第十七章勾股定理評估測試卷

（總分:120分時間:120分鐘）

一、選擇題（本大題共12個小題，每小題3分，共36分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符

合題目要求的）

1.（2024武漢洪山區(qū)期末）如圖，在"BC中,NC=90。,若AC=1AB=2,則的長是（）

A.lB.V3C.2D.V5

2.下列定理中，沒有逆定理的是()

A.等腰三角形的兩個底角相等B.對頂角相等

C.兩直線平行，同位角相等D.直角三角形的兩個銳角互余

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,有兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（2,0）和（0,3）,則這兩點(diǎn)之間的距離是（）

3

2X

J-

23i

A.V13B.V5C.13D.5

4.若3,4,a為勾股數(shù)，則a的值為()

A.V7B.5C.5或7D.5或小

5.如圖，在3x3的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,點(diǎn)A,B,C都在格點(diǎn)上,AD為&ABC的高，則

AD的長為（）

A

7V107V10

A?等?5,20D等

6.（2025汝州期末）在如圖所示的網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1,46,C三點(diǎn)均在正方形的格點(diǎn)上,

則下列結(jié)論錯誤的是（）

B

A

A.SAABC=10B.ZBAC=9Q0

C.AB=2V5D.點(diǎn)A到直線BC的距離是2

7.如圖，長方形ABCD的頂點(diǎn)A,B在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示-1H3=3血）=1.若以點(diǎn)A為圓心，對角線AC

長為半徑作弧，交數(shù)軸的正半軸于點(diǎn)M則點(diǎn)M所表示的數(shù)為（）

A.V10-1B.V10c.Vio+iD.V10+2

8.如圖,25m長的梯子AB,斜靠在一豎直的墻AC上，這時梯足3到墻底端C的距離為7m.若梯子

的頂端沿墻下滑4m,則梯足將向左移

A.4mB.6mC.8mD.10m

9.（2024淄博中考）《九章算術(shù)》中提到:“今有戶高多于廣六尺八寸.兩隅相去適一丈.問戶高、廣各

幾何?”其大意如下:已知長方形門的高比寬多6尺8寸,門的對角線長1丈,那么門的高和寬各是

多少?（1丈=10尺,1尺=10寸）若設(shè)門的高和寬分別是x尺和y尺,則下面所列方程組正確的是

(x-y-6.8,r=y-6.8,

A1%2.1-102-y2'[x2+y2-102

（x—y+6.8,（x—y+6.8,

C[%2-1-1（）2=y2D.1%2+y2=1Q2

10.下列條件中，不能判斷△ABC為直角三角形的是（）

A.BC=6AC=W,AB=8B.ZA:ZB:ZC=3：4：5

C.BC：AC：AB=3：4：5D.ZA+ZB=ZC

11.（2024南通中考）“趙爽弦圖”巧妙利用面積關(guān)系證明了勾股定理如圖所示的“趙爽弦圖”是由四

個全等的直角三角形和中間的小正方形拼成的一個大正方形.設(shè)直角三角形的兩條直角邊長分別

為機(jī),〃（加＞”）.若小正方形的面積為5,（加+咒）2=21,則大正方形的面積為（）

A.12B.13

C.14D.15

12.如圖是一個三級臺階，它每一級的長、寬、高分別為4mqm叫和3是這個臺階的兩個

相對的端點(diǎn)，點(diǎn)A上有一只螞蟻想到點(diǎn)B去吃可口的食物，則它所走的最短路線的長度為（）

A

A.3.5mB.4.5mC.5mD.5.5m

二、填空題（本大題有4個小題，每小題3分，共12分）

13.如圖，在RtAABC中,/。=90。4。平分NC4B交BC于點(diǎn)D,DE±AB于點(diǎn)￡若CD=2,3C=6,則

BE=.

14.在RtAABC中,AB=33C=3,則AC的長為.

15.如圖，已知釣魚竿AC的長為10m,露在水面的漁線BC的長為6m,某釣魚者想看看魚鉤上的情

況,把魚竿AC轉(zhuǎn)動到A。的位置，此時露在水面的漁線30的長為8m,則39的長為m.

16.（2024常州中考）如圖，在RtAABC中,/&匿=90。,&。=6,5。=4,。是邊AC的中點(diǎn),E是邊BC上

一點(diǎn)，連接BDQE.將ACDE沿DE翻折，點(diǎn)C落在3。上的點(diǎn)R處，則CE=.

三、解答題（本大題共8個小題，共72分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17.（6分）如圖，一只螞蟻在底面半徑為10cm,高為207icm的圓柱下底面的點(diǎn)A處,它想吃到上底

面上與點(diǎn)A相對的點(diǎn)B處的食物.求螞蟻沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程.

18.（6分）如圖,已知在△A3。中43=84。=17,/43。=90。乃。=9,。=12.求2\3。。的面積.

19.（6分）如圖，在四邊形ABCD中，已知/3=90。,/4。3=30。,43=3,4。=10,。=8.求/3。。的度數(shù)

20.（10分）小龍?jiān)诜棚L(fēng)箏時想測量風(fēng)箏離地面的垂直高度,通過如圖勘測，得到如下記錄:①測得水

平距離的長為12m;②根據(jù)手中剩余線的長度計算出風(fēng)箏線A3的長為13m;③小龍牽線放風(fēng)

箏的手到地面的距離CD的長為1.5m.

⑴求風(fēng)箏到地面的距離（線段AD的長）.

（2）如果小龍想要風(fēng)箏沿CA方向再上升4m,3c和CD的長度不變，那么他應(yīng)該再放出m

的風(fēng)箏線.

21.（10分）如圖，在一條東西走向河流的一側(cè)有一村莊C,河邊原有兩個取水點(diǎn)其中A5=AC,由

于某種原因,由村莊C到取水點(diǎn)A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村莊為方便村民取水，決定在河邊新建一

個取水點(diǎn)H（點(diǎn)在同一直線上）,并新建一條路CH,測得km,CH=3km,HB=2km.

(1)S是不是從村莊C到河邊的最近路?請通過計算加以說明.

(2)新路CH比原路CA短多少千米?

22.(10分)為了滿足市民健身需求，市政部門在某公園的東門C和西門A之間修建了四邊形A3CD

循環(huán)步道.如圖，經(jīng)勘測，點(diǎn)B在點(diǎn)A的正南方，點(diǎn)C在點(diǎn)A的正東方。4LDC,且點(diǎn)D到點(diǎn)A,C的

距離相等，已知AB=1000m,BC=2600m.(參考數(shù)據(jù):四句.414,8R.732)

(1)求A,C兩點(diǎn)之間的長度.

(2)小慶準(zhǔn)備從西門A跑步到東門C去見小渝，因A,C兩點(diǎn)之間的道路施工不能通行，小慶決定選

擇一條較短線路，請計算說明小慶應(yīng)選擇A—3—C路線，還是A—D—C路線?(結(jié)果精確到1m)

D

△

A4--------

R

23.（10分）如圖,A市接到臺風(fēng)警報時，臺風(fēng)中心位于距離A市52km的3處（即AB=52km）,臺風(fēng)正

以8km/h的速度沿3c方向移動.已知A市到BC的距離AD=20km.

⑴臺風(fēng)中心從點(diǎn)B移到點(diǎn)D經(jīng)過多長時間?

⑵如果在距臺風(fēng)中心25km的圓形區(qū)域內(nèi)都將受到臺風(fēng)影響，那么A市受到臺風(fēng)影響的時間是多

長？

24.（14分）如圖，在ZkABC中,23=90。,43=8cm,3c=6cm,P,Q>AABC的邊A3,3C上的兩個動點(diǎn),

其中點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿A-3方向運(yùn)動,且速度為每秒1cm,點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿3-C方向運(yùn)動,

且速度為每秒2cm,它們同時出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時間為ts.

⑴當(dāng)t=2時，求PQ的長.

（2）求出發(fā)時間為幾秒時,APg是等腰三角形.

（3）若點(diǎn)Q沿3—C—A方向運(yùn)動,則當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動時,求能使ABCQ成為等腰三角形的運(yùn)

動時間.

"<-4

【詳解答案】

1.B解析:?.,NC=9O°2C=1/B=2,

BC=7AB2-AC2W22-12域.故選B.

2.B解析:如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么它也是一個定理,其中一個定理稱為另一個定理的逆

定理.A.等腰三角形的兩個底角相等，它的逆定理是有兩個角相等的三角形是等腰三角形;B.對頂角相等,它的逆

命題是如果兩個角相等，那么它們是對頂角，：如果兩個角相等，但它們不一定是對頂角,“對頂角相等”沒有逆

定理;C.兩直線平行，同位角相等，它的逆定理是同位角相等，兩直線平行;D.直角三角形的兩個銳角互余，它的逆

定理是兩個銳角互余的三角形是直角三角形.故選B.

3.A解析:：設(shè)點(diǎn)A(2,0),B(0,3),

04=2,08=3.：.AB=y/0A2+OB2=V22+32=V13.A.

4.B解析:???3,4,a為勾股數(shù),...當(dāng)a最大時,°=于*=5,能構(gòu)成勾股數(shù);當(dāng)4時最大時,°=回爐=近,不能構(gòu)

成勾股數(shù).綜上所述,a的值為5.故選B.

T

5.D解析:由題可得SAABc=3x3-lx3xi-2x3x|-lx2x|=|,BC=VlT32=VT0.：.ADxV10X4。=^.故

選D.

6.A解析:A.S"BC=4X4-13X4WX1X2g<2x4=5,本選項(xiàng)結(jié)論錯誤，符合題意;Br.202=12+22=5,482=22+42=20,

BC2=32+42=25,：.AC2+AB-=BC2.：./8AC=90。.本選項(xiàng)結(jié)論正確,不符合題意;C.：4笈=20,48=2強(qiáng).本選項(xiàng)結(jié)

論正確，不符合題意;D.設(shè)點(diǎn)A到直線BC的距離為九則巳X遮x2西與5x〃,解得狂2.本選項(xiàng)結(jié)論正確，不符合題

意.故選A.

7.A解析:：四邊形ABCD是長方形,，ZABC=90°,BC=AD=l.'：AB=3,：.AC=y/AB2+SC2=V32+l2=V10.

AAM=AC=V10.點(diǎn)A表示-1,；.點(diǎn)M表示的數(shù)為VIU-l.故選A.

8.C解析:在RtAABC中，已知AB=25m,BC=7m,則由勾股定理，得AC=V^支浮=24(m).：梯子的頂端沿墻下

滑4m,：.AAi=4m.：AC=A4i+CAi,；.C4i=24-4=20(m).：在RtAAiBiC中八由i=AB=25m,且小田為斜邊,.?.由

勾股定理，得CBi=V252-202=15(m)..?.BBi=C8i-CB=15-7=8(m).梯足將向左移8m.故選C.

9.D解析:設(shè)門的高是x尺，寬是y尺.

由題意得心力”2故選D.

10.B解析:A.；BC=6,AC=1(XAB=8,

.^.AB2+BC2=82+62=lOO,AC2=lO2=loo..^.AB2+Bc2=Ac2..^.△ABC是直角三角形.故A不符合題意;B.^.^/A:

ZB:NC=3:4:5,ZA+ZB+ZC=180°,AZC=180°x—^=75°.；,AABC不是直角三角形.故B符合題意;C.

3+4+5

:BC：AC：AB=3:4：5,.?.設(shè)BC=3匕貝IAC=4k,AB=5k.'：AC2+BC2=16lc+9lc=25lc1=AB2,：.^ABC

形.故C不符合題意;D.：/A+NJB=/C,NA+/B+NC=180O,；.NC=*=90O.；MABC是直角三角形.故D不

符合題意.故選B.

11.B解析:由題意可知，中間小正方形的邊長為即m!,+n2-2mn=5?.(m+n)2=21,

...ff^2+〃2+2ww?=21②.①+②,得2(%2+/)=26..,.大正方形的面積為加2+層=13.故選B.

12.C解析:如圖,將臺階展開為長方形，線段恰好是直角三角形的斜邊，

則AC=4m,BC=(-+-)x3=3(m).

44

在RtAABC中，

AB=y/AC2+BC2=yj42+32=5(m),

...螞蟻所走的最短路線的長度為5m.故選C.

13.2V3解析:平分/CAB交BC于點(diǎn)D,DELAB,ZC=90°,DE=CD=2.'：BC=6,：,BD=BC-CD=6-2=4.

：.BE=7BD2-DE2=25

14.2/或VTU解析:：AB=3BC=3,

：.AB=3,BC=L

①當(dāng)AB為斜邊時，

AC-yjAB2-BC2=V32-12=2V2;

②當(dāng)AB為直角邊時,

AC=7AB?+Be?=V32+l2=V10.

綜上所述5AC的長為2&或VTU.

15.2解析:在RtAABC中,AC=10m,BC=6m,.*.AB=VXC2-BC2=V102-62=8(m).itRtAABC中2C=AC=10m,

B'C'=8m,?.AB'=7xC'2-B'C'2=V102-82=6(m).：.BB'=AB-AB'=8-6=2(m).

16.|解析:：NAC8=9(T,AC=6,BC=4,。是邊AC的中點(diǎn),.,.?！?=/。=3.；.3。=，^西二蘇=5.：將4?！?石沿

DE翻折，點(diǎn)C落在2。上的點(diǎn)尸處,.?.C￡)=DF=3,CE=E￡/EfD=/C=90°.，BF=BZ”DF=2,NBFE=NEF￡)=90°.

設(shè)CE=x，則所=x,BE=8C-CE=4-x.在R3BPE中，由勾股定理，得8/=所2+8/，即(4一的2=/+22.解得苫=|.CE=*

17.解:圓柱的側(cè)面展開圖如圖所示.

\,圓柱的底面半徑為10cm,高為20無cm,

；?AC=2兀xl0+2=10兀(cm),8C=20兀cm.

在RSA5c中,NC=90。，

則由勾股定理，得

AB=yjAC2+BC2=1OA/571cm.

答:螞蟻沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是IOVSTTcm.

18.解:：AB=8,AD=17,ZABD=9Q°,

：.BD=^JAD2-AB2=15.

;BC=9,C￡)=12,

C.BCr+CE^^BD1.

,,.ABCD是直角三角形,NC=90。.

.,.5ABCD=|C￡)BC=|X12X9=54.

19.解:：ZB=90°,ZACB=30°,AB=3,

：.AC=2AB=6.

在△AC。中,：A￡)=10,CD=8,AC=6,

.?.AC2+CD2=62+82=1004￡>2=102=100.

：.A(^+CD2=AD2.

：.AACD是直角三角形,NAC￡>=90。.

ZBCD=ZACB+ZAC￡)=30°+90°=120°.

20.解:⑴在RtAABC中，由勾股定理，得

AC=y/AB2-BC2=V132-122=5(m).

*.*CD=1.5m,

：.AD=AC+CD=5+1.5=6.5(m).

答:風(fēng)箏到地面的距離(線段A。的長)為6.5m.

(2)2

21.解:(1)CH是從村莊C到河邊的最近路.

理由如下：

VCB=V13km,CH=3km,HB=2km,

CB2=CH2+HB2.

ABCH為直角三角形,NBHC=90。.

CH±AB.

CH是從村莊C到河邊的最近路.

(2)設(shè)AC=xkm,則AB=xkm,AH=(尤-2)km.

在RtA4CH中,AH2+C“2=AC2,

即(x-2)2+32=f,

解得尤=3.25.

；.AC=3.25km.

.\AC-CH=3.25-3=0.25(km).

答漸路CH比原路CA短0.25km.

22.解:⑴由題意，得NBAC=90。.在RtAABC中,/氏肥=90。,42=1000m,

BC=2600m,

：.AC=y/BC2-AB2=V26002-l0002=2400(m).

答:A,C兩點(diǎn)之間的長度為2400m.

(2)由(1),得AC=2400m.

；DA_LDC,AD=CD,

ZADC=90°.

：.AC2=AD2+CD2^24002.

：.AD=CD=1200V2m.

8—C路線的長為

AB+BC=\000+2600=3600(m),

A—O—C路線的長為AD+DC=1200V2+1200V2=2400V2?3394(m).

V3394<3600,

.??小慶應(yīng)選擇A—D—C路線.

23.解:⑴由題意，得在△48。^,ZADB=90°,AB=52km,A￡)=20