利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)（3種核心題型+基礎(chǔ)保分練

+綜合提升練+拓展沖刺練）

D1【考試提醒】

函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題在高考中占有很重要的地位，主要涉及判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)或范圍.高考?？?/p>

查三次函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，以及函數(shù)零點(diǎn)與其他知識(shí)的交匯問(wèn)題,一般作為解答題

的壓軸題出現(xiàn)

￡3【核心題型】

題型一利用函數(shù)性質(zhì)研究函數(shù)的零點(diǎn)

利用函數(shù)性質(zhì)研究函數(shù)的零點(diǎn)，主要是根據(jù)函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、最值或極值的符號(hào)確定函

數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，此類(lèi)問(wèn)題在求解過(guò)程中可以通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方法確定函數(shù)存在零點(diǎn)的條件.

【例題1】（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)[（x）=e，-尤+。-2有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值

范圍是（）

A.（-oo,l]B.（-oo,0]C.D.（-co,l）

【答案】D

【分析】將零點(diǎn)問(wèn)題切換成函數(shù)圖像交點(diǎn)，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及參數(shù)的取值范圍.

【詳解】法—設(shè)g（x）=e-x,則函數(shù)〃尤）有兩個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（x）=e=x的圖像與

直線V=2-。有兩個(gè)交點(diǎn)，

因?yàn)間'（x）=e*-l,當(dāng)x<0時(shí)，g'（x）<0；當(dāng)x>0時(shí),g'（尤）>0,

所以g（x）在區(qū)間（-叫0）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞增，則g（x"g⑼=e°-0=1,

當(dāng)xfYo時(shí)，g（x）->+8；當(dāng)xf+oo時(shí)，g（x）->+8,貝！j2-a>l,解得a<1,即實(shí)數(shù)。

的取值范圍是（一叫1）.

法二：函數(shù)/（無(wú)）=1-尤+”2有兩個(gè)零點(diǎn)可轉(zhuǎn)化為函數(shù)/心）=砂的圖像與直線y=x+2-a

有兩個(gè)交點(diǎn).

因?yàn)楹瘮?shù)的圖像與y軸交于點(diǎn)（0,1）,且函數(shù)力⑺在點(diǎn)（0,1）處的切線方程為y=x+l,

所以直線>=x+2-a與該切線平行，且該直線V=x+2-a與了軸交于點(diǎn)（0,2-fl）,

所以點(diǎn)（0,2-a）在點(diǎn)（0,1）上方，即解得a<l,即實(shí)數(shù)。的取值范圍是（-叫1）.

故選：D

【變式1］(2024?陜西西安?一模)若不等式xe，-x+a21wr-2恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍

為.

【答案】［T+s)

【分析】函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題與隱零點(diǎn)問(wèn)題.構(gòu)造函數(shù)/(x)=lnx-2-xe*+無(wú)，求導(dǎo)后再次

構(gòu)造函數(shù)g(x)=l-xe)求導(dǎo)分析g(x)的單調(diào)性，找到隱零點(diǎn)七,并得到廿。=,，然后再

xo

分析“X)的單調(diào)性，找到最大值〃%),最后再結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算求出函數(shù)“X)的最大值即

可.

【詳解】不等式移項(xiàng)可得a2brc-2-xe'+x,

T

設(shè)/(x)=lnx—2—xeX+x,x〉0則/'(x)=-(e+AET)+1+-=(x+1)上至,x>0,

設(shè)g(無(wú))=1-疣"戶(hù)>0,貝!]g'(x)=-(e*+xe*)<0恒成立,

所以函數(shù)g(x)在(0,+為上單調(diào)遞減,

因?yàn)間(o)=1-0=1,g(l)=l-e<0,

所以亂使得g(Xo)=Onl-Xoe*。=0ne%①

所以g(無(wú))在(o,%)上單調(diào)遞增，在(％,+(?)上單調(diào)遞減，最大值為g(無(wú))111ax=g(xo),

所以當(dāng)0<x<x。時(shí)，/%)>0,〃x)在(0,x0)上單調(diào)遞增；

當(dāng)x>x0時(shí)，f'［x)<0,7(x)在(％,+00)上單調(diào)遞減；

+/+lnXo-2,代入①可得〃x)max=-/.；+尤0+1$-2=-3,

X0C

所以a2-3,所以實(shí)數(shù)。的取值范圍為［-3,+8),

故答案為：［T+8).

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：

(1)證明帶參數(shù)的不等式恒成立問(wèn)題時(shí)可采用分離參數(shù)法，再構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)

的最值情況，如一次構(gòu)造不容易看出單調(diào)性可二次構(gòu)造再求導(dǎo)；

(2)對(duì)于隱零點(diǎn)問(wèn)題，可求導(dǎo)后分析特殊值找到隱零點(diǎn)的大概區(qū)間，再以隱零點(diǎn)為邊界分

析函數(shù)的單調(diào)性

【變式2](2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=工2一(2+a)x+alnx,tzeR.

⑴討論了(%)的單調(diào)性;

(2)設(shè)g(x)=-----f(x)+x2-(a+l)x-2a+(a-l)lnx，若g(x)存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)，x,

x2

且王<9?

(i)證明:2。>e+1；

4/—2?！?

(ii)證明:-x<--------------

2a-l

【答案】⑴答案見(jiàn)解析

(2)(i)證明見(jiàn)解析；(ii)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)先確定定義域，求出導(dǎo)函數(shù)并進(jìn)行通分和因式分解后根據(jù)開(kāi)口方向、根的大小

關(guān)系、根與定義域的位置關(guān)系等信息進(jìn)行分類(lèi)討論得出導(dǎo)數(shù)正負(fù)情況，從而得出函數(shù)的單調(diào)

性.

(2)考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，(i)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值情況，確保函數(shù)

零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2即可證明2a>e+l；(ii)根據(jù)零點(diǎn)的分布和大小情況進(jìn)行考慮入手即可.

【詳解】(1)由題/(x)的定義域?yàn)?0,+8),

.x)=2>(2+a)+q=2江一(2+。)》+。=(2xj)(xf,

XXX

①若aVO,貝！)2尤-a>0,當(dāng)0cx<1時(shí)，f\x)<0；當(dāng)x>l時(shí)，f\x)>0,

所以/(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+?)上單調(diào)遞增.

②若a>0,令/，(x)=0,得%=1,x2=-|.

當(dāng)0<a<2時(shí)，0<-<1,

2

當(dāng)0<、<彳或無(wú)>1時(shí)，fXx)>0；當(dāng)3Vx<1時(shí)，f'(x)<0,

22

所以“X)在/￡),(1,+。)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)4〉2時(shí)，—>1,

2

當(dāng)。<%<1或時(shí)，/v)>o；當(dāng)1<“<q時(shí)，/v)<o,

22

所以“X)在(0,1),[j,上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減;

當(dāng)a=2時(shí)，/⑶二？。一。，。,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立，

所以在(0,+8)上單調(diào)遞增.

(2)(i)由題意知g(x)=^——Inx+x-2tz，

x

所以g'(x)=(xl)e—_I)'_D(e+x)

x2XX2X2

當(dāng)0<X<1時(shí)，g'(x)<0；當(dāng)尤>1時(shí)，g'(x)>0,

所以g(無(wú))在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+⑼上單調(diào)遞增，

則g(x)min=g6=e+l-2a,

因?yàn)楹瘮?shù)g(x)存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)，故e+1-2a<0,即2a>e+l.

(ii)下面找出兩個(gè)點(diǎn)加，n(0<m<l<n),使得g(加)>0,g(n)>0,

注意到4/-2"1=2〃一_二，且。<11

口<1。，于是考慮找點(diǎn)2%不

2a—12a—1

1

下面我們證明：g(2a)>0,g>0,

2a-l

x

e2ae

①g(2a)〉0o------ln(2a)>0,設(shè)m(x)=-----Inx(x>2),下證m(x)>0,

2ax

方法1：設(shè)//(%)=—0),貝[]/(%)=1一工一1,故/z〃(x)=e"—1>0,

所以(x)在(2,+oo)上單調(diào)遞增,得h\x)>"(2)=e?-3>0,

所以Kx)在(2,+8)上單調(diào)遞增，

故力(%)〉〃(2)=e2-4>0,即e">；，+x(x>2),

e%1

因止匕冽(x)=-----Inx>—x+1-Inx,

x2

111

設(shè)〃(x)=—x+1-lnx(x>2),貝！JM(x)=------=——>0,

22x2x

所以〃(x)在(2,+8)上單調(diào)遞增,所以〃(%)N〃(2)=2—ln2>0,

QX2A

因止匕冽(x)=-----Inx>0,又2o〉e+l>2,故E----ln(2q)〉0,即g(2〃)>0,

x2a

又/⑴<0,所以1<%<2匹

方法2：易知“(x)=-T)x,設(shè)va)=(x-i)e，-x,貝!]M(x)=x/-1>0,

X

所以V(x)在(2,+00)上單調(diào)遞增,得v(x)>v(2)=e2-2>0,

2

所以加(%)在(2,+oo)上單調(diào)遞增,故m(x)>m(2)=——eIn2>0,

2

2a

又2“>e+l>2,從而----ln(2a)>0,即g(2a)>0,

2a

又/(1)<0,所以1</<2即

1

@gfTrV(2?-l)e^-ln-l-+-l--2?

<2。-1J2a-12。-1

1—X

設(shè)t{x}=lnx-x+l,則f(x)=---,

易知《X)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(L+如上單調(diào)遞減,

所以(工)(《1)=0,BPInx<x-1,

又2〃>e+l,即0<---<—,

2a-1e

1

所以In—~7-1，且「2所11、n，

2a-12a-Ie—l〉u

因此g占>afeG-⑶-1)=(勿-1)

e2fl-1-1>0,

又/(l)<0,所以二二<占<1,即_1<_玉<一::

2。一12〃-1

4/—2a—1

%2—1]<2cl------

2?！?2a-\

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，要留意零點(diǎn)個(gè)數(shù)以及判定的依據(jù)、零點(diǎn)分

布情況等，結(jié)合問(wèn)題的方向才能找準(zhǔn)切入研究的方向

【變式3](2024?遼寧■三模)已知/3=(x-l)e，+*.

(1)討論函數(shù)〃x)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)。>0時(shí)，證明：函數(shù)/(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)%,％,JLXJ+%2<0.

【答案】(1)當(dāng).?0時(shí)，“X)在(0,+司上單調(diào)遞增，在(-刑0)上單調(diào)遞減；

當(dāng)-1<a<0時(shí)，/(x)在(-℃,ln(-a))和(0,+oo)上單調(diào)遞增，在(ln(-a),0)上單調(diào)遞減;

當(dāng)。=一1時(shí)，〃x)在R上單調(diào)遞增；

當(dāng)a<-1時(shí)，/(x)在(-8,0)和(ln(-a),+oo)上單調(diào)遞增，在(0,In(-a))上單調(diào)遞減

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)對(duì)「(X)求導(dǎo)，對(duì)。分類(lèi)討論，由導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系即可求解；

(2)先用零點(diǎn)存在性定理證明結(jié)論，再構(gòu)造新函數(shù)討論/(匹)與/'(-尤2)大小關(guān)系，利用/(X)

在(0,+◎上單調(diào)性，證明結(jié)論即可.

【詳解】(1)f'(x)-xe^+ax=x(ex+a),

當(dāng)aNO時(shí)，令f'(x)>0,得x>0,令f'(x)<0,得x<0,

所以/'(無(wú))在(0,+功上單調(diào)遞增，在(-叫0)上單調(diào)遞減；

當(dāng)a<0時(shí)，令/''(x)=0,得x=0或x=ln(-a),

當(dāng)ln(-a)<0,即一1<°<0時(shí)，由/'卜)>0得X?-8,111(-(7))30,+00),得

xe(ln(-a),0),

所以/(x)在(-8,ln(-a))和(0,+s)上單調(diào)遞增，在(ln(-a),0)上單調(diào)遞減；

當(dāng)ln(-a)=。即。=-1時(shí),廣(力20恒成立,〃x)在R上單調(diào)遞增；

當(dāng)ln(-a)>0,即a<-l時(shí),由/'(x)>0得xe(-co,0)D(ln(-a),+e),由/'(x)*0得

xe(O,ln(-a)j,

所以/'(無(wú))在(-8,0)和(ln(-a),+e)上單調(diào)遞增，在(0,皿-叫上單調(diào)遞減.

綜上，當(dāng).20時(shí)，/(x)在(0,+e)上單調(diào)遞增，在(-8,0)上單調(diào)遞減；

當(dāng)-l<a<0時(shí)，［(X)在(-81n(-a))和(0,+功上單調(diào)遞增，在(ln(-a),0)上單調(diào)遞減；

當(dāng)。=-1時(shí)，/(》)在R上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí),/(力在(-甩0)和(ln(-a),+e)上單調(diào)遞增,在(0,山(-a))上單調(diào)遞減.

(2)由第(1)問(wèn)中a>0時(shí)，/(x)在(0,+“)上單調(diào)遞增，在(-8,0)上單調(diào)遞減，

當(dāng)x>0時(shí)，因?yàn)閍>0,/(0)=-1<0,/(1)=|>0,

由零點(diǎn)存在性定理可得：函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,+功上存在唯一零點(diǎn)巧，且ze(0,l),

使得1(%)=0；

當(dāng)x<0時(shí)，x-l<0,0<ex<1,貝！J(x—l)e”>%—1,

貝!=ax2>(x-1)+；ax2=；ax2+x-\,

顯然一元二次方程:"2+%_1=0的兩個(gè)不等實(shí)根為：和,

2aa

苴中-1+J1+2Q-1-J1+2Q

aa

取6=上叵至<0,

a

/■伍)=伍-1)金+)仍2>；仍2+6-1=。，

即/他)>0,且/(0)=-1<0,

由零點(diǎn)存在性定理可得：函數(shù)/(X)在區(qū)間(-8,0)上存在唯一零點(diǎn)七，且再€0,0),

使得/■6)=();

所以當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；

因?yàn)閄2為零點(diǎn)，所以/。2)=(%-1)12=0,

所以;ax；=(1-X2)e*2,

%2

所以/(―X2)=(—x?—l)e"++—ax；=(-x2—l)e"+(1—x2)e,

令g(無(wú))=(-尤-1)尸+(1-尤)e，,g，(x)=x(b-e,),

-xx

當(dāng)x>0時(shí)，e-e<0,g'(x)<0,所以g(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞減,

因?yàn)間(0)=0，x2>0,所以g(X2)<0,

所以(-/T)ef+(1-X2)e*2<0,所以/(-尤2)<0,所以/(無(wú)J=0>/(f),

因?yàn)?'(無(wú))在(-叫0)上單調(diào)遞減，

所以為〈-無(wú)2，所以王+馬<0.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查雙變量型不等式恒成立問(wèn)題，屬于難題.該類(lèi)問(wèn)題常用的解題

方法有：一是消元法，變量統(tǒng)一；二是變更主元法；三是構(gòu)造函數(shù)法；四是最值法

題型二數(shù)形結(jié)合法研究函數(shù)的零點(diǎn)

含參數(shù)的函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，可轉(zhuǎn)化為方程解的個(gè)數(shù)，若能分離參數(shù)，可將參數(shù)分離出來(lái)后，用

X表示參數(shù)的函數(shù)，作出該函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象特征求參數(shù)的范圍或判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù).

ln(l-x),x6(-oo,0]

【例題2】(2024?北京房山?一模)若函數(shù)/(無(wú))=1小\，則函數(shù)

下可,xe(0,+8)

g(x)=/(x)+x+c零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.1或2D.1或3

【答案】A

【分析】令g(元)=/(x)+x+c=0,則/(x)+x=-c,則函數(shù)g(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為函數(shù)

了=〃x)+x/=-c圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)〃(x)=/(x)+x,利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)〃(x)的

單調(diào)區(qū)間，作出其大致圖象，結(jié)合圖象即可得解.

ln(l-x),xG(一。,0]111(1-X),XG(-(X),o]

【詳解】/(幻=1)=X,XEp,l)

所,X￡(0,+8)

|-1-,xe[l,+<z>)

令g(無(wú))=/(x)+x+c=0,貝！j/(x)+x=-c,

則函數(shù)g(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為函數(shù)y=〃x)+x,y=-c圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù),

ln(l一x)+x,%￡(一。,0]

：

令〃(X)=/(x)+x=<2x,xG(0,1)

—+X,XG[1,4-00)

、x

1x

當(dāng)x￡(—oo,0]時(shí)，A(x)=ln(l-x)+x,貝ijl(x)=---+1=---->0,

X—1X—1

所以函數(shù),(x)在(-8,0］上單調(diào)遞增,且〃(0)=0,

當(dāng)％￡(0,1)時(shí),A(X)=2XG(0,2),

1-12i

當(dāng)xe[l,+<?)時(shí)，〃(尤)=—+x,則〃(x)=--v+l=^-^->0,

XXX

所以函數(shù)”(可在口,+⑹上單調(diào)遞增，且3)=2,

又當(dāng)xf-oo時(shí)>-00,當(dāng)Xf+CO時(shí)，/?(%)-?+OO,

作出函數(shù)訪(x)的大致圖象如圖所示,

2仁二c

4"

由圖可知函數(shù)了=/(尤)+尤J=-C的圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，

所以函數(shù)g(x)=/(x)+x+c零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1個(gè).

故選：A.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的方法：

(1)直接法：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基

本性質(zhì)作出圖象，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體

現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類(lèi)討論思想的應(yīng)用；

(2)構(gòu)造新函數(shù)法：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究?jī)珊瘮?shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題；

(3)參變量分離法：由/'(x)=0分離變量得出a=g(x),將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線夕=。與函

數(shù)V=g(x)的圖象的交點(diǎn)問(wèn)題.

3e，,

---?x>一]1

【變式1](2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=,,g(x)=x+TO.若

—+—,x<-1

lx2

g(/(x))=o有三個(gè)不同的根，則a的取值范圍為

【答案】,漢一修)

【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，畫(huà)出草圖，然后數(shù)形結(jié)合解出結(jié)果.

【詳解】當(dāng)尤＞-1時(shí)，八幻=:，，所以“X)在(-1,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞

(x+1)

增,

又/(0)=3,x—+00時(shí)，y(x)f+00,x--1時(shí)，y(x)f+8,所以/(x)e[3,+co)；

當(dāng)xV-1時(shí)，易知外工)在上單調(diào)遞減,所以/(x)e

作出函數(shù)/(x)的大致圖象如圖所示.

令t=f(x),則數(shù)形結(jié)合可知方程g⑺=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，分別記為

且仆-1,1L{3},Z2e(3,+oo),而方程g?)=0有兩個(gè)不同的根等價(jià)于函數(shù)y=與

的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為.

（11（0\—]<-Q1Q

數(shù)形結(jié)合可知.￡[0,5卜右￡（3,+/）.令0（。='+-,令（2）,解得〃<—??

[夕⑶<-a

10

-009---------

故答案為:3

【變式2](2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃x)=e，-l-辦(aeR).

⑴若函數(shù)〃x)在點(diǎn)處的切線與直線x+2ey+l=0垂直，求°的值；

(2)當(dāng)x€(0,2]時(shí),討論函數(shù)尸(x)=/(x)-xlnx零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

[答案](1)0=-e

⑵答案見(jiàn)解析

【分析】(1)求導(dǎo)可得/⑴=e-。，根據(jù)題意結(jié)合垂直關(guān)系運(yùn)算求解；

(2)構(gòu)建g(x)=W-J-lnx(x40,1),由題意分析可知"x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為了=。與

V=g(x)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷y=g(H的單調(diào)性和最值，進(jìn)而可得結(jié)果.

【詳解】(1)由題意可知：/'(x)=e「a,可知/''⑴=e-a,

且直線x+2ey+l=0的斜率為后=-,，

2e

由題意可知：(e-a)x(-\J=T，解得。=一。.

(2)由b(x)=/(x)-xlnx=0得--1-ln.x,

XX

令g(%)=----------InX(XG(0,2]),

可知尸(X)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為y=a與y=g(x)的交點(diǎn)個(gè)數(shù),

(x-l)ex

則g'(x)=11

X2X2

因?yàn)閤>0,則e*—1>0,

令g，(x)>0,解得l<x<2;令g'(x)<0,解得0<x<l；

可知g(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減，在2］內(nèi)單調(diào)遞增,

且%趨近于0時(shí)，g(x)趨近于+8,g(l)=e-l,g(2)=F~-ln2,

函數(shù)尸(x)有一個(gè)零點(diǎn);

2

2_i

當(dāng)e-e-----ln2時(shí)，函數(shù)廠(%)有兩個(gè)零點(diǎn);

2

當(dāng)a<e-l時(shí)，函數(shù)尸(x)沒(méi)有零點(diǎn).

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)的相關(guān)問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想來(lái)求

解.這類(lèi)問(wèn)題求解的通法是:

(1)構(gòu)造函數(shù)，這是解決此類(lèi)題的關(guān)鍵點(diǎn)和難點(diǎn)，并求其定義域;

(2)求導(dǎo)數(shù)，得單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)；

(3)數(shù)形結(jié)合，挖掘隱含條件，確定函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況進(jìn)而求解

【變式3](2024?河北邯鄲?二模)已知函數(shù)/(x)=e*-"7x,g(x)=x-zwlnx.

⑴是否存在實(shí)數(shù)相，使得和g(x)在(0,+“)上的單調(diào)區(qū)間相同？若存在，求出加的取

值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2)已知再,人是的零點(diǎn),馬,馬是g(x)的零點(diǎn).

①證明：m>e,

3

②證明：1<x1x2x3<e.

【答案】⑴存在，且機(jī)

(2)①證明見(jiàn)解析②證明見(jiàn)解析

【分析】(1)結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，分加40與加>0進(jìn)行討論即可得；

(2)①利用導(dǎo)數(shù)得到/(x)的單調(diào)性后，借助零點(diǎn)的存在性定理可得;'(1的)=能-血n〃?<0,

解出即可得；(^)構(gòu)造函數(shù)加(》)=§(》>0),"(》)=.(》>1),結(jié)合導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性,

畫(huà)出相應(yīng)圖象，可得從而得到占=皿2，W=e"，從而可得再工會(huì)3=只，結(jié)合工2的范圍即可

得解.

【詳解】(1)由題意得xe(O,+e)J'(x)=e，-嘰g'(x)=l-W=U，

當(dāng)"?V0時(shí)，/,(x)>0,g,(x)>0,所以〃尤)和g(x)在(0,+向上都單調(diào)遞增,符合題意；

當(dāng)機(jī)>0時(shí)，若/(x)和g(x)在(0,+e)上的單調(diào)區(qū)間相同，

則/(x)和g(無(wú))有相同的極值點(diǎn),即=m,

令h(m)=】nm-m,貝lj%'(加)='-I=■!——,

mm

當(dāng)機(jī)€(0,1)時(shí)，九'(m)>0,當(dāng)加e(l,+8)時(shí),h'[m)<0,

所以M刃)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，貝必(勿)4〃⑴=-1,

所以ln??=m無(wú)解，

綜上，當(dāng)加e(-8,0]時(shí)，/(x)和g(x)在(0,+e)上的單調(diào)區(qū)間相同；

x

(2)①由題意，/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，f'(x)=e-m,

若機(jī)W0,則/''(x"。，所以/(無(wú))在R上單調(diào)遞增，不符合題意，

若加>0,則當(dāng)尤e(-8,ln")時(shí)，/'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減,

當(dāng)xe(lwn,+8)時(shí),廠(x)>0,/(尤)單調(diào)遞增，

且當(dāng)Xf-8時(shí)，f(X)->-00,當(dāng)Xf+8時(shí)，f(%)->+00,

所以/(111加)=扭-加111，*<0,解得利〉e,得證；

②令/"(x)=0,g(x)=0,^#eT=mx,x=m\nx,即上=機(jī)>0,二=機(jī)>0,

xInx

令加(x)=>0),〃(x)=-^(x>1),貝！J加'(x)=----2―\,

xInrx(mx)

當(dāng)x￡(0,1)時(shí)，m\x)<0,m(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)x￡(l,+8)時(shí)，m\x)>0,m(x)單調(diào)遞增,

當(dāng)x￡(l,e)時(shí)，n\x)<0,〃(x)單調(diào)遞減,

當(dāng)x￡(e,+8)時(shí)，，(%)>0,〃(x)單調(diào)遞增,

在同一坐標(biāo)平面內(nèi)作出函數(shù)加(x)=F(x〉0)與函數(shù)〃卜)=.(1>1)的圖象,

它們有公共點(diǎn)/(乙，%)，如圖，

遼八1r-e*e"2%%

故°<玉<1<%2<e<x3,且有==-=-，

國(guó)x2lnx2lnx3

e%i%e"iginx2

由—二；2,得—=----,即加(再)二相(lux?),又0〈ln%2<l,所以西=111^2,

%lnx2再lnx2~

=xe3

故再入2%32(l?e).

m(x)=-(x>0),n(x)=-^(x>1)

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題最后一問(wèn)關(guān)鍵點(diǎn)在于構(gòu)造函數(shù)%,

結(jié)合導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性，從而得到XF2X3=只

題型三構(gòu)造函數(shù)法研究函數(shù)的零點(diǎn)

涉及函數(shù)的零點(diǎn)(方程的根)問(wèn)題，主要利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)零

點(diǎn)的個(gè)數(shù)尋找函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)的極值以及區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值與0的關(guān)系，從而求得參數(shù)的

取值范圍

【例題3】(2023?吉林通化?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/&)=12+2乂--3#+/))滿(mǎn)足：①定義

域?yàn)镽;②〈<6<4；③有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)七，則的取值范圍是()

2再入2

A.(-2,-1)D.(1,2)

一「5

【答案】B

【分析】由題意可轉(zhuǎn)化為g⑴=/-3aX?+b有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)為，巧，對(duì)g(x)求導(dǎo),

結(jié)合g(x)的單調(diào)性可知g(2a)=0,由此可知g(x)另一根為-a,由6的范圍可求出。的范

圍，即可求出1+三的取值范圍.

【詳解】函數(shù)/。)=(—+2乂/-36+6)有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)不x?,

因?yàn)槿?2>0,令g(x)=x'-3#+/),即g(x)有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)七，X?,

g<x)=3x?-6ax=3x(x-2a)=0得x=0或x=2a,

若a>0,令g'(x)>0,可得x>2a或x<0；令g'(x)<0,可得0cx<2a,

所以g(x)在(-*0),(2。,+8)上單調(diào)遞增，在(0,2a)上單調(diào)遞減，

同理若a<0,g(x)在(-甩2。),(0,+⑹上單調(diào)遞增，在(2a,0)上單調(diào)遞減，

因?yàn)間<6<4,g(0)=bw0,

要使g(x)有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)七，巧，則g(2a)=0,

而g(2a)=8/-12/+6=0,貝因?yàn)間<6<4,

1,1

則—<4/<4,則—<a<1,

22

則g(x)有一根是確定的為2a,又因?yàn)間(x)=》3-3浸+6=(x-2a)2(x+a),

所以g(x)的另一根為-a,

故選：B.

【變式1](2024?河北滄州?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃x)=ax2e*-21nx-x-a,則()

A.當(dāng)。=1時(shí),/(x)有極小值B.當(dāng)。=1時(shí)，/(x)有極大值

C.若/(x"0,貝|。=1D.函數(shù)/(x)的零點(diǎn)最多有1個(gè)

【答案】AC

【分析】對(duì)于AB：代入。=1,求導(dǎo)，求單調(diào)性即可判斷；對(duì)于C：設(shè)1=將不等

式轉(zhuǎn)化為6(。=?！?)-111拈0成立，求導(dǎo)，研究其單調(diào)性，極值來(lái)判斷；對(duì)于D：求導(dǎo)，

分0<a<l,a=1,aVO討論研究零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【詳解】對(duì)于AB：當(dāng)“=1時(shí)，6+2內(nèi)/7%>0),

令eh2-l=0,即所以lne、=ln4，即21nx=—x,

XX

結(jié)合函數(shù)圖象可知，存在使得/'(無(wú)。)=0,

令e"2_i>o,則21n尤〉-x,得x〉玉,

所以當(dāng)xe(0,%)時(shí)，/'(x)<0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)xe(x°,+s)時(shí)，/'(x)>0,函數(shù)/(X)單調(diào)遞增，故A項(xiàng)正確，B項(xiàng)錯(cuò)誤.

若/(x)N°，BPax2ex>Inx2+IneA+a,則。(x%，-1)2ln(x2e*).

設(shè)f=x2e、>0,則

設(shè)G(/)=a?_l)_lnf,可知G?)20,則G'?)=a_；,t>0.

若aWO,則G'(f)<0,G?)為減函數(shù)，注意到G(l)=0,可知當(dāng)r>l時(shí)，G?)<0,不合題

若。>0,則G(/)=—,

當(dāng)此1o,￡|時(shí)，G'(/)<0,G(。為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，G'(/)>0,G⑺為增函數(shù)，

所以G?)2G[[=l-a+lnaNO.設(shè)9(Q)=ln〃-a+l,Q〉0,

Ii_/j

貝!!"'(〃)=——1=---，a>0.

aa

當(dāng)〃>1時(shí)，“⑷<0,9(。)為減函數(shù)，當(dāng)0<〃<1時(shí)，d(〃)>0,9(o)為增函數(shù),

貝!]"(〃)《"(1)=0,所以只有當(dāng)〃=1時(shí)，G⑺"才能成立.

綜上所述，4=1,故C項(xiàng)正確.

由C項(xiàng)可知，t=x2ex,x>0,貝”=/，+2%）〉0,所以，=%2吸工〉0）為增函數(shù).

1

當(dāng)a〉1時(shí)，（p（a）=G<0,

a

當(dāng)f無(wú)限趨近于0時(shí)，G"）無(wú)限趨近于+8,且G（e）=a（e-1）-1>0,

即此時(shí)G（f）有兩個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)椋?，/（工>0）為增函數(shù)，且t>0,

所以此時(shí)/（x）有兩個(gè)零點(diǎn).

同理可得，當(dāng)0<。<1時(shí)，/（X）有兩個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)。=1時(shí)，0⑷=G（￡|=0,此時(shí)G⑺有一個(gè)零點(diǎn)1,所以/（x）有一個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)aVO時(shí)，G?）為減函數(shù)，G（l）=0,此時(shí)G⑺有一個(gè)零點(diǎn)1,即/（無(wú)）只有一個(gè)零點(diǎn).

綜上，函數(shù)/（x）最多有兩個(gè)零點(diǎn)，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：AC.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題D選項(xiàng)的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)t=x2e%x>0）的性質(zhì)

【變式2］（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)〃x）=f2+跋+1nxswR）.

⑴若a=l,求函數(shù)〃x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)函數(shù)/（x）在jLe］上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

e

【答案】⑴單調(diào)遞增區(qū)間為（0』），單調(diào)遞減區(qū)間為（1,+8）

【分析】（1）根據(jù)題意，求導(dǎo)可得/（X）,即可得到結(jié)果;

(2)根據(jù)題意，由條件可得a=x-叵，構(gòu)造函數(shù)g(x)=x-則，其中xe-,e,轉(zhuǎn)化為

xx_e_

最值問(wèn)題，即可求解.

【詳解】(1)當(dāng)“=1時(shí)，/(x)=-x2+x+lnx,/(x)的定義域?yàn)?0,+司，

—2x2+x+1

令貝?。?尤2-x-l<0,解得0<x<l,

令/'(x)<0,則2X2-X-1>0,解得X>1.

函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+s).

(2)令/'(x)=-x?+ax+lnr=0,則.=%-蛔.

x

入/、Inx,「1

令g(尤)=x----,其中xe-,e,

xe

令g'(x)>0,解得l<xVe,令g'(x)<0,解得14x<l.

e

.?.g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間為

，g(x)min=g(D=L

e)=e--,函數(shù)/'(x)在一,e上有兩個(gè)零點(diǎn),

，。的取值范圍是

【變式3](2024?廣東?二模)已知/'(%)=+(1-2a)x-2hu,a>0.

⑴求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)函數(shù)“X)的圖象上是否存在兩點(diǎn)/(不凹),8(x2,%)(其中云產(chǎn)馬)，使得直線與函數(shù)

/(x)的圖象在％=矢三處的切線平行？若存在，請(qǐng)求出直線48；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】⑴/⑴在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增.

(2)不存在，理由見(jiàn)解析

【分析】(1)求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)來(lái)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(2)求出直線45的斜率，再求出了'(%),從而得到外,%的等式，再進(jìn)行換元和求導(dǎo)，即可

解出答案.

【詳解】(1)由題可得f\x)=ax+l-2a--=竺±1二辿二3=(辦+1)(》-2)@>0

XXX

因?yàn)?〉0,所以QX+1〉O,

所以當(dāng)X￡(O,2)時(shí)，八%)<0,“X)在(0,2)上單調(diào)遞減，

當(dāng)X￡(2,+8)時(shí)，/V)>0,在(2,+8)上單調(diào)遞增.

綜上，/(%)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增.

11

—ax2+(1-2a)x-21nx]~[—ax2+(1-2a)x-21nXj]

(2)由題意得，斜率左=%-乂222[x

x2一再工2一再

—a(xl-x^)+(l-2tz)(x2-Xj)-21n強(qiáng)21n9

2x國(guó),

1—W/+xj-2a-

x2一再x2-x1

也3+1.2〃——i

2

由左二r(苫■)得,

2盧-1)

In強(qiáng)

即In三一一百一=0

再2，即In

*J1

x2一再再+x2

項(xiàng)

令，=三，不妨設(shè)X2>無(wú)1，貝!|，>1,

xl

2(/-D4

i己g?)=hU一_S_^=hw+-----2(%>1)

Z+l/+l

i4(7-1)

所以g'(O=-；—3=}^>o,所以g⑺在(I,+s)上是增函數(shù)，所以g(/)>g⑴=0,

t(z+i)力+1)

所以方程g?)=0無(wú)解，則滿(mǎn)足條件的兩點(diǎn)48不存在.

口【課后強(qiáng)化】

基礎(chǔ)保分練

一、單選題

1.(2023?四川資陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè))將函數(shù)/(無(wú))=cosx-5在(0,+。)上的所有極值點(diǎn)按照由小

到大的順序排列，得到數(shù)列｛斗｝(其中〃eN*),貝I()

B-尤“+i一吃<%

c.x“+x“+i＞（2n-l）7iD.｛卜-(〃-1)兀|｝為遞減數(shù)列

【答案】D

【分析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)把極值點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)g@)在(0,+")上的零點(diǎn)，進(jìn)

一步轉(zhuǎn)化為函數(shù)〃(x)=sin尤與函數(shù)優(yōu)(x)=：圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后數(shù)形結(jié)合分別判斷各

選項(xiàng)即可.

【詳解】因?yàn)?(x)=cos尤-±7(x>0)所以/<x)=-sinx+4,

ee

令8(X)=/'(》)=一$111尤+5，

故函數(shù)/(x)在(0,+8)上的所有極值點(diǎn)為函數(shù)g(x)在(0,+8)上的零點(diǎn)，

即方程-sinx+"=o的正根，也即函數(shù)〃(尤)=sinx與函數(shù)加(x)=5圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

作出函數(shù)〃(無(wú))=sinx和函數(shù)=圖象如下

對(duì)于A,當(dāng)〃=1時(shí)，由圖可知0<國(guó)<],不滿(mǎn)足故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,由圖可知，當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，xn+l-xn<Ji,當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，xn+l-xn>n,故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,由圖可知，結(jié)合〃(x)=sinx的對(duì)稱(chēng)性知，Xj+X2>TI,x2+x3<3n,

不滿(mǎn)足X"+x”+|兀，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,\xn-(“T)同在x軸上表示當(dāng)與(〃-1)無(wú)的距離，

由于函數(shù)加(x)=(在(0,+e)上單調(diào)遞減，函數(shù)〃(x)=sin尤是以2兀為周期的函數(shù)，

結(jié)合圖象可知T越來(lái)越小，即數(shù)列｛卜-("-1)兀|｝為遞減數(shù)列，故D正確.

故選：D

2.(23-24高三上?湖北荊門(mén)?階段練習(xí))/(x)=2e<5/的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】先把零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)，再構(gòu)造函數(shù)g（x）=p,結(jié)合導(dǎo)函數(shù)求解單調(diào)性

及極值最后應(yīng)用數(shù)形結(jié)合求解.

【詳解】由2e，-5/=0得"=|,構(gòu)造函數(shù)g（x）=5，求導(dǎo)得=ev＞0

g（x）在（-8,0）上單調(diào)遞減,在（0,2）上單調(diào)遞增，（2,+“）上單調(diào)遞減，且g（0）=0,

3.（2023?四川成都?二模）若指數(shù)函數(shù)＞="（。＞0且。片1）與幕函數(shù)y=/的圖象恰好有

兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

,e、（e、

A.e5,+a）B.l,e5

【答案】D

【分析】令兩邊取對(duì)數(shù)得/=F，記/（"=乎（x＞0）,利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)

性，作出草圖即可求解.

【詳解】由幕函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知，當(dāng)xWO時(shí)兩函數(shù)圖象無(wú)交點(diǎn)，

令屋=y,兩邊取對(duì)數(shù)得xlna=51nx,即皿=運(yùn)，

x5

記〃x）=r（x＞。），則/（"=上詈，

當(dāng)％￡（0,e）時(shí),/r（x）＞0,當(dāng)x￡（e,+e）時(shí)，/r（x）＜0,

所以/（x）在（0,e）上單調(diào)遞增，在包+⑹上單調(diào)遞減，

所以，當(dāng)x=e時(shí)，/（X）取得最大值/（e）=一

又當(dāng)x趨于+8時(shí)，/（X）趨于0,當(dāng)X趨于0時(shí)，/（X）趨于-8,

所以可得/（x）的草圖如圖,

由圖可知，當(dāng)0<學(xué)<1,即時(shí)，函數(shù)〃尤）的圖象與>=學(xué)有兩個(gè)交點(diǎn),

即指數(shù)函數(shù)歹=能（a>0且awl）與塞函數(shù)y=x5的圖象恰好有兩個(gè)不同的交點(diǎn).

【點(diǎn)睛】關(guān)于函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，參變分離是常用方法之一，本題采用取對(duì)數(shù)的方法分離參

數(shù)，然后轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，在利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象時(shí)，一定要注意函數(shù)是否存

在漸近線，否則容易出錯(cuò).

2_15

4.(2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=e"-'+5+4x_ln(x+4)+e'了存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。

的值為()

,15°?，15_

A.-2B.In---2C.-3D.In--3

44

【答案】D

【分析】構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性，再運(yùn)用基本不等式即可求解

【詳解】由/(x)=0得心+二""吟=ln(x+4),

15丫？

axAa+2ln

設(shè)g(x)=e~+e-T,h(x)=ln(x+4)---4x,

設(shè)h(x)=ln(x+4)————4x,x>-4,h'(x)=-------x—4=0++",

2x+4x+4

由/(x)>0得—4<x<—3,由l(x)<0得x>-3,

所以/7（X）在（-4,-3）單調(diào)遞增，在（-3,+⑹單調(diào)遞減，所以〃（x）V止3）=當(dāng),

x-a+21n-^15

x-a+21n—

x4>

而g(%)=ef'~+eC~~21

當(dāng)且僅當(dāng)a-x=x-a+21n工，即x=a-In彳時(shí)，等號(hào)成立，

因?yàn)?(x)有零點(diǎn)，貝!Ja-ln，=—3,所以a=ln丁-3,

故選：D.

二、多選題

5.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(力=/-ax+1,aeR,則()

A.若有極值點(diǎn)，則

B.當(dāng)。=1時(shí)，/(x)有一個(gè)零點(diǎn)

C./(x)