積分學不定積分定積分定積分機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第一節(jié)一、定積分問題舉例二、定積分的定義三、定積分的性質(zhì)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束定積分的概念及性質(zhì)

一、定積分問題舉例1.曲邊梯形的面積設(shè)曲邊梯形是由連續(xù)曲線軸，以及兩直線所圍成,求其面積A.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束矩形面積梯形面積及x解決步驟:1)

分割在區(qū)間[a,b]中任意插入n–1個分點用直線將曲邊梯形分割成n個小曲邊梯形;2)

近似在第i個窄曲邊梯形作以為底,為高的小矩形,并以此小矩形面積近似代替相應窄曲邊梯形面積得機動目錄上頁下頁返回結(jié)束上任取3)求和4)取極限令則曲邊梯形面積機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2.變速直線運動的路程設(shè)某物體作直線運動,且求在運動時間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程s.解決步驟:1)分割將它分成在每個小段上物體2)近似得已知速度機動目錄上頁下頁返回結(jié)束n個小段經(jīng)過的路程為3)求和4)取極限上述兩個問題的共性:解決問題的方法步驟相同:“分割,近似,求和,取極限”所求量極限結(jié)構(gòu)式相同:特殊乘積和式的極限機動目錄上頁下頁返回結(jié)束二、定積分定義(P225)任一種分法任取總趨于確定的極限I,則稱此極在區(qū)間上的定積分,即也稱f(x)在[a,b]上可積.記作機動目錄上頁下頁返回結(jié)束限I為函數(shù)積分上限積分下限被積函數(shù)被積表達式積分變量積分和定積分僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān),而與積分變量用什么字母表示無關(guān),即機動目錄上頁下頁返回結(jié)束定積分的幾何意義:曲邊梯形面積曲邊梯形面積的負值各部分面積的代數(shù)和機動目錄上頁下頁返回結(jié)束定理1.定理2.且只有有限個間斷點可積的充分條件:(證明略)例1.

利用定義計算定積分解:將[0,1]n等分,分點為取機動目錄上頁下頁返回結(jié)束在可積注注目錄上頁下頁返回結(jié)束[注]

利用得兩端分別相加,得即例2.

用定積分表示下列極限:解:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束根據(jù)定積分定義可得如下近似計算方法:將[a,b]分成n等份:(左矩形公式)(右矩形公式)(梯形公式)為了提高精度,還可建立更好的求積公式,例如辛普森機動目錄上頁下頁返回結(jié)束公式,復化求積公式等,并有現(xiàn)成的數(shù)學軟件可供調(diào)用.三、定積分的性質(zhì)(設(shè)所列定積分都存在)(k為常數(shù))證:=右端機動目錄上頁下頁返回結(jié)束證:當時,因在上可積,所以在分割區(qū)間時,可以永遠取c為分點,于是機動目錄上頁下頁返回結(jié)束當a,b,c的相對位置任意時,例如則有機動目錄上頁下頁返回結(jié)束6.若在[a,b]上則證:推論1.若在[a,b]上則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束推論2.證:即7.設(shè)則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.

試證:證:設(shè)則在上,有即故即機動目錄上頁下頁返回結(jié)束8.積分中值定理則至少存在一點使證:則由性質(zhì)7可得根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)介值定理,使因此定理成立.性質(zhì)7目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:可把故它是有限個數(shù)的平均值概念的推廣.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束積分中值定理對因例4.

計算從0秒到T秒這段時間內(nèi)自由落體的平均速度.解:已知自由落體速度為故所求平均速度機動目錄上頁下頁返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.定積分的定義—乘積和式的極限2.定積分的性質(zhì)3.積分中值定理機動目錄上頁下頁返回結(jié)束矩形公式梯形公式連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的平均值公式近似計算思考與練習1.用定積分表示下述極限:解:或機動目錄上頁下頁返回結(jié)束思考:如何用定積分表示下述極限提示:極限為0!機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2.P233題33.P233題8(2),(4)題8(4)解:設(shè)則即機動目錄上頁下頁返回結(jié)束作業(yè)

第二節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束二、積分上限的函數(shù)及其導數(shù)三、牛頓–萊布尼茲公式一、引例第二節(jié)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束微積分的基本公式

一、引例在變速直線運動中,已知位置函數(shù)與速度函數(shù)之間有關(guān)系:物體在時間間隔內(nèi)經(jīng)過的路程為這種積分與原函數(shù)的關(guān)系在一定條件下具有普遍性.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束二、積分上限的函數(shù)及其導數(shù)則變上限函數(shù)證:則有機動目錄上頁下頁返回結(jié)束定理1.

若說明:1)定理1證明了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的.2)變限積分求導:同時為通過原函數(shù)計算定積分開辟了道路.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.

求解:原式說明目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.確定常數(shù)a,b,c的值,使解:原式=

c≠0,故又由～,得例3.

證明在內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù).證:只要證機動目錄上頁下頁返回結(jié)束三、牛頓–萊布尼茲公式(牛頓-萊布尼茲公式)

機動目錄上頁下頁返回結(jié)束證:根據(jù)定理1,故因此得記作定理2.函數(shù),則一個例4.計算解:例5.計算正弦曲線的面積.解:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例6.

汽車以每小時36

km的速度行駛,速停車,解:設(shè)開始剎車時刻為則此時刻汽車速度剎車后汽車減速行駛,其速度為當汽車停住時,即得故在這段時間內(nèi)汽車所走的距離為剎車,問從開始剎到某處需要減設(shè)汽車以等加速度機動目錄上頁下頁返回結(jié)束車到停車走了多少距離?內(nèi)容小結(jié)則有1.微積分基本公式積分中值定理微分中值定理牛頓–萊布尼茲公式2.變限積分求導公式公式目錄上頁下頁返回結(jié)束作業(yè)第三節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束備用題解：1.設(shè)求定積分為常數(shù),設(shè),則故應用積分法定此常數(shù).機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2.求解：的遞推公式(n為正整數(shù)).由于因此所以其中機動目錄上頁下頁返回結(jié)束二、定積分的分部積分法第三節(jié)不定積分機動目錄上頁下頁返回結(jié)束一、定積分的換元法換元積分法分部積分法定積分換元積分法分部積分法定積分的換元法和分部積分法

一、定積分的換元法

定理1.設(shè)函數(shù)單值函數(shù)滿足:1)2)在上證:所證等式兩邊被積函數(shù)都連續(xù),因此積分都存在,且它們的原函數(shù)也存在.是的原函數(shù),因此有則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束則說明:1)當

<

,即區(qū)間換為定理1仍成立.2)必需注意換元必換限,原函數(shù)中的變量不必代回.3)換元公式也可反過來使用,即或配元配元不換限機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.

計算解:令則∴原式=機動目錄上頁下頁返回結(jié)束且例2.

計算解:令則∴原式=機動目錄上頁下頁返回結(jié)束且例3.證:(1)若(2)若偶倍奇零機動目錄上頁下頁返回結(jié)束二、定積分的分部積分法

定理2.

則證:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.計算解:原式=機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.

證明證:令

n為偶數(shù)

n為奇數(shù)則令則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束由此得遞推公式于是而故所證結(jié)論成立.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)基本積分法換元積分法分部積分法換元必換限配元不換限邊積邊代限機動目錄上頁下頁返回結(jié)束思考與練習1.提示:令則2.

設(shè)解法1解法2對已知等式兩邊求導,思考:若改題為提示:兩邊求導,得機動目錄上頁下頁返回結(jié)束得3.

設(shè)求解:(分部積分)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束作業(yè)習題課目錄上頁下頁返回結(jié)束備用題1.證明證：是以

為周期的函數(shù).是以

為周期的周期函數(shù).機動目錄上頁下頁返回結(jié)束解：2.右端試證分部積分積分再次分部積分=左端機動目錄上頁下頁返回結(jié)束二、無界函數(shù)的反常積分第四節(jié)常義積分積分限有限被積函數(shù)有界推廣一、無窮限的反常積分機動目錄上頁下頁返回結(jié)束反常積分(廣義積分)反常積分

一、無窮限的反常積分引例.曲線和直線及x軸所圍成的開口曲邊梯形的面積可記作其含義可理解為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束定義1.設(shè)若存在,則稱此極限為f(x)的無窮限反常積分,記作這時稱反常積分收斂;如果上述極限不存在,就稱反常積分發(fā)散.類似地,若則定義機動目錄上頁下頁返回結(jié)束則定義(c為任意取定的常數(shù))只要有一個極限不存在,就稱發(fā)散.無窮限的反常積分也稱為第一類反常積分.并非不定型,說明:上述定義中若出現(xiàn)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束它表明該反常積分發(fā)散.引入記號則有類似牛–萊公式的計算表達式:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.

計算反常積分解:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束思考:分析:原積分發(fā)散!注意:對反常積分,只有在收斂的條件下才能使用“偶倍奇零”的性質(zhì),否則會出現(xiàn)錯誤.例2.

證明第一類p積分證:當p=1時有當p≠1時有當p>1時收斂;

p≤1時發(fā)散.因此,當p>1時,反常積分收斂,其值為當p≤1時,反常積分發(fā)散.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.

計算反常積分解:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束二、無界函數(shù)的反常積分引例:曲線所圍成的開口曲邊梯形與x軸,y軸和其含義可理解為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束面積A可記作直線的定義2.設(shè)而在點a的右鄰域存在,這時稱反常積分收斂;如果上述極限不存在,就稱反常積分發(fā)散.類似地,若而在b的左鄰域內(nèi)無界,若極限數(shù)f(x)在[a,b]上的反常積分,記作則定義機動目錄上頁下頁返回結(jié)束則稱此極限為函內(nèi)無界,若被積函數(shù)在積分區(qū)間上僅存在有限個第一類說明:而在點c的無界函數(shù)的積分又稱作第二類反常積分,無界點常稱鄰域內(nèi)無界,為瑕點(奇點).例如,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束間斷點,而不是反常積分.則本質(zhì)上是常義積分,則定義注意:若瑕點的計算表達式:則也有類似牛–萊公式的若

b為瑕點,則若a為瑕點,則若a,b都為瑕點,則則可相消嗎?機動目錄上頁下頁返回結(jié)束下述解法是否正確:,∴積分收斂例4.

計算反常積分解:

顯然瑕點為

a,所以原式機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.

討論反常積分的收斂性.所以反常積分發(fā)散.解:例6.證明反常積分證:當q=1時,當q<1時收斂;q≥1時發(fā)散.當q≠1時所以當

q<1時,該廣義積分收斂,其值為當

q

≥1

時,該廣義積分發(fā)散.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例7.解：求的無窮間斷點,故I為反常積分.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.反常積分積分區(qū)間無限被積函數(shù)無界常義積分的極限2.兩個重要的反常積分機動目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:(1)

有時通過換元,反常積分和常義積分可以互相轉(zhuǎn)化.例如,(2)當一題同時含兩類反常積分時,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束應劃分積分區(qū)間,分別討論每一區(qū)間上的反常積分.

(3)

有時需考慮主值意義下的反常積分.其定義為P256題1(1),(2),(7),(8)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束常積分收斂.注意:主值意義下反常積分存在不等于一般意義下反思考與練習第五節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束提示:P256題2求其最大值.作業(yè)備用題

試證,并求其值.解:令機動目錄上頁下頁返回結(jié)束機動目錄上頁下頁返回結(jié)束二、無界函數(shù)反常積分的審斂法反常積分無窮限的反常積分無界函數(shù)的反常積分一、無窮限反常積分的審斂法機動目錄上頁下頁返回結(jié)束反常積分的審斂法函數(shù)

一、無窮限反常積分的審斂法定理1.若函數(shù)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束證:根據(jù)極限收斂準則知存在,定理2.

(比較審斂原理)且對充,則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束證:不失一般性,因此單調(diào)遞增有上界函數(shù),機動目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:已知得下列比較審斂法.極限存在,定理3.(比較審斂法1)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.

判別反常積分解:的斂散性.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束由比較審斂法1可知原積分收斂.思考題:討論反常積分的斂散性.提示:當x≥1時,利用可知原積分發(fā)散.定理4.(極限審斂法1)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束則有:1)當2)當證:根據(jù)極限定義,對取定的當x充分大時,必有,即滿足當機動目錄上頁下頁返回結(jié)束可取必有即注意:此極限的大小刻畫了例2.

判別反常積分的斂散性.解:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束根據(jù)極限審斂法1,該積分收斂.例3.判別反常積分的斂散性.

解:根據(jù)極限審斂法1,該積分發(fā)散.定理5.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束證：則而定義.設(shè)反常積分機動目錄上頁下頁返回結(jié)束則稱絕對收斂;則稱條件收斂.例4.判斷反常積分的斂散性.解:根據(jù)比較審斂原理知故由定理5知所給積分收斂(絕對收斂).無界函數(shù)的反常積分可轉(zhuǎn)化為無窮限的反常積分.二、無界函數(shù)反常積分的審斂法機動目錄上頁下頁返回結(jié)束由定義例如因此無窮限反常積分的審斂法完全可平移到無界函數(shù)的反常積分中來.定理6.(比較審斂法2)定理3目錄上頁下頁返回結(jié)束瑕點,有有利用有類似定理3與定理4的如下審斂法.使對一切充分接近a的x(x>a).定理7.(極限審斂法2)定理4目錄上頁下頁返回結(jié)束則有:1)當2)當例5.判別反常積分解:利用洛必達法則得根據(jù)極限審斂法2,所給積分發(fā)散.例6.判定橢圓積分定理4目錄上頁下頁返回結(jié)束的斂散性.解:由于根據(jù)極限審斂法2,橢圓積分收斂.類似定理5,有下列結(jié)論:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例7.

判別反常積分的斂散性.解:稱為絕對收斂.故對充分小從而據(jù)比較審斂法2,所給積分絕對收斂.則反常積分三、函數(shù)1.定義機動目錄上頁下頁返回結(jié)束下面證明這個特殊函數(shù)在內(nèi)收斂.令機動目錄上頁下頁返回結(jié)束綜上所述,2.性質(zhì)(1)遞推公式機動目錄上頁下頁返回結(jié)束證:(分部積分)注意到:(2)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束證:(3)余元公式:(證明略)(4)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束得應用中常見的積分這表明左端的積分可用函數(shù)來計算.例如,內(nèi)容小結(jié)1.兩類反常積分的比較審斂法和極限審斂法.2.若在同一積分式中出現(xiàn)兩類反常積分,習題課目錄上頁下頁返回結(jié)束可通過分項使每一項只含一種類型的反常積分,只有各項都收斂時,才可保證給定的積分收斂.3.函數(shù)的定義及性質(zhì).思考與練習P263題1(1),(2),(6),(7)P264題5(1),(2)作業(yè)P2631(3),(4),(5),(8)2;3習題課一、與定積分概念有關(guān)的問題的解法機動目錄上頁下頁返回結(jié)束二、有關(guān)定積分計算和證明的方法定積分及其相關(guān)問題

一、與定積分概念有關(guān)的問題的解法1.用定積分概念與性質(zhì)求極限2.用定積分性質(zhì)估值3.與變限積分有關(guān)的問題機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.求解:因為時,所以利用夾逼準則得因為依賴于且1)思考例1下列做法對嗎?利用積分中值定理原式不對!機動目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:2)此類問題放大或縮小時一般應保留含參數(shù)的項.如,P265題4解：將數(shù)列適當放大和縮小，以簡化成積分和：已知利用夾逼準則可知(考研98)

例2.求機動目錄上頁下頁返回結(jié)束思考:提示:由上題機動目錄上頁下頁返回結(jié)束故練習:

1.求極限解：原式2.

求極限提示：原式左邊=右邊機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.估計下列積分值解:因為∴即機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.

證明證:令則令得故機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.設(shè)在上是單調(diào)遞減的連續(xù)函數(shù)，試證都有不等式證明：顯然時結(jié)論成立.(用積分中值定理)當時,故所給不等式成立.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束明對于任何例6.解：且由方程確定y是x的函數(shù),求方程兩端對x求導,得令x=1,得再對y求導,得機動目錄上頁下頁返回結(jié)束故例7.求可微函數(shù)f(x)使?jié)M足解:等式兩邊對x求導,得不妨設(shè)f(x)≠0,則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束注意f(0)=0,得機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例8.

求多項式f(x)

使它滿足方程解:

令則代入原方程得兩邊求導:可見f(x)應為二次多項式,設(shè)代入①

式比較同次冪系數(shù),得故①機動目錄上頁下頁返回結(jié)束再求導:二、有關(guān)定積分計算和證明的方法1.熟練運用定積分計算的常用公式和方法2.注意特殊形式定積分的計算3.利用各種積分技巧計算定積分4.有關(guān)定積分命題的證明方法思考:下列作法是否正確?機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例9.

求解:令則原式機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例10.