數(shù)列新定義問題(典型題型歸類訓(xùn)練)

1.(2024?甘肅定西?一模)在〃個(gè)數(shù)碼1,2,…,”(〃eN,"N2)構(gòu)成的一個(gè)排列//…4中，若

一個(gè)較大的數(shù)碼排在一個(gè)較小的數(shù)碼的前面，則稱它們構(gòu)成逆序(例如心＞工，則人與構(gòu)

成逆序)，這個(gè)排列的所有逆序的總個(gè)數(shù)稱為這個(gè)排列的逆序數(shù)，記為7(//…%)，例如，

7(312)=2,

⑴計(jì)算7(51243)；

⑵設(shè)數(shù)列｛%｝滿足=?！?(51243)-7(3412)嗎=2,求｛g｝的通項(xiàng)公式；

⑶設(shè)排列jJi---jn(??N,n22)滿足

j；=M+1-Z(Z=1,2,---,/I),Z＞?=7)Sn=齊＞…+J，求S.，

2.(2024高三下?全國(guó)?專題練習(xí))若數(shù)列｛%｝中存在三項(xiàng)，按一定次序排列構(gòu)成等比數(shù)列，

則稱｛%｝為"等比源數(shù)列

⑴已知數(shù)列｛%｝為4,3,1,2,數(shù)列也｝為1,2,6,24,分別判斷｛%｝,｛4｝是否為"等比

源數(shù)列”，并說明理由；

(2)已知數(shù)列｛c?｝的通項(xiàng)公式為g=2"T+1,判斷｛c“｝是否為"等比源數(shù)列”，并說明理由；

3.（23-24高二下?吉林四平?階段練習(xí)）在數(shù)列｛%｝中，若存在常數(shù)f,使得。用=%的%…％+1

（〃wN*）恒成立，則稱數(shù)列｛4｝為"〃⑺數(shù)列

⑴判斷數(shù)列1,2,3,7,43是否為"〃⑴數(shù)列"；

（2）若?！?1+工，試判斷數(shù)列匕,｝是否為"H⑺數(shù)列"，請(qǐng)說明理由；

n

⑶若數(shù)列｛%｝為“〃⑺數(shù)列"，且%=2,數(shù)列也｝為等比數(shù)列，滿足%；=磯+/鳴?7求

Z=1

數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式和f的值.

4.（23-24高二下?四川南充?階段練習(xí)）給定數(shù)列｛%｝,稱｛%+「4｝為｛%｝的差數(shù)列（或一階

差數(shù)列），稱數(shù)列｛%+「%｝的差數(shù)列為｛%｝的二階差數(shù)列，若見=3".

⑴設(shè)｛%｝的二階差數(shù)列為也｝,求也｝的通項(xiàng)公式.

（2）在（1）的條件下，設(shè)°=bg與+6，求匕｝的前〃項(xiàng)和為北

n&3n

5.（2024?安徽池州?模擬預(yù)測(cè)）定義：若對(duì)N*,八2Mi+2心恒成立，則稱數(shù)列｛%｝

為"上凸數(shù)列

⑴若%判斷｛6｝是否為"上凸數(shù)列"，如果是，給出證明；如果不是，請(qǐng)說明理

由.

（2）若｛%｝為"上凸數(shù)列"，則當(dāng)〃22〃+2?,"eN"）時(shí)，am+ari<am_l+an+l.

（i）若數(shù)列S”為｛%｝的前〃項(xiàng)和，證明：S?>|（a1+a?）;

（ii）對(duì)于任意正整數(shù)序列七,9戶3,x”（〃為常數(shù)且"N2,〃eN*）,若

工商-12t恒成立，求的最小值.

6.（2024?江西南昌?一模）對(duì)于各項(xiàng)均不為零的數(shù)列｛c“｝,我們定義：數(shù)列為數(shù)列匕｝

的""比分?jǐn)?shù)列".已知數(shù)列｛a,,｝,也｝滿足%=。=1,且｛叫的"1-比分?jǐn)?shù)列”與｛4｝的"2-比

分?jǐn)?shù)列”是同一個(gè)數(shù)列.

⑴若｛2｝是公比為2的等比數(shù)列，求數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和S“；

（2）若｛b?｝是公差為2的等差數(shù)列，求.

7.（2024?黑龍江?二模）如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比都大于3,則稱

這個(gè)數(shù)列為"G型數(shù)列

⑴若數(shù)列｛%｝滿足2%=y+1,判斷｛%｝是否為"G型數(shù)列"，并說明理由；

（2）已知正項(xiàng)數(shù)列｛%｝為"G型數(shù)列"，q=1,數(shù)列也｝滿足，=%+2,〃eN*,但｝是等比

數(shù)列，公比為正整數(shù)，且不是"G型數(shù)列"，求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式.

8.（2015高二.全國(guó)?競(jìng)賽）設(shè)數(shù)列｛%｝滿足：①%=1;②所有項(xiàng)%eN*；

③1=4<02<…<4，<4+1<….設(shè)集合4“=｛?Ian,將集合4中的元素的最大

值記為耙.換句話說，6m是數(shù)列｛%｝中滿足不等式m的所有項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)的最大值.我們稱數(shù)

列抄，為數(shù)列｛4｝的伴隨數(shù)列.例如，數(shù)列1，3,5的伴隨數(shù)列為1,1,2,2,3.

⑴請(qǐng)寫出數(shù)列1，4,7的伴隨數(shù)列；

⑵設(shè)4=3"一，求數(shù)列｛%｝的伴隨數(shù)列也,｝的前20之和；

⑶若數(shù)列｛叫的前“項(xiàng)和S"="2+c（其中。常數(shù)），求數(shù)列｛叫的伴隨數(shù)列也｝的前加項(xiàng)和

9.（23-24高二下?上海閔行?階段練習(xí)）若有窮數(shù)列外,出，…,見，（〃是正整數(shù)），滿足。1=。.，

出=%，…，4=%即生=*+1（7是正整數(shù)，且IV"”），就稱該數(shù)列為"對(duì)稱數(shù)列例如，

數(shù)列1,3,5,5,3,1就是"對(duì)稱數(shù)列

⑴已知數(shù)列也,｝是項(xiàng)數(shù)為7的對(duì)稱數(shù)列，且4，2,b3,4成等差數(shù)列，4=2,"=11，

試寫出｛"｝的每一項(xiàng)；

（2）對(duì)于確定的正整數(shù)〃>1,寫出所有項(xiàng)數(shù)不超過2m的"對(duì)稱數(shù)列”，使得1,2,2?,…,2二依

次是該數(shù)列中連續(xù)的項(xiàng)；當(dāng)加=10時(shí)，求其中一個(gè)"對(duì)稱數(shù)列"前19項(xiàng)的和每9

10.（23-24高二下?江西?階段練習(xí)）將數(shù)列｛0“｝按照一定的規(guī)則，依順序進(jìn)行分組，得到一

個(gè)以組為單位的序列稱為｛g｝的一個(gè)分群數(shù)列，｛七｝稱為這個(gè)分群數(shù)列的原數(shù)列.如

aa

（?1，6!2,-??,?,.）,（r+\，r+2，…,“3（4+2,…,4）…，（。小+1,。01+2,…）是｛。"｝的個(gè)分群數(shù)

列，其中第左個(gè)括號(hào)稱為第左群.已知｛%｝的通項(xiàng)公式為。

⑴若｛&｝的一個(gè)分群數(shù)列中每個(gè)群都含有3項(xiàng)；該分群數(shù)列第左群的中間一項(xiàng)為人,求數(shù)

列出｝的通項(xiàng)公式；

⑵若｛aj的一個(gè)分群數(shù)列滿足第k群含有左項(xiàng)，4為該分群數(shù)列的第k群所有項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)

集，設(shè)可=｛加鼠€44+7E/E｝,求集合初中所有元素的和.

數(shù)列新定義問題(典型題型歸類訓(xùn)練)

1.(2024?甘肅定西?一模)在〃個(gè)數(shù)碼1,2,…,"("eN,"N2)構(gòu)成的一個(gè)排列//…4中，若

一個(gè)較大的數(shù)碼排在一個(gè)較小的數(shù)碼的前面，則稱它們構(gòu)成逆序(例如心＞工，則人與構(gòu)

成逆序)，這個(gè)排列的所有逆序的總個(gè)數(shù)稱為這個(gè)排列的逆序數(shù)，記為7(//…%)，例如，

7(312)=2,

⑴計(jì)算7(51243)；

⑵設(shè)數(shù)列｛%｝滿足=?！?(51243)-7(3412)嗎=2,求｛g｝的通項(xiàng)公式；

⑶設(shè)排列jJi---jn(??N,n22)滿足

j；=M+1-Z(Z=1,2,---,/I),Z＞?=7)Sn=齊＞…+J，求S.，

【答案】(1)5

(2)a,=5i+l

⑶S"=芻

【分析】(1)利用逆序數(shù)的定義，依次分析排列51243中的逆序個(gè)數(shù)，從而得解；

(2)利用逆序數(shù)的定義得到。用=5%-4,從而利用構(gòu)造法推得1｝是等比數(shù)列，從而

得解；

(3)利用逆序數(shù)的定義，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式得到。，再利用裂項(xiàng)相消法即可得解.

【詳解】(1)在排列51243中，與5構(gòu)成逆序的有4個(gè)，與1構(gòu)成逆序的有0個(gè)，

與2構(gòu)成逆序的有0個(gè)，與4構(gòu)成逆序的有1個(gè)，與3構(gòu)成逆序的有。個(gè)，

所以7(51243)=4+0+0+1+0=5.

(2)由(1)中的方法，同理可得7(3412)=4,

又7(51243)=5,所以。向=5%-4,

設(shè)an+l+2=5(??+2),得an+x=5%+42,

所以42=-4,解得4=-1,貝!J-1=5&-1),

因?yàn)椤ā竘=lw0,

所以數(shù)列｛6-1｝是首項(xiàng)為1,公比為5的等比數(shù)歹U,

所以%-1=5"、貝1]%=57+1.

(3)因?yàn)閇=〃+1-4=1,2,…,〃)，

「廣…,、(n-\\n

所以“=7(//…/)=〃-1+"-2+…+1+0=---

所以J―=2

4+1(n+V)n

所以s“=21-；+[；+???+

2.（2024高三下?全國(guó)?專題練習(xí)）若數(shù)列他｝中存在三項(xiàng)，按一定次序排列構(gòu)成等比數(shù)列,

則稱口｝為"等比源數(shù)列

（1）已知數(shù)列｛%｝為4,3,1,2,數(shù)列｛a｝為1,2,6,24,分別判斷｛%,｝,也｝是否為"等比

源數(shù)列"，并說明理由；

（2）已知數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為c“=27+1,判斷｛qj是否為"等比源數(shù)列”，并說明理由；

【答案】⑴也,｝是"等比源數(shù)列”，也｝不是"等比源數(shù)列”，理由見解析

（2）｛2｝不是"等比源數(shù)列”，理由見解析

【分析】（1）根據(jù)等比中項(xiàng)，結(jié)合列舉法即可求解，

（2）假設(shè)是"等比源數(shù)列"得c；=c5*,即可根據(jù)指數(shù)幕的運(yùn)算，結(jié)合奇偶數(shù)的性質(zhì)得矛盾,

即可求解.

【詳解】（1）｛%｝是"等比源數(shù)列”，也｝不是"等比源數(shù)列

｛%｝中"1,2,4"構(gòu)成等比數(shù)列，所以｛%｝是"等比源數(shù)列”；

｛4｝中”1,2,6”,”1,2,24”,“1,6,24","2,6,24"均不能構(gòu)成等比數(shù)列,

且這四者的其他次序也不構(gòu)成等比數(shù)列，

所以｛〃｝不是"等比源數(shù)列

（2）也｝不是"等比源數(shù)列

假設(shè)匕｝是“等比源數(shù)列〃，因?yàn)樨埃菃握{(diào)遞增數(shù)列,

即｛g｝中存在的%,C”,生(加＜〃＜上)三項(xiàng)成等比數(shù)列，

21

也就是C；=Cmck,即(2"T+1)=(2*+1)(21+1),

22"-2+2"=2m+k~2+2小+24-1，兩邊時(shí)除以2m-1得22"~'^'+2"-m+1=2k~'+1+2?，

等式左邊產(chǎn)-"T+2fM為偶數(shù)，

等式右邊2"1+1+2"加為奇數(shù).

所以數(shù)列｛&｝中不存在三項(xiàng)按一定次序排列構(gòu)成等比數(shù)列.

綜上可得｛c?｝不是"等比源數(shù)列".

3.(23-24高二下?吉林四平?階段練習(xí))在數(shù)列｛%｝中，若存在常數(shù)f,使得%M=%七%-4+，

(weN*)恒成立，則稱數(shù)列｛6｝為"〃⑺數(shù)列

⑴判斷數(shù)列1,2,3,7,43是否為""⑴數(shù)列"；

(2)若c“=l+,，試判斷數(shù)列｛g｝是否為⑺數(shù)列"，請(qǐng)說明理由；

n

⑶若數(shù)列｛叫為"〃⑺數(shù)列"，且6=2,數(shù)列也｝為等比數(shù)列，滿足川+/og/,,T求

Z=1

數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式和f的值.

【答案】⑴是

(2)不是，理由見解析

⑶6,-=7

【分析】(1)根據(jù)〃⑺數(shù)列的定義判斷

(2)根據(jù)已知條件求出c?+1-qc2c3…的即可判斷；

(3)根據(jù)數(shù)列｛0"｝為⑺數(shù)列"，化'￡a；=a“+i+log24-/為log?"，

nn

z=l7/\61

進(jìn)而求得Z。；=的2。3…%”〃+1+1。§2磯，作差有?！?1=(%一1)%。2。3…。〃+1。82^^，根據(jù)

b

〃+1n

(t=~\

已知條件化為?+l)%+「?+log29)=0,解得,由此求出4=4,即可求出數(shù)列出｝的

[q=2

通項(xiàng)公式.

【詳解】(1)由題意可得2=1+1,3=1x2+1，7=1x2x3+1,43=2x3x7+1,

所以1,2,3,7,43是“〃⑴數(shù)列”;

(2)數(shù)列｛%｝不是"〃⑺數(shù)列"，理由如下：

c?=1+—=?eN*)>則％+]="+：(?N,),

nn〃+1G

234〃+1*

又eg%…=■7?二?：7------=n+l(〃EN),

123n

所以c〃+i_。1。2。3…?！?-----(n+1)=------n(〃￡N*),

n+\n+1

因?yàn)??-〃不是常數(shù)，所以數(shù)列｛g｝不是"〃⑺數(shù)列。

(3)因?yàn)閿?shù)列｛%｝為""⑺數(shù)列"，由名片二一+四?”-/(weN,),

n

z=l

有ZQ；=可出。3…4+log24(〃wN*)①，

n

i=l

所以X。；=%。2。3…。〃％刊+bgA+1(〃WN*)②，

n+1

兩式作差得=(?！?1-1)%出％…a.+log^T(〃wN*),

"n

又因?yàn)閿?shù)列｛4｝為⑺數(shù)列〃，所以%+1-=。1。2。3…%(〃￡N*)，

設(shè)數(shù)列｛4｝的公比為夕，所以a*=(4+「1)(%+1-。+噓29(〃wN*),

即(才+1)?！?1-+1。82q)=0對(duì)wN*成立，

"1=0[=-l

則4=>st,

[t+log2q=0[q=2

又%=2,a；=%+log2又得4=4,

所以或=4X2"T=2"M,t=-\.

4.(23-24高二下?四川南充?階段練習(xí))給定數(shù)列｛%｝,稱｛%,「q｝為｛%｝的差數(shù)列(或一階

差數(shù)列)，稱數(shù)列｛%+「%｝的差數(shù)列為｛%｝的二階差數(shù)列，若%=3".

⑴設(shè)｛%｝的二階差數(shù)列為也｝,求也｝的通項(xiàng)公式.

⑵在(1)的條件下，設(shè)c=10g了+6，求｛5｝的前〃項(xiàng)和為北

n&3n

【答案】(1也=43

(2)]=2.3叫5+,6

【分析】(1)借助定義計(jì)算即可得；

(2)借助等差數(shù)列及等比數(shù)列的求和公式計(jì)算即可得.

n+l

【詳解】(1)a^-an=3-3"=2.3",則"=2?3同一2?3"=4?3"；

%4.3〃

4

(2)cn=log3+bn=log3——F4?3"=〃+4?3”,

則7=31+心

"1-3222

5.(2024?安徽池州?模擬預(yù)測(cè))定義：若對(duì)MreN*,八2Ml+%二2即恒成立，則稱數(shù)列｛??｝

為"上凸數(shù)列

⑴若%=77=！，判斷｛%｝是否為"上凸數(shù)列"，如果是，給出證明；如果不是，請(qǐng)說明理

由.

(2)若｛%｝為"上凸數(shù)列"，則當(dāng)〃7+eN")時(shí)，am+an<am_l+an+l.

(i)若數(shù)列E,為｛%｝的前〃項(xiàng)和，證明：S?>j(a1+a?):

(ii)對(duì)于任意正整數(shù)序列占戶2，馬,…,x”.(〃為常數(shù)且"22,〃eN*),若

工舊-12-1恒成立，求義的最小值.

【答案】⑴是，證明見解析

(2)(i)證明見解析；(ii)n-1

【分析】(1)構(gòu)造函數(shù)/(x)=7(x+l)2-l-^\,x>\,利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性結(jié)合"上凸

數(shù)列"定義判定即可；

(2)(i)利用"上凸數(shù)列"定義及倒序相加法證明即可；令％1I，利用條件及數(shù)列求

和適當(dāng)放縮計(jì)算即可.

【詳解】(1)｛%｝是"上凸數(shù)列"，理由如下：

2

因?yàn)閚~—1,a*1—an=-^(n+1)—1-\/M"—1,

令/(x)=7(x+l)2-1-Vr-1,x>l,

x+1_________XJ(x+1)3(%_[)_yjx3(x+2)

則/'(%)=

J(x+1)2—1Vx2-1^/(x+l)2-l-Vx2-1

當(dāng)時(shí)，(x+1)3(x-1)-/(x+2)=—2x-1<0,

所以J(x+1)3(十—1)<yjx3(X+2),

所以r（x）<0,/（x）在區(qū)間［l,+8）上單調(diào)遞減,

所以/(〃)〉/(〃+1),q+1—4>4+2—4+1，

所以an+2+anV2%，

所以｛g｝是"上凸數(shù)列

(2)(i)證明：因?yàn)椋?｝是"上凸數(shù)列"，由題意可得對(duì)任意

aa

i+n-M2%+an_i+2>a,._2+an_i+3■■■>a2+%>ax+a?

所以2S"=(%+4)+(%+%)+---+(%+?)Xan+a)E月+力，

所以S"^-(?1+??)-

(ii)解：令0"=A/M2-1,

由（1）可得當(dāng)%=I時(shí)，｛g｝是"上凸數(shù)列",

由題意可知，當(dāng)加2〃+2（冽/EN*）時(shí)，am+an<am_1+an+l.

x

因?yàn)閆Jx；-1-Jx：-1+yj2~I+：-1+…+加；-1,

即-1+忠T+…

+…+

-X-X1

i12------%_1+2一

+…+

當(dāng)且僅當(dāng)X1=工2=…二乙―時(shí)等號(hào)成立，

所以X*-1.

綜上所述，幾的最小值為n-1.

6.（2024?江西南昌?一模）對(duì)于各項(xiàng)均不為零的數(shù)列｛cj,我們定義：數(shù)列［干］為數(shù)列忙,｝

的"-比分?jǐn)?shù)列".已知數(shù)列｛%｝,｛，｝滿足q=4=1,且｛%｝的"1-比分?jǐn)?shù)歹（J"與佃,｝的"2-比

分?jǐn)?shù)列"是同一個(gè)數(shù)列.

⑴若｛〃,｝是公比為2的等比數(shù)列，求數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和S.；

（2）若｛b?｝是公差為2的等差數(shù)列，求a”.

【答案】口電=3（4"-1）；

（2）??=1X（4M2-1）.

【分析】（1）利用已知求出通項(xiàng)公式，再求前〃項(xiàng)和即可.

（2）利用累乘法求通項(xiàng)公式即可.

【詳解】（1）由題意知-=*,

因?yàn)?=1,且也｝是公比為2的等比數(shù)列，所以冬包=4,

an

因?yàn)?=1,所以數(shù)列｛g｝首項(xiàng)為1,公比為4的等比數(shù)歹?。?

所以s=si

r（4"-i）；

〃1-4

（2）因?yàn)?=1,且低｝是公差為2的等差數(shù)列，所以

所以乎=容2〃+3

nn2n-l

a?2加十1%2n-la_5

所以工二2

a

n-l2n-yan_22n-5ax1

所以“+?("

因?yàn)?=1,

%3x1

所以=gx（4〃2-l）.

7.（2024?黑龍江?二模）如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比都大于3,則稱

這個(gè)數(shù)列為"G型數(shù)列

⑴若數(shù)列｛4｝滿足2a“=S"+l,判斷｛%｝是否為"G型數(shù)列"，并說明理由；

（2）已知正項(xiàng)數(shù)列｛%｝為"G型數(shù)列"，%=1,數(shù)列也｝滿足，=%+2,〃eN*,也｝是等比

數(shù)列，公比為正整數(shù)，且不是"G型數(shù)列"，求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式.

【答案】⑴不是"G型數(shù)列〃，理由見解析；

（2）?！?3"-2

【分析】（1）計(jì)算得出數(shù)列前兩項(xiàng)驗(yàn)證即可得出結(jié)論，并證明即可；

（2）利用｛%｝為"G型數(shù)歹U〃和也｝是等比數(shù)列，且不是"G型數(shù)歹上可求得低｝的公比為3,

即可求出數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為a“=3〃-2.

【詳解】（1）易知當(dāng)〃=1時(shí),可得2%=E+1=%+1,即4=1；

而當(dāng)〃=2時(shí)，24=S2+\=ax+a2+\,可得%=2；

a2

此時(shí)幺=彳=2<3,不滿足"G型數(shù)列"定義，

猜想：數(shù)列｛%,｝不是"G型數(shù)列"，

證明如下：

由2a“=S'+l可得，當(dāng)〃>2時(shí)，2%=S〃_i+l,

兩式相減可得2a〃-=Sn-Sn_x=an,可得〃〃=21,

此時(shí)從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比為&=2<3,因此｛七｝不是"G型數(shù)列”；

an-\

（2）設(shè)數(shù)列低｝的公比為,易知qeN*,

又因?yàn)閿?shù)列也｝不是"G型數(shù)列"，可得q43

b.a,+2

可得n$｝=子nx7=夕，即得。向=效”+%-2；

又?jǐn)?shù)列｛。"｝為"G型數(shù)列",可得4旦=4:2>3:

易知"G型數(shù)列”為遞增數(shù)列，因此當(dāng)〃趨近于正無窮大時(shí)，q+—一趨近于夕，即可得q23；

a“

綜上可得4=3,即“〃+1-+4,可得%+2=3m+2）；

所以數(shù)列｛4+2｝是以6+2=3為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列；

即可得4+2=3x3"一=3",可得%=3"-2；

所以數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為%=3"-2.

8.（2015高二.全國(guó)?競(jìng)賽）設(shè)數(shù)列｛%｝滿足：①%=1;②所有項(xiàng)%eN*；

③1=4<02<…<4，<4+1<….設(shè)集合4“=｛?Ian,將集合4中的元素的最大

值記為耙.換句話說，6m是數(shù)列｛%｝中滿足不等式<m的所有項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)的最大值.我們稱數(shù)

列｛"｝為數(shù)列｛4｝的伴隨數(shù)列.例如，數(shù)列1，3,5的伴隨數(shù)列為1,1,2,2,3.

⑴請(qǐng)寫出數(shù)列1，4,7的伴隨數(shù)列；

⑵設(shè)4=3"一，求數(shù)列｛??｝的伴隨數(shù)列也,｝的前20之和；

⑶若數(shù)列｛叫的前〃項(xiàng)和S"="2+c（其中。常數(shù)），求數(shù)列｛叫的伴隨數(shù)列他）的前加項(xiàng)和

【答案】(1)1,1,1,2,2,2,3

(2)50

,(m=2/-1,/eN*)

⑶(”=,

叱+2)，2，刖*)

【分析】（1）由數(shù)列的新定義直接寫出即可；

（2）由數(shù)列的新定義結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算求出即可;

（3）先由S“求出與，再由數(shù)列新定義求出超，再分機(jī)為奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)分別求出圖.

【詳解】（1）數(shù)列1,4,7的伴隨數(shù)列為1,1,1,2,2,2,3,（后面加3算對(duì)）

(2)由%=3"7<m,得"41+log3m(meN*)

當(dāng)1W42,加eN*時(shí)，b1=b2=l

當(dāng)3(冽<8,冽EN*時(shí)，&="=.??=々=2

當(dāng)9(加《20,加wN*時(shí)，4=%=…=怎=3

4+Z+,,,+b?o—1x2+2x6+3xl2—50

(3):4=H=1+c=1c=0

當(dāng)〃>2時(shí)，an=Sn-Sn_x=2n-l

=2〃-1￡N*)

+1

由%=2〃-1?加得：n<--—(mGN*)

因?yàn)槭沟脼楣べ闪⒌摹ǖ淖畲笾禐閎m,

所以b[=b?=1,瓦=b，=2,…,b2t_1=b2t—t9(t￡N*)

當(dāng)初二2,一1?￡N*)時(shí):

7；=2.1+1Z1).(;_1)+;=?=1(OT+1)2

當(dāng)初=2/QEN*)時(shí):

1+Z21z

Tm=2'—-t=t+t=-m(jn+2)

-,(m=2Z-1,ZeN*)

所以*=

—~Z,(/w=2z,ZeN*)

9.（23-24高二下?上海閔行?階段練習(xí)）若有窮數(shù)列％,電，…是正整數(shù)），滿足為=?！?，

。2=%，…,%=4即為=%T+i（i是正整數(shù)，且就稱該數(shù)列為"對(duì)稱數(shù)列例如，

數(shù)列1,3,5,5,3,1就是"對(duì)稱數(shù)列

⑴已知數(shù)列｛4｝是項(xiàng)數(shù)為7的對(duì)稱數(shù)列，且4，b2,b3,4成等差數(shù)列，4=2,2=11,

試寫出也,｝的每一項(xiàng)；

（2）對(duì)于確定的正整數(shù)0>1,寫出所有項(xiàng)數(shù)不超過2〃,的“對(duì)稱數(shù)列”，使得1,2,2?,…,2二依

次是該數(shù)列中連續(xù)的項(xiàng)；當(dāng)“2=10時(shí)，求其中一個(gè)"對(duì)稱數(shù)列"前19項(xiàng)的和1

【答案】（1）2,5,8,11,8,5,2

⑵答案見解析

【分析】（1）由等差數(shù)列基本量的計(jì)算結(jié)合對(duì)稱數(shù)列的定義即可求解;

（2）由該特殊對(duì)稱數(shù)列的定義結(jié)合等邊數(shù)列求和公式即可求解.

【詳解】（1）設(shè)｛"｝的公差為d,則a=4+34=2+34=11,解得1=3,

，數(shù)列也,｝為2