}。

2.求點P到平面π的距離：d=|(向量n·向量OP)|/|向量n|，其中向量OP為點P到原點的向量。

3.計算向量OP={1,2,3}。

4.計算向量n·向量OP=1*1+2*2+(-3)*3=1+4-9=-4。

5.計算|向量n|=√(1^2+2^2+(-3)^2)=√14。

6.求得d=|(-4)|/√14=4/√14。

5.**題型五：求兩條直線之間的距離**

-**題目**：直線l1：x=3t-1，y=2t+2，z=t，直線l2：x=t+2，y=t