熱點(diǎn)15概率與統(tǒng)計

明考情-知方向

三年考情分析2025考向預(yù)測

2022年，第4題，考察頻率分布直方圖；

概率統(tǒng)計專題相關(guān)的知識點(diǎn)錯綜復(fù)雜又環(huán)環(huán)相扣，在

第13題條件概率

天津高考中近三年以圖表信息、古典概型、條件概率，

2023年，第7題，考察正負(fù)相關(guān)性；

回歸分析，獨(dú)立性檢驗(yàn)、樣本估計總體等為主要考有

第13題獨(dú)立事件的概率公式

內(nèi)容，主要以選填形式出現(xiàn)。

2024年，第3題，考察根據(jù)散點(diǎn)圖判斷是否線性相

關(guān)；第13題古典概型和條件概率

熱點(diǎn)題型解讀

題型1分層抽樣

題型2用樣本估計總體

題型3互斥事件，對立事件，獨(dú)立事件［一概率與統(tǒng)計

題型4條件概率，全概率公式和貝葉斯公式

題型5一元線性回歸直線方程

題型1分層抽樣

（1）分層隨機(jī)抽樣的步驟

:①根據(jù)己經(jīng)掌握的信息，將總體分成互不相交的層；

；②根據(jù)總體中的個體數(shù)N和樣本量〃計算抽樣比k=j

\③確定第i層應(yīng)該抽取的個體數(shù)目“xN,xk（N,為第i層所包含的個體數(shù)），使得各“之和為n；

:④在各個層中，按步驟③中確定的數(shù)目在各層中隨機(jī)抽取個體，合在一起得到容量為九的樣本.

（2）分層抽樣的均值與方差

>-m一n——

X=---xH----------%2

m+n1m+n

S~=—^-[Sf+（^-x）2]+^^[^+（^-x）2]

m+nm+n

1.（2023?天津武清?模擬預(yù)測）某校對高三年級學(xué)生的數(shù)學(xué)成績進(jìn)行統(tǒng)計分析.全年級同學(xué)的成績?nèi)拷橛?/p>

80分與150分之間,將他們的成績按照[80,90）,[90,100）,[100,110）,[110,120）,[120,130）,

[130,140）,[140,150]分組后得到的頻率分布直方圖如圖所示.現(xiàn)從全體學(xué)生中根據(jù)成績采用分層抽樣的

方法抽取80名同學(xué)的試卷進(jìn)行分析，則從成績在[120,130）內(nèi)的學(xué)生中抽取的人數(shù)為（）

頻率

【答案】D

【知識點(diǎn)】抽樣比、樣本總量、各層總數(shù)、總體容量的計算、頻率分布直方圖的實(shí)際應(yīng)用

【分析】先求出成績在[120,130）內(nèi)的頻率，由此能求出成績在[120,130）內(nèi)的學(xué)生中抽取的人數(shù).

【詳解】成績在[120,130）內(nèi)的頻率為：

1-（0.005+0.010+0.010+0.015+0.025+0.005）xl0=0.3.

因?yàn)閺娜w學(xué)生中根據(jù)成績采用分層抽樣的方法抽取80名同學(xué)的試卷進(jìn)行分析，則從成績在[120,130）內(nèi)

的學(xué)生中抽取的人數(shù)為80x0.3=24.

故選:D.

2.（2023?天津南開?二模）某車間從生產(chǎn)的一批零件中隨機(jī)抽取了1000個進(jìn)行一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)的檢測，整理

檢測結(jié)果得到此項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)的頻率分布直方圖如圖所示.若用分層抽樣的方法從質(zhì)量指標(biāo)在區(qū)間[40,70）的

零件中抽取170個進(jìn)行再次檢測，則質(zhì)量指標(biāo)在區(qū)間[50,60）內(nèi)的零件應(yīng)抽取（）

頻率

【答案】C

【知識點(diǎn)】抽樣比、樣本總量、各層總數(shù)、總體容量的計算、由頻率分布直方圖計算頻率、頻數(shù)、樣本容

量、總體容量

【分析】由分層抽樣按比例計算.

【詳解】設(shè)質(zhì)量指標(biāo)在區(qū)間[50,60）內(nèi)的零件應(yīng)抽取X個，則

x0.3

，解得x=60,

1700.35+0.3+0.2

故選：C.

3.（2022?天津武清?二模）將某市參加高中數(shù)學(xué)建模競賽的學(xué)生成績分成5組:

[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100）,并整理得到頻率分布直方圖（如圖所示）.現(xiàn)按成績運(yùn)用分層抽

樣的方法抽取100位同學(xué)進(jìn)行學(xué)習(xí)方法的問卷調(diào)查，則成績在區(qū)間[70,80）內(nèi)應(yīng)抽取的人數(shù)為（）

A.10B.20C.30D.35

【答案】D

【知識點(diǎn)】抽樣比、樣本總量、各層總數(shù)、總體容量的計算、由頻率分布直方圖計算頻率、頻數(shù)、樣本容

量、總體容量

【分析】首先求出[70,80）中的頻率，即可得解；

【詳解】解:依題意10,80）中的頻率為0.035x10=0.35,

所以［70,80）中應(yīng)抽取0.35x100=35（人）；

故選：D

4.（2022?天津?一模）為遏制新型冠狀病毒肺炎疫情的傳播，我市某區(qū)對全體居民進(jìn)行核酸檢測.現(xiàn)面向全

區(qū)招募1000名志愿者，按年齡分成5組:第一組［20,25）,第二組［25,30）,第三組［30,35）,第四組［35,40）,

第五組［40,45］,經(jīng)整理得到如下的頻率分布直方圖.若采用分層抽樣的方法從前三組志愿者中抽出39人負(fù)

責(zé)醫(yī)療物資的運(yùn)輸工作，則在第二組中抽出的人數(shù)為（）

【答案】D

【知識點(diǎn)】抽樣比、樣本總量、各層總數(shù)、總體容量的計算、由頻率分布直方圖計算頻率、頻數(shù)、樣本容

量、總體容量

【分析】由題可得前三組志愿者的人數(shù)之比為3:6:4,進(jìn)而即得.

【詳解】由直方圖可知前三組志愿者的人數(shù)之比為3:6:4,

所以從前三組志愿者中抽出39人負(fù)責(zé)醫(yī)療物資的運(yùn)輸工作，則在第二組中抽出的人數(shù)為：-^-x39=18.

故選：D.

5.（24-25高二上?上海寶山?期末）某學(xué)校為了獲得該校全體高中學(xué)生的體育鍛煉情況，按男、女學(xué)生的比

例分別抽樣調(diào)查了48名男生和27名女生的每周鍛煉時間.通過計算得到男生每周鍛煉時間的平均數(shù)為7.6

小時，方差為7；女生每周鍛煉時間的平均數(shù)為6.4小時，方差為8.

⑴若該校男生總數(shù)為1280,求該校學(xué)生總數(shù)；

（2）若所選27名女生每周鍛煉時間從小到大排列后的第9至第13個數(shù)據(jù)依次為5、5.3、5.6、5.8、5.9,求所選

女生樣本的第40百分位數(shù)；

⑶求所有樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差（精確到0.001）.

【答案】⑴2000；

(2)5.6；

(3)平均數(shù)為7.168,方差為7.692.

【知識點(diǎn)】抽樣比、樣本總量、各層總數(shù)、總體容量的計算、計算幾個數(shù)的平均數(shù)、計算幾個數(shù)據(jù)的極差、

方差、標(biāo)準(zhǔn)差、總體百分位數(shù)的估計

【詳解】(1)設(shè)該校學(xué)生總數(shù)為"，依題意，也10RO=/4三R，解得“=2000,

n48+27

所以該校學(xué)生總數(shù)為2000.

(2)由27*40%=10.8,得所選女生樣本的第40百分位數(shù)為第11個數(shù)56

_48x76-i-?7x64

(3)所有樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)/二十二=7.168；

JQ97

12

所有樣本數(shù)據(jù)的方差為S=詬市口+(7.6-7.168)2]+詔節(jié)[8+(6.4-7.168)]?7.692.

6.(2024?上海青浦?一模)第七屆中國國際進(jìn)口博覽會于2024年11月5日至10日在上海舉辦，某公

司生產(chǎn)的A.B.C三款產(chǎn)品在博覽會上亮相，每一種產(chǎn)品均有普通裝和精品裝兩種款式，該公司每天

產(chǎn)量如下表：(單位:個)

產(chǎn)品A產(chǎn)品B產(chǎn)品C

普通裝n180400

精品裝300420600

現(xiàn)采用分層抽樣的方法在某一天生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽取100個，其中B款產(chǎn)品有30個.

⑴求”的值;

(2)用分層抽樣的方法在C款產(chǎn)品中抽取一個容量為5的樣本，從樣本中任取2個產(chǎn)品，求其中至少有一

個精品裝產(chǎn)品的概率；

⑶對抽取到的B款產(chǎn)品樣本中某種指標(biāo)進(jìn)行統(tǒng)計，普通裝產(chǎn)品的平均數(shù)為10,方差為2,精品裝產(chǎn)品的

平均數(shù)為12,方差為1.8,試估計這天生產(chǎn)的B款產(chǎn)品的某種指標(biāo)的總體方差(精確到0.01).

【答案】(1)100；

(2)—；

10

(3)2.70.

【知識點(diǎn)】抽樣比、樣本總量、各層總數(shù)、總體容量的計算、估計總體的方差、標(biāo)準(zhǔn)差、計算古典概型問

題的概率

【分析】(1)由分層隨機(jī)抽樣的抽樣比直接計算即可；

(2)由古典概型結(jié)合組合數(shù)公式即可求解；

(3)根據(jù)分層抽樣總體的方差公式求解即可.

【詳解】(1)由題意可知，該工廠一天所生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)為

川+300+180+420+400+600=〃+1900.

現(xiàn)采用分層抽樣的方法在這一天生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽取100個，其中8款產(chǎn)品有30個,

(2)設(shè)所抽取的樣本中有。個精品裝產(chǎn)品，則/=黑，解得。=3，

所以容量為5的樣本中，有3個精品裝產(chǎn)品，2個普通裝產(chǎn)品.

因此從樣本中任取2個產(chǎn)品，至少有1個精品裝產(chǎn)品的概率為與二=，.

(3)由題意，某項(xiàng)指標(biāo)總體的平均數(shù)為幽空警乜=114,

600

所以由分層抽樣的總體方差公式可得$2=器［2+(11.4-10月+卷［1.8+(114-12月

7.(24-25高一上?遼寧沈陽?期末)某醫(yī)療單位為了迎接醫(yī)師節(jié)，針對本單位不同年齡的員工舉辦了一次實(shí)

踐技能大比拼活動，滿分100分(95分及以上為優(yōu)秀醫(yī)師)，共有100人榮獲"優(yōu)秀醫(yī)師”稱號，將其按年

齡分成以下五組：第一組［20,30),第二組［30,40),第三組［40,50),第四組［50,60),第五組［60,70),得至IJ

如圖所示的頻率分布直方圖.

頻率/組距

0.035

0.03

0.01

0.005

O203040506070年齡/歲

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計這些人的平均年齡元；

⑵若從第三組，第四組，第五組三組中分層抽取6人，再從這6人中隨機(jī)抽取2人，求抽取的2人年齡在

不同組的概率；

⑶若第四組的年齡的平均數(shù)與方差分別為54和1,第五組的年齡的平均數(shù)與方差分別為66和4,據(jù)此計算

這100人中第四組與第五組所有人的年齡的方差.

1————

附：S2=----+(X］-于++(無2一君"}

【答案】(1)44.5歲;

(3)34.

【知識點(diǎn)】抽樣比、樣本總量、各層總數(shù)、總體容量的計算、由頻率分布直方圖估計平均數(shù)、計算幾個數(shù)

據(jù)的極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、計算古典概型問題的概率

【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖的平均值公式計算得解.

(2)利用古典概型公式，列出所有情況和滿足題意的情況即可.

(3)根據(jù)分層抽樣的方差公式計算即可.

【詳解】(1)這些人的平均年齡元=25x0.05+35x0.35+45x0.3+55x0.2+65x0.1=44.5(歲).

(2)第三組，第四組，第五組的頻率分別為0.3,0.2,0.1,

從這三組中分層抽取6人，則第三組抽3人，記為4,出，4；第四組抽2人，記為如仇；

第五組抽1人，記為c,

樣本空間O={4〃2,4m3,”占，4。2，%。'02"3'"24，。2。2，。2。,"3配6/302，43。*也,4。'。2。}，共15個樣本點(diǎn),

設(shè)事件A為〃從6人中隨機(jī)抽取兩人，所抽取的2人年齡在不同組〃,

A={a}bvaxb2,a2bx,a2b2,a2c,a3bx,a3b2,a3c,bxc,b2c},共11個樣本點(diǎn),

所以抽取的2人年齡在不同組的概率P(A)=仁.

(3)設(shè)第四組、第五組年齡的平均數(shù)分別為?兀，方差分別為

則％=54,x2=66,s；=1,$=4,

第四組有20人，第五組有10人，設(shè)第三組和第四組所有人的年齡平均數(shù)為高，方差為

貝1」丁_20項(xiàng)+10x2_20x54+10x66

、“—30-30-'

S2=26716{2°國+([一京廣]+10度+(兀一京)2]}

=^{20X[1+(58-54)2]+10X[4+(66-58)2]}=34.

所以這100人中第四組與第五組所有人的年齡的方差為34.

題型2用樣本估計總體

GO

1、計算一組〃個數(shù)據(jù)的第P百分位數(shù)的步驟：

第1步,按從小到大排列原始數(shù)據(jù).

第2步,計算，="Xp0/o.

第3步，若，不是整數(shù),而大于，的比鄰整數(shù)為j,則第P百分位數(shù)為第j項(xiàng)數(shù)據(jù);若i是整數(shù),則第P百分位

數(shù)為第『項(xiàng)與第a+1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù).

2、在頻率分布直方圖中，眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)的估計值

（1）最高的小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù)；

II

；（2）中位數(shù)左邊和右邊的所有小矩形的面積和是相等的；

：（3）平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘小矩形底邊中點(diǎn)的橫

；坐標(biāo)之和.

一工…石6江關(guān)譚荷茜二三慢5-窠越嵩三軍裝軍行,藪羽沆諼曩「一笄花彳而,茗翱的競賽成績（滿分100分，

成績?nèi)≌麛?shù)）整理成如圖所示的頻率分布直方圖，則估計這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)為（）

【答案】B

【知識點(diǎn)】總體百分位數(shù)的估計

【分析】由頻率分布直方圖性質(zhì)求。，根據(jù)百分位數(shù)定義，結(jié)合數(shù)據(jù)求解即可.

【詳解】由10x（2a+3a+3a+6a+54+4）=l,解得：a=0.005,所以前4組頻率和為14x0.005x10=0.7,

前5組頻率和為19x0.005x10=0.95,

設(shè)這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)為x,貝U0.7+（彳-80）x0.025=0.85,解得：%=86,

故選：B

2.（2024?天津?二模）為了加深師生對黨史的了解，激發(fā)廣大師生知史愛黨、知史愛國的熱情，某校舉辦

了"學(xué)黨史、育文化”的黨史知識競賽，并將1000名師生的競賽成績（滿分100分，成績?nèi)≌麛?shù)）整理成如

圖所示的頻率分布直方圖，估計這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)為（）分

頻率

A.84B.85C.86D.87

【答案】C

【知識點(diǎn)】總體百分位數(shù)的估計、由頻率分布直方圖計算頻率、頻數(shù)、樣本容量、總體容量

【分析】根據(jù)百分位數(shù)定義，結(jié)合數(shù)據(jù)求解即可.

【詳解】由10x(2a+3"+3a+6a+5a+a)=1,解得：a=0.005,

所以前4組頻率之和為14x0.005x10=0.7,前5組頻率之和為19x0.005x10=0.95,

設(shè)這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)為x,貝0.7+（尤-80）*0.025=0.85,解得:x=86,

故選：C

3.（2024?天津?二模）為深入貫徹落實(shí)習(xí)近平總書記對天津工作"三個著力”重要要求，天津持續(xù)深化改革，

創(chuàng)建全國文明城區(qū)，城市文明程度顯著提升，人民群眾的夢想不斷實(shí)現(xiàn).在創(chuàng)建文明城區(qū)的過程中，中央文

明辦對某小區(qū)居民進(jìn)行了創(chuàng)建文明城區(qū)相關(guān)知識網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查，從本次問卷中隨機(jī)抽取了50名居民的問卷

結(jié)果，統(tǒng)計其得分?jǐn)?shù)據(jù)，將所得50份數(shù)據(jù)的得分結(jié)果分為6組：

[40,50）,[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100],并整理得到如下的頻率分布直方圖，則該小區(qū)居民得分

的第70百分位數(shù)為（）

「頻率/組距

0.028--------------1—

0.022----------1-----------

0.018--------------------------

a-----------

0.004—I-

--------vJ~~~~~~—?

O405060708090100分?jǐn)?shù)

A.89.09B.86.52C.84.55D.81.32

【答案】C

【知識點(diǎn)】頻率分布直方圖的實(shí)際應(yīng)用、總體百分位數(shù)的估計

【分析】利用百分位數(shù)的概念以及頻率分布直方圖求解.

【詳解】由題意得（0.004+a+0.018+2x0.022+0.028）x10=1,

解得a=0.006,

因?yàn)榍?組數(shù)據(jù)的頻率之和為0.04+0.06+0.22+0.28=0.6，

前5組數(shù)據(jù)的頻率之和為004+0.06+0.22+0.28+0.22=0.82,

則70%分位數(shù)在[80,90）內(nèi)，設(shè)70%分位數(shù)為x,

貝0.6+（A:—80）xQ.022=0.7,解得XQ84.55,

所以70%分位數(shù)約為84.55.

故選：C.

4.（2024?天津?二模）某校舉辦了數(shù)學(xué)知識競賽，把1000名學(xué)生的競賽成績（滿分100分，成績?nèi)≌麛?shù)）

按[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100]分成四組，并整理成如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法正確

的為（）

頻率

60708090100成績

a的值為0.015B.估計這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為80

C.估計這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為87D.估計成績低于80分的有350人

【答案】C

【知識點(diǎn)】補(bǔ)全頻率分布直方圖、由頻率分布直方圖計算頻率、頻數(shù)、樣本容量、總體容量、總體百分位

數(shù)的估計

【分析】利用頻率分布直方圖的性質(zhì)可判定A,利用眾數(shù)、百分位數(shù)的求法可判定B、C,根據(jù)頻率分布直

方圖計算可估計總體判定D.

【詳解】易知104+0.020x10+0.050x10+0.025x10=1,解得。=0.005,所以A錯誤；

由頻率分布直方圖可知眾數(shù)落在［80,90）區(qū)間，用區(qū)間中點(diǎn)表示眾數(shù)即85,所以B錯誤；

由頻率分布直方圖可知前兩組頻率之和為0005x10+0.020x10=0.25,

前三組頻率之和為0.005x10+0.020x10+0.050x10=0.75,

故第60百分位數(shù)落在區(qū)間［80,90）,設(shè)第60百分位數(shù)為x,

貝I］0.25+（X-80）x0.050=0.60,解得x=87,所以C正確；

成績低于80分的頻率為0.005x10+0.020x10=0.25,所以估計總體有1000*0.25=250,故D錯誤.

故選：C.

5.（2024,天津河北?一模）已知甲乙兩組數(shù)據(jù)分別為20,21,22,23,24,25和23,24,25,26,27,28,則下列說法

中不正確的是（）

A.甲組數(shù)據(jù)中第70百分位數(shù)為23B.甲乙兩組數(shù)據(jù)的極差相同

C.乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為25.5D.甲乙兩組數(shù)據(jù)的方差相同

【答案】A

【知識點(diǎn)】計算幾個數(shù)的中位數(shù)、計算幾個數(shù)據(jù)的極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、總體百分位數(shù)的估計

【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義可得甲組數(shù)據(jù)中第70百分位數(shù)為24；計算可知兩組數(shù)據(jù)的極差都為5；由中

位數(shù)定義可求出乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為25.5；利用方差公式計算可求得甲乙兩組數(shù)據(jù)的方差均為匚.

【詳解】對于A,每組數(shù)據(jù)為6個，因?yàn)?x70%=4.2,

所以甲組數(shù)據(jù)中第70百分位數(shù)為第5個數(shù)，即為24,所以A錯誤；

對于B,甲組數(shù)據(jù)的極差為25-20=5,乙組數(shù)據(jù)的極差為28-23=5,即B正確;

對于C,乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為第三個數(shù)和第四個數(shù)的平均數(shù)，即一^=25.5,所以C正確；

2

對于D,易知甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為22.5,

則甲組數(shù)據(jù)的方差為

,［（20-22.5）2+（21-22.5）2+（22-22.5『+（23-22.5）2+（24-22.5）2+（25-22.5）1=1|

乙組數(shù)據(jù)的方差為'［（23-25.5）2+（24-25.5）2+（25-25.5）2+（26-25.5『+（27-25.5）2+（28-25.5）2］=1|；

因此甲乙兩組數(shù)據(jù)的方差相同，即D正確.

故選：A

6.（2023?天津和平?二模）一組樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖所示，試估計此樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為（）

100

A.13B.12C.—D.——

29

【答案】D

【知識點(diǎn)】由頻率分布直方圖估計中位數(shù)

【分析】根據(jù)頻率分布直方圖，結(jié)合中位數(shù)公式，即可求解.

【詳解】設(shè)中位數(shù)為x,則0.02x4+0.08x4+（x—10）x0.09=0.5,

100

解得：％=丁.

故選：D

7.（2023?天津?yàn)I海新?三模）為了解學(xué)生每天的體育活動時間，某市教育部門對全市高中學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，

隨機(jī)抽取1000名學(xué)生每天進(jìn)行體育運(yùn)動的時間，按照時長（單位：分鐘）分成6組：第一組［30,40）,第二

組［40,50）,第三組［50,60）,第四組［60,70）,第五組［70,80）,第六組［80,90］.對統(tǒng)計數(shù)據(jù)整理得到如圖所

示的頻率分布直方圖，則下列結(jié)論不正確的是（）

幀率/組距

:m

aI-?一??—-—?卜??卜，

°n：n?rmr

。~3'0；()SoA)io而3)時向/分鐘

A.頻率分布直方圖中的。=0.015

B.估計1000名學(xué)生每天體育活動不少于一個小時的學(xué)生人數(shù)為400

C.估計1000名學(xué)生每天體育活動時間的眾數(shù)是55

D.估計1000名學(xué)生每天體育活動時間的第25百分位數(shù)為45.5

【答案】D

【知識點(diǎn)】總體百分位數(shù)的估計、根據(jù)頻率分布直方圖計算眾數(shù)、由頻率分布直方圖計算頻率、頻數(shù)、樣

本容量、總體容量

【分析】由頻率之和為1可判斷A；求出學(xué)生每天體育活動不少于一個小時的概率即可估計1000名學(xué)生每

天體育活動不少于一個小時的學(xué)生人數(shù)可判斷B；由眾數(shù)的定義可判斷C；有百分位數(shù)的定義可判斷D.

【詳解】由頻率之和為1得：10x(0.01+0.02+0.03+2a+0.01)=l,解得。=0.015,故A正確；

學(xué)生每天體育活動不少于一個小時的概率為：(0.015+0.015+0.01)x10=0.4,

則估計1000名學(xué)生每天體育活動不少于一個小時的學(xué)生人數(shù)為0.4x1000=400，故B正確；

由頻率分布直方圖可估計1000名學(xué)生每天體育活動時間的眾數(shù)是55,故C正確；

由10X0.01=0.1<0.25,10x0.01+10x0.02=0.3>0.25,

故第25百分位數(shù)位于［40,50)內(nèi)，

則第25百分位數(shù)為40+之黑?X10=47.5.

可以估計該市高中學(xué)生每天體育活動時間的第25百分位數(shù)約為47.5,故D不正確.

故選：D.

8.(2023?天津北辰?三模)少年強(qiáng)則國強(qiáng)，少年智則國智.黨和政府一直重視青少年的健康成長，出臺了

一系列政策和行動計劃，提高學(xué)生身體素質(zhì).為了加強(qiáng)對學(xué)生的營養(yǎng)健康監(jiān)測，某校在3000名學(xué)生中，抽

查了100名學(xué)生的體重數(shù)據(jù)情況.根據(jù)所得數(shù)據(jù)繪制樣本的頻率分布直方圖如圖所示，則下列結(jié)論正確的

是()

A.樣本的眾數(shù)為65B.樣本的第80百分位數(shù)為72.5

C.樣本的平均值為67.5D.該校學(xué)生中低于65kg的學(xué)生大約為1000人

【答案】B

【知識點(diǎn)】總體百分位數(shù)的估計、由頻率分布直方圖計算頻率、頻數(shù)、樣本容量、總體容量、由頻率分布

直方圖估計平均數(shù)、根據(jù)頻率分布直方圖計算眾數(shù)

【分析】根據(jù)眾數(shù)，百分位數(shù)，平均數(shù)的定義判斷A,B,C,再求低于65kg的學(xué)生的頻率，由此估計總體

中體重低于65kg的學(xué)生的人數(shù)，判斷D.

【詳解】由頻率分布直方圖可得眾數(shù)為67.5,A錯誤；

平均數(shù)為57.5x0.15+62.5x0.25+67.5x0.3+72.5x0.2+77.5x0.1=66.75,C錯誤；

因?yàn)轶w重位于[55,60),[60,65),[65,70),[70,75)的頻率分別為0.15,0.25,0.3,0.2,

因?yàn)?.15+0.25+0.3+0.2>0.8,

所以第80百分位數(shù)位于區(qū)間[70,75)內(nèi)，設(shè)第80百分位數(shù)為x,

則0.15+0.25+0.3+(尤一70)x0.04=0.8,

所以*=72.5,即樣本的第80百分位數(shù)為72.5,B正確；

樣本中低于65kg的學(xué)生的頻率為0.15+0.25=0.4,

所以該校學(xué)生中低于65kg的學(xué)生大約為3000x0.4=1200,D錯誤；

故選：B.

題型3互斥事件，對立事件，獨(dú)立事件

1j

I00?百

ii

事件的相互獨(dú)立性

(1)事件A與事件3相互獨(dú)立：對任意的兩個事件A與3,如果尸(M)=P(A)尸(5)成立，則稱事件A

ii

，與事件8相互獨(dú)立，簡稱為獨(dú)立.

(2)性質(zhì)：若事件A與事件8相互獨(dú)立，則A與耳，1與8,入與豆也都相互獨(dú)立，P(B\A)=P(B),\

II

「(A|5)=P(A).

II

二「7殍五滴二羊關(guān)萍葡茉T二不質(zhì)短均勻的正四面體木塊的遠(yuǎn)不荷王芬前標(biāo)看數(shù)字1,2,3,4.連續(xù)拋

擲這個正四面體木塊兩次，并記錄每次正四面體木塊朝下的面上的數(shù)字，記事件A為"第一次向下的數(shù)字為

2或3",事件8為“兩次向下的數(shù)字之和為奇數(shù)”，則下列結(jié)論正確的是（）

A.尸（A）=：B.事件A與事件8互斥

C.事件A與事件3相互獨(dú)立D.P（AoB）=-

【答案】C

【知識點(diǎn)】概率的基本性質(zhì)、判斷所給事件是否是互斥關(guān)系、計算古典概型問題的概率、獨(dú)立事件的判斷

【分析】對于A,根據(jù)古典概型的概率公求解判斷，對于B,根據(jù)互斥事件的定義分析判斷，對于C,根據(jù)

獨(dú)立事件的定義分析判斷，對于D,根據(jù)和事件的概率公式求解判斷.

71

【詳解】對于A,因?yàn)橛?個數(shù)字，向下的數(shù)字為2或3的有2種，所以P（A）=：=；,錯誤；

對于B,由題意，事件A和事件3有可能同時發(fā)生，如第一次向下的數(shù)字為2,第二次向下的數(shù)字為1,所

以B錯誤，

對于C,因?yàn)閮纱螖?shù)字和為奇數(shù)的有:（1,2）,（1,4）,（2,1）,（2,3）,（3,2）,（3,4）,（4,1）,（4,3）,共8種,所以

第一次數(shù)字為2或3,且兩次數(shù)字和為奇數(shù)的有：（2,1）,（2,3）,（3,2）,（3,4）,4種，所以尸（AB）=￡=；,

因?yàn)镻（A）=g,所以P（A）P（8）=P（AB）,所以事件A與事件B相互獨(dú)立，所以C正確，

1113

對于D,P（AuB）=P（A）+P（B）-P（AB）=^+2~4=4,所以。錯誤.

故選：C

2.（2024?上海嘉定?一模）假定生男生女是等可能的，設(shè)事件A：一個家庭中既有男孩又有女孩；事件比一個

家庭中最多有一個女孩.針對下列兩種情形：①家庭中有2個小孩；②家庭中有3個小孩，下面說法正確是

（）.

A.①中事件A與事件B相互獨(dú)立、②中的事件A與事件B相互獨(dú)立

B.①中事件A與事件B不相互獨(dú)立、②中的事件A與事件B相互獨(dú)立

C.①中事件A與事件3相互獨(dú)立、②中的事件A與事件B不相互獨(dú)立

D.①中事件A與事件8不相互獨(dú)立、②中的事件A與事件B不相互獨(dú)立

【答案】B

【知識點(diǎn)】計算古典概型問題的概率、獨(dú)立事件的判斷

【分析】分別寫出①②對應(yīng)的樣本空間，再利用相互獨(dú)立事件計算判斷.

【詳解】若家庭中有兩個小孩，樣本空間為G=｛（男，男），（男，女），（女,男），（女，女）｝,共4種情況，

A=｛（男，女），（女，男）｝，8=｛（男，男），（男，女），（女，男）｝，入=｛（男，女），（女，男）｝,

21321

則P（A）=7=7，P（B）=-,P（AB）=-=-^P（A）P（B）,事件A與事件3不相互獨(dú)立，AC錯誤；

42442

若家庭中有三個小孩,樣本空間為。=｛（男，男，男），（男，男，女），（男，女，男），（女，男,男），

（男，女,女）,（女，男，女），（女，女，男），（女，女，女）｝，共8種情況，

A=｛（男，男,女），（男，女，男），（女，男,男），（男，女,女），（女，男，女），（女，女,男）｝,

8=｛（男，男，男），（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男）｝，鉆=｛（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男）｝，

P（A）=|=|,P（B）=I=g,P（AB）=^=P（A）P（B）,事件A與事件8相互獨(dú)立'B正確'D錯誤.

故選：B

3.（2024?上海虹口?一模）已知事件A和事件B滿足43=0,則下列說法正確的是（）.

A.事件A和事件B獨(dú)立B.事件A和事件B互斥

C.事件A和事件8對立D.事件彳和事件月互斥

【答案】B

【知識點(diǎn)】判斷所給事件是否是互斥關(guān)系、獨(dú)立事件的判斷、確定所給事件的對立關(guān)系

【分析】根據(jù)互斥事件、相互獨(dú)立事件的定義判斷即可.

【詳解】因?yàn)槭录嗀和事件8滿足ADB=0,則一定可以得到事件A和事件B互斥，但不一定對立，故B

正確，C錯誤；

因?yàn)镻（Afi）=0,當(dāng)P（A）,P（3）不為。時，事件A和事件B不獨(dú)立，故A錯誤；

拋擲一枚骰子，記出現(xiàn)1點(diǎn)為事件A,出現(xiàn)2點(diǎn)為事件

則無=｛2,3,4,5,6｝,月=｛1,3,4,5,6｝,顯然事件?和事件月不互斥，故D錯誤.

故選：B

4.（2024?廣東廣州?模擬預(yù)測）擲出兩枚質(zhì)地均勻的骰子，記事件A="第一枚點(diǎn)數(shù)小于3",事件3="第二

枚點(diǎn)數(shù)大于4",則A與B關(guān)系為（）

A.互斥B.互為對立C.相互獨(dú)立D.相等

【答案】C

【知識點(diǎn)】計算古典概型問題的概率、獨(dú)立事件的判斷、獨(dú)立事件的乘法公式

【分析】利用古典概型分別求出尸（A）,尸（8）,P（AB）,由尸（"）=尸（A）P（B）可得解.

【詳解】由題意，擲出兩枚質(zhì)地均勻的骰子共有基本事件36個，

其中事件A有。,1）,（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,（2,1）,（2,2）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（2,6）,共12個,

事件B有（1,5）,（2,5）,（3,5）,（4,5）,（5,5）,（6,5）,（L6）,（2,6）,（3,6）,（4,6）,（5,6）,（6,6）,共12個，事件AB有

（1,5）,（1,6）,（2,5）,（2,6）,共4個基本事件，

12￡

所以尸(A)=正

369

所以尸（A3）=P（A）P（B）,故A,3相互獨(dú)立，

答選：C

5.（23-24高一下?天津?期末）一個袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個球，其中有2個紅色球（標(biāo)號為1和2）,

2個黑色球（標(biāo)號為3和4）,采用不放回簡單隨機(jī)抽樣的方法從袋中依次摸出2個球.設(shè)事件A="摸到的

2個球顏色不相同"，事件3="摸到的2個球的數(shù)字之和大于5".

⑴用集合的形式寫出試驗(yàn)的樣本空間，并求尸（A）,P（B）；

（2）求P（AB）,并說明事件A與8是否相互獨(dú)立.

【答案】（1）答案見解析

（2）P（AB）=^,事件A與事件B不獨(dú)立.

6

【知識點(diǎn)】計算古典概型問題的概率、獨(dú)立事件的乘法公式、寫出基本事件、獨(dú)立事件的判斷

【分析】（1）根據(jù)古典概型概率計算公式即可求得結(jié)果；

（2）利用獨(dú)立事件定義可得尸（A）P（8）WP（AS）,即可得出結(jié)論.

【詳解】⑴試驗(yàn)的樣本空間為。=｛（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,1）,（2,3）,（2,4）,（3,1）,（3,2）,（3,4）,（4,1）,（4,2）,（4,3）｝,

共12個基本事件，

而事件A包含的基本事件有（1,3）,（1,4）,（2,3）,（2,4）,（3,1）,（3,2）,（4,1）,（4,2）,共包含8個基本事

件，

Q7

則可得尸（A）=■=§,

事件B包含的基本事件有（2,4）,（3,4）,（4,2）,（4,3）,共4個基本事件;

41

則/仍）=丘=§?

（2）因?yàn)槭录嗀與8同時發(fā)生的基本事件有（2,4）,（4,2）,

71

所以*42）===力

710

又因?yàn)槭ˋ）P（2）=；x：=,可得P（A）P（3）HP（AB）,

所以事件A與事件8不獨(dú)立.

題型4條件概率，全概率公式和貝葉斯公式

-,返,7

P（AB）

1、條件概率：一般地，設(shè)A，3為兩個隨機(jī)事件，且尸（A）＞0,我們稱尸（31A）=77s為在事件A

「⑷i

發(fā)生的條件下，事件8發(fā)生的條件概率，簡稱條件概率.

:2、全概率公式：P（B）=fp（4）P（3i4）

?=1

尸（AIB）=P（A）P⑻A）=P（A）P（例4）

『、貝葉斯公式：'P?￡P(guān)（A）P@A）

k=l

二二一‘諼江關(guān)澤無藏三橫5-窠簞血茄謔顓王?荏泰貳一邪薄雙天被旗溟「葩吊:芝茜天為二國蠹r

比賽，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下:若投中，則此人繼續(xù)投籃，若未投中，則換為對方投籃，無論之前

投籃的情況如何，甲每次投籃的命中率均為:，乙每次投籃的命中率均為g.由抽簽確定第1次投籃的人選，

第1次投籃的人是甲、乙的概率各為《?第2次投籃的人是甲的概率為—；已知在第2次投籃的人是乙的

情況下，第1次投籃的人是甲的概率為—.

119

【答案】五D

【知識點(diǎn)】利用全概率公式求概率、利用貝葉斯公式求概率

【分析】設(shè)第ieN*次是甲投籃為事件4,投籃命中為事件8,根據(jù)已知及條件概率，應(yīng)用全概率公式、條

件概率公式求尸（4）、P（4IA）-

【詳解】設(shè)第ieN*次是甲投籃為事件A，投籃命中為事件8,

/一、11一1_3——2

所以尸(4)=尸(4)=]'P(B\Ai)=-,P(B\Ai)=~,則尸(月IA)="P(B\Ai)=-,

________112111

所以第2次投籃人是甲的概率為尸(4)=P(B\Al)P(Al)+P(B\Al)P(Al)=-x-+-x-=—,

在第2次投籃的人是乙的情況下，第1次投籃的人是甲的概率為

31

一X-Q

p（2IA）尸（A）=42=9

l-P（A）1,--H-13,

24

11Q

故答案為：—;—,

2.（2024?天津河西?模擬預(yù)測）甲、乙、丙三個人去做相互傳球訓(xùn)練，訓(xùn)練規(guī)則是確定一人第一次將球傳

出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人，每次必須將球傳出.如果第一次

由甲將球傳出，設(shè)〃次傳球后球在甲手中的概率為匕，則乙=;P?=.

【答案】

【知識點(diǎn)】互斥事件的概率加法公式、寫出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、利用全概率公式求概率、由定義判定等

比數(shù)列

【分析】設(shè)出事件4，由題意得到A?4+「由互斥事件的概率加法公式和全概率公式得到

概率匕的遞推式《+1=-3￡+；,接著構(gòu)造等比數(shù)列優(yōu),-5,求出其通項(xiàng)公式即得.

【詳解】設(shè)4="經(jīng)過"次傳球后，球在甲的手中"，則事件4的概率即匕,“=1,2,3,,〃，則《=0,

依題意，A+i=A-k+4?AM，則/=P（A4M+A?A+J=4G+P（4?AG

——11

=p（A）.p（A+jA）+p（4）.p（A+1IA）=（i-^）x-+^xo=-（i-^）,

即匕123,,（*）

因4=o,代入解得，鳥=；,—》；+；=：；

由（*）可得，2+「!=-"+?=-1區(qū)-:），且勺-!=-9

故數(shù)列仍,-§是以-:為首項(xiàng)，-1為公比的等比數(shù)列，

于是，月-獷,則得，^=1-1x（-V=|x（-lr+1.

故答案為：（；-x（--）"+—■

3.（2024?天津北辰?模擬預(yù)測）甲和乙兩個箱子中各裝有5個大小相同的小球，其中甲箱中有3個紅球、2

個白球，乙箱中有4個紅球、1個白球，從甲箱中隨機(jī)抽出2個球，在已知至少抽到一個紅球的條件下，則

2個球都是紅球的概率為;擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，如果點(diǎn)數(shù)小于等于4,從甲箱子中隨機(jī)抽出

1個球；如果點(diǎn)數(shù)大于等于5,從乙箱子中隨機(jī)抽出1個球，若抽到的是紅球，則它是來自乙箱的概率

是?

【答案】|

【知識點(diǎn)】計算條件概率、利用全概率公式求概率

【分析】利用條件概率公式計算摸出的2個球是紅球的概率；利用全概率公式求紅球的概率.

【詳解】記事件A表示"至少抽到一個紅球"，事件3表示"2個球都是紅球"，

+02roQ「2003C2C°

P（A）=JY+"Y=2,P（B）=今=AP（AB）=*3

C|10C；10c；10

設(shè)事件c表示"從乙箱中抽球”，則事件。表示"從甲箱中抽球",

事件。表示“抽到紅球"，則

21-424-3

P(C)=-=-,P(C)=-=-,P(D\C)=-,P(D\C)=-

o36355f

一--142310

所以P(D)=P(CD)+P(CD)=P(C)P(D|C)+P(C)P(r>|C)=-x-+-x-=—,

14

—x—

3542

所以小展3=沙10105

15

i0

故答案為：①@y-

4.(2024?天津河北?二模)學(xué)習(xí)小組為了研究手機(jī)對學(xué)生學(xué)習(xí)的影響，對本學(xué)校學(xué)生手機(jī)使用情況統(tǒng)計分

析有以下結(jié)果：若學(xué)生前一天沒有玩手機(jī)，則接下來一天也不玩手機(jī)的概率為0.7,若學(xué)生前一天玩手機(jī),

接下來一天也玩手機(jī)的概率為08已知一個學(xué)生第一天沒玩手機(jī)，根據(jù)這個統(tǒng)計結(jié)果計算，那么他第二天

玩手機(jī)的概率為，第三天不玩手機(jī)的概率為.

【答案】0.30.55

【知識點(diǎn)】利用全概率公式求概率、利用對立事件的概率公式求概率

【分析】根據(jù)題意由對立事件概率公式得第二天玩手機(jī)的概率，再由全概率公式得第三天不玩手機(jī)概率即

可.

【詳解】由題意，學(xué)生前一天沒有玩手機(jī)，則接下來一天也不玩手機(jī)的概率為07

所以一個學(xué)生第一天沒玩手機(jī)，那么他第二天玩手機(jī)的概率為1-0.7=0.3,

由全概率公式知第三天不玩手機(jī)的概率為03x(1-0.8)+(1-0.3)*0.7=0.55.

故答案為：0.3；0.55

5.(2023?天津和平?三模)拋擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子，其中白色骰子與黑色骰子各一顆，記事件A為"白色

骰子的點(diǎn)數(shù)為4或5”,事件8為“兩顆骰子點(diǎn)數(shù)之和大于8",則P(B|A)=；P(A|B)=.

【答案】得1/0.5

【知識點(diǎn)】計算條件概率、計算古典概型問題的概率

【分析】分別求出事件A,事件8和事件同時發(fā)生的概率，再由條件概率的公式計算即可.

【詳解】拋擲白、黑兩顆骰子，事件總數(shù)為36,事件A的基本事件數(shù)為6,

21

易知產(chǎn)(A))),

o3

用(X,y)中的蒼V表示拋擲白、黑兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)，則事件B包含:(3,6),(4,5),(4,6),

(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),

所以PGB)=粵

—,P(AB)=~

□O1836

5

1

P(AB)W，尸（）P(AB)-

所以尸（邳A）=h8=3652-

P(A)P(B)

18

故答案為：->y.

12乙

6.（2024?天津?yàn)I