第06講平方差公式和完全平方公式(10類熱點(diǎn)題型講練)

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.理解并掌握平方差公式和完全平方公式的推導(dǎo)和應(yīng)用；

2.理解平方差公式和完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的運(yùn)算;

3.會(huì)用幾何圖形說(shuō)明公式的意義，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法.

思維導(dǎo)圖

平方差公式:兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)

數(shù)的差的積,等于這兩個(gè)數(shù)的平方

差.

完全平方公式:兩數(shù)和(差)的平方,

等于它們的平方和加(減)它們積

的2倍.

平方差和完全平方差區(qū)別

知識(shí)清單

知識(shí)點(diǎn)01平方差公式

平方差公式:兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積,等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.

即(a+b){a-b)=cz2-b2

公式的幾種變化：

①位置變化：Cb+a)C-b+a)=(.a+b)(.crb)=a2-b1；

(-a-b)(?-&)=(-b-a)(-b+a)=(-b+a)(-b-a)=(-b)2-(f=b2

②系數(shù)變化：(2a+36)(21-36)=(2。)2-(36)2=4/-%/

③指數(shù)變化：(儲(chǔ)+〃)(/_")=(儲(chǔ))2_(〃)2=a4_b4

④增項(xiàng)變化：(a-b-c)(a-b+c)=(a-b)2-c2

⑤連用公式變化：(a+b)(a-b)("+〃)=(〃+〃)=(a2)2_(〃)2="_64

⑥公式逆運(yùn)算：a2-l>2=(a+b)(crb)

知識(shí)點(diǎn)02完全平方公式

完全平方公式:兩數(shù)和(差)的平方,等于它們的平方和,加(減)它們積的2倍.

即完全平方和(〃+萬(wàn))2+2ab+b2完全平方差(?-/?)2-a2-2ab+b2

(1)公式的特征：前平方，后平方，中間是乘積的2倍

(2)公式的變化：

①/+b2-(?+/?)2~2ab；②/+b2=(a-b)2+2ab；③(?+Z?)2=(a~b)2+4ab；④(a-b)2-(a+b)2-4ab

⑤(a+b)2~(a-b)2=4ab

知識(shí)點(diǎn)03平方差和完全平方差區(qū)別

平方差公式：(〃+萬(wàn))(〃-公二/一〃

完全平方差公式：(a-b)2-a1-2ab+b2

平方差公式和完全平方差公式易混淆，切記完全平方差中間有乘積的2倍

題型精講

題型01判斷是否可用平方差公式運(yùn)算.

【例題】下列各式中不能用平方差公式計(jì)算的是()

A.B.(―2x+3y)(—3y—2%)

C.(-2x+y)(-2x-y)D.

【答案】D

【詳解】解：A、[ga+2“ga-2“='4[(2b)2,可以使用平方差公式;

B、(-2x+3y)(—3y-2x)=(-2x)2-(3y)2,可以使用平方差公式；

C、(-2x+y)(-2x-y)=(-2x)2-/,可以使用平方差公式；

D,(%-1)(-%+1),兩項(xiàng)都不相同，可變形為完全平方公式，不能使用平方差公式.

故選：D.

【變式訓(xùn)練】

1.下列能使用平方差公式的是()

A.(x+3)(3+x)B.(-x+y)(x-y)C.(5m+n)(-5m-n)D.(3m+n^(3m-ri)

【答案】D

【詳解】解：4不能使用平方差公式，故本選項(xiàng)不符合題意；

8、不能使用平方差公式，故本選項(xiàng)不符合題意；

C、不能使用平方差公式，故本選項(xiàng)不符合題意；

D,能使用平方差公式，故本選項(xiàng)符合題意；

故選：D

2.下列各式中，不能用平方差公式計(jì)算的是()

A.(2x-y)(2x+y)B.(-x+y)(x-j)

C.(b-a)(b+a)D.(尤-x)

【答案】B

【詳解】解：A、(2x-y)(2x+y),能用平方差公式進(jìn)行計(jì)算，不符合題意；

B、(-x+y)(x-y)=-(x-y)(x-y),不能用平方差公式進(jìn)行計(jì)算，符合題意;

C、(。-4)。+4),能用平方差公式進(jìn)行計(jì)算，不符合題意；

。、(彳-')(->-月=-(x-y)(x+y),能用平方差公式進(jìn)行計(jì)算，不符合題意;

故選B.

題型02運(yùn)用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算.

【例題】(2023上,全國(guó)?八年級(jí)專題練習(xí))計(jì)算：

⑴(。+。)(。-2);(2)(x_g*x+g］：

(3)(m+〃)(/"-〃)；

(4)(0.1-x)(0.1+x)；(5)(x+y)(-y+x).

【答案］(1)a2+ba-2a—2b

⑵/一；

(3)77I2—n2

(4)0.01-x2

⑸

【分析】本題主要考查多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，平方差公式：

(1)利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則即可求解；

(2)利用平方差公式即可求解；

(3)利用平方差公式即可求解；

(4)利用平方差公式即可求解；

(5)利用平方差公式即可求解.

掌握多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式以及平方差公式的法則是解題的關(guān)鍵.

［詳解］(1)解：(a+b)(a-2)^a2+ba-2a-2b；

(3)解：^m+n)^m-n)=m2-n2；

(4)解：(0.1—x)(0.1+%)=0.01—尤2；

（5）解：（x+y）（-j+x）=x2-y2.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023上,八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：

⑴（5〃Z-3〃）（57〃+3〃）；（2）（-2a2+5人）（一2/一5人）；

⑶（；x+y*-；x+y]；⑷（-3y-4x）（3y-4x）.

【答案】⑴25加2-9層

（2）4/一25〃

⑶必」一

16

（4）16X2-9J2

【分析】（1）原式利用平方差公式計(jì)算即可得到結(jié)果；

（2）原式利用平方差公式計(jì)算即可得到結(jié)果；

（3）原式利用平方差公式計(jì)算即可得到結(jié)果；

（4）原式利用平方差公式計(jì)算即可得到結(jié)果；.

【詳解】（1）（5m-3n）（5m+3n）=（5m）2-（3H）2=25m2-9n2；

（2）（—2[2+5b）（—2〃2—5Z?）=（—2Q2）—（5Z?）2=4<74—25Z?2

（3）LT；

（4）（—3y-4x）（3y-4x）=（Tx+3y）（Tx-3y）=（-4x）2-（3y）2=16x2-9y2.

【點(diǎn)睛】此題考查了運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

2.（2023?上海?七年級(jí)假期作業(yè)）計(jì)算：

⑴（2a-3）（2a+3乂44+9）；（2）.

【答案】⑴16/-81

（2心?4

1O

【分析】（1）連續(xù)運(yùn)用平方差公式求解即可;

（2）連續(xù)運(yùn)用平方差公式求解即可；

【詳解】（1）（2a-3）（2a+3）（4a2+9）

=（4/-9）（4/+9）

=16a4-81;

(2)，。+"ga-b^a2+b2

=(工"2~b2)(—a2+￡>2)

=-a4-b\

16

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方差公式，熟練掌握平方差公式是解答本題的關(guān)鍵.

題型03利用平方差公式進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算.

【例題】(2023上?吉林長(zhǎng)春?八年級(jí)?？茧A段練習(xí))用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：

⑴498*502(2)20222-2023x2021

【答案】⑴249996

(2)1

【分析】(1)根據(jù)498x502=(500-2)x(500+2),利用平方差公式計(jì)算即可得；

(2)根據(jù)20222-2023x2021=20222-(2022+1)x(2022-1),利用平方差公式計(jì)算即可得.

【詳解】(1)解：M=(500-2)x(500+2)=5002-22=250000-4=249996.

⑵解：原式=2022?-(2022+1)x(2022-1)=20222-(20222-I2)=20222-20222+1=1.

【點(diǎn)睛】本題考查了利用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算，熟記平方差公式是解題關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.(2023上?八年級(jí)課時(shí)練習(xí))計(jì)算：

⑴10.3x9.7；(2)2020x2022-20212.

【答案】⑴99.91

(2)-1

【分析】(1)根據(jù)平方差公式計(jì)算即可；

(2)根據(jù)平方差公式計(jì)算即可.

【詳解】(1)解：10.3x9.7=(10+0.3)(10-0.3)=102-0.32=100-0.09=99.91；

(2)解：2020x2022-20212=(2021-1)(2021+1)-20212=20212-1-20212=-1.

【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式，熟記平方差公式的特征是解題的關(guān)鍵.

2.(2023上,八年級(jí)課時(shí)練習(xí))計(jì)算：

13

(l)100-x99-.

(2)198x202.

(3)________________

20222-2023x2021,

【答案】⑴9999與

(2)39996

(3)2022

【分析】(1)(2)(3)運(yùn)用平方差公式即可求解.

【詳解】(1)解：原式=(100+!筒100一號(hào)=10()2-1=10000—=9999與

I4八4)41616

(2)解：原式=(200-2)x(200+2)=2002-22=40000-4=39996

巾___________2022___________20222022

22=22=2022

(3)解：原式—20222-(2022+1)x(2022-1).2022-(2022-1)2022-2022+1

【點(diǎn)睛】本題考查平方差公式的運(yùn)用.熟記公式形式(。+6)(加6)=片-k是解題關(guān)鍵.

題型04平方差公式與幾何圖形.

【例題】(2023上?江蘇泰州?七年級(jí)靖江市靖城中學(xué)校聯(lián)考期中)圖1、圖2分別由兩個(gè)長(zhǎng)方形拼成.

⑴圖1中圖形的面積為〃2一/，圖2中圖形的面積為一.(用含有a、b的代數(shù)式表示)

⑵由(1)可以得到等式：

(3)根據(jù)你得到的等式解決下列問(wèn)題：

①計(jì)算：68.52-31.52.

②若根+4〃=2,求++(2九+1)~—(2/一I)?的值.

【答案】⑴(。+與

(2)a2-b1=(a-Zj)x(a+/?)

(3)①3700；②5

【分析】本題考查平方差公式與幾何面積.

(1)利用長(zhǎng)方形的面積公式作答即可；

(2)根據(jù)兩個(gè)圖形的面積相等，即可得出等式；

(3)①利用(2)中的等式進(jìn)行計(jì)算即可；②先用平方差公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再代值計(jì)算即可.

解題的關(guān)鍵是得到cr-b1=(a-b)x(a+b).

【詳解】(1)解：圖2中圖形的面積為(a-6)x(o+6)；

故答案為：(。+6);

(2)由(1)可得：a2-b2={a-b)x(a+b)-

故答案為：a2-b2=(?-&)x(6z+&)；

(3)①68.52-31勺

=(68.5-31.5)x(68.5+31.5)

=37x100

=3700；

②回機(jī)+4〃=2,

22

團(tuán)(m+l)2-m+(2n+l)—(2〃—

=(m+l-m)(m+l+m)+(2H+l-2n+l)(2n+l+2n-l)

=2機(jī)+1+8〃

=2(m+4n)+l

=2x2+1

【變式訓(xùn)練】

1.（2023上?陜西安康?八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）【實(shí)踐操作】

（1）如圖1,在邊長(zhǎng)為。的大正方形中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為。的小正方形（。＞6）,把圖1中L形的紙片按圖②剪

拼，改造成了一個(gè)大長(zhǎng)方形如圖③，用含。、6的式子表示圖③中大長(zhǎng)方形的面積為；

圖①圖②圖③

（2）請(qǐng)寫出圖①、圖②、圖③驗(yàn)證的乘法公式為：；

【應(yīng)用探究】

（3）利用（2）中驗(yàn)證的公式簡(jiǎn)便計(jì)算：499x501+1；

22

【答案】(1)(2)(a+b)(a-b)=a-b;(3)250000；

2025

4048

【分析】（1）利用長(zhǎng)方形的面積等于長(zhǎng)乘以寬即可;

（2）圖③中大長(zhǎng)方形的面積等于圖①的陰影部分面積，分別計(jì)算即可得出

（3）觀察（2）的的乘法公式的特點(diǎn)是兩數(shù)之和乘以兩數(shù)之差，故將499拆成500-1,將501拆成500+1即

可；

（4）利用"-"=（4+6）（4-6）將各個(gè)因其進(jìn)行因式分解后，再將各因式通分相加，發(fā)現(xiàn)每相鄰兩個(gè)的乘

積為1,故答案為第一個(gè)因式乘以最后一個(gè)因式;

本題考查了“數(shù)形結(jié)合"中的平方差公式及其靈活運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律并總結(jié)規(guī)律.

a-b.)

【詳解】（1）2（a-b）-r+bY

=(a-b)(a-b+2b),

=a2—b2,

故答案為：a2-b2;

（2）圖③中大長(zhǎng)方形的面積等于圖①的陰影部分面積,

團(tuán)(q+Z?)(a—b)=a?―b，

故答案為：（〃+"（〃—人）=〃—/;

(3)原式=(500—1)(500+1)—1,

=5002-l2-b

=5002=250000;

⑷原式1T1TT1I；1I沙1…*I-1+/1+/

2234420231-貴

1324352022202420232025

=—X—X—X—X—X—X…X----------X-------------X------------X------------,

2233442023202320242024

12025

=——x,

22024

2025

4048

2.（2023上?山東濟(jì)南?七年級(jí)山東省濟(jì)南稼軒學(xué)校?？茧A段練習(xí)）實(shí)戰(zhàn)與探究，如圖1,邊長(zhǎng)為。的大正方

形有一個(gè)邊長(zhǎng)為人的小正方形，把圖1中的陰影部分拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（如圖2所示）.

⑴上述操作能驗(yàn)證的公式是.（請(qǐng)選擇正確的一個(gè)）.

A,a1+ab=a^a-\-b)B.tz2-b2=(?-&)(?+&)C.a2-2ab+b2=(a-b^

⑵請(qǐng)應(yīng)用上面的公式完成下列各題：

①已知4/一/=24,2a+b=6,則2a—b=；

②計(jì)算：1002-992+982-972+……+42-32+22-I2；

③計(jì)算：（2n）2—（2〃-Ip+（2〃-2）2-（2“-3）2+......+42-32+22-I2（n>l）

【答案】⑴B

（2）①4；②5050；③力—+“

【分析】本題考查平方差公式的證明與使用，考查求和公式，掌握這些是本題關(guān)鍵.

（1）根據(jù)陰影部分寫出兩個(gè)圖形中陰影部分面積的代數(shù)式，再得出二者相等的結(jié)論；

（2）使用（1）得出的公式對(duì)本題中的平方差進(jìn)行因式分解即可求得結(jié)果.

【詳解】（1）解：圖一中的陰影部分面積為：a2-b2,

圖二中陰影部分面積為：（a+b）（a-b）,

而這兩者面積相等，所以有：a2-b2=（a+b）（a-b）.

故選：B.

（2）解：①4a2一斤=（2a+6）2（a-6）=24,

又2。+6=6,

:.2a-b=4.

②?.?1002-992=（100+99）（100-99）=100+99,

982-972=（98+97）（98—97）=98+97,

22-12=（2+1）（2-1）=2+1,

原式=100+99+98+97+...+4+3+2+1=5050.

③（2M）2-（2M-I）2+（2n-2）2-（2n-3）2+...+42-32+22-l2（n>l）

=（2〃+2〃-1）（2〃―2〃+1）+（2〃-2+2”-3）（2〃-2+2”+3）+......+（4+3）（4-3）+（2+l）（2-l）

—2zz+2n—1+2〃-2+一3+...+4+3+2+1

—2

=2/+n.

題型05運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算

【例題】（2023上?河南信陽(yáng)?八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）用乘法公式計(jì)算

（l）（x+y+z）2

（2）（2x—3+y）（2x-j7+3）

【答案】⑴/+J?+z?+2xy+2xz+2yz

（2）4x2-V+6y-9

【分析】本題主要考查了平方差公式和完全平方公式，熟知（。+與2=/+2況?+廿，（。―與（〃+與="—/是

解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)完全平方公式進(jìn)行求解即可；

(2)先把(y-3)看做一個(gè)整體利用平方差公式去中括號(hào)，再根據(jù)完全平方公式去小括號(hào)即可得到答案.

【詳解】(1)解：原式=(x+yy+2z(x+y)+z2

=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz；

(2)解：原式=[2x+(y-3)][2尤-(y-3)]

=4x2—(y—3)2

=4x2_(，-6y+9)

=4x2-y2+6y-9.

【變式訓(xùn)練】

1.(2023上?八年級(jí)課時(shí)練習(xí))計(jì)算：

(l)(x+7y)2；

⑵(Ta+56『；

(3)(—2m—；

(4)(2x+3/-2x-3y).

【答案】⑴V+14孫+49y2

(2)25〃-40。6+16。2

(3)4/H2—4mn+n2

⑷-4/一I2孫一9y2

【分析】(1)根據(jù)完全平方公式計(jì)算即可；

(2)根據(jù)完全平方公式計(jì)算即可；

(3)根據(jù)完全平方公式計(jì)算即可；

(4)先提出負(fù)號(hào)，再完全平方公式計(jì)算即可；

【詳解】(1)解：(x+7y)2=彳2+2-x，7y+(7y)~=三+14盯+499；

(2)解：(-4a+5Z?)2=(5Z?-4a)2=(5/?)2-2-5Z?-4a+(4a)2=25&2-40ab+16a2；

(3)解：(―2zn—n)=(2m+riy=(2my+2-2m-n+n1=4/n2—4mw+?2；

(4)解：(2x+3y)(-2x-3y)

=_(2x+3y)~

=_[(2x)~+2.2x3y+(3y)[

=-4尤2_］2孫-9y2.

【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式，熟練掌握這一公式的特征是解題的關(guān)鍵.

2.（2023上?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：

⑴（x+2y—z）（x-2y+z）；

⑵（5a+2》-3c汽

⑶（5a+3b-2c）（5a-36+6c）.

【答案】（l）x2-4y2+4yz-z2

（2）25a2+20ab-30ac+4b2-12bc+9c2

⑶256+20ac-9b2+246c-12c2

【分析】（1）先利用平方差公式計(jì)算，再利用完全平方公式計(jì)算即可得答案；

（2）兩次利用完全平方公式計(jì)算即可得答案；

（3）將原式變形，利用平方差公式計(jì)算，再利用完全平方公式計(jì)算即可得答案.

【詳解】（1）解:（x+2y-z）（x-2y+z）

=［x+（2y-z）］［x-（2y-z）］

=x2—（2y—z）2

=x2-（4?—4yz+z2^

=x2-4j2+4yz-z2.

（2）解：（5a+2力-Sc?

=［（5a+2b）-3cJ

=（5a+-2（5a+26）?3c+（3C）2

=25a2+20ab+（2Z?）2-30ac-126c+9c2

=25a2+20at>-30ac+4b2-12bc+9c2.

（3）（5a+3b—2c）（5a—3b+6c）.

=［（5a+2c）+（30-4c）］［（5。+2c）-（3b-4c）］

=（5a+2cy-（36-4c）~

=256+20ac+4c2-9b2+246c-16c2

=25a2+20ac-9b2+24bc-12c2.

【點(diǎn)睛】本題考查平方差公式及完全平方公式，平方差公式：（。+初（。-3="-"；完全平方公式：

222

（a±b）=a±2ab+b；熟練掌握兩公式并靈活運(yùn)用是解題關(guān)鍵，運(yùn)用整體思想，將多項(xiàng)式看成一項(xiàng)，可創(chuàng)

造條件套用公式.

題型06利用完全平方公式進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算

【例題】用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：1X3.72-3.7X2.7+1X2.72.

【詳解】解：原式=；X(3.72-2X3.7X2.7+2.72)

=1x(3.7-2.7)2

-2-

【變式訓(xùn)練】

1.用簡(jiǎn)便算法計(jì)算

(1)20172-2016x2018(2)2022+202X196+982

【詳解】(1)解：原式=2017：-(2017-1)(2017+1)

=20172-(20172-I2)

=20172-20172+1

=1.

(2)解:原式=202?+2x202x98+98?

=(202+98)2

=30()2

=90000

題型07通過(guò)對(duì)完全平方公式變形求值

【例題】(2023上?四川宜賓,八年級(jí)?？茧A段練習(xí))已知：a+b=-3,ab=2,求下列各式的值:

⑴/+/；

(2)(。-療.

【答案】⑴5

(2)1

【分析】本題考查了完全平方公式的計(jì)算，變形計(jì)算.

(1)根據(jù)公式(4+6)2=4+2〃6+從變形計(jì)算即可.

(2)根據(jù)公式(。一匕)2=〃—2<7匕+62計(jì)算即可.

【詳解】(1)解：Sa+b--3,ab-2,

0(a+Z?y=9,(a+Z?)2=tz2+2ab+b2,

H9=a2+2x2+Z>\

解得"+"=5.

(2)解：回/+/=5,ab=2,

團(tuán)(Q—6)=a?—2QZ?+Z?2,

回(〃-/?)=/-2QZ?+〃=5-4=1.

【變式訓(xùn)練】

1.已知根-〃=T,mn=2,求下列代數(shù)式的值.

⑴川+川

(2)(m+l)(n-l)

【詳解】(1)回加一〃="4,

團(tuán)(機(jī)一及J=16,

0m2-Imn+n1=16，

回mn=2,

團(tuán)機(jī)2+〃2=16+2mn=16+4=20;

(2)(m+l)(n-l)

=2-(-4)-l,

=5.

3

2.已知〃+b=5,ab=~,求下列式子的值：

(l)a2-ab+b2;

0(

3

【詳解】(1)^\a+b=5,ab=~,

回Q2—cib+/=(。+b)2—3ab

=52—3x3

2

41

-T,

3

(2)^\a+b=5,ab=—,

2

團(tuán)(a-Z?)2=(a+Z?)2—4ab

-52-4X-

2

=19.

題型08求完全平方式中的字母系數(shù)

【例題】已知關(guān)于x的式子4.F+A+1是某個(gè)多項(xiàng)式的完全平方，那么A是.

【答案】4尤、-4x和4尤4

【詳解】解：?04X2+A+1=（2X）2+A+12,

EIA=±2-2xJ=±4x,

②若A+4無(wú)2+1是多項(xiàng)式的平方，

則A=4尤%

故答案為：4x、Tx和4尤、

【變式訓(xùn)練】

1.若Y+S-l）x+25是一個(gè)完全平方式，貝1］。=.

【答案】11或-9/-9或11

【詳解】解：回Y+（a_l）x+25是一個(gè)完全平方式，

0（o-l）x=±2-x-5=±10%,

0a-l=±10,解得o=11或-9,

故答案為：11或-9.

2.若整式4/+f+。是完全平方式，請(qǐng)寫出所有滿足條件的。是—.

【答案】±4/或±彳6或;

4

【詳解】解：①當(dāng)。為4/和/的中間項(xiàng)時(shí)Q=±4x3；

②當(dāng)4/為。和爐的中間項(xiàng)時(shí)Q=±f；

I

③當(dāng)/為。和4/的中間項(xiàng)時(shí)。=:；

故答案為：±4d或土尤6或3.

題型09完全平方式在幾何圖形中的應(yīng)用

【例題】（2023上?江蘇?九年級(jí)專題練習(xí)）我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了乘法公式（a±6）2="±2M+b2的多種運(yùn)用，可

以運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解答：求代數(shù)式Y(jié)+4X+5的最小值.解答如下：

x?+4x+5=+4x+4+1=（x+2）+1,

（x+2）2>0,回當(dāng)x=-2時(shí)，（x+2）2的值最小，最小值是0,

0（^+2）2+1>1,團(tuán)當(dāng)（x+2『=0時(shí)，（x+2y+l的值最小，最小值是1,

團(tuán)f+4x+5的最小值是1.

請(qǐng)你根據(jù)上述方法，解答下列各題.

⑴知識(shí)再現(xiàn)：當(dāng)工=時(shí)，代數(shù)式尤2-4x+15的最小值是;

⑵知識(shí)運(yùn)用：若y=-f+6x-15,當(dāng)了=時(shí)，y有最______值(填"大"或"小")，這個(gè)值是

⑶知識(shí)拓展：若-犬+5彳+了+10=0,求y+x的最小值.

【答案】⑴2,11

(2)3,大，-6

(3)-14

【分析】(1)根據(jù)完全平方公式將原式整理后即可確定最小值；

(2)將等式右邊配方后即可確定當(dāng)無(wú)取何值時(shí)能取到最小值；

(3)首先得到有關(guān)x+y的關(guān)系式，根據(jù)完全平方公式將原式整理后確定最小值即可.

【詳解】(1)解：0X2-4X+15=(X-2)2+11,

團(tuán)當(dāng)x=2時(shí)，有最小值11；

故答案為：2,11；

(2)解：B\y=-x2+6x-15=-(x-3)2-6,

團(tuán)當(dāng)尤=3時(shí)有最大值-6；

故答案為：3,大，-6；

(3)解：0—x~+5x+_y+10=0,

0x+y=x2-4x-10=(x-2)--14,

ffl(x-2)2>0,

EI(X-2)2-14>-14,

團(tuán)當(dāng)x=2時(shí)，y+x的最小值為-14.

【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.例:求代數(shù)式x2+4.X-5的最小值.

解：Vx2+4x-5=x2+4.r+4-4-5=(x+2)2-9,

(x+2)2>0,A(X+2)2-9>-9,

，當(dāng)x=-2時(shí)，代數(shù)式f+4x-5有最小值-9,

仿照以上方法，完成下列問(wèn)題：

⑴求代數(shù)式尤2一3x+2023的最小值；

(2)求代數(shù)式-2/+x+3的最大值.

【詳解】(1)解：???X2-3^+2023=-3^+一+2°23=(尤一,］+20201,

,■,fx--^>0,/尤-3+2020->2020-1

I2；I2)44

33

.?.當(dāng)尤=時(shí)，代數(shù)式J_3》+2023有最小值2020-；

24

(2)_2工2+工+3=一2卜一白］+3=一21一￡|+3+1=一2［一+y,

二當(dāng)尤=：1時(shí),代數(shù)式-2f+x+3有最大值75

48

2.我們已學(xué)完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2,觀察下列式子:

￡+4彳+2=(￡+4彳+4)-2=(尤+2)2-2,

(x+2)~>0,x~+4x+2=(x+2)2—2>—2,原式有最小值是—2；

-X2+2X—3--^X2-2尤+1)-2=_(XT)~-2,

—(X—1)_<0,—X2+2x—3=—(x—I)--2<—2,原式有最大值是—2；

并完成下列問(wèn)題：

圍墻(大于100米)

x----->

木柵欄

⑴代數(shù)式尤2-4尤+1有最(填大或小)值，這個(gè)值=.

⑵解決實(shí)際問(wèn)題：在緊靠圍墻的空地上，利用圍墻及一段長(zhǎng)為100米的木欄圍成一個(gè)長(zhǎng)方形花圃，為了設(shè)

計(jì)一個(gè)盡可能大的花圃，如圖設(shè)長(zhǎng)方形一邊長(zhǎng)度為無(wú)米，完成下列任務(wù).

①用含x的式子表示花圃的面積；

②請(qǐng)說(shuō)明當(dāng)x取何值時(shí)，花圃的最大面積是多少平方米？

【詳解】(1)解：X2-4X+1=(X-2)2-3,

EI(x-2)2>0,

團(tuán)(無(wú)一2『一32—3,

國(guó)代數(shù)式d-4x+l有最小值，最小值為-3；

故答案為小，-3；

(2)解：①由圖可得花圃的面積：x(100-2x)=(_2/+100x)平方米；

②由①可知：一2犬+100.r=-2(x-25)2+1250,

,當(dāng)x=25時(shí)，100—2x=50<100,且一2(x—25>V0,

.?.當(dāng)x=25時(shí)，花圃的最大面積為1250平方米.

題型10完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用

【例題】現(xiàn)有長(zhǎng)與寬分別為。、b的小長(zhǎng)方形若干個(gè)，用兩個(gè)這樣的小長(zhǎng)方形，拼成如圖1的圖形，用四個(gè)

相同的小長(zhǎng)方形拼成圖2的圖形，請(qǐng)認(rèn)真觀察圖形，解答下列問(wèn)題：

⑴根據(jù)圖中條件，請(qǐng)寫出圖1和圖2所驗(yàn)證的關(guān)于。、b的關(guān)系式：(用。、b的代數(shù)式表示出來(lái))；

圖1表示：；圖2表本：；

根據(jù)上面的解題思路與方法，解決下列問(wèn)題：

(2)若x+y=8,X2+/=40,則；個(gè)=；

⑶如圖3,點(diǎn)。是線段AB上的一點(diǎn)，以AC,3c為邊向兩邊作正方形，設(shè)鉆=7,兩正方形的面積和

H+52=16,求圖中陰影部分面積.

【詳解】(1)解：圖1中，由圖可知S大正方形=(。+。)2,

S組成大正方形的四部分的面積之和=a2+人2+2ab,

由題意得，S大正方形=S組成大正方形的四部分的面積之和，

即(a+Z?)2=+Z?2+2ab,

故答案為：(4+32=/+/+2々6.

圖2中，由圖可知S大正方形=(。+。)2,S小正方形=(。-,S四個(gè)長(zhǎng)方形二4",

由題圖可知，S大正方形=S小正方形+S四個(gè)長(zhǎng)方形,

即(a+Z?)2=(〃-Z?)2+4ab,

故答案為：(a+b)2=(a-b)2+4ab.

(2)解：?<,(x+j)2=x2-i-y2+2xy,

.5=；](》+?-(/+y2)]

?.?x+y=8,x2+y2=40,

,-,xy=A(82-40)=12,

0(x—y)-=x2+j2—2j;y=40—2x12=16.

故答案為：16；12.

(3)解：由題意得AB=AC+CB,

?:AB=1,

AC+CB=7,

?.?S1+S2=16,

:.AC2+CB2=16,

■.■(AC+BC)2=AC2+CB2+2AC-CB,

AC.CB=][(AC+CB)2-[AC2+CB2)]

=》T6)

_33

-T,

33

0S陰影=CD-CB=AC-CB=《.

即圖中陰影部分的面積為三33.

【變式訓(xùn)練】

1.將完全平方公式(a±b)2=/±2"+b2進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危梢越鉀Q很多的數(shù)學(xué)問(wèn)題，例如：若。+匕=3,

ab=l,求/+〃的值.

解：因?yàn)椤?方=3,所以(a+6)2=9,BPa2+2ab+b~=9.

又因?yàn)槿?1,所以/+匕2=7.

根據(jù)上面的解題思路與方法，解決下列問(wèn)題：

2

⑴若x+y=8,%+/=40,則孫=_；

(2)若x-y=6,xy=5,求產(chǎn)+產(chǎn)的值；

⑶兩個(gè)正方形ASCD、AEFG如圖擺放，面積和為34,BG=8,則圖中陰影部分面積和為.

【詳解】(1)解：?.?x+y=8,

.，.(%+yy=64,BPx2+2xy+y2=64,

又,.,12+丁=40,

/.2xy=64-40,

/.xy=12,

故答案為：12；

(2)解：回％—y=6,盯=5,

z.x2+y2=(x-j)2+2xy=36+2x5=46；

(3)解：設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為機(jī)、AEFG的邊長(zhǎng)為〃,

m2+n2=34，m+n=8,

?/m2+n2=(m+n)2—2mn,BP34=64—2mn,

:.mn=15,

,/(m—n)2=m2+n2—2mn=34—30=4,

.\m—n=2,

,/m+n=8,:.m—n=2,

解得：m=5,n=3,

S陰影=gx(機(jī)一〃)xzn=；x2x5=5.

故答案為：5.

2.如圖①，正方形A3CO是由兩個(gè)長(zhǎng)為人寬為b的長(zhǎng)方形和兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、6的正方形拼成的.

⑴利用正方形ABC。面積的不同表示方法,直接寫出(。+6)2、/+〃、必之間的關(guān)系式,這個(gè)關(guān)系式是

(2)若m滿足(2024—〃Z)2+(〃7_2023)2=4047,請(qǐng)利用(1)中的數(shù)量關(guān)系，求(2024-MI)(〃L2023)的值;

(3)若將正方形E尸GH的邊FG、GH分別與圖①中的PG、MG重疊，如圖②所示，已知尸尸=8,NW=32,

求圖中陰影部分的面積(結(jié)果必須是一個(gè)具體數(shù)值).

【詳解】(1)(a+6)2=/+62+2°6

(2)設(shè)2024—機(jī)=。，機(jī)一2023=》,

貝1(2024-〃?)(利一2023)=ab,a+b=\,

由已知得：“2+62=4047

（a+b）+b~+2ab,

012=4047+2",

13"=—2023,

El（2024-%）（〃?_2023）=-2023

（3）設(shè)正方形EFG”的邊長(zhǎng)為無(wú)，貝UPG=x—8,NG=32-x,

回S陰=S正方彩APGM+2S長(zhǎng)方彩PBNG+S正為彩CQGN

13s陰=（X-8）2+2（%-8）（32-X）+（32-X）2

團(tuán)（a+~—cc~+b'+2ab

EIS陰=［（無(wú)一8）+（32—x）了=24?=576

強(qiáng)化訓(xùn)練

一、單選題

1.(2023上?河南駐馬店?八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí))下列算式能用平方差公式計(jì)算的是()

A.(x+y)(y+x)B.(-x_y)(-x+y)

C.(x-j)(-x+y)D.(x-y)(y—x)

【答案】B

【分析】本題主要考查了平方差公式.根據(jù)平方差公式特征，逐項(xiàng)判斷，即可求解.

【詳解】解：4(x+y)(y+x)=(x+y)2,不能用平方差公式計(jì)算，故本選項(xiàng)不符合題意；

B、(-x-y)(-x+j)=(x+y)(%-y),能用平方差公式計(jì)算，故本選項(xiàng)符合題意；

C、(x-y)(-x+y),不能用平方差公式計(jì)算，故本選項(xiàng)不符合題意；

。、(了-月仃-尤)，不能用平方差公式計(jì)算，故本選項(xiàng)不符合題意；

故選：B

2.(2023上,河南南陽(yáng)?八年級(jí)統(tǒng)考期中)下列式子：①行+4^-%-寸；②(犬_才=(>7)2；③

(-%-y)(-x+y)=x2-y2,其中正確的是()

A.①②③B.只有①②C.只有②D.只有①

【答案】A

【分析】本題考查平方差公式：(?+&)(?-&)=完全平方公式：(a±by=a2±2ab+b2,根據(jù)公式

一一判斷即可.

【詳解】解：(T7)2=-(x+y)T=G+y)2,故①符合題意；

(x-y)2-2xy+y2,(y-x)2=y1-2xy+x2,故②符合題意;

(-x-y)(-x+j)=(-x)2-y2=x2-y2,故③符合題意；

故選：A.

3.(2023上,四川宜賓?八年級(jí)?？茧A段練習(xí))若。+〃=-3,ab=-10,則/+〃的值是()

A.27B.28C.29D.30

【答案】C

【分析】本題考查運(yùn)用完全平方公式的變形計(jì)算，掌握完全平方公式的變形是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：a2+b2=(a+by-2ab=(-3)2-2x(-10)=29,

故選C.

4.(2023上?山東濟(jì)南?七年級(jí)山東省濟(jì)南稼軒學(xué)校?？茧A段練習(xí))若a=2023°,人=202lx2023-20222,

(3儼<Y023

c=xI4，則a,6,c的大小關(guān)系是()

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.b<c<a

【答案】B

【分析】本題考查零指數(shù)幕，平方差公式，積的乘方，先分別計(jì)算db,c的值，再比較即可.

【詳解】解：a=2023°=1,

6=2021x2023-20222=(2022-1)x(2022+1)-20222=20222-1-20222=-1,

44

X—=—，

33

4

因?yàn)樗詁<a<c,

故選：B.

5.(2023上?山東青島?八年級(jí)統(tǒng)考期中)我們知道，對(duì)于一個(gè)圖形，通過(guò)兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可

以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式.例如由圖1可以得到/+3m+力2=(a+2b)(a+b).若已知

a2+b2+c2=45,ab+be+ac=3S,由圖2所表示的數(shù)學(xué)等式，則a+b+c的值為()

abb

11

bba

圖1

A.12D.9

【答案】B

【分析】本題考查了多項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式與圖形的等面積，根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式與圖形的面積得出等式,

即可求解.

【詳解】解：由圖2可得(〃+b+c)2=/+/+。2+2々6+2匕C+2。。

a2+b2+c2=45,ab+bc+ac=38,

團(tuán)(Q+Z?+C)2=〃2+Z?2+c2+2(^ab+bc+ac^=45+2?38=121,

又回a+Z?+c>0

回a+Z?+c=ll

故選為：B.

二、填空題

6.(2023上,上海楊浦?七年級(jí)統(tǒng)考期末)計(jì)算：(-X-2J)(-X+2J)=.

【答案】k-4y2

【分析】此題考查平方差公式，解題關(guān)鍵在于掌握公式的運(yùn)算法則.

［詳解］解：(-x-2^)(-x+2^)=(-x)2-(2y)2=x2-4y2,

故答案為：x2-4y2.

7.(2023上?重慶開州?八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí))若無(wú)2一(°+1)了+4是一個(gè)完全平方式，那么。=

【答案】3或-5

【分析】本題考查了完全平方公式.熟練掌握(?！?2=4±2"+k是解題的關(guān)鍵.

由題意知，-(a+l)x=±4x,計(jì)算求解即可.

【詳解】解：由題意知，x2~(a+l)x+4=x2-(a+l)x+(2f,

國(guó)—(a+l)x=±4x,

解得,a=3或。=-5,

故答案為：3或-5.

8.(2023上?河南新鄉(xiāng)?八年級(jí)?？茧A段練習(xí))如圖，在邊長(zhǎng)為。的正方形中減去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形

(a>b),把剩下的部分拼成一個(gè)梯形，分別計(jì)算這兩個(gè)圖形陰影部分面積，驗(yàn)證了公式.

b

【答案】a2-b2=(a-b)(a+b)

【分析】本題主要考查的是平方差公式的幾何表示，運(yùn)用不同方法表示陰影部分面積是解題的關(guān)鍵，先根

據(jù)左圖和右圖分別表示出陰影部分的面積，然后根據(jù)面積相等即可解答.

【詳解】解：由作圖可得：陰影部分的面積為"-從；

由右圖可得：陰影部分的面積為：，2。+26)(。-b)=S+6)(“-6)；

所以"-"=(a-6)(。+6).

故答案為"一A?=(a—b)(a+Z?)

9.(2023上?黑龍江牡丹江?八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí))設(shè)。力是實(shí)數(shù)，定義一種新運(yùn)算；a*b=(a-4.下面有

四個(gè)推斷：①a%=》*a；@(a*Z?)2=a2*b2；③(―a)%=a*(-b)；@a*(b+c)=a*b+a*c.其中正確推斷

的序號(hào)是.

【答案】①③/③①

【分析】本題考查了完全平方公式，解題的關(guān)鍵是新運(yùn)算規(guī)則，對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)進(jìn)行判斷.

【詳解】解：a*b=^a-by,b*a=(b-a^=(a-Z>)2,故①正確；

=[(a--{a-b^,a2*b2=(a2-b2^=(a~b)2(a+b)2,故②錯(cuò)誤；

(-a)*6=(-a-6)2=(a+6『，a*(-6)==(<7+6)。，故③正確；

a*(6+c)=(a-6-c)~,a*b+a*c=(a-by+(a-c)2,故④錯(cuò)誤；

即正確的為①③，

故答案為：①③.

10.(2023上?甘肅蘭州?七年級(jí)蘭州市第五十五中學(xué)?？奸_學(xué)考試)對(duì)于任意的代數(shù)式a,b,c,d,我們規(guī)

ab(x-y)2x

定一種新運(yùn)算：，=ad-6c.根據(jù)這一規(guī)定，計(jì)算

ca-3y(x+y)

【答案】x2-y2+6xy

(x-y}2x/、/、

【分析】按照規(guī)定的運(yùn)算方法把)3yl+y)化為(x-y)(x+y)+2x-3y,利用平方差公式計(jì)算整理即可.

【詳解】解：根據(jù)題意得：

(x-y)2x

_3y(x+y)

=(x-y)(x+y)+2x-3y,

=x2-y2+6xy.

故答案為：x2—y2+6xy.

【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算，立意較新穎，讀懂規(guī)定運(yùn)算的運(yùn)算方法并列出算式是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

11.(2023上?江蘇南通?八年級(jí)校聯(lián)考期中)計(jì)算：

(l)(4x-3y)2；

⑵(x+y+l)(x+y-1)；

⑶(2x+3?-(2x+y)(2x-y)；

(4)(-/打(孫)\

【答案】⑴16/一24孫+9/

(2)x2+2xy+y2-1

⑶12孫+10產(chǎn)

⑷f(wàn)5y8

【分析】本題考查的是整式的混合運(yùn)算.

(1)利用完全平方公式計(jì)算即可求解；

(2)先利用平方差公式計(jì)算，再利用完全平方公式計(jì)算即可求解；

(3)利用完全平方公式和平方差公式計(jì)算即可求解；

(4)先乘方，再計(jì)算乘法.

【詳解】⑴解：(4x-3y)2=16J？-24孫+9/；

(2)解：(x+y+l)(x+j-l)

=(x+j)2-l

=x2+2xy+y2-1；

(3)解：(2x+3y『-(2x+y)(2x-y)

=4xz+Mxy+9;/-4x2+y2

=12xy+10_y2；

(4)解：(-%2y5)-(xy)3

=(-x?力心3

=-叩.

12.(2023上?河南南陽(yáng)?八年級(jí)?？茧A段練習(xí))利用乘法公式計(jì)算下列各題

(l)(-2m-n)(2m-zz)

⑵(-X+3?

(3)1032+972

(4)(a+Z?)2(Q-Z?)2—(Q-/?)(〃+6乂+〃)

【答案】⑴》―4/

⑵％2一6呼+9/

⑶20018

(4)—2'+2/

【分析】本題考查了平方差公式和完全平方公式的應(yīng)用，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

(1)利用平方差公式求解即可；

(2)利用完全平方公式求解即可；

(3)利用完全平方公式求解即可；

(4)利用平方差公式和完全平方公式求解即可.

【詳解】(1)(-2m-M)(2m-zz)

二(-〃J—(2m)2

=n2—4m2；

(2)(-工+3，

=x2-6xy+9y2；

(3)1032+972

=(100+3)2+(100-3)2

=10000+600+9+10000-600+9

=20018；

(4)(a+Z?)2(Q-人J-(々-匕乂口+人乂/+〃)

=[〃+/?)(〃-Z?)]2_(/_人2)(〃2+/)

=4—2〃2/+)4—/+〃

=-2a2b2+2b4.

13.(2023上?四川宜賓?八年級(jí)校考階段練習(xí))(1)已知3/一4〃-7=0,求代數(shù)式(2a-l)2-(a+b)(a-b)-b2

的值.

4

(2)若X?----7=5,求xH---T

X

【答案】(1)8；(2)27

【分析】本題主要考查了整式的化簡(jiǎn)求值，完全平方公式的變形求值，

(1)先根據(jù)完全平方公式和平方差公式去括號(hào),然后合并同類項(xiàng)化簡(jiǎn)，再由3/_4?-7=0得到34-4a=7,

最后利用整體代入法求解即可；

(2)根據(jù)/一5=5,把等式兩邊同時(shí)平方得到丁++-2=25,則尤4+*=27.

【詳角軍】解：(1)(2a-l)2-(a+b)(a-b)-b2

=4a2-4a+l-(a2-b2)-b2

—4〃—4〃+1—12+Z72—

—3/一4。+1,

回3a2—4。-7=0,

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