4類解三角形大題綜合

(雙正弦及雙余弦、周長及面積類最值、邊長和差、積商類最值、圖

形類解三角形綜合)

I----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

I技法01雙正弦及雙余弦模型

I技法02周長及面積類最值問題

技法03邊長和差、積商類最值問題

|技法04圖形類解三角形綜合

I_________________________________________________________________________________________________1

技法01雙正弦及雙余弦模型

喟3?常見題型解讀

雙正弦及雙余弦模型是通過正余弦定理列方程組來求解相關(guān)問題，此類題型難度中等，是高考中的?？?/p>

考點，需強(qiáng)加練習(xí)

02

黑毛舊哪題思維理板

例1.(2023?江蘇?高三專題練習(xí))如圖，在中，角4叢。的對邊分別為。也c.已知

(b+c)cos/-acosB-tzcosC=0.

-TT

(1)求角A；(2)若。為線段BC延長線上一點，且/C4D=—,AD=3CD,求tanN/CB.

技巧點撥

⑴A弋

(2)設(shè)N4c5=a,在△45。和△/CD中，由正弦定理可得

BDADCDAD

3_sina

V3+1-61.

————C0S6Z+—sincr

222

，tana=-9-66;

綜上，4=9，tancif=-9-6A/3.

喘黑正?知識遷移強(qiáng)化

1.(2022秋?安徽合肥?高三統(tǒng)考期末)在中，點。在3C上，滿足/D=8C,ADsinZBAC=ABsinB.

(1)求證：AB,AD,NC成等比數(shù)列;

(2)5gBD=2DC,求cos8.

【答案】(1)證明見解析

(2)cosB=

24

【分析】⑴由正弦定理得=再由/D=8C,得到/斤=/"/，即得證;

(2)記/,B,C的對邊分別為a,b,c,由(1)得/=兒，設(shè)乙4。8=0,在與△/C￡＞中，分別

311

使用余弦定理，解方程組可求出6=；c或6=*,依題意排除6=*,利用余弦定理即可求出cosB.

BC=?、?/p>

【詳解】(1)在中，由正弦定理得:

sinZBACsinB

A

由已知得：AD-sinZBAC=AB-sinB（2）,

由①②聯(lián)立得：ADBC=ABAC,

因為4D=3C,所以疝?二/夕./。.

故/￡AD,ZC成等比數(shù)列；

(2)在△NBC中，記4B,C的對邊分別為a,b,c,

AD=BC=a,由(1)知：a'bc③，

_2

在△4BD中，設(shè)/4DB=a,由已知得AD=—a,

3

由余弦定理得：AB2=AD2+BD2-2AD-BDcosZADB,

,,4,4,三

即C—d+—6Z—-ClCOS6Z^4)j

在△NCD中，^ZADC=n-a,由已知得=

由余弦定理得：AC2=AD2+CD2-2ADCDcosZADC,

[2

/={-|---/_|---42costZ(?),

937

由⑤+④x2整理得：c2+2/=2■/⑥，

由③⑥聯(lián)立整理得：6〃-H6c+3c2=0,

31

解得：6或b=

1A

當(dāng)6=]。時，由Q2=6C可求得4=——,所以Q+/?<C故舍去,

33c

當(dāng)6=：c時，由/=歷可求得a="c,滿足a+c”,

22

39

2.2?2—C2+C2C

cQ+c—b74

在A/BC中，由余弦定理得cosB=----------=&--------

2clev62

2-----c

2

綜上：cosB=

24

2.（2023?全國?模擬預(yù)測）在“中，內(nèi)角4,B,。的對邊分別為q,b,c,金=——且L，點。

cosC2b+J3c

sinZBADsinZCAD3

是邊BC上的一點，且--------+

b--------c2a

⑴求證：AD=^

(2)^CD=2BD,求cosZADC.

【答案】⑴詳見解析:

琮

【分析】（1）先利用余弦定理由金=--也%得至再利用正弦定理由

cosC2b+J3c6

sinABADsinZCAD3口口一_^/日a

——;----+---------=—即可求得40=；；

bc2a3

c-yjib13

（2）先利用余弦定理求得廣,進(jìn)而利用余弦定理求得cosNZOC=—

a=#ib14

cosA_

【詳解】（1）在ABC中，

cosC2b+小c

n>b?+c?—a?2zb

則—記——~~r：

2bca2+ZJ2-C2—2b+&

a2V3

整理得〃+c2-a2=-\f3bcf貝！JcosA=b——

2bc2

5兀

又0<4<兀，則力=——

6

sinZCADsinC.…cCD-sinC

在A/CD中，由正弦定理得貝nilljsinZCAD=------------

CDAD'AD

sinZBAD_sinB貝

在中，由正弦定理得l]sinABAD="".Sm'

BD~ADAD

sinZBADsinZCADBD-sinBCDsinC

貝nf1]-------------+--------------=-------------+-------------■=

bcAD'bAD-c

皿sin/?CD-smA_(g￡>+C￡))x^_flX2_13_

ADaADaADaAD-a24D2z

a2—b1=202

又/=可，貝IJa2=/+c2+其c,

o

a2-Z>2=2c2C=y/ib

由＜+'可得1

=V7z?

~b2-x1b2-b2-

a13

則cosN/OC=,、

c12一

2x—ax—a

339

3.（2023?湖南婁底?高三漣源市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在“BC中，角45,C的對邊分別為。，①。，且

、在l2cosC2sinC

滿足-----二一十一：一

abbsxnA

（1）求角8的大小;

O

⑵若6=8,。為邊力。的中點，且=求。的面積.

兀

【答案】（l）g2

（2）迪

9

【分析】（］）由正弦定理邊角互化得2coscsinB=2sin/+sinC,再結(jié)合正弦和角公式得cosB=-g,進(jìn)而

可得答案;

（2）根據(jù)余弦定理，結(jié)合cosNCZ）5+cos乙=0得/+。2=寸，進(jìn)而根據(jù)余弦定理得如=寸，再計

算面積即可.

-口、,、eE、r2cosc2sinC「廣22cosc2sinCan「

【詳解】（1）解：因為-----=7+;.：，所以一一-=—~+.,BP2cosCsin5=2sinA+smC,

ab/?SIIL4sinAsinBsinBsinA

因為sin4=sin（3+C）=sin8cosC+cos5sinC,

所以2cosCsin5=2sinBcosC+2cos5sinC+sinC，即2cos5sinC+sinC=0，

因為?！辏?,兀）§11。。0,所以cos5=-；,

77T

因為8e（O,兀），所以B=午.

Q

（2）解：如圖，因為6=8,。為邊/C的中點，且50=5,

DA2+DB2-C2

所以cos/ADB=

2DADB

因為//。8+/。。8=兀，

不+間-〃下+因一/4U

所以cos/CZ）8+cosNAD8=0,即----9------------+-----------<12-------=o，整理得/+02=一,

2x4x-2x4x-）

33

416160

因為/=/+/-2QCCOSB,即64=-^—+。。，解得etc-----

9

所以，。的面積為S=LqcsinB='x竺^=也叵.

技法02周長及面積類最值問題

叫曾考?常見題型解讀

周長及面積類最值問題是結(jié)合三角函數(shù)和基本不等式來求解相關(guān)問題，此類題型難度中等，是高考中的

?？伎键c，需強(qiáng)加練習(xí)

02

跟我學(xué)?解題思維剖析

例2-1.(2023?江蘇南京?南京師大附中?？寄M預(yù)測)已知。、b、。分別為AABC的三個內(nèi)角A、B、C的

對邊長，a=2,且(6+2)($吊/-5m8)=(?(5擊2+5擊(7).

(1)求角A的值；

(2)求28c面積的取值范圍.

技巧點撥

【詳解】(1)由條件，KTW(^+^)(sin^-sin5)=c(sin5+sinC),

由正弦定理，得S+0(〃—6)=c(6+c),所以/+°2—〃=—歷,

/?2+c2-a2

所以cosZ=因為/e(0,7t),所以4=年.

2bc

a473

(2)由正弦定理,可知」

sinBsinCsin/3

S=-Z>csinA=---sinB?逑sinCsinA=sin3sinC

22333

=迪sin3sin(兀71|2￡n》

sinBsin—coscos-sin8=2sin8cosB一

3333

=sin25--(1-cos2B)=—f—sinIB+-cos25>1--=—sinf2S+->1,

3，3(22J33I6J3

???一,.?.2^+Je71571

66,~6

例2-2.(2023?云南?校聯(lián)考模擬預(yù)測)的內(nèi)角48,C的對邊分別為a,6,c,且csin—)—=asinC.

(1)求角A；

(2)若a=G，求”8C周長的取值范圍.

技巧點撥o

71-A

【詳解】(1)因為csin'+0=asinC,可得csin=ccos—=asinC,

222

A

所以由正弦定理可得sinCcos—=siiL4sinC,

2

又。為三角形內(nèi)角，sinCwO,

所以cos—=SIIL4=2sin—cos—,

222

因為/e（0,兀）,cos—>0,

22

所以SWT可得X所以/后

(2)由(1)知/=]，又〃=G，

6_b_c_

由正弦定理得GsinBsinC

2

則b=2siiiS,c=2sinC,

/.a+b+c=V3+2si曲+2sinC

=A/3+2sinB+2sin[?+B

=y/3+2sin5+2

22J

=V3+2sinB+6X)S5+sinB

=G+3sinB+gcosB

=V3+2V3sinS+^j,

兀

?,,2+/571

?"w65T

己1

/.sin15+G—,1,2百sin

2

:.a+b+ce,(2百,36]

你來練?知識遷移強(qiáng)化

1.（2023?全國?模擬預(yù)測）在銳角“3C中，角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,已知

省(。2+方2-/)=2bcsmA.

(1)求sin?/+cos25的取值范圍;

⑵若。是邊上的一點，且4。:。8=1:2,CD=2,求面積的最大值.

【答案】⑴

⑵邁

2

【分析】（1）利用正余弦定理對已知等式化簡可得tanC=Vj，則可求出角C,再利用三角函數(shù)恒等變換

公式可得sin2/+cos23=l+*os|28-2j,然后求出角3的范圍，再利用余弦函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果；

（2）根據(jù)題意可得C0==C3+9c4,兩邊平方化簡后再利用基本不等式可求出仍的最大值，從而可求出

入43。面積的最大值.

【詳解】（1）因為省（〃+b2—c2）=26csiii4,

故百^a2+b2-a1-b2+2abcosC）=2bcsinA,

整理得到：2A/JQ6COSC=2bcsiih4即cosC=csirU,

故由sin4cosc=sinCsiib4,而A為三角形內(nèi)角，故sinZ>0,

所以百cosC=sinC，

故tanC=G，而。為銳角三角形內(nèi)角，故。=]?

sin2^4+COS25=1+；(COS25-COS24)

=1+—cos25-cos2|-B

2I3

=1+—cos25-cos*2B

2

=1+——cos2B+sin2B=1+cosf25-—,

2（22J2I6；

0<B<-

因為三角形為銳角三角形，故c2,故

2717C62

0n<------Bn<—

[32

,,71cn兀5兀,,V3/cn兀）V3

故一<2B—<—,故----<cos2B-----<—,

66626J2

17

故一<sin?/+COS25<—,

44

（2）由題設(shè)可得麗=25i，故函-行=2'”函），

―?1—?2—>

整理得到：CD=-CB+-CA,

33

--21--24--24—?—?]c4c4|

故CO=-CB+-CA+-CBCA,即4=—〃+—/+—物―，

9999992

整理得到：36=+4/72+2ab>4ab+2ab=6ab,

當(dāng)且僅當(dāng)a=26,6=君時等號成立，故(帥)2=6.

故三角形面積的最大值為，X6XYI=￡L

222

2.(2023?湖北武漢?華中師大一附中?？寄M預(yù)測)已知一中，角A,B,。所對邊分別為。，b,

若滿足a(sin2A-cosBcosC)+Z?sinAsinC=0,

(1)求角A的大??；

⑵若。=2,求“BC面積的取值范圍.

【答案”嗚

⑵(05

【分析】(1)根據(jù)正弦定理和三角恒等變換化簡等式，可以得到角/=；.

2

(2)根據(jù)勾股定理，由基本不等式得到兩直角邊積的最值即可.

【詳解】(1)由正弦定理知，sin^4(sin2A-cosBcosC)+sinBsinAsinC=0,

VAe(0,71),：.sin4w0,

sin2A-cosBcosC+sin5sinC=0,

化簡得sin2A=cosBcosC-sinBsinC=cos(5+C)=COS(TT-4)=sin一J,

7TTTTT

???Ne(0,7r),2A+A--=7t(其中2/=4-2舍去)，即4=2.

222

TT

(2)由(1)知4=工，則62+°2=〃2=4,

2

那么“8C的面積5=,歷4"^=1(當(dāng)且僅當(dāng)6=°=也時等號成立)，

24

則“3C面積的取值范圍為(05.

3.(2023?陜西咸陽??？寄M預(yù)測)已知銳角”8C中，a,b,。分別為內(nèi)角/,B,C的對邊，若

h

sinAsin5sinC=^sin2^4+sin2B-sin2C)?

⑴求sinC；

(2)若c=G，求”BC周長的取值范圍.

【答案】(1)1

2

(2)(3+百,3百］

【分析】（1）由已知及正弦定理角化邊，再利用余弦定理，可求出tanC,由已知條件得出角C的范圍,

進(jìn)而求出角C即可以求出sinC的值.

（2）由c,sinC的值，利用正弦定理求出見6,進(jìn)而表示出三角函數(shù)的周長，利用三角形的內(nèi)角和

定理及兩角和與差的正弦公式化為一個角的正弦函數(shù)，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)確定出周長的取值范圍.

【詳解】（1）由sin4sin5sinCsin2A+sin25-sin2C)及正弦定理,

2

得“bsinC=+/一°2）即QbsinC=yfiabcosC.

所以tanC=JL由。為銳角，得。=三，

所以sinC=

2

由

(2)2*=一耳得R=l.

2

AZSC得周長="+6+c=2&(sin^4+sin-H/3=2(sin/+sin與-n/-3.

=2sin4+2sinB+百=2sin4+2sin

=3sin4+百cosA+^3=2/sin(/++6

因為Ze1°，萬

所以Ne

所以2百sin/+《卜6e(3+百,3百］

所以“8C周長的取值范圍為（3+6,36]

技法03邊長和差、積商類最值問題

喟3?常見題型解讀

邊長和差、積商類最值問題是結(jié)合三角函數(shù)和基本不等式來求解相關(guān)問題，此類題型難度中等，是高考

中的?？伎键c，需強(qiáng)加練習(xí)

02

跟我學(xué)?解題思維剖析

例3-1.（2023?安徽合肥?合肥市第七中學(xué)?？既＃┮阎〉膬?nèi)角4,B,C的對邊分別為a,b,c,

且cosA+6sinA=".

c

⑴求角C；

（2）設(shè)5C的中點為Q,且40=百，求〃+2b的取值范圍.

技巧點撥o

【詳解】(1)/BC中，cos/+6sin/='+",由正弦定理得cos/+6sin4=sin'+sin'.

csinC

所以sinCcos4+6sin4sinC=sin5+sin4，

BPsinCcosZ+6sin/sinC=sin(A+C)+sin/=sin/cosC+sinCcos/+sin/,

所以GsinZsinC=sin%cosC+sin力;

又/￡(0,兀)，貝!Jsin/wO,所以GsinC—cosC=l，

則有smQ?j又因為一。㈤，則04吟即Cg

（2）設(shè)/C4z）=e,則△/a）中，由c=三可知?！闧o,3-）,

CD_ACAD

由正弦定理及40=G可得sin。.f2TI)-2E

I3J3

所以CZ)=2sin。，AC=2sinT-4

271

所以。+26=4sin8+4sin6)=6sin6+2百cos0=4百sin[6+己)，

715兀,sin/+.

由可知，0+—^5G

66"6"

所以a+26e(2^46].

BPa+26的取值范圍（2jj,4g].

例3-2.（2023?湖南長沙?長郡中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）記”3C的內(nèi)角/,B,C的對邊分別為a,b,c,己

sinC+sinB

知taM=

cosC+cosB

⑴求力的值;

⑵若是銳角三角形，求匕如的取值范圍.

a

技巧點撥o

sinC+sin5

【詳解】(1)因為taib4=

cosC+cosB

所以sin^cosC+siiL4cosfi=cos%sinC+cos^sinS,

即sin(/-C)=sin(B-/),

所以4—C=B—4或（4一。）+（5—4）=兀（舍去）.

所以/-C=8-N,結(jié)合/+8+。=兀，得"=

（2）由（1）得:

b1-besin2B-sin8sinC4/...\4F..?.(1itAl

--------=----------------------=—sin2B-smBsmC}=—sin2B-smB-sin——B

a2sin2^3'廠31(3力

4「2cosS+m=m2smficosS

=—sinB-sinB-[fr^]fjr-r-

3

4-cos28)一號sin28

3

=-j(V3sin25+cos25)+:

2f兀、1

—cos2B—+—.

3I3j3

因為“BC是銳角三角形，所以5,。均為銳角,

即。＜3苦,祗,所弓＜2苫,

所以23-2€卜，?

所以匕如的取值范圍是?!)■

a

唁翁福?知識遷移強(qiáng)化

1.（2023?遼寧?遼寧實驗中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，在平面凸四邊形中，CDLDB,=1,DB=43,

DA=2.

(1)若/DZB=60°,求cos/NCB；

(2)求AB2+BC2+AC2的取值范圍.

【答案】Q)cosNACB=

14

(2)(16-4百,20)

【分析】(1)先利用余弦定理得到/3=1,根據(jù)邊的關(guān)系得到進(jìn)而得出N/8C=120。，再利用余弦

定理即可求解；

(2)設(shè)NADB4,利用余弦定理分別求出/32,NC2,相加后整理變形得到關(guān)于角。的三角函數(shù)，利用正弦函數(shù)

的圖象和性質(zhì)即可求解.

【詳解】(1)在△/AD中，因為。8=百，ZX4=2,ZDAB=60°,由余弦定理得(右/=22+AB2-2x2xABcos600,

解得/8=1,由4戶+022=0/2,得4BLDB,此時可得//8C=120°.

在△/8C中，AB=1,BC=2,由余弦定理得4c2=F+22-2X1X2XCOS12(T=7,解得/。=甘，所以

2x2xV714

(2)設(shè)/4DB=0,由題意可知0＜。＜一，

2

在中，由余弦定理得/82=22+(6)2-2、2*&056＞=7-4&0$19,在中，ZADC=0+^,

由余弦定理得ZC：=22+F-2x2xlxcos(0+|^=5+4sin。，在△8CD中，因為CDLD8,所以

BC=y!cD2+BD-=2，

所以AS?+8。2+/c?=7-4gcos9+5+4sin6+22=16+8sin(＜9-q],

因為0＜?！垂?，所以-工＜6-巴＜巴，＜sinf^--K-,

23362(3)2

所以/笈+8C?+4。2的取值范圍是(16-4抬；20).

2.(2023?江蘇?金陵中學(xué)校聯(lián)考三模)已知a=(sinox,cos0x),b=(cosa)x,y/3coscoxj,其中(y＞(),函數(shù)

/(x)=a-一￡的最小正周期為兀.

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;

⑵在銳角。BC中，角/,B,。所對的邊分別是a,b,c,且滿足求2的取值范圍.

5冗7T

【答案】⑴單調(diào)遞增區(qū)間為,^+-，丘Z

a

⑵片，出

7

【分析】(1)根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可知/(x)=sin[2ox+?J,由最小正周期為?？傻?。=1,即可知

/(x)=sin，x+([,再利用三角函數(shù)單調(diào)性即可求得/(無)的單調(diào)遞增區(qū)間為阮專,癡+展，左eZ；

(2)根據(jù)三角形形狀可得再由正弦定理得q=史上=31_,又sinBed，所以

62bsin52sin5U)

【詳解】(1)因為a=(sinGX,cos,b=(coscox,V3coscox),

貝“4卜Vsin26J!X+COS2cox=1,

a-b=(sin的cosa)x)?(coscox,/coscox)

=sincoxcoss+6cos2a)x

」皿2姓+與。s2s/

222

=心8+*今

.,x-，工>/^一］-TV3HI2f7A/3.(G乃)

故J(x)=4?b------a=a-b-------\a\=a-b-------=sin2cox+-L

、2)22I3)

因為〃X)最小正周期為兀，所以7=21=*所以0=1,故〃x)=sin(2x+f

2a)I3,

ITjrjrSITIT

由---F2,knW2xH—W—F2ATE,左￡Z,角軍----FkitWxW----Fku,keZ,

2321212

57rjr

所以〃X)的單調(diào)遞增區(qū)間為kn--z，kn+—，4eZ.

⑵由⑴及4)邛，即5也,那卜小+?二|,又八卜?,

所以N+]=與，解得/三,

兀71

0<B<-0<B<-

2nn2

又“BC為銳角三角形，即,即<

71

0<C<-0<TC-B-A<—

22

解得會5苦;

7Tjr

由正弦定理得巴=也6,又一<B<—,則sinBw1

bsin52sin562iP

所以好

b

3.（2023?湖北恩施??？寄M預(yù)測）在“8C中，角/,B,C所對的邊分別為a,b,c,。的平分線

AD交/C于點

（1）從下面三個條件中任選一個作為已知條件，求//3C的大小.

①2(6cosC-a)=c；②2a+c=J5bsin/+6cos/;@a+ccosZABC=bcosC-c.

（2）若皿=28,求丹的取值范圍.

兀

【答案】（1）三個條件任選其一都有445。=彳2

⑵。,1

【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，再對等式進(jìn)行化簡，進(jìn)而根據(jù)N/3C的取值范圍求出其大小.

⑵運(yùn)用角平分線的條件求出案一落然后利用面積公式求出刊的取值范圍.

【詳解】（1）選①,

因為23cosc-。)=。，所以a+9=bcosC.

2

由正弦定理得sinA+四C=sin/ABCcosC.

2

即sin(ZABC+C)+=sinZABCeosC,

故sinC+ccos/ABC=0,

2

因為NZ3Ce(0,7t),Ce(0,7t),所以sinCVO,

12兀

所以cos/4BC=——,所以N4BC=—.

23

選②,

由2Q+c=V§6sin/+bcos4及正弦定理，得

2sin/+sinC=y/3sinZABCsin+sinZJ.BCcosA，

即2sin4+sin(/+/ABC)=y/3sin/ABCsinA+sin/ABCcosA,

2siny4+sinAcosZ.ABC+cosAsinZABC=^/sinAABCsinA+sinZABCcosA,

所以2sin/=6sinZS48csin/-sin4cosZ245C.

因為4E(0,兀)，所以sinZwO,

所以2=Gsin//8C-cosN/8C=2sin[AABC-,即sin(/ABC-=1.

又4BCe(0,兀)，所以443。一四=工，所以N48C=2.

623

選③，

由〃+ccos//3C=6cosC-c及正弦定理，得

sin/+sinCcosZABC=sinZABCcosC-sinC,

sin(N/BC+C)+sinCcos/ABC=sin/ABCcosC+cos/ABCsinC+sinCcos/ABC=sinZ.ABCcosC-sinC

即2cosZABCsinC=-sinC.

因為?！辏?,兀），所以sinCwO,所以cos//5C=—L.

2

2兀

又兀），所以

3

（2）因為平分所以//皿=/。3。,

ABADsm/ABD

在△450中，--------------------，即nn——=---------

sin/ABDsinZ.ADBABsinAADB

CDBCCDsm/CBD

在△BC。中,n即n——二--------

sinZCBDsinZBDCBCsinZBDC

ZADB+ZBDC=TI,所以sin/AD5=sinZ.BDC,

ADCDABAD,,BDBD

所以F=所以右=二=2，故

ABBCBCCDAB+BC3BC

S^ABD=4D=2

因1為S。"=-ABBC-sinZABC,S.,=-ABBD-sinZABD,

'----/7￡\AD(^2△ABDn2S△加一4一3

BD-sinZABD2

所以------------=一

BC-sinZABC3

/ABC

又/ABD=

2

4sm幺，s2

BD2sinZABC4ZABC

所以二二.22-cos-------

4BCc./ABC

3sm--------3sm--------32

22

又ZABCe(0/),所以言Ge。，臥

所以cos—^e(0,l),

所以當(dāng)《og，BD端，

---------G

nC3BC

即蠟，

的取值范圍為

技法04圖形類解三角形綜合

圖形類解三角形綜合是通過在圖形中尋找正余弦定理來求解，此類題型難度中等，是高考中的?？伎键c,

需強(qiáng)加練習(xí)

02

跟我學(xué)?解題思維剖析

例4.（2023?湖南郴州?校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在“3C中，角/,B,C所對的邊分別為a,b,c,

a+2Z>=2ccosfs-jj,角C的平分線交48于點。，且BD=2不,40=療.

⑴求NNC3的大小;

（2）求m

技巧點撥

得sin4+2sin8=2sin//C8［工os8+且in?1,

【詳解】（1）由正弦定理a+26=2ccos

(22)

即sin4+2sin5=sinN/C5cos5+gsin/4C5sinB,

因為sin4=sin（B+//CB）=sinBcosACB+cosBsin^ACB,

所以singcos//C5+2sin5=sinACBsinB,

因為sinBwO,所以cos//CB+2=VJsin//C8,即sin1/4CB-=1,

7TIT

因為0<//CB<7i,所以/ACB—=—,

62

2兀

所以//。5=胃.

（2）已知角。的平分線交43于點。，且BD=25,AD=5.

ADAC

在△ZCQ中，由正弦定理得

sinZACDsinZADC

BDBC

在△BCD中,由正弦定理得

sinZBCDsinZBDC

因為Z-ACD=/BCD,ZADC+ZBDC=兀，所以sinZACD=sin/BCD,sinZADC=sinZBDC,

所以絲=生]_

BDBC2

222

^AC=x,BC=2xf由余弦定理得BC+AC-AB=2BCxACxcosZACB,

即4X2+X2

解得x=3,

因為S"C5=S4ACD+SABCD，

所以LX3X6x03xCDx區(qū)-x6xCDx—,

222222

解得8=2.

唁箱福?知識遷移強(qiáng)化

1.（2023?山東濰坊?統(tǒng)考二模）在四邊形48c。中，/BAD=*,ZACD=-,40=6，S為AABC的面

23

積，且2s=-6雨辰.

(2)若cosZ>=；,求四邊形48c。的周長.

【答案】(1號2兀

(2)2+2A/3

【分析】(1)根據(jù)三角形面積公式及數(shù)量積的定義化簡方程可得tanB,即可得解;

7T

(2)求出。=§,再由正弦定理求出力尻即可得解.

【詳解】(1)由2s=-6劭而，

在^ABC中得Zx’ZBxBCsinB=-yTiABxBCcos5,

2

即sinS=一JJcosB，可得tanB--^3，

DJT

因為540,兀)，所以5=手.

1yr

(2)由cos。=￡(0,兀)，所以Z)=1,

所以力BC為等邊三角形，AC=Q,NCAD」

3

TT7T

所以=—,/ACB=-

66

V3xl

ACAR