專題16概率

1.事件可以分為和.確定事件又包括和.在每次試驗中，事先知道其一定會發(fā)

生的事件叫作_______.在每次試驗中，事先知道其一定不會發(fā)生的事件叫作________.在每次試驗中，事先都無法確

定其會不會發(fā)生的事件叫作.

2.一般地，如果在一次試驗中，有n種可能的結(jié)果，并且發(fā)生的可能性相等，其中使事件A發(fā)生的結(jié)果有m（m

<n）種，那么事件A發(fā)生的概率為.

3.概率的計算方法有：,:.

4.可以通過計算來評判游戲是否公平.如果游戲雙方相同，說明游戲公平，否則可以通過修改

游戲規(guī)則或者得分標準使游戲公平.

5.較復雜事件的概率估算：可以通過_______估計復雜事件的概率，要求選用合理的在相同條件下

進行試驗，試驗次數(shù)越________試驗獲得的估計值相對就越準確.

實戰(zhàn)演練

1.某校九年級選出三名同學參加學校組織的“法治和安全知識競賽”.比賽規(guī)定，以抽簽方式?jīng)Q定每個人的出場順

序.主持人將表示出場順序的數(shù)字1,2,3分別寫在3張同樣的紙條上，并將這些紙條放在一個不透明的盒子中，攪

勻后從中任意抽出一張，小星第一個抽.下列說法中正確的是（）

A.小星抽到數(shù)字1的可能性最小

B.小星抽到數(shù)字2的可能性最大

C.小星抽到數(shù)字3的可能性最大

D.小星抽到每個數(shù)的可能性相同

2.不透明的袋子中裝有紅、綠小球各一個，除顏色外兩個小球無其他差別，從中隨機摸出一個小球，放回并搖

勻，再從中隨機摸出一個小球，那么第一次摸到紅球、第二次摸到綠球的概率是（）

A.-B.-C.-D.-

4324

3.班長邀請A,B,C,D四位同學參加圓桌會議.如圖，班長坐在⑤號座位，四位同學隨機坐在①②③④四個座位,

則A,B兩位同學座位相鄰的概率是（）

4.隨著信息化的發(fā)展，二維碼已經(jīng)走進我們的日常生活，其圖案主要由黑、白兩種小正方形組成.現(xiàn)對由三個小

正方形組成的“口口口”進行涂色，每個小正方形隨機涂成黑色或白色，恰好是兩個黑色小正方形和一個白色小正方形

的概率為（）

1312

AyByC.-D.-

5.不透明袋子中裝有除顏色外完全相同的2個紅球和1個白球，從袋子中隨機摸出2個球，下列事件是必然

事件的是（）

A摸出的2個球中至少有1個紅球

B.摸出的2個球都是白球

C.摸出的2個球中1個紅球、1個白球

D.摸出的2個球都是紅球

6.現(xiàn)有4張卡片，正面圖案如圖所示，它們除此之外完全相同才巴這4張卡片背面朝上洗勻，從中隨機抽取兩

張，則這兩張卡片正面圖案恰好是“天問”和“九章”的概率是（）

7.如圖，某校運會百米預賽用抽簽方式確定賽道.若琪琪第一個抽簽，她從1-8號中隨機抽取一簽，則抽到6

號賽道的概率是_______.

8.如圖，已知。。是小正方形的外接圓，是大正方形的內(nèi)切圓.現(xiàn)假設可以隨意在圖中取點，則這個點取在陰影

部分的概率是.

0

9.質(zhì)檢部門對某批產(chǎn)品的質(zhì)量進行隨機抽檢，結(jié)果如下表所示：

抽檢產(chǎn)品數(shù)n1001502002503005001000

合格產(chǎn)品數(shù)m89134179226271451904

合格率m0.8900.8930.8950.9040.9030.9020.904

在這批產(chǎn)品中任取一件，恰好是合格產(chǎn)品的概率約是（結(jié)果保留一位小數(shù)）.

10.一個小球在如圖所示的方格地磚上任意滾動，并隨機停留在某塊地召專上.每塊地磚的大小、質(zhì)地完全相同，

那么該小球停留在黑色區(qū)域的概率是一

11.2022年3月25日，教育部印發(fā)《義務教育課程方案和課程標準（2022年版）》，優(yōu)化了課程設置，將勞動

從綜合實踐活動課程中獨立出來.某校以中國傳統(tǒng)節(jié)日端午節(jié)為契機，組織全體學生參加包粽子勞動體驗活動，隨機

調(diào)查了部分學生，對他們每個人平均包一個粽子的時長進行統(tǒng)計，并根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果繪制成如下不完整的統(tǒng)計圖表.

等級時長t（單位:分鐘）人數(shù)所占百分比

A0<t<24X

B2<t<420

C4<t<636%

Dt>616%

人數(shù)

20

8

ABCD等級

根據(jù)圖表信息，解答下列問題：

（1）本次調(diào)查的學生總?cè)藬?shù)為表中x的值為；

⑵該校共有500名學生，請你估計等級為B的學生人數(shù)；

⑶本次調(diào)查中，等級為A的4人中有兩名男生和兩名女生，若從中隨機抽取兩人進行活動感想交流，請利用

畫樹狀圖或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率.

12.2022年3月22日至28日是第三十五屆“中國水周”，在此期間，某校舉行了主題為“推進地下水超采綜合

治理，復蘇河湖生態(tài)環(huán)境”的水資源保護知識競賽.為了了解本次知識競賽成績的分布情況，從參賽學生中隨機抽取

了150名學生的初賽成績進行統(tǒng)計，得到如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖表.

成績X/分頻數(shù)頻率

60<x<70150.1

70<x<80a0.2

80<x<9045b

90<x<10060C

請根據(jù)圖表中所給信息，解答下列問題：

(1)表中a=,b=,c=;

⑵請補全頻數(shù)分布直方圖；

(3)若某班恰有3名女生和1名男生的初賽成績均為99分，從這4名學生中隨機選取2名學生參加復賽，請

用列表法或畫樹狀圖法求選出的2名學生恰好為一名男生、一名女生的概率.

13.小亮和小麗進行摸球試驗.他們在一個不透明的空布袋內(nèi)，放入兩個紅球，一個白球和一個黃球，共四個小

球.這些小球除顏色外其它都相同.試驗規(guī)則：先將布袋內(nèi)的小球搖勻，再從中隨機摸出一個小球，記下顏色后放回，

稱為摸球一次.

(1)小亮隨機摸球10次，其中6次摸出的是紅球，求這10次中摸出紅球的頻率；

⑵若小麗隨機摸球兩次，請利用畫樹狀圖或列表的方法，求這兩次摸出的球中一個是白球、一個是黃球的概率.

壓軸預測

1.投擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，骰子的六個面上分別刻有1到6的點數(shù)，則下列事件為隨機事件的是()

A.兩枚骰子向上一面的點數(shù)之和等于1

B.兩枚骰子向上一面的點數(shù)之和小于2

C.兩枚骰子向上一面的點數(shù)之和小于6

D.兩枚骰子向上一面的點數(shù)之和等于13

2.在一個不透明的袋子中有三個黑球和兩個白球，它們除了顏色不同外都相同，隨機從中摸一個球，記錄顏色

后，放回袋子中，再隨機摸出一個球，兩次都摸到黑球的概率是()

A.—B.——C.D.—

25162525

3.某園林綠化管理局為了考察樹苗的成活率，于是進行了現(xiàn)場統(tǒng)計，表中記錄了樹苗的成活情況，則由此估計

這種樹苗成活的概率約為.(結(jié)果精確到0.1)

植樹總數(shù)n40035007000900014000

成活數(shù)m36932036335807312628

成活的頻率-mn0.9230.9150.9050.8970.902

4.如圖是一個可以自由轉(zhuǎn)動的兩色轉(zhuǎn)盤其中白色扇形和紅色扇形的圓心角分別為120。和240。.若讓轉(zhuǎn)盤自由轉(zhuǎn)

動一次，則指針落在白色區(qū)域的概率是.若讓轉(zhuǎn)盤自由轉(zhuǎn)動兩次，則指針一次落在白色區(qū)域，另一次落在紅

色區(qū)域的概率是________.

5.為了響應國家“雙減”政策號召，落實“五育并舉”舉措，鎮(zhèn)海區(qū)各校在周六開展了豐富多彩的社團活動.某校為

了了解學生對“籃球社團、動漫社團、文學社團和攝影社團”四個社團選擇意向，在全校各個年級抽取了一部分學生

進行抽樣調(diào)查（每人選報一類）,繪制了如圖所示的兩幅統(tǒng)計圖（不完整）.

社團選擇意向情況扇形統(tǒng)計圖

4籃球社團

B.動漫社團

C文學社團

D攝影社團

請根據(jù)圖中信息，解答下列問題.

⑴求扇形統(tǒng)計圖中m=并補全條形統(tǒng)計圖；

（2）已知該校共有1600名學生，請估計有意向參加“攝影社團”共有多少人？

⑶在“動漫社團”活動中，甲、乙、丙、丁四名同學表現(xiàn)優(yōu)秀，現(xiàn)決定從這四名同學中任選兩名參加“中學生原

創(chuàng)動漫大賽”，請用列表或畫樹狀圖的方法求出恰好選中乙、丙兩位同學的概率.

參考答案

1.確定事件隨機事件必然事件不可能事件必然事件不可能事件隨機事件

2.P⑷=-

n

3.列表法求概率畫樹狀圖法求概率利用頻率估計概率

4.概率獲勝的概率

5.試驗的方法替代物多

1.D【解析】本題考查隨機事件的可能性.小星抽到數(shù)字1,2,3的可能性相同故選D.

2.A【解析】本題考查用列表法或畫樹狀圖法求概率.由題意，列表如表，

第二次

紅綠

第一次

紅（紅，紅）（紅，綠）

綠（綠，紅）（綠，綠）

由表可知，共4種等可能的結(jié)果，其中只有一種滿足要求，故所求概率為點故選A.

4

由題意，畫樹狀圖如圖，

開始

第一次紅綠

AA

第二次紅綠紅綠

由圖可知，共4種等可能的結(jié)果，其中只有一種滿足要求，故所求概率為；故選A.

4

3.C【解析】本題考查畫樹狀圖求概率.根據(jù)題意畫樹狀圖如圖所示.由圖可知，四人依次坐下共有24種等可

能情況，其中A，B兩位同學座位相鄰的情況共有12種，所以A，B兩位同學座位相鄰的概率是g=義,故選C.

開始

A①④

B五③④/③④后①④②③①

AAAAAAAAAAAA

C③④②④②③③④①④①③①④⑥④◎①⑤①6①⑥③

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

D④③④②③②④③④①③①④①④②①②①③①②③②

4.B【解析】本題考查用畫樹狀圖法求概率.根據(jù)題意，畫樹狀圖如圖：

開始

第一個小正方形黑色白色

第二個小正方形黑色白色黑色白色

AAAA

第三個小正方形黑色白色黑色白色黑色白色黑色白色

從樹狀圖可知，一共有8種等可能的情況，其中涂成兩黑一白的有3種情況，，恰好是兩個黑色小正方形和一

個白色小正方形的概率為|,故選B.

O

5.A【解析】本題考查必然事件的概念根據(jù)題意知袋子中共有3個球，其中有2個紅球和1個白球，，任意

摸出2個球，有兩種等可能的情況，分別是兩個都是紅球，1個紅球1個白球，，在摸出的2球中至少有1個紅球

是必然事件，故選A.

6.A【解析】本題考查列舉法求隨機事件的概率.根據(jù)題意，從4張卡片中隨機抽取兩張的等可能情況有（北

斗,天問），（北斗，高鐵），（北斗，九章），（天問，高鐵），（天問，九章），（高鐵，九章），共6種，其中恰好是“天問”

和“九章”的只有一種情況，，P（恰好是天問”和“九章”尸:，故選A.

7.5【解析】本題考查隨機事件的概率.琪琪從1—8號中隨機抽取一簽，抽到6號賽道的概率是

OO

8.T【解析】本題考查扇形的面積公式、隨機事件的概率.由圖可知，大正方形的邊長等于小正方形的對角

4

線長.設大正方形的邊長為2a，則圓的半徑為a，，大正方形的面積為4a2,s=4x（駕—》a?）=（兀-2）a2,：.

P（這個點取在陰影部分=左等=詈.

9.0.9【解析】本題考查用頻率估計概率.根據(jù)合格率可知在這批產(chǎn)品中任取一件，恰好是合格產(chǎn)品的概率約為

0.9.

10.I【解析】本題考查求隨機事件的概率.根據(jù)已知圖形，設每個小正方形的邊長都為1,則大正方形的面積為

9,其中黑色區(qū)域的面積為2一..P（小球停留在黑色區(qū)域尸|,即該小球停留在黑色區(qū)域的概率是|

2

11.（1）508%（2）200（3）|

⑴根據(jù)D等級的人數(shù)及其所占的百分比，求出本次調(diào)查的學生總?cè)藬?shù)；根據(jù)總?cè)藬?shù)和A等級的人數(shù)，求出其

所占的百分比x；（2）用等級為B的學生占調(diào)查人數(shù)的比例乘全校學生總?cè)藬?shù)，即可估計全校等級為B的學生人數(shù)；

⑶先列表求出所有等可能的結(jié)果數(shù)，再確定抽到一男一女的結(jié)果數(shù)，代入概率公式，即可求解.

解:⑴508%.

本次調(diào)查的學生總?cè)藬?shù)為

8X6%=50;

4+50=8%,即x=8%.

（2）500X^=200（名），

即估計等級為B的學生有200名.

（3）根據(jù)題意，列表如下：

男1男2女1女2

男1（男2男1）（女1,男1）（女2,男1）

男2（男1,男2）（女1，男2）（女2,男2）

女1（男1,女1）(男2女1)（女2,女1）

女2（男1,女2）（男2.女2）（（女1,女2）

從表中可以看出，一共有12種等可能的結(jié)果，其中抽到一名男生和一名女生的有8種情況，??.P(恰好抽到一

名男生和一名女生=^=|.

12.(1)300.30.4⑵略(3)|

⑴由頻率的定義即可求出a,b,c;⑵由⑴中a的值.即可補全頻數(shù)分布直方圖；(3)根據(jù)題意，畫樹狀圖或列表求出

所有等可能的結(jié)果，再求出選出的2名學生恰好為一名男生、一名女生的結(jié)果數(shù)，利用概率公式，即可求解.

解:(l)a=150x0.2=30,

b=45月50=0.3,

c=60-150=0.4.

(2)補全頻數(shù)分布直方圖如圖所示.

(3)解法一：畫樹狀圖如圖所示,

開始

女I女2女3男女2女3男女I女、男女I女2

由樹狀圖知，共有12種等可能的結(jié)果，其中選出的2名學生恰好為一名男生、一名女生的結(jié)果有6種，

選出的2名學生恰好為一名男生、一名女生的概率為靜后

解法二：列表如表所示，

男女1女2女3

男—男、女1男、女2男、女3

女1女1、男—女1、女2女1、女3

女2女2、男女2、女1—女2、女3

女3女3、男女3、女1女3、女2—

由表知，共有12種等可能的結(jié)果，其中選出的2名學生恰好為1名男生、1名女生的結(jié)果有6種，

..?選出的2名學生恰好為1名男生、1名女生的概率為忘=/

31

13.（1）（b⑵gO

⑴由頻率的定義計算；⑵根據(jù)題意，利用列表法或畫樹狀圖法得出所有等可能的結(jié)果數(shù)和所求結(jié)果數(shù)，利用

概率計算公式求解即可.

解：⑴摸出紅球的頻率為^=|.

（2）解法一：列表如下：

第二次

紅1紅2白黃

第一次

紅1（紅1紅1）（紅1,紅2）（紅1,白）（紅1,黃）

紅2（紅2，紅1）（紅2，紅2）（紅2，白）（紅2，黃）

白（白，紅1）（白，紅2）（白，白）（白，黃）

黃（黃，紅1）（黃紅2）（黃，白）（黃，黃）

由上表可知，共有16種等可能的結(jié)果，其中摸出一白一黃的結(jié)果有2種,

.??P（摸出一白一黃）=套=/

解法二：畫樹狀圖如下：

開始一

-----------------------

紅，紅2-------白-------------黃

紅，紅，白黃紅,紅冷黃紅,紅汨黃紅，紅，白黃

由上圖可知，共有16種等可能的結(jié)果，其中摸出一白一黃的結(jié)果有2種，

P（摸出一白一黃）=卷=今

壓軸預測

1.c【解析】本題考查隨機事件的判斷.由題知，兩枚骰子向上一面的點數(shù)之和最小為2,最大為12，結(jié)合選

項可知，選項A,B,D均為不可能事件，只有選項C是隨機事件，故選C.

2.C【解析】本題考查隨機事件、概率和樹狀圖.列出樹狀圖可知兩次摸到黑球的概率為蔡故選C.

3.0.9【解析】本題考查用頻率估計概率.從表中實驗頻率可以看出，成活率在0.9周圍波動，，這種樹苗成活

的概率約為09

4.1.J【解析】本題考查隨機事件的概率.由題意可知，白色扇形的圓心角為120°,則白色扇形面積等于圓

的面積的］,轉(zhuǎn)盤自由轉(zhuǎn)動一次，指針落在白色區(qū)域的概率為|；易知紅色區(qū)域的面積是白色區(qū)域面積的2倍