高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義及高頻考點(diǎn)歸納與方法總結(jié)（新高考通用）

思維拓展.公切線問(wèn)題（精講+精練）

考點(diǎn)歸納

①有一個(gè)切點(diǎn)的公切線問(wèn)題

②有兩個(gè)切點(diǎn)的公切線問(wèn)題

③公切線中的參數(shù)問(wèn)題-

一、必備知識(shí)整合

一、公切線問(wèn)題一般思路

兩個(gè)曲線的公切線問(wèn)題，主要考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行解決，關(guān)鍵是抓住切線的斜率進(jìn)行轉(zhuǎn)化和過(guò)渡.

主要應(yīng)用在求公切線方程，切線有關(guān)的參數(shù)，以及與函數(shù)的其他性質(zhì)聯(lián)系到一起.處理與切線有關(guān)的參數(shù)，

通常根據(jù)曲線、切線、切點(diǎn)的三個(gè)關(guān)系列出參數(shù)的方程并解出參數(shù)：

①切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率；②切點(diǎn)在切線上；③切點(diǎn)在曲線上.

考法1:求公切線方程

已知其中一曲線上的切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線斜率，進(jìn)而求出另一曲線上的切點(diǎn)；不知切點(diǎn)坐標(biāo)，

則應(yīng)假設(shè)兩切點(diǎn)坐標(biāo)，通過(guò)建立切點(diǎn)坐標(biāo)間的關(guān)系式，解方程.

具體做法為：設(shè)公切線在y=/（x）上的切點(diǎn)Pig,f（xi））,在y=g（x）上的切點(diǎn)P2（*2,g（M））,

則以面=g，S）=皿遜.

Xi-X1

考法2：由公切線求參數(shù)的值或范圍問(wèn)題

由公切線求參數(shù)的值或范圍問(wèn)題，其關(guān)鍵是列出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于切線斜率的方程.

二、考點(diǎn)分類(lèi)精講

【典例1】（單選題）（23-24高二下?安徽合肥?期末）若函數(shù)〃x）=￥與g（無(wú)）在處有相同的

切線，則Q+Z）=

A.-1B.0C.1D.2

【答案】D

1-a

fe=i

【分析】對(duì)/'(x),g(x)求導(dǎo)，根據(jù)題意得到laL,再解方程組即可得到答案.

[e-b=0

【詳解】因?yàn)?x)=F，g(x)=e…-b,則r(x)=上等，g'(x)=e…，

可得/⑴=0,8⑴二卜一。，r(l)=l,g〈l)=ej,

因?yàn)椤▁)，g(為在x=l處有相同的切線,即切點(diǎn)為(1,0),切線斜率a=1,

f=1[a=\

所以解得八「所以a+b=2.

[e-bL=0[6=]

故選：D.

【典例2】(單選題)(23-24高二下?江西吉安?期末)函數(shù)〃x)=2+lnx與函數(shù)g(x)=，公切線的斜率為()

A.1B.±eC.1或eD.1或e?

【答案】C

【分析】先設(shè)切點(diǎn)分別為aj(±)),(X2，g(X2))，并通過(guò)點(diǎn)斜式方程寫(xiě)出兩條切線方程，根據(jù)公切線方程得

J__eX2

"^-e，最后計(jì)算占值即可.

%2

1+Inxj=(1-x2)e

【詳解】設(shè)切點(diǎn)分別為(%J(xJ),(X2，g(X2)),玉>0,迎>0

且導(dǎo)數(shù)為/'(x)=Lg'(x)=e',

X

所以切斜方程為既為y-(2+lnxJ='(x-xJ,

否

也為y_e?=e*(x_x2),

所以，%e,

X2

1+ln再=(l-x2)e

且ln(一)=Ine"?=>—In芭=x2,

%]

所以l+ln%i=(l+lnxjx——=>(1+lnXjXxj-1)=0,

西

所以玉=i或玉=L

e

所以公切線的斜率為左='=1或e.

xi

故選：C.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查求公切線問(wèn)題，解題關(guān)鍵是分別在函數(shù)/(x),g(x)上設(shè)不同切點(diǎn)并求切線

方程，根據(jù)兩切線方程一樣來(lái)求解公切線斜率.

【典例3】(單選題)(2024?廣東茂名?一模)曲線y=lnx與曲線了=尤?+2"有公切線，則實(shí)數(shù)。的取值范

圍是()

A.1叫B.卜;,+1C.卜叫｝D.1

—,+00

2

【答案】B

【分析】分別求出兩曲線的切線方程，再構(gòu)造函數(shù)/卜)=/「2元，利用導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)性和最值，即可求

得。的取值范圍.

【詳解】?jī)蓚€(gè)函數(shù)求導(dǎo)分別為V=±，=2x+2a,

X

設(shè)y=lnx,了=—+2辦圖象上的切點(diǎn)分別為(不』叫)，(x2,xf+2ax2),

則過(guò)這兩點(diǎn)處的切線方程分別為y=-+ln^-l,J=(2x2+24)尤-x；,

x\

貝!I—=2X2+2a,Inxj-1=,所以2〃=e"A-2%，

x\

設(shè)〃x)=ej_2x,r(x)=2(xex21-l),1⑴=0,

令g(x)=/(無(wú))=2(xe，j-1),所以g[x)=2(2/+1卜，=>0,

所以g(x)在R上單調(diào)遞增，且廣⑴=0,

則/(x)在(-叫1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以2a”(l)=T,?>-1.

故選：B.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是，利用公切線的定義得到2a=e，A-2x2,從而構(gòu)造函數(shù)

/(x)=e*T-2尤即可得解.

【題型訓(xùn)練-刷真題】

一、填空題

1.(2024?全國(guó)?高考真題)若曲線y=e'+x在點(diǎn)(0,1)處的切線也是曲線y=ln(x+l)+。的切線，則

a=.

【答案】ln2

【分析】先求出曲線y=e，+x在(0,1)的切線方程，再設(shè)曲線N=ln(x+l)+a的切點(diǎn)為(xoInN+D+a),求

出V，利用公切線斜率相等求出％,表示出切線方程，結(jié)合兩切線方程相同即可求解.

【詳解】由了=e"+X得；/=e*+1,y|I=0=e°+1=2,

故曲線y=e'+尤在(0,1)處的切線方程為y=2x+l；

由^=111(》+1)+°得,=^7,

x+l

設(shè)切線與曲線V=ln(尤+l)+a相切的切點(diǎn)為(Xo，ln(xo+l)+a),

由兩曲線有公切線得了=一二=2,解得/=-：，則切點(diǎn)為卜[a+ln；],

X。+1212Z)

切線方程為V=2[x+；)+q+ln；=2x+l+a-ln2,

根據(jù)兩切線重合，所以a-ln2=0,解得。=ln2.

故答案為：In2

二、解答題

2.(2022?全國(guó)?高考真題)已知函數(shù)/(幻=%3一%名(%)=%2+〃，曲線y=/(x)在點(diǎn)(再J(xj)處的切線也是

曲線V=g(x)的切線.

(1)若X]=—1,求。；

(2)求°的取值范圍.

【答案]⑴3

⑵[-1,+動(dòng)

【分析】(1)先由/(X)上的切點(diǎn)求出切線方程，設(shè)出g(x)上的切點(diǎn)坐標(biāo)，由斜率求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再由函數(shù)

值求出。即可；

(2)設(shè)出g(x)上的切點(diǎn)坐標(biāo)，分別由/(x)和g(x)及切點(diǎn)表示出切線方程，由切線重合表示出。，構(gòu)造函數(shù),

求導(dǎo)求出函數(shù)值域，即可求得。的取值范圍.

【詳解】(1)由題意知，/(-1)=-1-(-1)=0,八》)=3/一1,/'(-1)=3-1=2,貝獨(dú)=/(x)在點(diǎn)(一1,0)處的

切線方程為＞=2(x+l),

即了=2x+2,設(shè)該切線與g(x)切于點(diǎn)(馬名(工2))，g'(x)=2x,貝！|g'(X2)=2x2=2,解得％=1,貝!)

g⑴=1+。=2+2,解得a=3；

(2)r(x)=3x12-l,則尸〃X)在點(diǎn)(X"區(qū)))處的切線方程為y-(Mf)=(3x；T)(x-±),整理得

y=(3x；-1)龍-2x；,

設(shè)該切線與g(x)切于點(diǎn)(馬這(尤2))，g'(x)=2x,則(&)=2七，則切線方程為了-仁+。)=,整理

得y=2X2X-xf+a,

則也3：；；/整理得"=4一2町=與一1_2X；=%J2X；―#+}'

9311

令〃(x)=-2d一3x2+—,則h\x)=9x3-6x2-3x=3x(3x+l)(x-1),令"(x)>0,解得一x<0或x〉1,

令"(x)<0,解得x<T或O<X<1,則X變化時(shí)，〃'a),〃(x)的變化情況如下表：

1

X0(0,1)1(L+OO)

1一J3d。)

h(x)-0+0-0+

5j_

h{x}/-1/

274

則〃(X)的值域?yàn)椋跿+S),故。的取值范圍為［-1,+8).

【題型訓(xùn)練-刷模擬】

1.有一個(gè)切點(diǎn)的公切線問(wèn)題

一、單選題

1.(23-24高二下?河南?階段練習(xí))過(guò)原點(diǎn)的直線/與曲線尸e、/=ln(x+a)都相切，則實(shí)數(shù)。=()

1112

A.-B.-C.-D.—

24ee

【答案】D

【分析】設(shè)出切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合兩點(diǎn)式斜率公式列式，即可求解.

【詳解】由>=^得了=e',由y=ln(x+a)得j/=—L,

x+a

設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線/分別與曲線了=d/=111@+0)相切于點(diǎn)/(%乂),8?,%),

則由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得21=e\且必=9，故占=1,所以直線/的斜率為e,

所以匹=---=e,所以Infx2+。）=%，所以%=-1,即迎=-1

?^2*^2?Qe

1?

代入得一

故選：D

2.（2023?江蘇南通?模擬預(yù)測(cè)）若曲線/（%）=優(yōu)（〃〉1）與曲線g（x）=bgd（Q〉l）有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且在

公共點(diǎn)處的切線相同，則實(shí)數(shù)。的值為（）

22

A.eB.eC.e;D.Ve

【答案】C

【分析】

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出其公切線，計(jì)算即可.

【詳解】易得/'（x）=lna./,g，（x>1），設(shè)公共點(diǎn)為（％,%）,

lnx

*=log”X。*0

In(711

則由題意可得1，即v=^>--=x-lnx

Ina-ax000

]na-ax°]ina

x0ina

xQIn(2

1

目X0

]na-a-------=>x0-a(二「ko-lnx。)2=a』=x0-^1XOf

xQIna

=%?Ina=21n(lnx0)+lnx0=---

lnx0

令I(lǐng)n%=%則上式可化為：21n%+%-Lo

t

記〃⑺=21n，+%—；,則/⑺=（：1）20恒成立，即M/）=21n/+”:在（0,+司上單調(diào)遞增，而"1）=0,

%二e

故滿足21n%+%—=0的根只有t=19即

a=ee

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考察導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,屬于壓軸題.由導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立方程組后，關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)利用

導(dǎo)數(shù)求其單調(diào)性來(lái)解方程，計(jì)算量較大，也需要靈活的轉(zhuǎn)化.

3.（2024?云南曲靖?一模）已知。>0,若點(diǎn)。為曲線G:y='+QX-加與曲線G：歹=2。21nx的交點(diǎn)，且兩

條曲線在點(diǎn)尸處的切線重合，則實(shí)數(shù)加的取值范圍是（）

A.-oo,e5B.-oo,e4

C.^-=o,e2^D.(-00,2e]

【答案】C

【分析】設(shè)切點(diǎn)P坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義，由切線重合得導(dǎo)數(shù)值相等解得力=。，再由點(diǎn)尸為交點(diǎn)，則坐

標(biāo)滿足兩曲線方程，由此建立私。等量關(guān)系加=/(。)，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的值域即可.

丫2

【詳解】設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為"(">0),則由y=5+QX-次可得V=X+4，

又y=2"[nx可得了=肛，

X

且兩條曲線在點(diǎn)P處的切線重合，

02

所以切線的斜率左=〃+°="-(。>0),解得或〃=一2。(舍去)，

n

即點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為。

丫2

由點(diǎn)P為曲線G：y=]+ax-機(jī)與曲線Cz：y=2a2lnx的交點(diǎn)，

23

所以幺+/一機(jī)=2。2山〃，即加=—2/lna+—〃2,

22

3

令f(a)=-2a2ln4Z+—a2(a>0),

貝!I/'(〃)=—4QInQ+Q=Q(1—4InQ),

令/⑷=0可得〃=)，

由Q>0知，當(dāng)/時(shí)，，'(。)〉0,當(dāng)〃)一時(shí)，"。)<0，

V\Lt\V

所以/(?)在(0,/)上單調(diào)遞增，在(e；+8)上單調(diào)遞減，

]_j_

所以/(。)皿x=/(/)=”，當(dāng)“一+8,--8,

則實(shí)數(shù)加的取值范圍為

故選：C.

二、填空題_

4.(2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)>=?的圖象與函數(shù)了=4(a>0且"1)的圖象在公共點(diǎn)處有

相同的切線，則公共點(diǎn)坐標(biāo)為.

【答案】(e,人)

【詳解】設(shè)公共點(diǎn)為(%,%)(%>0),即可得至!)*=若，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到*Ina=：%2,從而求

出％,即可求出切點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出。，再求出切線方程.

【分析】設(shè)公共點(diǎn)為(%比)(%>0),貝！J%=就,即*=，，

Jo=ax°"

所以/Ina=不In%,所以Ina=--Inx0,

i_1i_1

由必'=-x2,%'=a」na,所以％'工「寸。2，%Ina，

i_1111-L

又在公共點(diǎn)處有相同的切線，所以*lna=Lx02,即對(duì).丁.1!1%=7/2,

22x02

所以出%=1,則％=e,所以%=而，

所以公共點(diǎn)坐標(biāo)為卜,八).

故答案為：(e,五).

5.(2024?上海三模)設(shè)曲線〃x)=“e，+6和曲線g(x)=cos號(hào)+c在它們的公共點(diǎn)尸(0,2)處有相同的切線,

則6"+c的值為.

【答案】2

【分析】根據(jù)兩曲線在P(0,2)有公切線，則尸是公共點(diǎn)，該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值相同，列出方程求出。也c的值,

則答案可求.

ff(0)=a+b=2

【詳解】由已知得,解得C=l,b=2-a,

[g(0)=l+c=2

又_f(x)=*,g，(x)=.sin/x,

所以/'(0)=g'(0)得a=0,

所以a=0,b=2,c=l,

所以〃+c=2°+l=2.

故答案為：2

2.有兩個(gè)切點(diǎn)的公切線問(wèn)題

一、單選題

1.(23-24高二下?江西吉安?期末)函數(shù)〃x)=2+lnx與函數(shù)g(x)=/公切線的斜率為()

A.1B.±eC.1或eD.1或e?

【答案】C

【分析】先設(shè)切點(diǎn)分別為(%/(再)),(9名(％)),并通過(guò)點(diǎn)斜式方程寫(xiě)出兩條切線方程，根據(jù)公切線方程得

<工一,，最后計(jì)算不值即可.

1+lnX]=(1-X2)產(chǎn)

【詳解】設(shè)切點(diǎn)分別為(再,〃%)),每若6))，%>0,%>0

且導(dǎo)數(shù)為八x)=Lg'(x)=e',

X

所以切斜方程為既為y-(2+lnxJ='(xf),

xi

也為=e*"(x_x2),

所以，再e,

%2

l+]nxl=(1-x2)e

且ln(—)=Ine"2n_In七=%,

七一

所以l+ln%i=(l+lnxjx—=>(1+111再)(再一1)=0,

X]

所以玉=1或&=-,

e

所以公切線的斜率為左='=1或e.

xi

故選：C.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查求公切線問(wèn)題，解題關(guān)鍵是分別在函數(shù)/(x),g(x)上設(shè)不同切點(diǎn)并求切線

方程，根據(jù)兩切線方程一樣來(lái)求解公切線斜率.

2.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/■(x)=ei,g(x)=：e?,若直線/是曲線y=/(x)與曲線y=g(x)的公

切線，貝心的方程為()

A.ex—>=0B.ex-y-e=0

C.x-y=0D.x-y-l=0

【答案】B

【分析】設(shè)>=h+加與了=/(%)相切于點(diǎn)/(Xo/o),與y=g(x)相切于點(diǎn)8(西,入)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,

得至!Je頻Txo+〃z=e%T和機(jī)=再由e"T=；eX[,求得x()_]=；Xi，得至-4-ln=0,令

h[x)=x-\-\nx,利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，求得加=-e#=e,即可求解.

【詳解】設(shè)/：尸=區(qū)+旭與曲線y=/(x)相切于點(diǎn)/(%,%),與y=g(x)相切于點(diǎn)8(再,必),

由;''(x)=ei,可得/的斜率上=e'f所以物飛+能=物-。,

[]]ee

又由g'ahjex,可得左=5%,所以,叫再+冽=4%；,即加=—4%;②，

又因?yàn)閑'S=ge再③,

lee]

將②③代入①中，可得5叫/-4片=耳項(xiàng)，由③易知，石〉。，則/-1=/再④，

將④代入③，可得e3=^X1,則上一1一1"1)=0,

令〃(x)=x-l-lnx,貝！)/(》)=土」，當(dāng)0<x<l時(shí)，〃(x)<O,〃(x)單調(diào)遞減;

當(dāng)x>l時(shí),/f(x)>O,〃(x)單調(diào)遞增.所以力(力2%(1)=0,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)取等號(hào),

IQe

故一XI=l,可得玉=2,所以加=—x22=-e,A：=—x2=e,

242

所以/的方程為>=e(x-l),即ex-y-e=O.

故選：B.

【點(diǎn)睛】方法技巧：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)綜合問(wèn)題問(wèn)題的求解策略：

1、合理轉(zhuǎn)化，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的最值之間的比較，列出不等式關(guān)系式求解；

2、構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；

3、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.

4、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的

新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問(wèn)題，就要考慮利用分類(lèi)討論法和放縮

法，注意恒成立與存在性問(wèn)題的區(qū)別.

3.(2024?福建?模擬預(yù)測(cè))已知直線>=履+萬(wàn)既是曲線y=lnx的切線，也是曲線y=-ln(-x)的切線，則()

A.k=—,b=0B.k=1,b=0

e

C.k=~,b--\D.k=1,b-~\

e

【答案】A

【分析】設(shè)出切點(diǎn)，寫(xiě)出切線方程，利用對(duì)應(yīng)系數(shù)相等建立方程，解出即可.

【詳解】設(shè)直線與曲線y=lnx的切點(diǎn)為(西,出王)且西>0,

與曲線y=-ln(-x)的切點(diǎn)為卜2，-111(一%))且工2<0,

,11

又y，=(lnx)/=[-ln(-x)]=--,

則直線…+b與曲線klnx的切線方程為…再=卜-再)，即尸『1+

直線〉=履+6與曲線歹=-111(-%)的切線方程為歹+111(-%2)=-1(%-%2),即名=_『x+lTn(-%2),

11r

——---M=e11

貝葉再超,解得《,故左=—=—,6=lnx-l=0,

In玉-l=l-g2)同…%e

故選：A.

4.(23-24高二下?廣東佛山?期中)經(jīng)過(guò)曲線＞=7x3-尤與＞=_/-5x+3的公共點(diǎn)，且與曲線＞=d+1和

歹=67的公切線/垂直的直線方程為()

A.8%+8〉+7=0B.8%+8〉一7=0C.8x-8j+l=0D.8x-8j-1=0

【答案】B

【分析】首先聯(lián)立y=7d-x與y=-尤3-5x+3得至歷程組，求出方程組的解，即可求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再設(shè)/與

/(x)=e*+l和g(x)=e'分別相切于國(guó)e%+l),(々?巧,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到方程，求出芭,即可

得到切線的斜率，再由點(diǎn)斜式求出所求直線方程.

【詳解】由卜=7弋一：消去V整理得8尤3+以-3=0,

［y=_苫3_5尤+3

令尸(x)=8/+4x-3,貝?。輵?(力=24/+4＞0,所以尸(x)=8/+4x—3在R上單調(diào)遞增，

又尸出=8x［；］+4x1-3=0,

1

x=—

y=7x3-x上八左r、,2

所以方程組3<,的解為

y=-x-5x+33

y=-

8

即曲線y=7%3-x^y=-x*3-5x+3的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為

設(shè)/與〃x)=e，+1和g(X)=尸分別相切于(玉,戶+1),(%,,

而/'(X)=e"，g'a)=ex+1,

XlX2+1

:.f(xx)=Q,g\x2)=e,

.*.A0)=e0=l,即公切線/的斜率為1,

故與/垂直的直線的斜率為—1,

所以所求直線方程為y一|=一口-［，整理得8x+8y-7=0.

故選：B.

二、填空題

5.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）試寫(xiě)出曲線y=2e工與曲線y=21n（x+2）的一條公切線方程.

24

【答案】y=—尤+—或y=2x+2（寫(xiě)出一個(gè)即可）

ee

【分析】設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)切線斜率相等，建立等式，解出即可.

【詳解】設(shè)公切線/與曲線y=2e、切于點(diǎn)/（再,29）,

與曲線y=21n（x+2）切于點(diǎn)8（々,2111（》2+2））.

2

由y=2e“，得V=2e“.由y=21n（x+2）,得了=----.

x+2

21

令21::^即p貝口2+2=。一百，

x2+2x2+2

Xlx,

gp2In(x2+2)-2e=2e(x2-xj,

化為"ef—eM=d(ef—2—,

所以(占+1)(6^-1)=0,解得西=T或不=0.

當(dāng)無(wú)i=T時(shí)，k=~,

7??4

此時(shí)切線/的方程為y-4=4（x+l）,即了=今+二

eeee

當(dāng)石=0時(shí)，k=2,Z（0,2）,

此時(shí)切線/的方程為y—2=2（X—0）,即y=2x+2.

24

綜上可知，切線/的方程為歹或歹=2X+2,寫(xiě)出任意一個(gè)即可.

ee

24

故答案為：y=-x+-^y=2x+2寫(xiě)出任意一個(gè)即可.

ee9

3.公切線中的參數(shù)問(wèn)題

一、單選題

1.（2023?四川綿陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)/■（無(wú)）=x2-辦與函數(shù)g（x）=lnx+2x的圖象在公共點(diǎn)處有相同的切線,

則實(shí)數(shù)。=（）

A.-2B.-1C.eD.-2e

【答案】B

【分析】設(shè)出兩個(gè)函數(shù)圖象的公共點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立關(guān)系求解即得.

【詳解】設(shè)函數(shù)7'(力=/-依與函數(shù)8(力=111%+2》的圖象公共點(diǎn)坐標(biāo)為(%,%),

XQ-ax0=lnx0+2x0+lnxo-l=O

求導(dǎo)得/。)=2》-凡8'0)」+2,依題意，、1,于是＜

x2XQ—a=F2a=2x0---2

IX。、

令函數(shù)〃(x)=/+lnx-l,顯然函數(shù)〃(X)在(0,+網(wǎng)上單調(diào)遞增，且刀⑴=0,

則當(dāng)〃(x)=0時(shí)，x=l,因此在x；+lnx。-1=0中，x0=l,此時(shí)。=-1,經(jīng)檢驗(yàn)。=-1符合題意，

所以a=-l.

故選：B

2.(2024?遼寧大連一模)斜率為1的直線/與曲線了=ln(x+a)和圓/+/=；都相切，則實(shí)數(shù)。的值為()

A.0或2B.-2或0C.—1或0D.0或1

【答案】A

【分析】設(shè)直線/的方程為V=x+6,先根據(jù)直線和圓相切算出6,在根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義算

【詳解】依題意得，設(shè)直線/的方程為V=x+6,

1例V2

由直線和圓/+/=:相切可得，0=—,解得6=±1,

2在+(-1)22

當(dāng)6=1時(shí)，y=x+l和y=ln(x+a)相切，

設(shè)切點(diǎn)為(加,〃)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，一二=1,

m+a

n=0

[n=m+l

又切點(diǎn)同時(shí)在直線和曲線上，即I,、，解得m=-l

[n=\n(m+a)9

a=2

即＞=%+1和、=ln(x+2)相切，此時(shí)將直線和曲線同時(shí)向右平移兩個(gè)單位，

尸x-l和y=lnx仍會(huì)保持相切狀態(tài)，即b=T時(shí)，q=0,

綜上所述，a=2或。=0.

故選:A

3.(2023?河南?三模)已知函數(shù)/(x)=^-x+a的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則與曲線y=/(x)和y=/+；均相

切的直線/有()

A.1條B.2條C.3條D.4條

【答案】C

【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求兩曲線的切線，當(dāng)切線方程相同時(shí)，求切點(diǎn)坐標(biāo)解的個(gè)數(shù).

【詳解】函數(shù)〃“三X3-X+Q的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則有=

即(―X)—(―X)+〃=—(工3—X+Q),解得〃=0,所以=X,

由/'（x）=3/-1,所以y=/（x）在點(diǎn)（wJ（再））處的切線方程為y_困_XJ=（女；-1）（X-再）,整理得

y-（3xf—l^x—2xl.

設(shè)g（x）=/+；,直線1與g（x）的圖像相切于點(diǎn)（無(wú)2苗優(yōu)）），因?yàn)間<x）=2x,

3x；-1=2X,

所以切線方程為y-卜+j=%（x-％,整理得y=2x/-君+；2

整理得-2x；-：=（x：-2x；-^-x；=；^—Rx；-8X]-6）=0,

當(dāng)9x；-8X]-6=0時(shí)，A=82+4X9X6>0,方程有兩個(gè)非零實(shí)數(shù)根,

西=0也滿足方程，故占有3個(gè)解，

所以方程組（*）有3組解，故滿足題中條件的直線1有3條.

故選：C

4.（23-24高二下?江蘇?階段練習(xí)）若曲線。]：了=2/2缶>0）與曲線Q：y=e”存在公切線，則實(shí)數(shù)”的取值

范圍為（）

e?e

C.一,2D.——,+oo

88

【答案】D

【分析】求出兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)相等列方程，再由方程有根轉(zhuǎn)化為求最值，求得。的范圍.

【詳解】由V=2QX2（Q〉O）,得了二4"；由歹=e"得了=/,

因?yàn)榍€。1：歹=2批25>0）與曲線。2：y=爐存在公切線,

設(shè)公切線與曲線。切于點(diǎn)區(qū),2"；）,與曲線G切于點(diǎn)（馬，/），

x2

e2_O/yy

貝（14"]=。芍=------匚，又。〉0,貝！|%>0,

x2一再

將。電=4。石代入4。再二^---2axi,得4。石=^^―,貝[]2%2=再+2,

x2一再x2-x1一

所以。=『今令"x）=；（x>?則小）

當(dāng)（0,2）時(shí)，/（x）<0,"X）單調(diào)遞減;

當(dāng)X￡（2,+8）時(shí)，/r（x）>o,/（%）單調(diào)遞增;

22e2\

所以=----=—，則。的范圍是—.

mn4x28L8J

故選:D.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是，利用公切線的性質(zhì)得到4°占=------工，從而得到。關(guān)于4

x2-x1

的表達(dá)式，從而得解.

5.（2024?福建泉州?模擬預(yù)測(cè)）若曲線y=f與y=毋（twO）恰有兩條公切線，貝！Jf的取值范圍為（）

A.B.[\，+00]C.（-8,0）口]：,+8）口.（-<?,0）u

【答案】A

【分析】設(shè)曲線了=療切點(diǎn)為可（"汨"），了=尤2的切點(diǎn)為N（”,"2）,求出切線方程，根據(jù)有兩條公切線轉(zhuǎn)

化為方程具有兩個(gè)解，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求解取值范圍，判斷選項(xiàng).

【詳解】設(shè)曲線尸渣切點(diǎn)為M（見(jiàn)夢(mèng)），尸f的切點(diǎn)為N,叫，

mmm

則曲線y=底在點(diǎn)W（利4）處的切線方程為y-te=te（x-m）,即y=te-'（X-m）+te,

同理，尸尤,在點(diǎn)處的切線方程為y=2nx-n2,

根據(jù)V=te與y=W有兩條公切線，

[te*=2n（\4"，一4

則m2,所以死皿-加fe"=-二，化簡(jiǎn)可得f=具有兩個(gè)交點(diǎn)，

he-mte=-n[2e"'

轉(zhuǎn)化為”號(hào)「有兩個(gè)解，構(gòu)造函數(shù)貝4'0=與學(xué)，

當(dāng)x<2,r(x)>0,〃x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>2,r(x)<0,〃x)單調(diào)遞減,

故/'（X）在X=2時(shí)有極大值即為最大值，故〃2）=，

當(dāng)X9-00時(shí)，當(dāng)Xf+oo時(shí)，/(x)fO,

故f的取值范圍為

故選:A

x2+x+a,x<0

6.（2024高三下?全國(guó)?專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=1的圖象上存在不同的兩點(diǎn)45,使得曲

一,x>0

線y=〃x）在這兩點(diǎn)處的切線重合，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.B.(2,+8)

*

D.-a??4

【答案】A

【分析】解法一：設(shè)/（%,〃%）），5（X2,/（X2））,根據(jù)題意分析可知再<0<3，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義分別

1

x（12

求在48兩點(diǎn)處的切線，由題意可得2，化簡(jiǎn)可得Q=Z下+=+-+1,換元結(jié)合函數(shù)單調(diào)

22?1人2人2

—=一再+U尤2）

x2

性分析求解；解法二：根據(jù)題意結(jié)合圖象分析可知/>0,運(yùn)算求解即可.

【詳解】解法一：當(dāng)x<0時(shí)，則/（xhY+x+a,可知/'（x）=2x+l在（-8,0）內(nèi)單調(diào)遞增;

當(dāng)x>0時(shí)，則〃x）=:，可知/'（x）=-5在（0,+“）內(nèi)單調(diào)遞減;

設(shè)/（再,/（再）），為該函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，且玉<馬,

若曲線y=〃x）在48兩點(diǎn)處的切線重合，則/'（再）=/'@2）,

結(jié)合了'（X）的單調(diào)性可知再<0<3,

則函數(shù)/（X）在點(diǎn)/（尤”/（%））處的切線方程為:

y-（X；+/+。）=（2七+l）（x-Xj）,即y=（2匹+l）x-x^+a；

函數(shù)"X）在點(diǎn)8卜2，/伉））處的切線方程為:

1、12

y—f）,即產(chǎn)-下+二

X?

與=2±+1

兩直線重合的充要條件是

x2

112

消去王可得+一］,

X?）

令％=',則/>0,可得。二

+2/+8/+1）在（0,+8）為增函數(shù),

%2

所以小，結(jié)合選項(xiàng)可知A正確;

解法二：由題意可知：/'（X）在區(qū)間（-0°,-；1（0,+8）內(nèi)單調(diào)遞減，在

內(nèi)單調(diào)遞增,

根據(jù)公切線導(dǎo)數(shù)值相等的原理，可知公切線只會(huì)出現(xiàn)在單調(diào)性一致的區(qū)間,

故只能出現(xiàn)在區(qū)間「和(0,+8),

由于函數(shù)在這兩個(gè)區(qū)間屬于凹函數(shù)，故可類(lèi)比兩圓相離的外公切線,

且當(dāng)尤趨近于+8,/(X)趨近于0,

由圖象可知：解得結(jié)合選項(xiàng)可知A正確;

故選：A.

7.(23-24高三上?浙江湖州?期末)已知函數(shù)/(x)=ei,g(x)=?2,若總存在兩條不同的直線與函數(shù)y=/(%),

N=g(x)圖象均相切，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.[2]B.C.D.H，+j

【答案】A

【分析】設(shè)函數(shù)y=/(x),y=g(x)的切點(diǎn)坐標(biāo)分別為卜e*T),(x2，E),根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義可得±=

結(jié)合題意可知方程:=[有兩個(gè)不同的實(shí)根，則設(shè)〃(x)=5，求導(dǎo)確定其單調(diào)性與最值情況，即可得實(shí)數(shù)

。的取值范圍.

【詳解】由題意可知：a*0,

設(shè)函數(shù)/(x)=e*T上的切點(diǎn)坐標(biāo)為(5?…)，函數(shù)g(x)=a?上的切點(diǎn)坐標(biāo)為(和此)，

且/■'3=尸，g'(x)=2ax,則公切線的斜率e"=2"，可得x?=',

則公切線方程為了-6"=門(mén)?-再)，

代入伍,辦；)得辦；—e*T=9-(JC2-x；),

代入可得整理得十=禁

2a2aJ(2aj4ae

令'"7則》。

若總存在兩條不同的直線與函數(shù)了=/(尤)，V=g(x)圖象均相切，則方程有兩個(gè)不同的實(shí)根,

4ae

設(shè)山)=，則砥力=詈，

令〃(x