函數(shù)的對稱性(3種核心題型+基礎保分練+綜合提升練+拓展

沖刺練)

ni【考試提醒】

1.能通過平移，分析得出一般的軸對稱和中心對稱公式和推論2會利用對稱公式解決問題.

1.奇函數(shù)、偶函數(shù)的對稱性⑴奇函數(shù)關于原點對稱,偶函數(shù)關于，軸對稱.

(2)若於一2)是偶函數(shù)，則函數(shù)段)圖象的對稱軸為三二2；若於一2)是奇函數(shù)，則函數(shù)人x)

圖象的對稱中心為(一2,0).

2.若函數(shù)>=/(x)的圖象關于直線對稱，則/(q—x)=/(q+x)；

若函數(shù)〉=/3)滿足八。一%)=~Aa+%)，則函數(shù)的圖象關于點(4,0)對稱.

3.兩個函數(shù)圖象的對稱

(1)函數(shù)y=%)與歹=A—%)關于y軸對稱；

(2)函數(shù)y=/(x)與y=一")關于x軸對稱;

(3)函數(shù)y=/(x)與y=一4一x)關于原點對稱.

區(qū)【核心題型】

題型一軸對稱問題

函數(shù)y=/(x)的圖象關于直線x=a對稱oy(x)=/(2a—x)o/(q—x)=/(q+x);

若函數(shù)歹=/(x)滿足｛a+x)=/(b—x),則N=於)的圖象關于直線成軸對稱.

【例題1】(2024?遼寧?一模)已知函數(shù)/(%+2)為偶函數(shù)，且當了22時，

〃x)=logj/-4x+7),若/⑷>〃6),貝u()

7

A.(a+b-4)(a-b)<0B.(a+b-4)(a-/7)>0

C.(a+6+4)(a—6)<0D.(a+6+4)(a—6)>0

【答案】A

【分析】由題意判斷了(x)的圖象關于直線x=2對稱，結(jié)合當XN2時的函數(shù)解析式，判斷其

單調(diào)性，即可判斷“X)在直線x=2兩側(cè)的增減，從而結(jié)合可得|a-2|<|b-2],

化簡，即得答案.

【詳解】因為函數(shù)/(x+2)為偶函數(shù)，故其圖象關于y軸對稱，則Ax)的圖象關于直線x=2

對稱，

2

當尤22時，/W=logi(x-4x+7)；因為y=/-4x+7在[2,+⑹上單調(diào)遞增且了27,

7

而y=log：在(0,+8)上單調(diào)遞減，故"X)在[2,+8)上單調(diào)遞減，

則/(X)在(-8,2]上單調(diào)遞增，

故由八。)>“6)可得即|0-2「<|6-2「，

則/—4a+4<〃一46+4,故(。+6—4)(。-ft)<0,

故選：A

【變式1】(2024?四川瀘州,二模)定義域為R的函數(shù)〃x)滿足/(尤+2)=/(x-2),當

xe[-2,2]時，函數(shù)〃x)=4_，,設函數(shù)g(x)=e*2(_2<x<6),則方程/(x)-g(x)=0的

所有實數(shù)根之和為()

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

【分析】首先得到/(x)是以4為周期的周期函數(shù)，g(x)關于x=2對稱，在同一平面直角坐

標系中畫出產(chǎn)g(x)與>=/何卜?-2,6])的圖象，數(shù)形結(jié)合判斷函數(shù)的交點，再根據(jù)對稱

性計算可得.

【詳解】因為定義域為R的函數(shù)/(尤)滿足/(尤+2)=〃x-2),即/(尤+4)=/(尤)，

所以/'(x)是以4為周期的周期函數(shù)，

又g(x)=e*N(-2<x<6),則g(4-x)=eTUN=e*』=g(x),

所以g(x)關于x=2對稱，又g(_2)=g(6)=e+2T=5>o,

p(、-\x-2\e'+-,2<x<6

又g(x)=e??*2cc，

e,-2<x<2

又當xe[-2,2]時,函數(shù)〃x)=4_「2,所以/(—2)=/(2)=0,則/(6)=/⑵=0,

令/(x)-g(x)=0,即/(x)=g(x),

在同一平面直角坐標系中畫出了=g(x)與y=/(%)(%e[-2,6])的圖象如下所示：

由圖可得了=g(x)與>=/(祖xe[-2,6])有4個交點，交點橫坐標分別為國,工2/3，匕，

且X]與％4關于％=2對稱，才2與13關于X=2對稱,

所以再+%=4,%3+工2=4,

所以方程/(尤)-g(x)=O的所有實數(shù)根之和為國+%+毛+匕=8.

故選：D

【變式2](2024?陜西安康?模擬預測)已知函數(shù)/(無)=|尤-1|,公差不為。的等差數(shù)列｛%｝的

前〃項和為S..若/(%012)=/(%013)，貝”2024=()

A.1012B.2024C.3036D.4048

【答案】B

【分析】先根據(jù)題中條件得到為□+《33=2,故％+出024=2,結(jié)合等差數(shù)列的前〃項和公

式可得.

【詳解】由題可知函數(shù)/(無)的圖象關于直線尤=1對稱，

因為｛。“｝的公差不為0,所以4012,"1013

又因2)="，3)，所以"現(xiàn)旦=1,

所以?1012+。皿3=2,故S2024=2024("；+囁4)=2024(.32+—3)=2024,

故選：B

【變式3](2024,全國?模擬預測)已知函數(shù)及其導數(shù)/'(x)的定義域為R,記

g(x)=r(x),且〃x),g(x+l)都為奇函數(shù).若〃-5)=2,則/(2023)=()

1

A.0B.——C.2D.-2

2

【答案】C

【分析】根據(jù)g(x)的性質(zhì)結(jié)合導數(shù)運算分析可知/(x)的圖象關于x=l對稱，結(jié)合奇函數(shù)分

析可知/(X)的周期為4,根據(jù)周期性運算求解.

【詳解】因為g(x+l)為奇函數(shù)，則g(l+無)=-g(l-尤)，

即g(l+x)+g(I)=O,可知g(x)=/'(x)的圖象關于點(1,0)對稱,

可得/'(1+無)+C=/(1-無)+C,即/'(1+尤)=/(1一力，

可知〃尤)的圖象關于X=1對稱，則f(x)=f(2-x),

又因為/(“為奇函數(shù)，則/3=-/(-尤)，

可得/(x+4)=x+2)=/(x),可知/(尤)的周期為4,

所以/■(2023)=/(507x4_5)=/(-5)=2.

故選：C.

題型二中心對稱問題

函數(shù)y=/(x)的圖象關于點(q,Z?)對稱分/口+汾+火々-%)=26臺26—y(x)=/(2a—%);若函數(shù)y

pz+bcl

=危)滿足加+x)+/(6—x)=c,則尸於)的圖象關于點2］成中心對稱.

【例題2】(2024?全國?模擬預測)設/(%)是定義域為R的偶函數(shù)，且/(2x+l)為奇函數(shù).若

/I、1/111E/2023)/2023、/、

1155

A.—B.—C.—D.-

6666

【答案】A

【分析】根據(jù)所給函數(shù)性質(zhì)求出函數(shù)周期，利用周期化簡即可得解

【詳解】由/(2x+l)為奇函數(shù)，得〃2x+l)+〃-2x+l)=0,

得了⑺的圖象關于點(1,0)對稱，所以/(x)=-/(2-尤).

又因為是定義域為R的偶函數(shù)，所以/■(x)=-/(2-x)=-/(x-2),

f(x)=-f(x-2)=f(x-4),

所以〃無)的周期為4,

所以

20232023=/l168x4+2+|j+/l252x4+3+11

322

6

故選：A.

【變式l】(2024?全國?模擬預測)定義在R上的偶函數(shù)/(x)滿足〃2-x)=-/(x),則()

A.〃x）=/（2+x）B.f（-x）=f（2-x）

C./(x)=/(4-x)D.f(x-2)是奇函數(shù)

【答案】C

【分析】根據(jù)題中條件，可知/(魯)—(f)J(2+x)=-/(—),故A、B錯誤;

對于C,令x=x+2,可得/(4+尤)=/(尤)，繼而/'(4-x)=/(無)，C正確；對于D,/(x-2)

的圖象可由“X)的圖象平移得到，從而得到了(尤-2)的對稱中心，即可判斷D.

【詳解】因為〃2-x)=-〃x),為偶函數(shù),

所以「(2-x)=-/(-x),/(2+x)=-/(-x)=-/(x),

所以A、B錯誤；

因為〃尤)是偶函數(shù)，所以〃2+x)=-/(x),

所以/(4+X)=-/(X+2)=/(X),

而/(4一尤)=/(r)=/(x),所以C正確;

因為/(2-尤)=-/(力,

所以/'(x)的圖象關于(1,0)中心對稱，

的圖象可由/'(X)的圖象向右平移2個單位長度得到，

則的圖象關于(3,0)對稱，不是奇函數(shù)，所以D錯誤.

故選：C.

【變式2】(2024?四川南充,二模)已知函數(shù)/("=?則函數(shù)y=/(x-l)+l的圖象()

A.關于點(1,1)對稱B.關于點對稱

C.關于點(-1,0)對稱D.關于點(1,0)對稱

【答案】A

【分析】首先判斷函數(shù)/(x)=；為奇函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)平移規(guī)則判斷即可.

【詳解】函數(shù)/(x)=:的定義域為{x|xw0},又/(_x)=—=_/(x),

所以/(x)=B為奇函數(shù)，則函數(shù)“X)的圖象關于原點(0,0)對稱，

又y=y(x-l)+l的圖象是由/(x)=j的圖象向右平移1個單位，再向上平移1個單位得到，

所以函數(shù)y=/(x-i)+i的圖象關于點(1,1)對稱.

故選：A

【變式3](23-24高三下?江蘇揚州?開學考試)定義在R上的函數(shù)了=/(x)和y=g(x)的圖象

關于〉軸對稱，且函數(shù)y=/(尤-2)+1是奇函數(shù)，則函數(shù)＞=g(x)圖象的對稱中心為()

A.(2,1)B.(-2,-1)C.(-2,1)D.(2,-1)

【答案】D

【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合函數(shù)的對稱性求解即可.

【詳解】由題意得函數(shù)＞=/。-2)+1是奇函數(shù)，則，=f(x)關于(-2,-1)對稱，

另知函數(shù)了=/(尤)和y=g(x)的圖象關于J軸對稱，故＞=g(x)關于(2,-1)對稱，

故選：D

題型三兩個函數(shù)圖象的對稱

函數(shù)y=/(a+x)的圖象與函數(shù)x)的圖象關于直線x=\￡對稱.

【例題3】(2024上?北京?高二統(tǒng)考學業(yè)考試)在同一坐標系中，函數(shù)7=/(x)與y=-f(x)

的圖象()

A.關于原點對稱B.關于x軸對稱

c.關于y軸對稱D.關于直線y=x對稱

【答案】B

【分析】根據(jù)函數(shù)上點的關系即可得函數(shù)圖象的關系.

【詳解】當x=。時，＞與了=-/伍)互為相反數(shù)，

即函數(shù)＞=/(x)與了=-/(x)的圖象關于x軸對稱.

故選：B.

【變式1】(2024下?江蘇揚州?高三統(tǒng)考開學考試)定義在R上的函數(shù)了=/(尤)和V=g(x)的

圖象關于V軸對稱，且函數(shù)＞=/。-2)+1是奇函數(shù)，貝！|函數(shù)y=g(x)圖象的對稱中心為()

A.(2,1)B.(-2,-1)C.(-2,1)D.(2,-1)

【答案】D

【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合函數(shù)的對稱性求解即可.

【詳解】由題意得函數(shù)y=/(x-2)+l是奇函數(shù)，則了=/(x)關于對稱，

另知函數(shù)y=和＞=g(x)的圖象關于y軸對稱，故y=g(尤)關于(2,-1)對稱，

故選：D

【變式2](2020上?安徽?高一校聯(lián)考期末)已知函數(shù)y=/(x-l)是定義在R上的奇函數(shù)，

函數(shù)y=g(x)的圖象與函數(shù)了=/(尤)的圖象關于直線x-y=o對稱，那么y=g(x)的對稱中

心為()

A.(1,0)B.(-1,0)C.(0,1)D.(0,-1)

【答案】D

【解析】由奇函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)圖象的平移變換法則得出函數(shù)了=/(x)的圖象關于(-1,0)

對稱

再根據(jù)函數(shù)V=g(x)的圖象與函數(shù)了=〃x)的圖象關于直線=0對稱，求出函數(shù)

y=g(x)的對稱中心.

【詳解】函數(shù)＞=/(無-1)是定義在R上的奇函數(shù)，則其圖象關于原點對稱

由于函數(shù)＞=的圖象向左平移一個單位得到函數(shù)y=/(x)的圖象

則函數(shù)y=/(%)的圖象關于(-1,0)對稱

又因為函數(shù)y=g(x)的圖象與函數(shù)y=的圖象關于直線x-y=0對稱

所以函數(shù)＞=g(x)的圖象關于(0,-1)對稱

故選：D

【點睛】本題主要考查了奇函數(shù)圖象的對稱性、函數(shù)圖象的平移變換以及反函數(shù)圖象的關系，

屬于中檔題.

【變式3](2024高三?全國?專題練習)若函數(shù)尸加)的定義域為R,則函數(shù)y=/U—1)與丁

=/(l—x)的圖象關于直線()

A.x=0對稱B.y=0對稱C.x=1對稱D.y=l對稱

【答案】C

【詳解】因為函數(shù)/(X—1)的圖象是7U)的圖象向右平移1個單位長度得到，

—1))的圖象是大一x)的圖象也向右平移1個單位長度得到；因為7U)與大-x)的圖象是關于y

軸(直線x=0)對稱，所以函數(shù)y=/(x—1)與y=/(l—x)的圖象關于直線x=l對稱.故選C.

B【課后強化】

基礎保分練

一、單選題

1.(23-24高三上?寧夏銀川?階段練習)函數(shù)了=/(x)滿足對任意xeR都有/(x+2)=〃-x)

成立，函數(shù)y=/(x-l)的圖象關于點(1,0)對稱，且/'(1)=4,貝IJ

/(2018)+/(2019)+/(2020)=()

A.-4B.0C.4D.8

【答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性及周期性，逐步轉(zhuǎn)化計算，即可得到本題答案.

【詳解】因為函數(shù)了=/(x-l)的圖象關于點(L0)對稱，

所以函數(shù)了=〃尤)的圖象關于(0,0)對稱，即y=〃x)為R上奇函數(shù)，

所以〃-x)=-/(x),且以0)=0,

又因為2)=f(-x)=-f(x),所以/(x+4)=-f(x+2),

所以〃x+4)=/(x),則y=/(x)的周期為4,

因為/(x+2)=/(-x),令x=0得，/(2)=/(0)=0

所以，/(2018)+/(2019)+/(2020>/(2)+/(3)+/(4)

=/(0)+/(-l)+/(0)=-/(D=-4.

故選：A

2.(2023?寧夏銀川?模擬預測)已知函數(shù)〃x)=x3+辦2+x+b的圖象關于點(],1)對稱，貝同=

()

A.-1B.1C.-2D.2

【答案】D

【分析】根據(jù)對稱性可得/(x)+/(2-x)=2,由此可構(gòu)造方程求得結(jié)果.

【詳解】?."(x)圖象關于點(1,1)對稱，??J(x)+/(2-x)=2,

又/(2-x)=(2-x)3+a(^2-x)2+(2一勾+b

——%'+(〃+6)x?—(4a+13)x+10+4(2+b,

/.f(x)+f(2-x)=伽+6,2_伽+12卜+10+4。+2/?=2,

2。+6=0

.,.<4。+12=0,解得：a=—3,b=2.

10+4。+2Z)=2

故選：D.

:；=2"：一1，則〃力的圖象關于(

3.(23-24高三上?全國?開學考試)已知函數(shù)/'(x)=)

/—Z,X>—1,

A.點(1,-2)對稱B.點卜1,2)對稱C.直線x=l對稱D.直線尤=-1對稱

【答案】B

【分析】根據(jù)g(x)是奇函數(shù)，可得g(x)關于原點對稱，進而根據(jù)〃x)=g(x+l)+2即可根

據(jù)平移求解.

【詳解】因為g(x)=/(x-l)-2=］；；x<?

由于g(x)的定義域關于原點對稱，且g(-x)=-g(x),所以g(x)是奇函數(shù)，

所以/(x)=g(x+l)+2的圖象關于點(-1,2)對稱.

故選：B.

4.(2023?云南?模擬預測)已知函數(shù)/(X),g(x)的定義域均為R,/(x+l)+/(x-l)=2,

g(x+2)是偶函數(shù)，且〃x)+g(2+x)=4,g(2)=2,貝l]()

A.關于直線x=l對稱B.〃x)關于點。,0)中心對稱

15

C.7(2023)=1D.(4)=15

k=l

【答案】c

【分析】對于A,由g(x+2)是偶函數(shù)，且/■(x)+g(2+x)=4,可得為偶函數(shù)，可求

得其對稱軸，對于B,再結(jié)合〃x+l)+/(x-l)=2,可得〃x)關于點(1,1)中心對稱，對于

CD,由前面的計算可得的周期為4,然后根據(jù)已知條件求出〃0)J⑴J(2)J(3),從

而可判斷.

【詳解】對于A,?；g(x+2)是偶函數(shù)，...g(2-x)=g(2+x),

又〃x)+g(2+x)=4,/(-x)+g(2-x)=4,

；"(f)=/(x),，/⑴是偶函數(shù)，.?./(X)關于直線x=0對稱，所以A錯誤，

對于B,：/(x+2)+/(x)=2,.?./(x+2)+/(-x)=2,.../(x)關于點(1,1)中心對稱，所以B

錯誤，

對于CD,又f(-x+2)+/(-x)=2,Af(-x+2)=f(x+2),即f(x+4)=f(x),：.4是/(%)的

一個周期；

令x=0,可得〃0)+g⑵=4,

???/(0)=2,〃2)=0,又/(I)=1,/(3)=1,

A/(2023)=/(4x505+3)=/(3)=1,

15

Ef(k)=4x3+/(l)+/(2)+/(3)=12+2=14,

k=l

所以C正確，D錯誤，

故選：C.

5.(2023?甘肅張掖?模擬預測)已知函數(shù)〃x)的定義域為R,7(x-l)的圖象關于點(1,0)對

稱，/(3)=0,且對任意的再,x,e(-甩0),西片馬，滿足"")一"%)〈任則不等式

x2一再

(x-l)/(x+l”0的解集為()

A.(-8532,+8)B.[-4,-l]o[0,l]

C.[-4,-l]u[l,2]D.[-4,-l]o[2,+^)

【答案】C

【分析】首先根據(jù)/(x-l)的圖象關于點(1,0)對稱，得出(x)是定義在R上的奇函數(shù)，由對任

意的多,馬€(-鞏0),x尸迎，滿足＜0,得出/⑴在(-8,0)上單調(diào)遞減，然

后根據(jù)奇函數(shù)的對稱性和單調(diào)性的性質(zhì)，求解即可.

【詳解】???/(X-1)的圖象關于點(1,0)對稱，.??/(尤)的圖象關于點(0,0)對稱，，/(x)是定義

在我上的奇函數(shù)，

:對任意的毛，x2e(-?,0),x尸％，滿足<0，；J(x)在(-叫。)上單調(diào)遞減，

所以〃x)在(0,+?)上也單調(diào)遞減，

又〃3)=0所以/(-3)=0,且/(0)=0,

所以當xe(-8,-3)5。,3)時，/(x)>0；當尤e(-3,0)u(3,+s)時，/(x)<0,

、八/\__

所以由(z1)/(川"°可得Ifx—1-<0,或f.x—1+>01,43或1"

解得-4-1或14x42,即不等式(x-l"(x+l”0的解集為［-4,-1卜［1,2］.

故選：C.

二、多選題

6.(2024?全國?二模)己知/(尤)是定義在R上不恒為0的函數(shù)，/(尤-1)的圖象關于直線尤=1

對稱，且函數(shù)>=」二的圖象的對稱中心也是/(x)圖象的一個對稱中心，則()

A.點(-2,0)是〃x)的圖象的一個對稱中心

B.“X)為周期函數(shù)，且4是/")的一個周期

C./(4-)為偶函數(shù)

D./(31)+/(35)=2

【答案】AC

【分析】根據(jù)給定條件，借助平移變換分析函數(shù)/(x)的性質(zhì)，再逐項推理判斷得解.

【詳解】由/。-1)的圖象關于直線尤=1對稱，得函數(shù)/(x)關于夕對稱，即/*)為偶函數(shù)，

/(-無)=/(x),

顯然函數(shù)>=工圖象的對稱中心為原點，則函數(shù)了=」二的圖象的對稱中心為(2,0),即

Xx-2

/(2+x)+/(2-x)=0,

對于A,/2+x)+/(-2-x)=/(2-x)+/(2+x)=0,則(-2,0)是/(%)圖象的一個對稱中心，

A正確；

對于B,由/(2+x)+/(2-x)=0,#/(4+x)+/(-x)=0,即/(x+4)=-/(x),

/(x+8)=-/(x+4)=/(x),〃x)是周期函數(shù)，8是該函數(shù)的一個周期，

若4是〃x)的一個周期，則〃x+4)=/(x),而/(x+4)=-/(，),從而是x)=0與已知矛盾,

B錯誤；

對于C/(4-x)=/[-8+(4-x)]=/(-4-x)=/(4+x),因此/(4-x)為偶函數(shù),C正確；

對于D,由〃2+x)+/(2_x)=0,得/(3)+/⑴=0,

則/(31)+/(35)=/(8x4-l)+/(8x4+3)=/(-1)+/(3)=/(1)+"3)=0,D錯誤.

故選：AC

7.(2024?江蘇南通二模)已知函數(shù)“X),g(x)的定義域均為R,7(x)的圖象關于點(2,0)

對稱，g(0)=g(2)=l,g(x+y)+g(x-y)=g(x)f(y),則()

A./(x)為偶函數(shù)B.g(x)為偶函數(shù)C.g(-l-x)=-g(-l+x)

D.g(l-x)=g(l+x)

【答案】ACD

【分析】由賦值法，函數(shù)奇偶性，對稱性對選項一一判斷即可得出答案.

【詳解】令>=->,!iBJg(x-y)+g(x+y)=g(x)/(-y),注意到g(x)不恒為o,

故/(力=/(-力,故A正確；

因為/"⑺的圖象關于點(2,0)對稱，所以/(2)=0,

令x=0/=2,得g(2)+g(-2)=g(0)/(2)=0,

故g(-2)=-lWg(2),故B錯誤；

令X=y=-1，得g(-2)+g(0)=g(-l)/(-l)=o,

令x=y=l,得g(2)+g(0)=g(l)/⑴=2,故g(l)J⑴片0,

從而〃T)wO,故g(T)=O,

令x=-l,得g(-l+y)+g(-l-y)=0,化簡得g(-l-y)=—g(T+y),故C正確；

令V=2,得g(尤+2)+g(x-2)=0,而8(1-幻=一8(》-3)=8。+力，故D正確.

故選：ACD.

【點睛】方法點睛：抽象函數(shù)的對稱性常有以下結(jié)論

(1)/卜+/=/(6-尤)=/卜)關于》=苫^軸對稱,

(2)/(x+a)+/(b-x)=2c=/(x)關于中心對稱，

三、填空題

8.(2024?寧夏銀川?一模)已知偶函數(shù)/'(x)的圖象關于直線x=2對稱，/(2)=2,且對任意

士,馬?0』，均有〃XI+X2)=〃xj+/(X2)成立，若/⑺+++…

對任意?eN,恒成立，則t的最小值為.

【答案】5

【分析】先得到函數(shù)的周期，賦值法得到"1)=1,/(；]=；，/1,=：，從而得到

"7)=1,4￡[=；,進而得到當“22時，=f，從而利用求和得到

++…+/1)=5-金7，從而得到，的最小值.

【詳解】因為函數(shù)/(x)的圖象關于直線x=0和x=2對稱,

所以〃x)=〃4-x)=〃x-4),所以其周期7=4,

/(X1+X2)=/(XJ+/(X2)中，令%=X2=1得，/(2)=2/(1),

又〃2)=2,解得"1)=1,同理可得了

所以/■⑺=，(3)=〃1)=1J

7

4

d畀W同。解得

依次類推，可得當“22時，/三〕=二，

7__7_

所以+…+/(向=1+4^^=5-?，

2

又/⑺++-+</對任意〃eN*恒成立，故障5.

故答案為：5.

【點睛】關鍵點點睛：關鍵是得到/(7)=l,/[g)=g,以及由此即可順利得

解.

9.(23-24高三下?河南濮陽?開學考試)已知函數(shù)/(x)的定義域為R,且/'(4x+l)的圖象關

100

于點（0,2）中心對稱，若/（2+x）-/（2-x）+4x=0,則.

Z=1

【答案】-9700

【分析】先根據(jù)條件證明/。+力+/（1-力=4,然后由I（2+x）-/（2-x）+4x=。證明

/（?-2）+/（?）=12-4?,再由此證明/（4〃―3）+/（4〃-2）+/（4.—1）+/（4〃）=28—32”,

10025

最后由￡/（，）=3（/（4-3）+/任_2）+/（4_1）+/依））得到結(jié)果.

i=li=\

【詳解】對任意xeR,由于4x+lcR,且函數(shù)〃x）的定義域為R,

故點（xj（4x+l））在曲線＞=/（4無+1）上，且曲線y=/（4x+l）關于點（0,2）中心對稱，

故點（r,4一〃4x+l））也在曲線y=/（4x+l）上，從而4一7'（4x+l）=/（-4x+l）,

從而對任意xeR有〃l+4x）+/（l-4x）=4.

從而對任意xeR,由:eR知"1+4.；|+/11_4.|=4,即/（l+x）+/（l-x）=4.

根據(jù)條件又有/（2+力-/（2—尤）+4尤=。,即/（2+x）-/（2-x）=-4x.

現(xiàn)在對任意的整數(shù)〃，我們有：

/（M）=/（2+（M-2））

=/（2-（H-2））-4（?-2）

=/（4-M）+8-4K

=/（1+（3-H））+8-4H

=4-/（1-（3-M））+8-4M

=-/（?-2）+12-4H,

所以/（〃-2）+/（〃）=12-4〃,從而有：

/（4?-3）+/（4W-2）+/（4M-1）+/（4H）

=（/（4n-3）+/（4/7-l））+（/（4n-2）+/（4n））

=12-4（4M-1）+12-4（4H）

=28-32”.

故有：

100

^/(z)=/(l)+/(2)+...+/(100)

Z=1

=(7(l)+/(2)+/(3)+/(4))+(/(+X+仆)+…+X9)+/9>+f9>+f嘲

25

=^(/(4/-3)+/(4Z-2)+/(4/-l)+/(4z))

1=1

25

=[(28-32i)

Z=1

25

=2825-32〉

=28-25-32-1-(l+25)-25

=-9700.

故答案為：-9700.

【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是對函數(shù)方程的處理，通過其中x取值的任意性，代入合

適的值得到關鍵條件.

四、解答題

10.(2024高三?全國?專題練習)下列函數(shù)是否存在對稱軸或?qū)ΨQ中心？

、x2+x+l

(1W)=-------；

X

(2\f(x)=(ex—ex)2；

4

(3)f(x)=2x+—.

【答案】⑴存在對稱中心

⑵存在對稱軸

⑶存在對稱軸

【詳解】(1)加)=。'l=x+l+l,/(X)的圖象關于點(0,1)中心對稱.

r/

(2)因為/(x)=(ex—5滿足力一萬/回，所以7(x)的圖象關于夕軸對稱.

(3)因為/W=2x+：滿足/(I—x)=/(l+x),所以/W的圖象關于直線x=l對稱.

【考查意圖】函數(shù)對稱性的判斷.

11.(2024?湖南?二模)已函數(shù)=+6X+C(Q/,C￡R),其圖象的對稱中心為(1,-2).

⑴求a-6-c的值；

⑵判斷函數(shù)/(%)的零點個數(shù).

【答案】⑴-3

（2）答案見解析

【分析】（1）由/（x）的圖象關于（L-2）對稱，得到/（》+1）+〃一尤+1）=一4,列出方程組即

可求解；

（2）由⑴得到函數(shù)/（x）的解析式，求出了'（x）,利用A判斷，'（x）=0根的情況,,分類討

論確定零點的個數(shù).

【詳解】（1）因為函數(shù)f（x）的圖象關于點（L-2）中心對稱，故了=/（x+l）+2為奇函數(shù)，

從而有/(x+l)+2+f(―x+l)+2=0,即/'(尤+1)+/(—x+1)=—4,

/(尤+1)=(x+1)，+a(x+1)~+6(X+1)+C=X3+(0+3)丫2+(2a+b+3)x+a+6+c+l,

/(1—尤)=(1—+a(l—x)~+b(l—x)+c=—尤3+(a+3)x?—(2a+6+3)尤+a+b+c+l,

2。+6=0a=-3

所以2a+26+2c+2=Y'解得

b+c=O'

所以。-6-。=-3；

(2)由(1)可知，f(^x^=x3—3x2—cx+c,f'[^x^=3x2—6x—c,A=36+12c>

①當c4-3時，A=36+12c<0,/'(x"0,所以/(可在R上單調(diào)遞增，

/⑴=一2<0,［（3）=27-3x9-3c+c=—2c>0,

，函數(shù)/（無）有且僅有一個零點；

②當一3<c<0時，玉+%2=2>0,Xj-x2=->0,

，/'（x）=0有兩個正根，不妨設再<馬，則3才-6再-c=0,

?二函數(shù)/⑴在項）單調(diào)遞增，在（再/2）上單調(diào)遞減，在（％，+。）上單調(diào)遞增，

,/=_（七一1）（3%；—6%）=（%；—3項+3）<0,f（3）=-2c>0,

二?函數(shù)/(x)有且僅有一個零點；

③當c=0時，/(x)=x3-3x2,

令/(x)=—3x2=0,解得x=0或％=3,

，/（x）有兩個零點；

④當c>0時，X,+x2-2,X1-x2=-1-<0,

（x）=0有一個正根和一個負根，不妨設X]<0<尤2,

二函數(shù)/（無）在（-8,項）上單調(diào)遞增，在（尤1戶2）上單調(diào)遞減，在（尤2,+8）上單調(diào)遞增，

???/（玉）>/（0）=c>0,/（x2）</（1）=-2<0,

???函數(shù)無）有且僅有三個零點；

綜上，當c>0時，函數(shù)/（x）有三個零點；

當c=0時，函數(shù)/（無）有兩個零點；

當c<0時，函數(shù)/（X）有一個零點.

丫+7

12.（2024高三下?浙江杭州?專題練習）已知函數(shù)/■（%）=--關于點（一口）中心對稱.

x+a

⑴求函數(shù)/（x）的解析式；

（2）討論8（尤）=》（/卜））2在區(qū)間（0,+3）上的單調(diào)性；

（3）設％=1,/+產(chǎn)/（%）,證明：2"-2|21n??-ln7|<l.

【答案】⑴/（%）=%Y+7

x+1

⑵答案見解析

⑶證明見解析

【分析】（1）由中心對稱函數(shù)的性質(zhì)得出即可；

（2）利用導數(shù)分析其單調(diào)性即可；

（3）將要證明的不等式利用對數(shù)運算變形為In與〈白，再用數(shù)學歸納法結(jié)合（2）證明

即可.

【詳解】（1）因為函數(shù)〃關于點（一口）中心對稱，

x+a

所以/'（-1一x）+/（-l+x）=2,即T-：+7+；+X+7=2,

a—1—x—1+x+a

48

取x=2,可得----H----7=2,解得Q=]或Q=7（舍去），

。-3a+\

所以“=1,〃x)=*.

(2)因為g(x)=x(/(x)/，x>0,

所以53=段+2-.><

因為x+7>0,(x+iy>0,(x-2『+323,所以g'(x)>0恒成立,

所以g(x)=x(/(x))2在區(qū)間(O,+s)上單調(diào)遞增.

〃?

(3)證明：要證2"321na.一ln7|<l,即證In,<產(chǎn),

當〃=1時，In。<白nln<=ln7<lnS=2,成立,

即證In凈<J,即證M9<(In亨，

2

由題意得為＞0,則即證歷胡＜

%+7

因為％=1'?！?1=f(%)~

。〃+1

%+1%+1

由%＞0,即〃〃一J7與%異號,

當知〉J7,0<a<V7,即證InJ-vln今,7an

n+i即證不(3'

a

n+iW

即證即證＞7近,

U+?J

由(2)可知，當%>0,g(%)>g(")=7"成立.

22

當an+\〉0<4〃<手，即證In—<In----,即證—<---,

7%74

即證。/3＜7不，即證＜7近，

U+?J

由(2)可知，當0＜%＜不心(。,)＜8(")=7"成立

綜上，得證.

【點睛】關鍵點點睛：(1)若函數(shù)/(X)滿足/(m-x)+/(m+x)=①,則對稱中心為(加,〃)；

(2)判斷符合函數(shù)的單調(diào)性時，常用導數(shù)判斷；

(3)證明數(shù)列不等式，可用數(shù)學歸納法證明，分別取當”=1時的特例和的一般情況證

明.

綜合提升練

一、單選題

1.(2024?云南昆明?一模)已知函數(shù)/(x)=e'+e2r,則下列說法正確的是()

A.1(X)為增函數(shù)B.1(X)有兩個零點

C./(X)的最大值為2eD.y=/(x)的圖象關于x=l對稱

【答案】D

【分析】利用導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合選項依次計算，即可求解.

【詳解】A：/V)=ex-e2-\令/'(x)=0,得x=l,

當x<1時，f\x)<0,當x>1時，f'(x)>0,

所以函數(shù)"X)在(--1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，故A錯誤；

B：由選項A知，函數(shù)/(X)在(-8,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

且/(l)=2e>0,所以函數(shù)〃X)在R上沒有零點，故B錯誤；

C：由選項A知，函數(shù)/(X)在(-8,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以/(x)1mn=〃l)=2e，即函數(shù)f(x)的最小值為2e，故C錯誤；

D:f(2-x)=e2~x+ex=f(x),所以函數(shù)/(x)圖象關于直線x=1對稱，故D正確.

故選：D

2.(2024?河南新鄉(xiāng)?二模)已知函數(shù)/(x)滿足/'(x+y+l)=/(尤)+/(了)，則下列結(jié)論一定

正確的是()

A.f(x)+l是奇函數(shù)B./(尤-1)是奇函數(shù)

C.〃x)-l是奇函數(shù)D./(x+1)是奇函數(shù)

【答案】B

【分析】利用賦值法推得/(刈+/(-2-x)=0,從而得到/(x)的對稱性，再利用函數(shù)圖象平

移的性質(zhì)可判斷B,舉反例排除ACD,由此得解.

【詳解】因為〃x+y+l)=〃x)+/(y),

令x=y=_l,可得47)=/(T)+/(_1),貝|J〃_1)=O；

令y=-2-x,則〃-l)=/(x)+〃-2-x)=0,

故/⑴的圖象關于點(-1,0)對稱，

則/'(x-1)的圖象關于點(0,0)對稱,即/'(x-1)是奇函數(shù),故B正確；

對于C,令無=了=0,可得〃1)=〃0)+/(0),則〃0)=g/⑴，

當/(1)N2時，/(0)-1^0,此時了(切-1不可能是奇函數(shù)，

由于無法確定了⑴的值，故“X)-1不一定是奇函數(shù)，故C錯誤；

對于AD,取/(x)=x+l,滿足題意，但易知D錯誤；

故選：B.

3.(2024高三?全國?專題練習)已知函數(shù)/(x)=」\,g(x)=ex-1-e-x+1+l,則/(x)與g(x)

的圖象交點的縱坐標之和為()

A.4B.2C.1D.0

【答案】B

【分析】分別判斷函數(shù)［(X)與g(x)的對稱性與單調(diào)性，進而求解即可.

【詳解】因為函數(shù)〃(x)=g為奇函數(shù)，其圖象關于點(0,0)對稱，且P(x)在(-雙。)，(0,+e)

上單調(diào)遞減，

而“可=六=—^=I+T4=P(I)+I，

所以/(X)的圖象關于點(1,1)對稱，且/(尤)在(-8,1),(1,+8)上單調(diào)遞減.

因為函數(shù)q(x)=e*-eT為奇函數(shù)，其圖象關于點(0,0)對稱，且為R上的增函數(shù)，

所以g(x)=q(xT)+l的圖象關于點(U)對稱，且為R上的增函數(shù).

從而「(X)與g(x)的圖象有兩個關于點(U)對稱的交點，故兩交點的縱坐標之和為2.

故選：B.

4.(2024?全國?模擬預測)若定義在R上的函數(shù)“X)滿足/(W)=〃x),且

/（2+x）+/（2-x）=6,/（3）=6,則下列結(jié)論錯誤的是（）

A./（8+x）=/（x）B.〃x）的圖象關于直線x=4對稱

C."201）=3D.>=/（x+2）-3是奇函數(shù)

【答案】C

【分析】本題考查抽象函數(shù)的圖象與性質(zhì)內(nèi)容，根據(jù)已有條件/（|x|）=/（x）和

/（2+x）+/（2-x）=6,/（3）=6,以及x的任意性結(jié)合函數(shù)奇偶性和周期性概念、對稱性的

判定知識去進行轉(zhuǎn)化推理即可.

【詳解】由/（|x|）=/（x）n/（-x）=/（x）,所以〃2-x）=/（x-2）

X/（2+x）+/（2-x）=6,所以〃4+x）+/（x）=6,且〃8+x）+44+x）=6,

所以/（8+x）=/（x）,故A正確

由A可得，/（8+x）=/（-x）,所以的圖象關于直線x=4對稱，故B正確

由A可得，是周期為8的函數(shù)，/（201）=/（1）,

又由〃2+x）+〃2-x）=6,"3）=6,得/⑶+/⑴=6,所以〃201）=/⑴=0,故c錯

誤

對于D,由/（2+x）+〃2-x）=6nf（x）的圖象關于點（2,3）對稱,

所以y=/（x+2）-3的圖象關于原點對稱，故D正確，

故選：C.

5.（23-24高三下?山東荷澤?階段練習）已知函數(shù)/（x）定義域為R,且

/（2+x）-/（2-x）=-4x,/（1+3尤）關于（0,2）對稱，則/（2025）=（）

A.-4046B.4046C.1D.0

【答案】A

【詳解】令g（x）=/（x）+2x,通過條件得到g（x）的對稱性，進而得到其周期，再通過賦值

求出g⑴，進而通過7（2025）=g（2025）-2x2025計算求解即可.

【解答】由題設條件得/（2+x）+2（2+x）=/（2-x）+2（2-x）,

令g（x）=/（無）+2x,有g（2+x）=g（2-尤）,

則g（無）的圖象關于直線x=2對稱，

因為〃l-3x）+/（l+3無）=4,有/（l-3x）+2（l-3x）+/（l+3x）+2（l+3x）=8,即

g（l-3x）+g（l+3x）=8,

則g（x）的圖象關于（1,4）對稱?

所以g（x）+g（2-x）=8,又g（2+x）=g（2-x）,

所以g（x）+g（2+x）=8,