第八章非線性控制系統(tǒng)分析1研究非線性控制理論的意義8-1非線性控制系統(tǒng)概述以上各章討論了線性定常控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計問題。但實際上，理想的線性系統(tǒng)并不存在，因為組成控制系統(tǒng)的各元件的動靜態(tài)特性都存在不同程度的非線性。如飽和、死區(qū)、間隙等特性。因此，實際系統(tǒng)中普遍存在非線性因素。

這些非線性因素的存在，使得我們用線性系統(tǒng)理論進行分析時所得出的結(jié)論，與實際系統(tǒng)的控制效果不一致。線性系統(tǒng)理論無法解釋非線性因素所產(chǎn)生的影響。除上述實際系統(tǒng)中的部件存在不可避免的非線性因素外，有時為了改善系統(tǒng)的性能或者簡化系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，人們還常常在系統(tǒng)中引入非線性部件或者更復(fù)雜的非線性控制器。非線性特性的存在，并不總是對系統(tǒng)產(chǎn)生不良影響。當(dāng)系統(tǒng)中含有一個或多個具有非線性特性的元件時，該系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng)。一般地，非線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可以表示為（1）當(dāng)非線性程度不嚴(yán)重時，可將非線性環(huán)節(jié)視為線性環(huán)節(jié)；（2）當(dāng)系統(tǒng)方程解析且工作在某一數(shù)值附近的較小范圍內(nèi)時，可運用小偏差法將非線性模型線性化。

例如液位系統(tǒng)的動態(tài)方程

運用小偏差法將非線性方程線性化為小偏差線性方程：（3）當(dāng)非線性程度比較嚴(yán)重，且系統(tǒng)工作范圍較大的非線性系統(tǒng)采用非線性系統(tǒng)的分析和設(shè)計方法。值得注意的是，非線性特性千差萬別，對于非線性系統(tǒng)，目前還沒有統(tǒng)一的普適的處理方法。線性系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)的特例，線性系統(tǒng)的分析和設(shè)計方法在非線性控制系統(tǒng)中仍發(fā)揮著非常重要的作用。（1）對于線性系統(tǒng)，描述其運動狀態(tài)的數(shù)學(xué)模型是線性微分方程，其根本標(biāo)志在于能使用疊加原理。而非線性系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模型為非線性微分方程，不能使用疊加原理。由于兩種系統(tǒng)特性上的這種差別，所以它們的運動規(guī)律是很不相同的。

目前，還沒有像求解線性微分方程那樣求解非線性微分方程的通用方法。而對非線性系統(tǒng)，一般并不需要求解其輸出響應(yīng)過程。通常是把討論問題的重點放在系統(tǒng)是否穩(wěn)定，系統(tǒng)是否產(chǎn)生自激振蕩等有關(guān)穩(wěn)定性的分析上。2非線性系統(tǒng)的特征（與線性系統(tǒng)的區(qū)別）（2）穩(wěn)定性分析復(fù)雜。在線性系統(tǒng)中，穩(wěn)定性只與其結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，對常系數(shù)線性系統(tǒng)，只取決于特征方程根的分布，而與初始條件和外加作用沒有關(guān)系；對于非線性系統(tǒng)，不存在系統(tǒng)是否穩(wěn)定的籠統(tǒng)概念，必須具體討論某一運動的穩(wěn)定性問題。非線性系統(tǒng)運動的穩(wěn)定性，除與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及參數(shù)有關(guān)外，還和初始條件有密切的關(guān)系。在不同的初始條件下，運動的最終狀態(tài)可能完全不同。（3）線性系統(tǒng)只有一個平衡狀態(tài)，而非線性系統(tǒng)可能存在多個平衡狀態(tài)。例令得到系統(tǒng)有兩個平衡狀態(tài)：x=1或x=0；為分析這兩個狀態(tài)的穩(wěn)定性，令初始條件為x0，求解方程：x=1x=0x=1是不穩(wěn)定的平衡狀態(tài)：因無論x0是否大于1，如果系統(tǒng)受到小擾動，不能恢復(fù)至平衡狀態(tài)。x=0是穩(wěn)定的平衡狀態(tài)：在一定范圍（x0<1）下的擾動是穩(wěn)定的。平衡狀態(tài)的定義：在無外作用且系統(tǒng)輸出的各階導(dǎo)等于零時，系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)。xtx0>1x0<1因此，非線性系統(tǒng)可能存在多個平衡狀態(tài)，各平衡狀態(tài)可能是穩(wěn)定的也可能是不穩(wěn)定的。初始條件不同，自由運動的穩(wěn)定性亦不同。（4）可能存在自激振蕩現(xiàn)象。在非線性系統(tǒng)中，除了從平衡狀態(tài)發(fā)散或收斂于平衡狀態(tài)兩種運動形式外，往往即使無外作用存在，系統(tǒng)也可能產(chǎn)生具有一定振幅和頻率的穩(wěn)定的等幅振蕩。自激振蕩：無外作用時非線性系統(tǒng)內(nèi)部產(chǎn)生的穩(wěn)定的等幅振蕩。（初始狀態(tài)不為零）二階零阻尼線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)在沒有外作用時，周期運動只發(fā)生在零阻尼情況，而這一周期運動是物理上不可能實現(xiàn)的。例如：因此，對線性系統(tǒng)，圍繞其平衡狀態(tài)只有發(fā)散和收斂兩種運動形式，其中不可能產(chǎn)生穩(wěn)定的自激振蕩。利用拉氏變換法求解方程：-110.52范德波爾方程：非線性阻尼的非線性二階系統(tǒng)當(dāng)|x|=1，零阻尼，x(t)運動呈等幅振蕩形式。當(dāng)擾動使|x|<1，負阻尼，系統(tǒng)從外界獲得能量，x(t)運動呈發(fā)散振蕩形式；當(dāng)擾動使|x|>1，正阻尼，系統(tǒng)消耗能量，x(t)運動呈收斂形式；因此，系統(tǒng)能克服擾動對x的影響，保持幅值為1的等幅振蕩。非線性系統(tǒng)的自激振蕩x(t)t因此，非線性系統(tǒng)，在沒有外作用時，系統(tǒng)能夠克服擾動對狀態(tài)的影響，保持固定振幅和頻率的穩(wěn)定的周期運動，如圖所示，這個周期運動在物理上是可以實現(xiàn)的，即自激振蕩，簡稱自振。非線性系統(tǒng)的自激振蕩（5）頻率響應(yīng)發(fā)生畸變。在線性系統(tǒng)中，輸入為正弦函數(shù)時，其輸出的穩(wěn)態(tài)分量也是同頻率的正弦函數(shù)，輸入和穩(wěn)態(tài)輸出之間僅在振幅和相位上有所不同，因此可以用頻率響應(yīng)來描述系統(tǒng)的固有特性。而非線性系統(tǒng)輸出比較復(fù)雜，其穩(wěn)態(tài)分量在一般情況并不具有與輸入相同的函數(shù)形式。

非線性系統(tǒng)在正弦信號作用下，其穩(wěn)態(tài)分量除產(chǎn)生同頻率振蕩外，還可能產(chǎn)生倍頻振蕩和分頻振蕩。如圖所示波形。輸入信號倍頻信號分頻信號ttt3非線性系統(tǒng)的分析與設(shè)計方法描述函數(shù)法

受線性系統(tǒng)頻率法啟發(fā)，而發(fā)展出的一種分析非線性系統(tǒng)的方法。它是一種諧波線性化的分析方法，是頻率法在非線性系統(tǒng)分析中的推廣。相平面法

用圖解的方法分析一階，二階非線性系統(tǒng)的方法。通過繪制控制系統(tǒng)相軌跡，達到分析非線性系統(tǒng)特性的方法。逆系統(tǒng)法運用內(nèi)環(huán)非線性反饋控制，構(gòu)成偽線性系統(tǒng)，并以此為基礎(chǔ)，設(shè)計外環(huán)控制網(wǎng)絡(luò)，是非線性系統(tǒng)控制的一個發(fā)展方向。8-2常見非線性及其對系統(tǒng)運動的影響1非線性特性的等效增益對于非線性特性，定義非線性環(huán)節(jié)輸出和輸入的比值為等效增益變增益因而可將非線性特性視為變增益比例環(huán)節(jié)。理想繼電器

具有死區(qū)和滯環(huán)的繼電器繼電特性常使系統(tǒng)產(chǎn)生振蕩現(xiàn)象。P296：圖8-8（a）具有飽和死區(qū)的單值繼電器具有滯環(huán)的繼電器（1）繼電特性輸入輸出（2）死區(qū)特性很小時

作為線性特性處理（不靈敏區(qū)特性）當(dāng)輸入信號在零位附近變化時，系統(tǒng)沒有輸出。當(dāng)輸入信號大于某一數(shù)值時才有輸出，且與輸入呈線性關(guān)系。各類液壓閥的正重疊量；測量變送裝置的不靈敏區(qū)；調(diào)節(jié)器和執(zhí)行機構(gòu)的死區(qū)；彈簧預(yù)緊力；等等。較大時

將使系統(tǒng)靜態(tài)誤差增加，

系統(tǒng)低速不平滑性死區(qū)或不靈敏區(qū)死區(qū)特性使系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)誤差，但可減少擾動信號的影響，減小超調(diào)。P296：圖8-8（b）當(dāng)輸入信號超出其線性范圍后，輸出信號不再隨輸入信號變化而保持恒定。輸入輸出放大器的飽和輸出；磁飽和；元件的行程限制;功率限制。（3）飽和特性粗略地看，飽和特性的存在相當(dāng)于大信號作用時，增益下降。飽和特性的等效增益飽和特性若隨動系統(tǒng)的方塊圖當(dāng)系統(tǒng)輸入端加上一個幅值較大的階躍信號時，若放大器無飽和限制，系統(tǒng)的時間響應(yīng)曲線如右圖中的曲線1；放大器有飽和限制時的時間響應(yīng)曲線如右圖中的曲線2。階躍響應(yīng)會是什么樣？合理選擇飽和特性線性區(qū)增益和飽和電壓，可獲得較小超調(diào)，又能保證較大開環(huán)增益，減小穩(wěn)態(tài)誤差。P