專題05全等三角形七大模型（知識(shí)串講+熱考題型）

考點(diǎn)速覽

一、K型（一線三垂直）模型二、“手拉手”模型

三、倍長(zhǎng)中線四、平行線中點(diǎn)

五、“雨傘”模型六、半角模型

七、胖瘦模型

W知識(shí)梳理

一、K型（一線三垂直）模型

D?￡

兩條手臂之間的距離=長(zhǎng)手十短手,兩條手臂之間的距離-長(zhǎng)手一短手,

即。E=AD+CE,即DE=AD—CE,

一線三重直果中考考試中常見(jiàn)的模型，模型按照常規(guī)的方法需要找到對(duì)應(yīng)三角形邊角關(guān)

系，進(jìn)而得全等三角形，根據(jù)全等三角形再找所求的邊角.但很多常見(jiàn)的一線三重直模

型可以先嘗試找到“長(zhǎng)手”和“短手”，根據(jù)模型快速解題.

二、“手拉手”模型

隔A-

//0\

E

BC

（2025年）

在中考考試中，很多學(xué)生遇到手拉手模型時(shí)，都無(wú)從下手.但其實(shí)只要找到相等的邊或

角，找到全等三角形，進(jìn)而找出對(duì)應(yīng)邊或角的關(guān)系即可.熟練掌握手拉手模型的學(xué)生,

可以很快找到里面的全等三角形，解決小題就會(huì)很快.

三、倍長(zhǎng)中線

在中考考試中，幾何中的中點(diǎn)類問(wèn)題是很復(fù)雜的一類題型，由于它涉及的輔助線類別多,

同學(xué)們經(jīng)常記不住到底用哪類輔助線因此往往在做題的時(shí)候浪費(fèi)了大量的時(shí)間，請(qǐng)記

住，實(shí)在不會(huì)做了想想倍長(zhǎng)中線，

四、平行線中點(diǎn)

在中考考試中，平行線中點(diǎn)是一類特點(diǎn)非常鮮明的幾何題，做這類題的關(guān)鍵就在于添加

延長(zhǎng)線，中考出題人非常喜歡出這類題，原因就是能夠讓懂模型的人快速找到答案.

五、“雨傘，，模型

在中考考試中，雨傘模型是一類特點(diǎn)非常鮮明的幾何題，做這類題的關(guān)鍵就在于添加延

長(zhǎng)線，它與平行線中點(diǎn)模型并稱為中學(xué)階段兩大必延長(zhǎng)的模型，只要看到這類模型，方

法就很統(tǒng)一了.

六、半角模型

在中考考試中，半角模型在選擇題、填空題、解答題中經(jīng)常出現(xiàn)，我們?cè)谔幚磉@類問(wèn)題

時(shí)，關(guān)鍵在于找到半角和全角，運(yùn)用口訣進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，就能很快地解決此

類問(wèn)題.

七、胖瘦模型

全等三角形果中考必考內(nèi)容，是解決有關(guān)線段、角等問(wèn)題的一個(gè)出發(fā)點(diǎn).胖瘦模型的特

點(diǎn)很鮮明，但是很多學(xué)生沒(méi)有進(jìn)行總結(jié)，所以看到這種題果沒(méi)有方向的，如果惜這類問(wèn)

題的解決方法，你會(huì)發(fā)現(xiàn)要做出答案其實(shí)果很輕松的.

Q考點(diǎn)精講

一、K型（一線三垂直）模型

一.填空題（共2小題）

（2022春?武昌區(qū)期中）

1.如圖，四邊形ABCD中，ZB=NC=9O。，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，VADE是等邊三角形,

ABn.BE

且一=一，則n一=

CDmCE

(2025年)

（2022春?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)期中）

2.勾股定理有著悠久的歷史，它曾引起很多人的興趣，1955年希臘發(fā)行了以勾股定理

為背景的郵票.如圖，在RtABC中，ZBAC=90°,AC=3,AB=4.分別以AB,

AC,2C為邊向外作正方形正方形ACKL正方形BCDE,并按如圖所示作長(zhǎng)

方形HFPQ,延長(zhǎng)BC交尸。于G.則長(zhǎng)方形CDPG的面積為.

解答題（共6小題）

（2021秋?余干縣校級(jí)期中）

3.如圖，在ABC中，AB^AC,BC,A8邊上的高AO,CE相交于點(diǎn)/，且AE=CE.

(1)求證：AEF-CEB；

(2)若詼=12,求8的長(zhǎng).

（2021春?嘉祥縣期中）

4.如圖1,以AABC的邊48為邊，向外畫(huà)正方形ABDE,過(guò)點(diǎn)人作&〃，8。于過(guò)

點(diǎn)E作EP1MA交MA延長(zhǎng)線于點(diǎn)P.

（2）如圖2,若/BAC=90。，以AC為邊再向外畫(huà)正方形ACPG,連接EG交PM于點(diǎn)N,

求證：EN=GN；

（3）若乙BAC是鈍角或銳角，請(qǐng)仿照?qǐng)D2分別在圖3、圖4中補(bǔ)畫(huà)圖形，并選“〉”或y

或“=”其中一個(gè)符號(hào)填空，直接表示此時(shí)EN與GN的大小關(guān)系.如圖3,若/8AC>90。,

則ENGN；如圖4,若aBAC<90。，則EWGN.

（2021春?禹州市期中）

5.如圖，在四邊形ABCD中，ZABC=90°,AB=S,BC=15,CD=17,AD=\16,

連接AC,

（1）證明NACO是直角;

（2）求對(duì)角線8。的長(zhǎng).

（2021春?丹陽(yáng)市期中）

6.通過(guò)對(duì)下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問(wèn)題：

【模型呈現(xiàn)】

（1）如圖，ZBAD^90°,AB=AD,過(guò)點(diǎn)8作BC，AC于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)。作DE1AC

于點(diǎn)E.由N1+N2=N2+NO=90。，得N1=ND.又NACB=NAED=90。，可以推理

得到AABC絲AD4E.進(jìn)而得到AC=,5C=AE.我們把這個(gè)數(shù)學(xué)模型稱為“K

字”模型或“一線三等角”模型；

（2025年）

【模型應(yīng)用】

(2)如圖，/B4D=/C4E=90。，AB=AD,AC^AE,連接BC,DE,且3CLAF

于點(diǎn)/，DE與直線AF交于點(diǎn)G.求證：點(diǎn)G是DE的中點(diǎn)；

D

【深入探究】

(3)如圖，已知四邊形ABCD和DEGF為正方形，AAFD的面積為S-ADCE的面積

為邑，則有HS2(填“＞、=、＜")

(4)如圖，分別以\DCE的三條邊為邊，向外作正方形，連接AF、GK、.當(dāng)鉆=4,

DE=42,NCDE=45。時(shí)，圖中的三個(gè)陰影三角形的面積和為；

H

(5)如圖，點(diǎn)A、B、C、。、E都在同一條直線上，四邊形ABM、KCMG、DENM

都是正方形，若該圖形總面積是16,正方形KCMG的面積是4,則DMG的面積是

(2022春?淮陰區(qū)校級(jí)期中)

7.（1）【問(wèn)題初探】

蘇科版教材八年級(jí)下冊(cè)第九章《中心對(duì)稱圖形一一平行四邊形》復(fù)習(xí)題中有這樣的問(wèn)題:

如圖1正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,的頂點(diǎn)。在正方形A8CD兩條對(duì)角線的交點(diǎn)處,

ZEOF=90°,將NEZ加繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，NEOR的兩邊分別與正方形ABCD的邊8C和

交于點(diǎn)E和點(diǎn)尸（點(diǎn)P與點(diǎn)C,。不重合），問(wèn)：在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，四邊形OECb的面積

會(huì)發(fā)生變化嗎？證明你的結(jié)論.

愛(ài)思考的浩浩和小航同學(xué)分別探究出了如下兩種解題思路：

浩浩:如圖m充分利用正方形對(duì)角線垂直、相等且互相平分等性質(zhì)證明了，OEC沿OFD,

則SOEC=S.OFO，那么S四邊形OECF=S.OEC+S.OCF=SOFD+S,OCF=SOC0,這樣,就實(shí)現(xiàn)了

四邊形OEC歹的面積向0co面積的轉(zhuǎn)化；

小航:如圖6,也是考慮到正方形對(duì)角線的特征，過(guò)點(diǎn)。分別作OGL3c于點(diǎn)G,OH±CD

于點(diǎn)H,證明OGE&OHF,從而將四邊形0ECV的面積轉(zhuǎn)化成了小正方形0GCH的

面積.

通過(guò)他們的思路點(diǎn)撥，你認(rèn)為：S四邊形.ECF=—（填一個(gè)數(shù)值），其實(shí)，在這樣的旋轉(zhuǎn)

變化過(guò)程中，線段CE與CP的和也是一個(gè)定值，為一.

（2）【類比探究】

①如圖2,矩形ABCD中，AB=ZAD=4,點(diǎn)。是AD邊的中點(diǎn)，NEO尸=90。，點(diǎn)E

在AB上，點(diǎn)/在BC上，則四邊形EBFO的面積為；EB+BF=；

②如圖3,若將（1）中的“正方形A3CZT改為“N3Cr）=120。，邊長(zhǎng)為8的菱形A3CD,

當(dāng)/或加=60。時(shí)，其他條件不變，四邊形0ECP的面積還是一個(gè)定值嗎？是，請(qǐng)求出

來(lái)；不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；

③如圖4,在②的條件下，當(dāng)點(diǎn)。在對(duì)角線AC上運(yùn)動(dòng)，頂點(diǎn)。與8點(diǎn)的距離為7,且

/EO旋轉(zhuǎn)至3=1時(shí)，CE的長(zhǎng)度為.

（3）【拓展延伸】

如圖5,=為鈍角），ZC4￡>=180°-a,NBAC是鈍角，平分

/BOD,OD=3,02=4,AB=A，OA=1,點(diǎn)C是。3上一點(diǎn)，那么0C的長(zhǎng)為.

（2025年）

(2022秋?永年區(qū)期中)

8.在，ABC中，ZACB=90°,AC=BC,直線上W經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,用ADLMN于點(diǎn)D,

區(qū)￡，出于點(diǎn)￡.

(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖①的位置時(shí)，求證：DE=AD+BE；

(2)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時(shí)，求證：DE=AD—BE；

(3)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖③的位置時(shí)，試問(wèn)。EAD,8K具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)

直接寫(xiě)出這個(gè)等量關(guān)系，不用證明。

二、“手拉手”模型

一.解答題(共9小題)

(2022春?開(kāi)福區(qū)校級(jí)期中)

9.如圖，在ABC和△AEF中，點(diǎn)E在邊上，ZC=NF,AC^AF,Z.CAF=ZBAE,

EF與AC交于點(diǎn)G.

F

B

⑴求證：AE=AB-

⑵若4=62。，ZC=24°,求4c的度數(shù).

（2021春?銅梁區(qū)校級(jí)期中）

10.已知如圖,在口ABCD中，點(diǎn)F^ABCD內(nèi)一點(diǎn),42,2尸,AB=BF,過(guò)點(diǎn)B作FE1AD,

垂足為點(diǎn)E.

圖1圖2

（1）如圖1,若BF=3EE=6,求四邊形ABFE的面積;

(2)如圖2,連接BE、CE,若BE=CE,求證：AE+EF=BC.

（2022春?章丘區(qū)期中）

11.探究題：

如圖①，△ABC和△>!￡￡）都是等腰直角三角形，NBAC=/D4E=90。，點(diǎn)B在線段

上，點(diǎn)C在線段AE上，我們很容易得到BO=CE,不需要證明；

⑴【探究】

如圖②，將△AEZ）繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a（0<a<90。），連接8。和CE,止匕時(shí)BZ）=CE

是否依然成立？若成立，寫(xiě)出證明過(guò)程；若不成立，說(shuō)明理由；

Q）【應(yīng)用】

（2025年）

如圖③，當(dāng)△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)。落在BC的延長(zhǎng)線上，連接CE；

①/ACE的度數(shù)為一度；

②試說(shuō)明線段BC、CD、CE之間的數(shù)量關(guān)系；并給出證明

③若AB=AC=V5，CD=\,請(qǐng)直接寫(xiě)出線段。E的長(zhǎng).

（2022春?清城區(qū)期中）

12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,0）,以線段0A為邊在第四象限

內(nèi)作等邊三角形△A08,點(diǎn)C為x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)（OC>1）,連接BC,以線段3c

為邊在第四象限內(nèi)作等邊三角形△C2D連接ZM并延長(zhǎng)，交y軸于點(diǎn)E.

（2）在點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，/CA。的度數(shù)是否會(huì)變化？如果不變,請(qǐng)求出/CA。的度數(shù)；

如果變化，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（3）以A,E,C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，直接寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)和的長(zhǎng)

度.

（2022春?和平區(qū)校級(jí)期中）

13.已知：點(diǎn)。是.ABC邊所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)。與點(diǎn)8,C不重合），

Za4C=90°,AB=AC=2,連接D4,點(diǎn)。繞點(diǎn)A順時(shí)針轉(zhuǎn)90。得到點(diǎn)E,連接BE,

AE,DE.

圖1圖2備用圖

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)。在線段C8的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)你判斷線段BE與線段CO之間的關(guān)系,

并證明你判斷的結(jié)論.

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在線段8C上，且&)=2CD時(shí)，直接寫(xiě)出四邊形AE8C的面積.

⑶點(diǎn)D繞點(diǎn)A逆時(shí)針轉(zhuǎn)90。得到點(diǎn)尸，連接CT,AF,DF,當(dāng)/￡AB=15。時(shí)，直接寫(xiě)

出線段CF的長(zhǎng).

(2022春?介休市期中)

14.已知AABC和AAOE都是等腰三角形，且A8=AC,AD=AE,ZDAE=ZBAC.

⑴［初步感知］如圖①，當(dāng)點(diǎn)D、E分別落在邊AB、AC上時(shí)，那么DBEC.(填＜、

＞或=)

(2)［發(fā)現(xiàn)證明］如圖②，將圖①中的△&￡＞￡的繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)。在AABC外部，點(diǎn)E在

△ABC內(nèi)部時(shí)，求證：DB=EC-

(3)［深入研究］如圖③，如果AABC和△4￡)￡都是等邊三角形，且點(diǎn)C、E、。在同一條直

線上，則出的度數(shù)為；線段CE、2。之間的數(shù)量關(guān)系為；

(4)［拓展應(yīng)用］如圖④,如果AABC和AADE都是等腰直角三角形，ZBAC=ZDAE=90°,

點(diǎn)C、D、E在同一直線上，作若AB=屈,BD=6，求AM的長(zhǎng).

(2022春?吉安期中)

15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)(2,0),點(diǎn)C是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C

在y軸上移動(dòng)時(shí)，始終保持△ACP是等邊三角形(點(diǎn)A、C、尸按逆時(shí)針?lè)较蚺帕?；當(dāng)

點(diǎn)C移動(dòng)到。點(diǎn)時(shí)，得到等邊三角形A03(此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)3重合).

（2025年）

(2)點(diǎn)C在y軸上移動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)?shù)冗吶切蜛CP的頂點(diǎn)尸在第二象限時(shí)，連接求

證：AAOC^AABP；

(3)當(dāng)點(diǎn)C在y軸上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)尸也隨之運(yùn)動(dòng)，探究點(diǎn)P在移動(dòng)過(guò)程中有怎樣的規(guī)律？

請(qǐng)將這個(gè)規(guī)律用函數(shù)關(guān)系式表達(dá)出來(lái)；

(4)點(diǎn)C在y軸上移動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)，03尸為等腰三角形時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo).

(2021春?將樂(lè)縣期中)

16.(1)如圖1,ABC與VADE均是頂角為40。的等腰三角形，BC、DE分別是底邊，

求證：BD=CE；

(2)如圖2,"可和ADCE均為等邊三角形，點(diǎn)A、D、E在同一直線上，連接BE.

填空：NA￡B的度數(shù)為二線段班與AO之間的數(shù)量關(guān)系是一.

(3)拓展探究

如圖3,"CB和△DCE均為等腰直角三角形，NACB="CE=90。，點(diǎn)AD、E在

同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE.請(qǐng)判斷ZAEB的度數(shù)及線段CM、

AE.BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

(2022春?椒江區(qū)校級(jí)期中)

17.我們規(guī)定：有一組鄰邊相等，且這組鄰邊的夾角為60。的凸四邊形叫做“準(zhǔn)箏形”.

(1)如圖1,在四邊形A8CZ)中，/A+/C=270。，ZD=30°,AB=BC,求證：四邊形

ABC。是“準(zhǔn)箏形”；

⑵小軍同學(xué)研究“準(zhǔn)箏形”時(shí)，思索這樣一道題：如圖2,“準(zhǔn)箏形”ABC。，AD=BD,

ZBAD=ZBCD=60°,BC=5,CD=3,求AC的長(zhǎng)；

小軍研究后發(fā)現(xiàn)，可以8為邊向外作等邊三角形，構(gòu)造手拉手全等模型，用轉(zhuǎn)化的

思想來(lái)求AC請(qǐng)你按照小軍的思路求的AC的長(zhǎng).

（3）如圖3,在AA8C中，NA=45。，ZABC=120°,8c=2百，設(shè)。是AABC所在平面

內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)四邊形A8C。是“準(zhǔn)箏形”時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出四邊形ABC。的面積.

三、倍長(zhǎng)中線

一.填空題（共1小題）

（2022春?游仙區(qū)校級(jí)期中）

18.如圖，在4ABe中，3。10,點(diǎn)。是邊上一動(dòng)點(diǎn)，比_1_4。交AD于點(diǎn)E,當(dāng)

3EN時(shí)，△ABD的面積恰好等于△ADC的面積，連接CE,則此時(shí)CE=

二.解答題（共4小題）

（2021春?玉林期中）

19.如圖，在YABCD中，點(diǎn)￡是8的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是BC邊上的一點(diǎn)，且跖，AE.求

證：AE平分ND4F.

小林同學(xué)讀題后有一個(gè)想法，延長(zhǎng)FE,AD交于點(diǎn)M,要證AE平分/ZMF,只需證

一是等腰三角形即可.請(qǐng)你參考小林的想法，完成此題的證明.

（2021秋?甘南縣校級(jí)期中）

20.如圖AD是三角形ABC的中線，瓦尸分別在AB,AC上，且DF±DE.求證：BE+CF>EF

（2019春?玄武區(qū)期中）

21.數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)時(shí)，提出了如下問(wèn)題：如圖1,在ABC中若AB=5,AC=3,

（2025年）

求BC邊上的中線4）的取值范圍.

解決方法：延長(zhǎng)AD到￡.使得。E=AD.再連接8E（或?qū)CD繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180。

得到△EBD）.把AB,AC,2AD集中在.ABE中，利用三角形的三邊關(guān)系可得

2<AE<8,則1<AD<4.

感悟：解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮構(gòu)造以中點(diǎn)為對(duì)稱中心的中

心對(duì)稱圖形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形中.

遷移應(yīng)用：請(qǐng)參考上述解題方法，證明下列命題：

如圖2,在11ABe中，。是BC邊上的中點(diǎn)，DE1DF,DE交AB于點(diǎn)E,。尸交AC于

點(diǎn)、F,連接EF.

D

圖2

⑴求證：BE+CF>EF；

⑵若NA=90。，探索線段BE,CF,E尸之間的等量關(guān)系，并加以證明.

（2019春?秦淮區(qū)期中）

22.閱讀理解：課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題：

如圖1,AABC中，若AB=5,AC=3,求8C邊上的中線AD的取值范圍.

小明在一組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)到E,使得DE=AD,再

連接8E（或?qū)ⅰ鰽C。繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180。得到△￡8。），把A3、AC、2Ao集中在

△ABE中，利用三角形的三邊關(guān)系可得2<AE<8,則

感悟：解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮構(gòu)造以中點(diǎn)為對(duì)稱中心的中

心對(duì)稱圖形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形中.

（1）問(wèn)題解決：受到（1）的啟發(fā)，請(qǐng)你證明下面命題：如圖2,在△ABC中，D是BC

邊上的中點(diǎn)，DELDF,DE交AB于點(diǎn)E,。/交AC于點(diǎn)孔連接EE

①求證：BE+CF>EF-,②若/A=90。，探索線段BE、CF、EF之間的等量關(guān)系，并加以

證明；

（2）問(wèn)題拓展：如圖3,在平行四邊形A8CD中，AD=2AB,尸是的中點(diǎn)，作

垂足E在線段上，連接ERCF,那么下列結(jié)論①?EF=CF；

③SABEC=2SACEF；@ZDFE=3ZAEF.中一定成立是_（填序號(hào)）.

四、平行線中點(diǎn)

一.選擇題（共2小題）

（2021春?邦州區(qū)校級(jí)期中）

23.矩形ABC。與ECPG如圖放置，點(diǎn)8,C,尸共線，點(diǎn)C,E,Z）共線，連接AG,

取AG的中點(diǎn)H,連接若AB=CF=4,BC=CE=2,則硝=（）

A.72B.2C.73D.6

（2022春嘟州區(qū)期中）

24.如圖，在平行四邊形ABC。中，AD=2,AB=46,—B是銳角，AE_L8C于點(diǎn)E,

廠是的中點(diǎn)，連接OREF-,若/EFD=90,則AE的長(zhǎng)為（）

「3四

A.2B.V5D芋

2

二.填空題（共1小題）

（2022春?清江浦區(qū)校級(jí)期中）

25.如圖，在ACD中，ZG4D=90°,AC=6,AD=10,AB//CD,E是8上一點(diǎn)，BE

交AO于點(diǎn)/，若AB=DE,則圖中陰影部分的面積為

CED

三.解答題（共2小題）

（2021春?扶溝縣期中）

26.如圖，已知AB=12,ABLBC^-B,ABLADA,AD=5,8C=10點(diǎn)E是CO的

（2025年）

（2022春?澄邁縣期中）

27.（1）方法回顧證明：三角形中位線定理.

已知：如圖1,DE是ASC的中位線.求證：.

證明：

（2）問(wèn)題解決：如圖2,在正方形ABCZ）中，E為的中點(diǎn)，G、/分別為A3、CD

邊上的點(diǎn)，若AG=3,DF=4,NGEF=90°,求GF的長(zhǎng).

AED

一.選擇題（共1小題）

（2022秋?新洲區(qū)期中）

28.如圖，是N4BC的平分線，APL8P于P,連接PC,若△ABC的面積為Ic/

則APBC的面積為（）.

A.0.4cm2B.0.5cm2

C.0.6cm2D.不能確定

二.填空題（共1小題）

（2022春?芙蓉區(qū)校級(jí)期中）

29.如圖，在中，?B90?,AD平分/BAC交于點(diǎn)，垂直平分AC,

垂足為點(diǎn)E,若BD=1,則8c的長(zhǎng)為.

三.解答題（共3小題）

（2021春?高州市期中）

30.如圖，在AABC中，已知D是BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作BC的垂線交NBAC的平分

線于點(diǎn)E,EFLAB于點(diǎn)F,EGLAC于點(diǎn)G.

（1）求證：BF=CG；

（2）若AB=12,AC=8,求線段CG的長(zhǎng).

（2021春?驛城區(qū)校級(jí)期中）

31.如圖，在ABC中，AD平分，54C,ZC=90°,AB于點(diǎn)E,點(diǎn)F在AC上,

BD=DF.

⑴求證：CF=EB.

⑵若AB=20,AC=16,求AF的長(zhǎng).

（2021春?黃驊市期中）

32.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在△ABC內(nèi)，AE平分/BAC,

（2025年）

CEJ_AE點(diǎn)F在AB上，且BF=DE

（1）求證：四邊形BDEF是平行四邊形

（2）線段AB,BF,AC之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？證明你所得到的結(jié)論

六、半角模型

一.選擇題（共1小題）

（2021春?牡丹區(qū)期中）

33.如圖，在RSABC中，AB^AC,D、E是斜邊8c上兩點(diǎn)，且/D4E=45。，將△AOC

繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后，得到△AFB,連接EF,下列結(jié)論：①AAEDmAAEF；②NFAD

=90°；?BE+DC=DE；@BE2+￡）C2=DE2,其中一定正確的是（）

A.①③B,①②④C.①②③④D.②④

二.解答題（共7小題）

（2021秋?同江市期中）

34.已知：正方形ABCD中，NMAN=45,繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別

交CB,DC（或它們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)N.

當(dāng)/他4N繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到3M=DN時(shí)（如圖1）,易任BM+DN=MN.

圖1

（1）當(dāng)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到時(shí)（如圖2）,線段和之間有怎樣

的數(shù)量關(guān)系？寫(xiě)出猜想，并加以證明.

(2)當(dāng)/MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，線段ON和之間又有怎樣的數(shù)

量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想.

(2021春?麗水期中)

35.已知正方形ABC。中，M,N是邊BC,CD上任意兩點(diǎn)，/M4N=45。，連結(jié)MN.

A

(1)如圖①，請(qǐng)直接寫(xiě)出三條線段的數(shù)量關(guān)系：；

(2)如圖②，過(guò)點(diǎn)A作AHLMN于點(diǎn)H,求證：AB=AH

(3)如圖③，已知/朋3=45。,4"，"可于點(diǎn)人且M8=2,N"=3,求A”的長(zhǎng).

(2021春?福田區(qū)校級(jí)期中)

36.探究：

(1)如圖1,在正方形ABCD中，E,尸分別是BC,8上的點(diǎn)，且㈤F=45。，試判斷

BE,O尸與麻三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫(xiě)出判斷結(jié)果：.

(2)如圖2,若把(1)問(wèn)中的條件變?yōu)椤霸谒倪呅蜛BCD中，AB=AD,ZB+ZD=180°,

E,尸分別是邊BC,8上的點(diǎn)，且=貝I](1)問(wèn)中的結(jié)論是否仍然成

圖2

(3)在(2)問(wèn)中，若將下繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)分別E,尸運(yùn)動(dòng)到BC,8延

（2025年）

長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3所示，其它條件不變，則（1）問(wèn)中的結(jié)論是否發(fā)生變化？若變化,

請(qǐng)給出結(jié)論并予以證明.

（2022秋?市南區(qū)期中）

37.已知正方形中，ZMAN=45°,/MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交

CB,DC（或它們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)M,N,于點(diǎn)

（1）如圖①，當(dāng)NMAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM=OV時(shí)，請(qǐng)你直接寫(xiě)出與4B的數(shù)量關(guān)

系：;

（2）如圖②，當(dāng)/MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到創(chuàng)存ON時(shí)，（1）中發(fā)現(xiàn)的AH與A8的數(shù)量關(guān)系

還成立嗎？如果不成立請(qǐng)寫(xiě)出理由，如果成立請(qǐng)證明；

（3）如圖③，已知/M4N=45。，AHLMN于點(diǎn)、H,且M”=2,AH=6,求N”的長(zhǎng).（可

利用（2）得到的結(jié)論）

（2022春?邦州區(qū)校級(jí)期中）

38.已知，正方形ABC。中，ZMAN=45°,/MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別

交CB、DC（或它們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)/、N,AHLMN于點(diǎn),H.

（1）如圖①，當(dāng)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM=￡>N時(shí),請(qǐng)你直接寫(xiě)出AH與AB的數(shù)量關(guān)系：

（2）如圖②，當(dāng)NMAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到時(shí)，（1）中發(fā)現(xiàn)的A8與AB的數(shù)量關(guān)系

還成立嗎？如果不成立請(qǐng)寫(xiě)出理由，如果成立請(qǐng)證明；

（3）如圖③，已知NAMN=45。，AHLMN于點(diǎn)H,且MH=2,NH=3,求AH的長(zhǎng).（可

利用（2）得到的結(jié)論）

(2021秋?千山區(qū)期中)

39.(1)如圖，正方形4BCD中，點(diǎn)E,E分別在邊BC,C。上，ZEAF=45°,延長(zhǎng)CD

到點(diǎn)G,使DG=BE,連結(jié)EF,AG.求證：EF=FG.

(2)如圖，等腰直角三魚(yú)形ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,點(diǎn)、M,N在邊BC上，且

ZMAN=45°,若3A/=1,CN=3,求A/N的長(zhǎng).

(2015春?平度市期中)

40.已知：ABC是等邊三角形，皮)C是等腰三角形，其中/BDC=120。，過(guò)點(diǎn)。作

NEDF=60°,分別交AB于E,交AC于尸，連接斯.

(1)若BE=CF,求證：①DEF是等邊三角形;②BE+CF=EF.

⑵若BE彳CF,即E、下分別是線段AB、AC上任意一點(diǎn)，3E+CF=跖還會(huì)成立嗎？

（2025年）

請(qǐng)說(shuō)明理由.

七、胖瘦模型

一.選擇題（共1小題）

（2022春?清江浦區(qū)校級(jí)期中）

41.如圖，。是上一點(diǎn)，D尸交AC于點(diǎn)E,DE=FE,FC//ABAB^6,CF=4,

則BD的長(zhǎng)是（）

A.1.5B.2C.2.5D.3

二.填空題（共2小題）

（2021春?灌陽(yáng)縣期中）

42.如圖，在RtZXABC和RtADEF中，ZB=ZE=90°,AC=DF,=,若ZA=55。,

WJZDFE=.

（2022春?鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)期中）

43.如圖，已知ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，點(diǎn)。是邊2c上的一點(diǎn)，且BD=2,

以AD為邊作等邊「ADE,過(guò)點(diǎn)、E作EF//BC,交AC于點(diǎn)尸，連接8尸，貝US四邊形BDEF=

三.解答題（共2小題）

（2021春?扶溝縣期中）

44.如圖，在&ABC中，ZACB^90°,AC=BC,點(diǎn)P在斜邊AB上，以PC為直角邊

作等腰直角三角形PCQ,/PCQ=90。,則加2,pg2,pc2三者之間的數(shù)量關(guān)系是

請(qǐng)說(shuō)明理由.（提示：連接8。）

Q

APB

(2022春?崇義縣期中)

45.定義：一組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做“等補(bǔ)四邊形”

如圖1,四邊形ABC。中，AD=CD,ZA+ZC=180°,則四邊形A3CD叫做“等補(bǔ)四邊

形

(1)概念理解

①在以下四種圖形中，一定是“等補(bǔ)四邊形”的是()

A.平行四邊形B.菱形C.矩形D.正方形

②等補(bǔ)四邊形ABC。中，若：NC：ND=2：3：4,則/A=；

(2)知識(shí)運(yùn)用

如圖1,在四邊形ABCZ)中，8。平分N48C,AD=CD,BOBA.求證：四邊形

是等補(bǔ)四邊形

(3)探究發(fā)現(xiàn)

如圖2,在等補(bǔ)四邊形ABC。中，AB=AD,連接AC,AC是否平分N8C￡)?請(qǐng)說(shuō)明理

由.

BC

B

圖1圖2

（2025年）

參考答案：

12m-n

2n—m

【分析】作NBAM=NCDN=30。，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,根據(jù)

已知可得NM=NN=60。，再利用等邊三角形的性質(zhì)可得ZAED=60。，AE=DE,從而可得

ZMAE=/DEN,然后證明AAME=AEVD,利用全等三角形的性質(zhì)可得AM=E7V,

ME=DN,再根據(jù)已知設(shè)48=成，CD=mk,從而在RtAAMB和RtADCN中，利用銳角三

角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算求出AM,BM,CN,ON的長(zhǎng)，從而求出麻，CE的長(zhǎng)，進(jìn)行計(jì)

算即可解答.

【詳解】解：作NB4M=NCDN=30。，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,

如圖所示：

ZABC=ZDCB=90°,

ZABM=/DCN=90。,

ZM=90°-ZBAM=60°,ZN=900-ZCDN=60°,

ZMAE+ZAEM=180。—ZM=120。，

AAED是等邊三角形，

ZAE?=60°,AE=DE,

ZAEM+ZDEN=1SO°-ZAED=12O°,

ZMAE=ZDEN9

ZM=ZN=6Q0,

AAME2AEVD（A45）,

AM=EN,ME=DN,

AB_n

設(shè)AB=nk,CD=mk，

（2025年）

AMABn_2R

/w[IK"73",

在RtAAMB中,BM=—<="—TIK,,sin60°

tan60°V33

2

：.AM=EN=-y[3n,

3

DCmk-2后成

CD_m_上…DN=

在RtADCN中，CN=sin60°是

tan60°V33

2

,\ME=DN=-y/3mk,

3

/.CE=EN-CN=-y/3nk-—mk,BE=EM-BM=-^mk--nk,

3333

CE_J1nk_2#）欣-垂）mk_2n-m

BE2n：V3.--J3nk2m-n"

——nk

33

.BE_2m-n

CE2n-m

2m-n

故答案為:

2n—m

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)題

目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

2.12

12

【分析】證明RA"。0M/kCGK,得到A/=CG,利用勾股定理結(jié)合面積法求得CG=M，進(jìn)

一步計(jì)算即可求解.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作A/L8C于點(diǎn)/,

??,正方形ACKL,ZACK=90°,AC=CK,

：.ZACI+ZKCG=90°,ZAC/+ZCA/=90°,

:?Rt〉A(chǔ)IC經(jīng)Rt^CGK,

：.AI=CG,

VZBAC=90°,AC=3,AB=4.

???"="+42=5,

-ABxAC=-BCxAI,

22

1212

AI—,貝UCG=,

???正方形BCDE,

（2025年）

：.CD=BC=5,

12

長(zhǎng)方形CDPG的面積為5xy=12.

故答案為：12.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟記各圖形的性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是

解題的關(guān)鍵.

3.(1)見(jiàn)解析；(2)6

【分析】(1)先證/區(qū)再結(jié)合NAEF=/CE2=90。且AE=CE利用全等三角形

的判定得4AEFmACEB；

(2)由全等三角形的性質(zhì)得A尸=BC,由等腰三角形的性質(zhì)“三線合一”得BC=2CD等量

代換得出結(jié)論.

【詳解】(1)證明：

/AEF=NCEB=9Q。.

：.ZAFE+ZEAF^90°,

'：AD±BC,

：.NAOC=90°,

：.ZCFD+ZECB=9Q°,

又：ZAFE^ZCFD,

：.ZEAF=ZECB.

在△4￡尸和4CEBdp,

(2025年)

NEAF=NECB

<AE=CE,

ZAEF=NCEB=90°

.?.△AEFmACEBCASA)；

(2)；AAEF94CEB,A尸=12,

：.AF=BC=n,

"：AB=AC,ADIBC,

:.CD=BD=gBC=6,

...CO的長(zhǎng)為6.

【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，其中全等三角形的判定

方法有：SSS；SAS；ASA；AAS；以及HL(直角三角形的判定方法).

4.(1)AM

(2)證明見(jiàn)解析

(3)=,=

【分析】(1)利用A4S證明△ABM0ZkEAP,得EP=AM；

(2)作GH_LPM于H,由(1)同理得，△ACM0ZkCAH(AAS),J^ABM^AEAP(AA5),

得AM=EP,AM=GH,則EP=G"，再利用44s證明△EPNgZ\GHN,得EN=GN；

(3)由(2)同理可解決問(wèn)題.

【詳解】(1)解：'：ZBAE=ZBMA=90°,

：.ZZBAM+ZEAP=ZBAM+ZMBA=90°,

：.ZMBA^ZEAP,

X'-'AB=AE,

：.AABM^AEAP(AAS),

：.EP=AM,

故答案為：AM；

(2)解：作GHLPM于H,

(2025年)

圖2

由(1)同理得，△ACM也△CAH(AAS),^ABM^AEAP(A4S),

：.AM=EP,AM=GH,

:.PE=GH,

■:4EPN=/NHG,/PNE=/HNG,

:?△EPN也△GHV(A4S),

：.EN=GN；

(3)解：如圖3,作于H,

圖3圖4

由(1)同理得，XNCMQXCAH(A4S),/^ABM^AEAP(A4S),

：.AM=EP,AM=GH,

；?PE=GH,

■:/EPN=/NHG,ZPNE=ZHNG,

:?△EPNQAGHN(A4S),

:.EN=GN；

如圖4,作GH_LPM于〃，

由(1)同理得，△ACM之△CA"(A4S),△ABM^AEAP(A4S),

:.AM=EP9AM=GH,

:?PE=GH,

?:/EPN=/NHG,/PNE=/HNG,

:AEPN經(jīng)AGHN(AAS),

（2025年）

:.EN=GN；

故答案為：=,=.

【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練

掌握一線三等角基本模型是解題的關(guān)鍵.

5.(1)見(jiàn)解析；(2)7754

【分析】(1)先根據(jù)勾股定理求出AC,再根據(jù)勾股定理逆定理即可證明NACD是直角；

(2)作。E_LBC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,證明△ABCg/XCE。，在貶△8DE中，利用

^IBE2+DE2即可求解.

【詳解】解：⑴證明：［NA8C=90°,AB=8,BC=15,

AC=7AB2+BC2=7S2+152=17，

VCD=17,AD=17V2,

C￡)2+AC2=172+172=578,AD2=(1772)2=578,

CD2+AC2=AD2,

ZACD=90°.

(2)作D￡_LBC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,貝i|NZ)EC=90。，

由(1)知AACD是直角三角形，ZACD=90°,

：.ZDCE+ZACB^9Q0,

'：ZABC=90°,

：.ZCAB+ZACB=90°,

：.ZDCE=ZCAB,

又AC=CO=17

ZABC=ZCED

：.在仆ABC和小CED中，-ZCAB=NDCE,

AC=CD

：.AABC^/XCED(A4S),

：.AB=CE,BC=ED,

VAB=8,BC=15,

；.CE=8,￡￡>=15,

BE=BC+CE=15+8=23,

（2025年）

【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及勾股定理逆定理，關(guān)鍵是

熟練掌握：勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)

的平方；勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c滿足a2+62=02,那么這個(gè)三角

形就是直角三角形.

6.(1)DE-,(2)見(jiàn)解析；(3)=；(4)6；(5)2

【分析】(1)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到答案；

(2)分別過(guò)點(diǎn)。和點(diǎn)E作DM，F(xiàn)G于點(diǎn)M,EN，F(xiàn)G于點(diǎn)N,由(1)中結(jié)論可得到AF=DM,

AF=EN,然后只需要證明ADMG沿AENG即可得到答案；

(3)過(guò)點(diǎn)。作。。_1_4/交4尸于0,過(guò)點(diǎn)后錯(cuò)硒_1。。交。。延長(zhǎng)線于',過(guò)點(diǎn)C作CM_LO。

交0。延長(zhǎng)線于M,然后同(2)中證明AAOD^ADAfC,AFOD^Z\DNE,AENP^ACMP

即可得到答案；

(4)同(3)中證明方法可以得到SAACF=SAI>CE=S^BCH=S/\GEK，只需要求出S.DCE即可得到

答案；

(5)向(3)中的方法可以證明S^GHK-Samc=S^CMD-S^GMN，然后利用勾股定理得到

S正方形ABKH+S正方形MDEN=S正方形RCMG即可得至5J答案.

【詳解】解：（1）,/AABC^^DAE

：.AC=DE

（2）分別過(guò)點(diǎn)。和點(diǎn)E作于點(diǎn)硒_1%于點(diǎn)"，，〃4^+//g/=90。，

Z&4D=90。，

NBAF+ADAM=90°,

/.ZBAF=ZADM

BC1AF,

：.ZBFA=ZAMD=90°,

(2025年)

在AAaF和AH4M中，NBAF=ZADN,ZBFA=ZAMD,BA=AD,

:.AF=DM

同理AF=RV

:.DM=EN,

VDMVFG,EN1FG,

；?ZDMG=/ENG,在DMG和AENG中,ZDGM=ZEGN,

ZDMG=ZENG,DM=EN,

：.△DMG"AENG

：?DG=EG,即點(diǎn)G是。石的中點(diǎn)；

D

C

(3)如圖所示，過(guò)點(diǎn)。作。OLAb交Ab于O,過(guò)點(diǎn)E作&V，。。交。。延長(zhǎng)線于N,過(guò)

點(diǎn)。作CM_LOO交0。延長(zhǎng)線于M

四邊形ABCD與四邊形DEGF都是正方形

AZAZ)C=Z90°,AD=DCfDF=DE

V￡)O±AF,CMLOD

：.ZAOD=ZCMD=90°,ZOAD+ZODA=90°fZCDM+ZDCM=90°,

又?:ZODA+ZDCM=90°

：.ZADO=ZDCM

：.AAOD^ADMC

=S/\DMC，OD=MC

同理可以證明AFOD%NDNE

?,^AFOD=S^DNE，OD=NE

：.MC=NE

\9EN±OD,CMLOD,ZEPN=ZCMP

(2025年)

AENP^ACMP

?,SA皿p-S&CMP

ADCEDCMMMPS4DENENP

DFODOD，S-S^.S++S/\

,,S4DCE-SAD+S叢D-S^AOD+S/^FOD

CMEN

SADCE-SMDF即&=§2；

（4）如圖所示，過(guò)點(diǎn)E作石OJ_C￡＞交CD于O

同(3)中的證明方法可以得到SAADF—SADCE=