平面解析幾何

高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)易錯(cuò)重難提升【新高考版】

易混重難知識

1.兩條直線平行與垂直的判定：設(shè)兩條直線4的斜率分別為K，左2.

（1）I、“120k（2）,U1A2=-!.

2.直線的方程：

=

（1）點(diǎn)斜式：y~y（）k（x—xo）.（2）斜截式：y=kx+b.

（3）兩點(diǎn)式：上』=三五.（4）截距式：二+2=1（。/0,6/0）.

%一%x2~xiab

（5）一般式：Ax+By+C=0（A,8不同時(shí)為0）.

3.直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式

①一般地，將兩條直線的方程聯(lián)立，得方程組14x+"y+G=（）,若方程組有唯一解，則兩

[/x+B2y+C?—0

條直線相交，此解就是交點(diǎn)的坐標(biāo)；若方程組無解，則兩條直線無公共點(diǎn)，此時(shí)兩條直線平行.

②兩點(diǎn)6a，Ji），弓（%2,%）間的距離公式IA鳥|=必2-再）2+（72-%）2.

I及0+為0+3

③點(diǎn)到直線的距離：點(diǎn)片（%0，%）至U直線/：加+協(xié)+C=0的距離d

④兩條平行直線間的距離：若直線/1/2的方程分別為/]：4+3+G=0,，2：4+為+G=°，

IG—GI

則兩平行線的距離d=

A2+B2

4.判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法：

（1）代數(shù)方法（判斷直線與圓方程聯(lián)立所得方程組的解的情況）：A>0=相交，△<（）=相

離，4=00相切.

（2）幾何方法（比較圓心到直線的距離與半徑「的大?。涸O(shè)圓心到直線的距離為小則d<ro

相交，d>ro相離，d=ro相切.

5.圓與圓的位置關(guān)系：設(shè)圓a半徑為圓&半徑為公

圓心距與兩圓半徑的關(guān)系兩圓的位置關(guān)系

\op2\<\rx-r2\內(nèi)含

由一々I內(nèi)切

I[々<0]Q<4+乃1相交

1-1+々1外切

IQQ1>1^+^1外離

6橢圓的方程與簡單幾何性質(zhì)

焦點(diǎn)在X軸上焦點(diǎn)在y軸上

2222

標(biāo)準(zhǔn)方程二+白=1(36>。)--=1(?>6>0)

ab+

一般方程“+陟=1(/>0,5>o,/WB)

■，-c),￡(0?

焦點(diǎn)坐標(biāo)片(pO),與(c,0)

4(-a,0)，4(a,0)4(0,-a),4(0,a)

頂點(diǎn)坐標(biāo)

4(0,—垃四(0,34(也0)也(4O)

范圍\x\<a,\y\<b|x區(qū)b,\y\<a

長軸長144|=2a

短軸長國為=2b

焦距|耳耳=2c

e=--Jl-4(0<e<1),

離心率a\a

e越接近于1,橢圓越扁；e越接近于0,橢圓越圓

7.雙曲線的幾何性質(zhì)

焦點(diǎn)在X軸上焦點(diǎn)在了軸上

2222

標(biāo)準(zhǔn)方程-77=1(?>0,Z?>0)f77=1(。>0/〉。)

abab

焦點(diǎn)坐標(biāo)J\(-c,O),J^(c,O)7^(0,-c),7^(0,c)

頂點(diǎn)坐標(biāo)4(-a,0)，4(a,0)4(0,-a),4(0,a)

范圍\x\>a1酢a

對稱性關(guān)于x軸、y軸對稱，關(guān)于原點(diǎn)對稱

實(shí)、虛軸長實(shí)軸長為為，虛軸長為"

離心率雙曲線的焦距與實(shí)軸長的比e=￡

a

漸近線方程y=+-xy=+-x

ab

8.拋物線的幾何性質(zhì)

y2=2px(p>0)/=—2/。>0)x^2py(p>0)x2=-2卬(P>0)

標(biāo)準(zhǔn)方程

范圍x>0,y€Rx<0,jGRxeR,j^>0xGR,^<0

PP

準(zhǔn)線x=-Px_py=y=

22-ll

隹占§，o)(0,9(o,-g

八、、八、、(-p0)

對稱性關(guān)于X軸對稱關(guān)于P軸對稱

頂點(diǎn)(0,0)

離心率e-\

x°+f丫+p

焦半徑長f+萬-%

-(%()+%)+2

焦點(diǎn)弦長%+西+/%+必+2-(Jo+弘)+?

易錯(cuò)試題提升

1.過點(diǎn)(-1,2)且與直線2x-3歹+4=0垂直的直線方程為()

A.3x+2_y+7=0B.3x+2y-l=0

C.2x-3y+5=0D.2x—3y+8-0

2.在平面直角坐標(biāo)系x°v中，已知/是圓。1：%2+（＞_3）2=1上的一點(diǎn)，B,C是圓

G：（x-4）2+y2=4上的兩點(diǎn)，則/胡。的最大值為（）

A.-B.-C.-D.—

6323

22

3.已知雙曲線c：j-方=1（°＞0,6＞0）的離心率為2,左、右焦點(diǎn)分別為不用，耳到漸近線

的距離為3,過8的直線軸，與雙曲線C的右支交于Z,5兩點(diǎn)，則△/跖的面積為（）

A.9B.24C.36D.72

2

4.已知尸為橢圓《：、■+/=1的右焦點(diǎn)，尸為C上一點(diǎn)，。為圓/:/+（了_4）2=1上一點(diǎn)，則

歸°卜歸尸|的最小值為（）

A.—2瓜B-2V6C.—5+2遍D--7+276

5.已知拋物線C：j?=8x的焦點(diǎn)為/，/（-1,4）,點(diǎn)—加川是拋物線。上一動點(diǎn)，則|4P|+加的

最小值是（）

A.3B.5C.7D.8

22

6.已知橢圓。：亍+芻=1的左右焦點(diǎn)為耳，耳，尸為橢圓C上一點(diǎn)，APFXF2=1,則△嘴巴的

面積為（）

A.V3B.lC.3D.2V3

7.已知拋物線C：/=8x的焦點(diǎn)為R過點(diǎn)/作兩條互相垂直的直線4，小且直線小4分別

與拋物線C交于45和。，E,則四邊形面積的最小值是（）

A.32B.64C.128D.256

8萬是雙曲線0：=_.=1（。＞（）花〉（））的左焦點(diǎn)，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線＞=與雙曲線。的

左、右兩支分別交于P,0兩點(diǎn)，且歸O|=|PF|,則雙曲線的離心率為（）

C"+I_V|+i

A.g+1B-V2+1D

33

22

9.（多選）已知橢圓。：=+「=1（°>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為不￡上頂點(diǎn)為8（0,近），離

a2o

心率為也，若M,N為C上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，則（）

2

22

A.C的標(biāo)準(zhǔn)方程為二+匕=1

42

419

B-------F----->—

WRR4

C?kBM.%V=

D.四邊形明人世的周長隨跖V的變化而變化

10.（多選）已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P為拋物線C：/=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)P（4,4）,直線/”=叼+1

交拋物線C于48兩點(diǎn)（不與尸點(diǎn)重合），則以下說法正確的是（）

A.|剛21

B.存在實(shí)數(shù)相，使得乙4OB（注

2

C.若刀=2而，則%=±也

4

D.若直線E4與尸8的傾斜角互補(bǔ)，則加=—2

H.已知圓Cif+j?—4%+2砂+3=0關(guān)于直線x+2y—6=0對稱，圓。交y于Z,5兩點(diǎn)，則

12.已知拋物線C:歹2=網(wǎng)的焦點(diǎn)為尸，M（4,0）,過點(diǎn)〃作直線x+（a-行卜-百a-2=0的垂

線，垂足為0,點(diǎn)尸是拋物線。上的動點(diǎn)，則|PE|+|PQ|的最小值為.

13.已知橢圓c：￡+==i（a>6>0），C的上頂點(diǎn)為4兩個(gè)焦點(diǎn)為不用，離心率為L過耳且

ab22

垂直于典的直線與。交于。，￡兩點(diǎn)，△//）￡的周長是13,則⑷￡|=.

22

14.已知雙曲線c：5-4=l（a〉0,b〉0）的離心率為近，右焦點(diǎn)為尸（2,0）.

a2b~

（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）過點(diǎn)F的直線/與雙曲線C的右支交于48兩點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)P,使得刀.而

為定值?若存在.求出該定值；若不存在，請說明理由.

15.已知橢圓E：二+己=1(4>6>0)的離心率為41，幺、C分別是E的上、下頂點(diǎn)，B,D分

a2b23

別是E的左、右頂點(diǎn)，|ZC|=4.

(1)求E的方程；

(2)設(shè)尸為第一象限內(nèi)E上的動點(diǎn)，直線產(chǎn)。與直線8c交于點(diǎn)直線刃與直線>=-2交于

點(diǎn)N.求證：MN//CD-

答案以及解析

1.答案：B

解析：直線2x-3y+4=0的斜率為|,

所以與直線2x-3了+4=0垂直的直線斜率為-9,

故由點(diǎn)斜式可得y-2=-g(x+l),即3x+2y-1=0,

故選：B.

2.答案：B

解析：由點(diǎn)/是圓qd+Q—3)2=1上的一點(diǎn)，B,C是圓G：(x—4)2+9=4上的兩點(diǎn),

可得圓心￡(0,3),G(4,。)，半徑｛=1，％=2，

根據(jù)題意，當(dāng)點(diǎn)幺與圓。2的距離最短時(shí)，且過/與圓G：(x-4)2+9=4相切時(shí),

此時(shí)44C取得最大值，此時(shí)MGL=|GQ|-l=V32+42-1=4'

可得sin〃/C2=|=1所以/加竦,所以/R4C=Z.

3

e，=2

a=A/3

a

解析：由題知，設(shè)雙曲線的焦距為2c，貝Ub=3,解得b=3,

211

a+b—cc=2A/3

雙曲線C：9_9=l，耳卜2月,0),鳥(2#,0卜

22

將％=26代入C：?-?=l，解得夕=±3瓜，，|48|=66，

.?.AAS^的面積為:閨7訃［48|=；X4GX6G=36.

故選：C.

4.答案：D

則忸0卜|尸刊=\PQ\-{2a-\PE\)=\PQ\+\PE\-6,

故要求忸°|-忸尸|的最小值，即求|PQ|+|P￡|的最小值，

所以忸。|+\PE\的最小值等于\ME\-1=J8+16-1=2&-1,

即|PQ|-|P盟的最小值為_7+2后，

故選：D.

5.答案：A

解析：由題意得尸(2,0),

由拋物線焦半徑公式可知，m=|PF|-2,

故|4P|+加=|/?|+歸尸］一2,顯然連接4F,與拋物線交點(diǎn)為p,

此時(shí)|4P|+|P盟取得最小值，即當(dāng)4P,尸三點(diǎn)共線時(shí)，|4P上忸典最小,

最小值為\AF\=J(-］_+("0)2=5,

故|4P|+加=|4P|+|PF|-2的最小值為3.

y>

故選：A

6.答案：A

解析：由題意得°?=4-3=1,解得c=l,

由橢圓定義可得|期|+|?居|=4,閨閶=2,

由余弦定理得cos/幽巴=巴窩

因?yàn)闅w閭=4_怛耳|,NPFF2="，

22

|PF|+4-（4-|PF|）1,,

所以??4|荷'=5'解得忸制=2,

則S△呻廣3。4|片閶Sinj8=；x2x2x苧=百.

故選：A.

7.答案：C

解析：由題意拋物線的焦點(diǎn)為尸（2,0）,顯然小4斜率存在且不為3

設(shè)直線4方程為J=左（》-2）,設(shè)/（國,弘）,得

/c2x2~（4k2+8）x+4/c2=0

QQ

貝！J西+々=4+m，即同=玉+%2+4=8+記，

設(shè)直線4的方程為歹二-工（'-2），設(shè)。（%4，N4）

k

由卜-7）,得《-43+81+3=。

P=8xk鼠Jk

則7+%=4+8左2,即|C￡>|=陽+%+4=8+8產(chǎn)，

.-.S=-\AB\\CD\=-8+=322+k2+=128,當(dāng)且僅當(dāng)

左2=},即左=±1時(shí)等號成立.

故選：C.

8.答案：C

解析：因?yàn)橹本€y=Ylx與雙曲線C的左、右兩支分別交于P,。兩點(diǎn),

所以Na^="CF=30°,

因?yàn)閨EO|=|PF|=c,所以ZFPO=ZPOF=30。，

所以NO"=120。，

過P作尸軸于點(diǎn)G,在RtkFG中，\PF\^c,/PFG=60°，

所以點(diǎn)尸的坐標(biāo)為

22

因?yàn)辄c(diǎn)尸在雙曲線0：=-二=1（4〉0,6〉0）上，

9232

所以不41，化簡得962c2—3九2=4/62，

kL

2222

所以9（，-a）c-3ac=4/（。2—/）,整理得9C4-16?2C2+4/=O，

所以9e4—16e2+4=0,所以e?=.土,時(shí)—4x4x9=8±2e,

因?yàn)閑〉l，所以/8+2出（二+1）,所以6=立±1，

993

故選:C

9.答案：ABC

解析：由題意得，上頂點(diǎn)為8（00）,離心率為也，故6=0,c=①，4=2,

2

22

故C的標(biāo)準(zhǔn)方程為二+匕=1，顯然A正確,

42

連接崢，由對稱性得咋司,

NF2,I|=|N

結(jié)合橢圓的定義得I必|+|N凰=|上里|+|〃&=2a=4,

故%向+向）（網(wǎng)+甌卜扣甥■耨4"1+2黑++，，

當(dāng)且僅當(dāng)也陰|=|,|阿|二g時(shí)取等，故B正確，

設(shè)M1，％），N（—/，—%），而^-+^-=1,故匕=彳―2%2’

故kBM=正kBN=V^，

/一/

故屈/=-i?上1=也?=一片馬一;，故C正確，

xxx

~oo~o4-2y02

易知四邊形M◎眼的周長為W國+|N制+阿周+|八閭=8,為定值，故D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

10.答案：ACD

解析：由已知，拋物線C：V=4x，二2=2,g=l，焦點(diǎn)廠(1,0),

不妨設(shè)為4(再,弘),B(x2,y2),設(shè)48到準(zhǔn)線的距離分別為Z，dB，

對于A,?.?由標(biāo)準(zhǔn)方程知，拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，開口向右，X]>0,

.?.由拋物線的定義==西+5=*+121,故選項(xiàng)A正確；

對于B,F=4x消去x,化簡得,一4陽—4=0(A>0)，

x=my+1

222

則乂+%=4加，弘%?//=4x>=x/2==1，

—416

???04=(XQJ，06=(12/2)，OA-OB=x1x2+yxy2=1-4=-3<0，

二.COS/4QB=COS(O4O5)=I"I竺I<0,?ZAOB>—，

、/\O^OB\-2

???不存在實(shí)數(shù)加，使得/4O5〈工，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

2

對于C,AF=，F(xiàn)B=(x2-1,j/2),

???9=2旃，，(1一4—%)=2(%—1/2)=(2%2一2,2%),?.?一乂二2%

又??,由選項(xiàng)B判斷過程知乂+%=4加，y[y2=-4,

.二解得弘=2^^，y——V2m=^^~或)\=-2y[^，y=V2>V2

22m=------

44

??若A戶=，則加=±Y^，選項(xiàng)C正確；

_4

對于D,由題意，玉。4,必。4,必。4,

直線與尸5的傾斜角互補(bǔ)時(shí)，斜率均存在，且kpA=-kpB，

，匕=-%=，代入再=及，芍=過，化簡得乂+%+8=0，

%1-4X2-4,44

由選項(xiàng)B的判斷知，乂+%=4加，；.4加+8=0，

m=-2>故選項(xiàng)D正確.

11.答案：2

解析：圓C%2+/—4%+2到+3=0,即（工一2）2+（y+a）2=〃2+1,圓心C（2,—Q）,半徑

r=\a2+1'

因?yàn)閳A。關(guān)于直線x+2y-6=0對稱，所以2+2x(-Q)-6=0,解得。二一2,

所以(%-2)2+(y-2)2=5,圓心C(2,2),半徑尸=石，

貝幗心C(2,2)至匕軸的距離d=2,所以陷=24-/=2.

故答案為：2

12.答案：—

2

解析：由彳+1_右)乎_百口_2=0得(7(歹_百)+彳_百)_2=0,

所以直線x+1-百卜-&-2=0過點(diǎn)那，⑹.

連接則40=加三=2，由題意知點(diǎn)0在以幺河為直徑的圓上,

設(shè)Q(xj),所以點(diǎn)0的軌跡方程為小斗+'—直］=1(不包含點(diǎn)(4,百)),

I2)(2J

記圓1―2丫+$—回=i的圓心為止,回，過點(diǎn)0,P,N分別作準(zhǔn)線》=—2的垂線，

I2)-2)122)

垂足分別為瓦D,S,連接。0,則歸川+|PQ|=|PD|+|PQ隹|?！銡w|少白|沖卜1=?|+2-l=g，

當(dāng)且僅當(dāng)5,P,Q,N四點(diǎn)共線且點(diǎn)。在尸N中間時(shí)等號同時(shí)成立，所以歸尸|+歸@的最小值

為2

2

故答案為：U

2

13.答案：6

解析：如圖，連接/，

DF2,EF2,

因?yàn)镃的離心率為所以即"/

所以-c?=3c"

因?yàn)閨=|/閭=a=2c=出閭，所以△AF^^為等邊二角形,

又DE工伍,所以直線為線段典的垂直平分線，

所以|/必=|/|,|/同=|%|,

則△/￡）￡的周長為

1?

|皿+1/￡|+1￡>￡|=理|+|附+1￡>￡|=|陰+|明+|岡+同=4a=13na=號

13

..c——,

8

而耳=30°，所以直線的方程為＞=2^（x+c），

2,2

代入橢圓C的方程J+\=1,得13/+8CX-32c2=0，

2

4c23c

設(shè)Z）（X]，K）,￡（*2，%），則芭+%2=_^|，尤好2=-3：；，

所以|?！陓=+：[（X]+毛）2_4項(xiàng)超]=\\]—4x[—*]=答=6,

V\\/JID

故答案為：6.

22

14.答案：（1）二一匕=1

22

（2）見解析

7,

aa—V2,

解析：（1）由題意可得c=2,解得＜

b=0

c1=a2+/,

22

則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為二—匕=1.

22

（2）由題意可知直線/的斜率不為0,設(shè)直線/:%=叼+2,4（否,%），3（%2，%），尸（%,。），

x=my+2

7

聯(lián)立x2V整理得（加2一1）J?+4my+2=0,

------二1

122

4m2

則

%+為=一，3v2二

m2-1m2-1

因?yàn)镻/=（苞一/,.）,尸5=（/_/,%），所以

PA-PB=（xl-x0）（x2-x0）+yly2=（myl+2-x0）（my2+2-x0）+yiy2

=（田+1）%%+〃?（2_%）（必+%）+x；+4.

4m2

將％+代入上式,

v2=—h？必必=心

2（蘇+1）2^XQ_2）加2_1j+4XQ-2

夕旦---*---*4m（2-x0）

付PA.PB=+XQ-4XQ+4—

m2-1m2-1im2-1i

若方.而為定值，貝！1%；-2=$一4%+2，解得%=1，

故存在點(diǎn)尸（1,0）,使得用.而為定值—1.

22

15.答案：（1）二+匕=1

94

⑵證明見解析

解析：