2024-2025學(xué)年山東省煙臺(tái)市高一上學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平診斷數(shù)學(xué)試題?一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式即可求解.【詳解】，故選：C.2.函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在性定理，判斷選項(xiàng).【詳解】，，且函數(shù)的定義域是0,+∞，定義域內(nèi)是增函數(shù)，也是增函數(shù)，所以是增函數(shù)，且，所以函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為.故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：一般函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷方法是：1.利用函數(shù)零點(diǎn)存在性定理判斷，判斷區(qū)間端點(diǎn)值所對(duì)應(yīng)函數(shù)值的正負(fù)；2.畫出函數(shù)的圖象，通過觀察圖象與軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來判斷，或是轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象交點(diǎn)判斷.3.已知點(diǎn)在角終邊上，則下列角中與終邊相同的是（）A1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由三角函數(shù)的定義和誘導(dǎo)公式即可判斷.【詳解】由題意，得，，則與終邊相同的是.故選：B4.溶液酸堿度是通過pH計(jì)算的，pH的計(jì)算公式為，其中表示溶液中氫離子的濃度，單位是摩爾/升.若胃酸中氫離子的濃度是摩爾/升，則胃酸的pH為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)即可求解.【詳解】由題意，得若胃酸中氫離子的濃度是摩爾/升，則胃酸的pH為：故選：C.5.《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，其中《方田》一章記錄了弧田面積的計(jì)算問題.如圖，某弧田由弧和其所對(duì)的弦圍成，若弦長度為2，弧所對(duì)的圓心角的弧度數(shù)為2，則該弧田的面積為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】過作，垂足為，利用銳角三角函數(shù)求出，即可求出弧的長，最后根據(jù)弧田的面積即可求解.【詳解】過作，垂足為，易知為中點(diǎn)，，因?yàn)?，，所以，，所以弧的長為，因?yàn)椋?，所以弧田的面積.故選：D6.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則（）A.的定義域?yàn)?B.的值域?yàn)镃.為偶函數(shù) D.是其定義域上的減函數(shù)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義求出解析式，然后對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可.【詳解】設(shè)，則，解得，故，則的定義域?yàn)?，故A錯(cuò)誤；的值域?yàn)?，故B錯(cuò)誤；，則為偶函數(shù)，故C正確；在和上分別單調(diào)遞減，不能說是在其定義域上的減函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：C.7.設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)比較大小和利用冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)比較大小.【詳解】因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，且，所以，即，因此因?yàn)?，，所以，而函?shù)在是增函數(shù)，因此因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，且，所以，即，因此綜上所述，故選：A.8.已知函數(shù)，則（）A.為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增B.為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減C.為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增D.為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減【答案】A【解析】【分析】首先明確函數(shù)的定義域，并且利用誘導(dǎo)公式化簡解析式，然后利用奇偶性的概念驗(yàn)證奇偶性；再利用函數(shù)單調(diào)性的定義，結(jié)合正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的單調(diào)性和不等式的性質(zhì)即可判斷在上的單調(diào)性.【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，并且，又，所以為偶函?shù)；設(shè)、，并且，則，，所以，，，于是，即，所以在上單調(diào)遞增，所以A正確，BCD錯(cuò)誤.故選：A.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)，且，則（）A.的定義域?yàn)?B.為偶函數(shù)C.在上單調(diào)遞減 D.的最大值為0【答案】AB【解析】【分析】選項(xiàng)A根據(jù)對(duì)數(shù)有意義的條件可得；選項(xiàng)B根據(jù)偶函數(shù)的定義可得；選項(xiàng)C根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷可得；選項(xiàng)D因單調(diào)性不確定，故不確定最值情況.【詳解】函數(shù)，且，解得，故函數(shù)的定義域?yàn)?，又，∴fx為偶函數(shù)，不知道還是，故不能判斷的單調(diào)性和最值情況，綜上，AB正確，CD錯(cuò)誤.故選：AB10.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則（）A.的最小正周期為B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.在區(qū)間上單調(diào)遞增D.若在上有3個(gè)零點(diǎn)，則【答案】ABD【解析】【分析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，可求得，對(duì)于，故選項(xiàng)A正確；再根據(jù)正弦型函數(shù)的圖像及性質(zhì)逐一判斷B、C、D選項(xiàng)即可.【詳解】因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，解得，又，所以，所以，所以最小正周期，故選項(xiàng)A正確;因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故選項(xiàng)B正確;當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上不單調(diào)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏嫌?個(gè)零點(diǎn)，所以，解得，故選項(xiàng)D正確，故選:11.若定義在上的函數(shù)滿足：對(duì)任意的，都存在唯一的，使得，則稱函數(shù)是“函數(shù)”，則下列說法正確的有（）A.是“函數(shù)”B.是“函數(shù)”C.若是“函數(shù)”，則D.若是“函數(shù)”，則【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)題中“函數(shù)”的定義，得到函數(shù)在上的值域與函數(shù)在的值域的關(guān)系，且兩個(gè)值域交集對(duì)應(yīng)區(qū)間上函數(shù)是單調(diào)的.然后利用函數(shù)的單調(diào)性求值域，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一分析即可.【詳解】設(shè)在上的值域?yàn)榧蟂，在上的值域?yàn)榧蟃，因?yàn)閷?duì)任意的，都存在唯一的，使得，則必須滿足對(duì)于A，在上的值域?yàn)?，即，在上的值域?yàn)榧礉M足，且由的圖像可得對(duì)任意的，都存在唯一的，使得，故是“函數(shù)”，故A正確；對(duì)于B，在上的值域?yàn)榧丛谏系闹涤驗(yàn)?，即，不滿足，故不是“函數(shù)”，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，其圖像關(guān)于對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，在上的值域?yàn)榧丛谏系闹涤驗(yàn)?，即若是“函?shù)”，由，所以，解得，與矛盾.當(dāng)時(shí)，在上的值域?yàn)?，即，在上的值域?yàn)榧慈羰恰昂瘮?shù)”，由，所以，即，解得且由的圖像可知對(duì)任意的，都存在唯一的，使得，故滿足題意.綜上所述，若是“函數(shù)”，則，故C正確；對(duì)于D，若，在上單調(diào)遞增，所以在上的值域?yàn)椋?，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在上的值域?yàn)榧磩t，所以，解得，又，所以要滿足對(duì)任意的，都存在唯一的，使得，則需，解得，所以當(dāng)時(shí)，此時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在上的值域?yàn)?，即，在上的值域?yàn)?，即由的圖像可得，對(duì)任意的，都存在唯一的，使得，故符合題意.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在上的值域?yàn)榧丛谏系闹涤驗(yàn)椋创藭r(shí)，即，不滿足任意的，都存在唯一的，使得，綜上所述，，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛，本題對(duì)函數(shù)進(jìn)行了新的定義，所以充分理解定義，然后根據(jù)定義分別判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.對(duì)于含參的函數(shù)，需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，在分別求出對(duì)應(yīng)區(qū)間的值域，由定義進(jìn)行判斷即可.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)的定義域?yàn)開_________.【答案】【解析】【分析】由題意，，解不等式得出結(jié)論.【詳解】由題意，，所以，，所以，，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.13.某摩天輪示意圖如下圖所示，其半徑為100m，最低點(diǎn)A與地面距離為8m，轉(zhuǎn)動(dòng)一圈.若該摩天輪上一吊箱視為質(zhì)點(diǎn))從A點(diǎn)出發(fā)，按順時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，則吊箱B第4次距離地面158m時(shí)，所經(jīng)歷的時(shí)長為__________(單位：【答案】40【解析】【分析】以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，把吊箱B離地面的高度h表示為時(shí)間t的三角函數(shù)，令即可求出答案.【詳解】以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)吊箱B離地面的高度為h，則，令，得，或，，或，，因?yàn)榈?次達(dá)到158m，所以時(shí)，吊箱B第4次距離地面158m，故答案：14.已知函數(shù)，且下列四個(gè)結(jié)論：①是的零點(diǎn)，②是的零點(diǎn)，③的零點(diǎn)之積為3，④方程只有一個(gè)實(shí)根，只有一個(gè)結(jié)論錯(cuò)誤，則錯(cuò)誤結(jié)論的序號(hào)為__________；若方程有三個(gè)不等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為__________.【答案】①.②②.【解析】【分析】首先解得函數(shù)的零點(diǎn)，判斷零點(diǎn)的范圍，推出①和②③均矛盾，故求得，然后驗(yàn)證即可得出錯(cuò)誤結(jié)論的序號(hào);把分段代入方程，有三個(gè)不等的實(shí)根求得的取值范圍.【詳解】函數(shù)，因?yàn)樵?<x<2上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，若時(shí)，令，解得，所以若函數(shù)有零點(diǎn)，只能在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，由題可知，四個(gè)結(jié)論中，①和②③均矛盾，故，若函數(shù)滿足方程只有一個(gè)實(shí)根，需，矛盾；若時(shí)，令，解得，所以函數(shù)在0<x<2上有一個(gè)零點(diǎn)，且，由題可知①和②矛盾，若①是正確結(jié)論，則，因?yàn)榈牧泓c(diǎn)之積為3，所以，解得，此時(shí)，在0<x<2上有，在上有，滿足題意；若②是正確結(jié)論，則，因?yàn)榈牧泓c(diǎn)之積為3，所以，解得，此時(shí)，在0<x<2上有，在上有，不滿足題意，故②結(jié)論錯(cuò)誤；因?yàn)?，若，即，因?yàn)椋Y(jié)合韋達(dá)定理可知，方程必有兩個(gè)異號(hào)實(shí)根，故在上只有一個(gè)根，所以在0<x<2上有兩個(gè)不同實(shí)根，根據(jù)圖像可得所以，解得故故答案為：②；【點(diǎn)睛】分段函數(shù)零點(diǎn)問題的處理方法：(1)畫出函數(shù)圖像找出圖像的交點(diǎn);(2)分段函數(shù)的零點(diǎn),分段解方程可求得每段上的函數(shù)零點(diǎn).四、解答題：本題共5小題，共60分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.化簡求值：（1）（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)和對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可；（2）運(yùn)用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式求解即可.【小問1詳解】；【小問2詳解】因?yàn)?，所?6.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1）若，求的值;（2）求方程的解.【答案】（1）（2）或，【解析】【分析】（1）由圖象得到結(jié)合求解；（2）運(yùn)用正弦型函數(shù)性質(zhì)求解即可.【小問1詳解】由圖象可知，所以，于是，，解得，又，所以，所以因?yàn)?，所以，所以【小?詳解】因?yàn)?，所以或解得或?7.某企業(yè)為了解每月廣告投入費(fèi)用單位：萬元)與月利潤單位：萬元)的關(guān)系，統(tǒng)計(jì)了前三個(gè)月每月廣告投入費(fèi)用x與月利潤y的數(shù)據(jù)，如下表所示：月份第一個(gè)月第二個(gè)月第三個(gè)月每月廣告投入費(fèi)用單位：萬元)248月利潤單位：萬元)4831（1）當(dāng)每月廣告投入費(fèi)用不超過12萬元時(shí)，x與y之間的關(guān)系有兩個(gè)函數(shù)模型與可供選擇，利用表中前兩個(gè)月的數(shù)據(jù)分別求出兩個(gè)函數(shù)模型的解析式，并根據(jù)第三個(gè)月的數(shù)據(jù)，選出更符合實(shí)際的函數(shù)模型（2）已知每月廣告投入費(fèi)用超過12萬元時(shí)，x與y滿足關(guān)系結(jié)合第（1）問的結(jié)果，求該企業(yè)每月廣告投入費(fèi)用x在什么范圍時(shí)月利潤不少于64萬元?【答案】（1）更符合實(shí)際的函數(shù)模型為（2）【解析】【分析】分別求解若選用函數(shù)若選用函數(shù)，判定即可；分類討論，解不等式求解即可.【小問1詳解】若選用函數(shù)將點(diǎn)，代入可得解得，，所以當(dāng)時(shí)，得若選用函數(shù)，將點(diǎn)，代入可得，解得，，所以當(dāng)時(shí)，得，因?yàn)?，即模型與實(shí)際數(shù)據(jù)差距更小，所以更符合實(shí)際的函數(shù)模型為【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，令，即，所以當(dāng)時(shí)，由，解得，所以所以該企業(yè)每月廣告投入費(fèi)用x在時(shí)月利潤不少于64萬元.18.已知函數(shù)圖象上兩條相鄰的對(duì)稱軸之間的距離為（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間;（2）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，設(shè)，若對(duì)任意，存在，使得成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由題意得到，結(jié)合正弦型函數(shù)性質(zhì)求解；由題意，結(jié)合單調(diào)性求解即可【小問1詳解】由題意，周期，所以，令，，解得，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為【小問2詳解】由題意，因?yàn)閷?duì)任意，存在，使得成立，所以當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，，即令，則，，若，在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，解得，若，在上單減，在上單增，因?yàn)?，所以，解得，若，上單減，因?yàn)?，所以，解得綜上，a的取值范圍為或19.已知函數(shù)的定義域?yàn)?（1）求a的取值范圍;（2）討論函數(shù)的單調(diào)性;（3）給定函數(shù)，，若其圖象與直線存在公共點(diǎn)，則稱是的一個(gè)“不動(dòng)點(diǎn)”;若其圖象與直線存在公共點(diǎn)，則稱是的一個(gè)“次不動(dòng)點(diǎn)”.若函數(shù)在上僅有一個(gè)“不動(dòng)點(diǎn)”和一個(gè)“次不動(dòng)點(diǎn)”，求a的取值范圍.【答案】（1）（2）答案見解析（3）或【解析】【分析】（1）先將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，分離參數(shù)后得到在上恒成立，利用基本不等式求出的最小值即可；（2）根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，設(shè)，，分類討論求解即可；（3）設(shè)函數(shù)在上的“不動(dòng)點(diǎn)”為m，則，令，，則，將函數(shù)在上僅有一個(gè)“不動(dòng)點(diǎn)”轉(zhuǎn)化為與的圖象在上僅有一個(gè)交點(diǎn)；設(shè)函數(shù)在上的“次不動(dòng)點(diǎn)”為n，則，令，，則，將函數(shù)在上僅有一個(gè)“次不動(dòng)點(diǎn)”轉(zhuǎn)化為與的圖象在上僅有一個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合單調(diào)性求解即可.【小問1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以在上恒成立，即在上恒成立，又因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.所以a的取值范圍為【小問2詳解】令，則為上的增函數(shù)，且設(shè)當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又為增函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，在上單增;當(dāng)時(shí)，在上單減，在上單增，又為增函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，在單減，在單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)，函數(shù)在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，在單調(diào)遞