高三數(shù)學大題規(guī)范訓練(21)

15.陽春三月，油菜花進入最佳觀賞期，長沙縣江背鎮(zhèn)、望城光明村彭家老屋、瀏陽達滸

油菜花田、岳麓區(qū)含泰社區(qū)油菜花田都免費向市民、游客開放，長沙某三所高級中學4

B,C組織學生去這四個景區(qū)春游，已知A,B兩所學校去每個景區(qū)春游的可能性都相同，

C學校去岳麓區(qū)含泰社區(qū)春游的可能性為4，去其它三個景區(qū)春游的可能性相同.

2

(1)求望城光明村彭家老屋迎來三所學校春游的概率；

(2)長沙縣江背鎮(zhèn)迎來學校所數(shù)的分布列及數(shù)學期望.

16.如圖，四棱錐尸―A3CD的底面ABCD是梯形，

BC//AD,PA=AB=BC=1,AD=2,PC=g,PAl.平面ABCD.

8t------

(1)求證：平面平面B4B；

(2)在棱尸。上是否存在一點E,使得二面角E-AC-P的余弦值為理.若存在，求出

尸石：石。的值；若不存在，請說明理由.

17.已知拋物線E:V=2px(p>0)的焦點為E過尸且斜率為2的直線與E交于A,B

兩點，|AB|=10.

(1)求E的方程；

(2)直線/：x=—4,過/上一點尸作E的兩條切線PM,PN,切點分別為N.求證：

直線過定點，并求出該定點坐標.

18.已知函數(shù)f(%)——(^cix+2—+—%2.

(1)討論/(%)單調性;

(2)若/(幻有兩個零點，求。的取值范圍.

19.角谷猜想，也稱為“3〃+1”猜想.其內容是：任取一個正整數(shù)，如果是偶數(shù)，將它除以

2；如果是奇數(shù)，則將它乘以3再加上1,如此反復運算，該數(shù)最終將變?yōu)?.這就是對一個

正整數(shù)運算時“萬數(shù)歸1”現(xiàn)象的猜想.假如對任意正整數(shù)%(4?2),按照上述規(guī)則實施第

1次運算后的結果記為4,實施第2次運算后的結果記為的，…，實施第”-1次運算后的

結果記為4,實施第”次運算后得到數(shù)1,停止運算，便可以得到有窮數(shù)列

:,?2,???,an_x,1,其遞推關系式為：

3ak+1%為奇數(shù)

%=<%q為偶數(shù)(左=0/,2,…1),旬叫做數(shù)列｛4｝的原始項.將此遞推關系

\^ak+1|久為奇數(shù)

式推廣為：為”，中.(左=0,1,2,…,"—IMeZ,且4*0),其它規(guī)

彳W為偶數(shù)

則不變，得到的數(shù)列記作｛/I?4｝數(shù)列，試解答以下問題：

(1)若%=5,則數(shù)列｛3?%｝的項數(shù)為；

(2)求｛-1?4｝數(shù)列的原始項a0的所有可能取值構成的集合；

(3)若對任意的｛1?a”｝數(shù)列，均有210g2%+d,求d的最小值.

高三數(shù)學大題規(guī)范訓練（21）

15.陽春三月，油菜花進入最佳觀賞期，長沙縣江背鎮(zhèn)、望城光明村彭家老屋、瀏陽達滸

油菜花田、岳麓區(qū)含泰社區(qū)油菜花田都免費向市民、游客開放，長沙某三所高級中學A,

B,C組織學生去這四個景區(qū)春游，已知A,B兩所學校去每個景區(qū)春游可能性都相同，

C學校去岳麓區(qū)含泰社區(qū)春游的可能性為,去其它三個景區(qū)春游的可能性相同.

2

（1）求望城光明村彭家老屋迎來三所學校春游的概率；

（2）長沙縣江背鎮(zhèn)迎來學校所數(shù)的分布列及數(shù)學期望.

【答案】（1）—;

96

（2）分布列見解答，數(shù)學期望2.

3

【解答】

【分析】（1）由相互獨立事件的概率乘法公式可求得望城光明村彭家老屋迎來三所學校春游

的概率.

（2）求出長沙縣江背鎮(zhèn)迎來學校所數(shù)X的可能值及對應的概率，求得分布列及數(shù)學期望.

【小問1詳解】

依題意，A,2兩所學校去每個景區(qū)春游的概率都是:，

4

11

C學校去岳麓區(qū)含泰社區(qū)春游的概率為三，去其它三個景區(qū)春游的概率為二

所以望城光明村彭家老屋迎來三所學校春游的概率為：P=小

【小問2詳解】

依題意，長沙縣江背鎮(zhèn)迎來學校所數(shù)X的可能值為：0,1,2,3,

35153113513

P(X=0)=(-)2x-=—,P(X=l)=(-)2x-+C1,x-x-x-=—,

463246244632

P(X=2)=(；)2X3+C：X；X；X)=T，P(X=3)=(；)2>4=上

46446964696

所以長沙縣江背鎮(zhèn)迎來學校所數(shù)X的分布列為:

X0123

1513111

P

32329696

15131112

數(shù)學期望石(X)=Ox—+lx—+2x—+3x—=—.

323296963

16.如圖，四棱錐的底面ABC。是梯形，

BC//AD,PA=AB=BC=1,AD=2,PC=_L平面ABCD.

（1）求證：平面P8C_L平面Q45；

（2）在棱尸。上是否存在一點E,使得二面角石-AC-尸的余弦值為如.若存在，求出

3

PE:石D的值；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）證明過程見解答

（2）存在，PE:ED=1:2.

【解答】

【分析】（1）只需結合已知證明3C，平面PAB,由面面垂直的判定定理即可進一步得證；

UULL1UIU

（2）建立適當?shù)目臻g直角坐標系，引入參數(shù)=進一步表示兩個平面的法向量,

由向量夾角公式建立方程即可求解.

【小問1詳解】

因為上4,平面ABCD,所以

PA±BC,PA±AC,PA±AB,

22

因為PA=A5=8C=l,PC=g,所以AC?=尸。2pA2=3-1=2=AB+BC，

所以ABL5C,

又因為尸4,5。,尸4門48=4,24,/止＜=平面八45,所以平面

因為BCu平面P3C,所以平面P8C_L平面A4B；

【小問2詳解】

因為平面八43,BC//AD,所以ADL平面隊B，

又因為R4,A3u平面R45,所以又R4LA5,

所以AB,AD,AP兩兩互相垂直，

所以以點A為坐標原點，AB,AO,AP所在直線分別為蒼％z軸建立如圖所示的空間直角

坐標系,

如圖，c（l,1,0）,P（0,0,1）,D（0,2,0）,PD=（0,2-1）,

設苑=2力=（O,24T）,（O〈X<l）,

則*=赤+而=（0,0,1）+（O,2/LT）=（0,22,1-X）,

AC=(1,1,0),設平面EAC的法向量為4=a，x，zj,

X-AC=0即]…;°、

，取%=%-1,石=1-4Z[=22滿足條件,

“-AE=0[2孫+（1_彳”1=0

所以可取1=（1-4兄―1,24,

AC=（1,1,0）,AP=（0,0,l）,設平面PAC的法向量為后=（%，%，Z2），

小-AC=0（x,+為=0

則二一，即一（，取力=-1，解得M=1/2=0,

n2AP=0%=0

所以司=（1,-1,0）,

,1

化簡并整理得（2—1）=4彳2,解得;1=§或;l=—1（舍去）,

tun1tur

所以PE=—PD,

3

綜上所述，棱上是否存在一點E,且PE:ED=1:2,使得二面角E—AC—尸的余弦

值為好.

3

17.已知拋物線E:V=2px（p>0）的焦點為F,過F且斜率為2的直線與E交于A,B

兩點，|AB|=10.

（1）求￡的方程；

（2）直線/:I=—4,過/上一點P作E的兩條切線PM,PN,切點分別為M,N.求證：

直線過定點，并求出該定點坐標.

【答案】（1）V=8x

（2）證明見詳解；定點坐標為（4,0）

【解答】

【分析】（1）根據已知條件，設直線A3的方程為X=gy+5，設401,%）,8（>2,先），聯(lián)

立拋物線方程，根據拋物線的弦長求得P,即得答案；

（2）設直線的方程為彳=沖+〃，M（X3,J3）,N（X4，%），聯(lián)立拋物線方程，得到

韋達定理，利用導數(shù)的幾何意義，設出切線尸M與PN的方程，兩者聯(lián)立，可求出

〃=4,即可證得直線過定點，并得出該定點坐標.

1v

設AB的方程為x=5；y+彳，A(x1,y1),B(<x2,y2),

y2=2px

聯(lián)立<]",得y2_py_p2=0,則A=p2+4p2>0,

x=—y+—

I2，2

則%+%二?，

LL……I1P1P5z?

所以|AB|=x1+x2+p=—^+―+—j；2+—+p=—=10,

乙乙乙乙乙

解得"=4,

故拋物線E的方程為：V=8x.

【小問2詳解】

設直線跖V的方程為不=沖+〃，M（x3,y3）,N（%%），

y2_81

聯(lián)立<，得）2一8加y-8〃=0,

x=my+n

A=64m2+32〃>0?即2m2+〃>0，

所以為+%=8加，

令為＞。，當V＞。時,

也

/=8x可化為y=2岳，則y'

五

則在舷處的切線PM的方程為:

4%

即y=一

為2

4y

同理可得切線PN的方程為：y=—x+管4,

%2

聯(lián)立與PN的方程，解得了"=”=-4,

P8

所以y3y4=-32=-8〃，則〃=4,滿足2m2+”>0,

則直線MN的方程為x=沖+4,

所以直線跖V過定點，該定點坐標為(4,0).

【小結】方法小結：直線和拋物線的位置關系中，證明直線過定點問題，一般是設出直線

方程，利用根與系數(shù)的關系化簡，求得參數(shù)之間的關系式，再對直線分離參數(shù)，求得定點

坐標，進而證明直線過定點.

18.己知函數(shù)/(x)=ae2x-(ax+2-a)ex+^-x2.

(1)討論/(x)的單調性；

(2)若/(%)有兩個零點，求。的取值范圍.

【答案】(1)答案見解答；

(2)0<a<l.

【解答】

【分析】(1)求導，根據導數(shù)與函數(shù)單調性的關系，分類討論，即可求得了(x)單調性.

(2)分類討論，根據函數(shù)的單調性及函數(shù)零點的判斷，分別求得函數(shù)的零點，即可求得a

的取值范圍.

【小問1詳解】

函數(shù)/(x)=ae2x—(at+2-a)e'的定義域為R,

求導得f'(x)=2ae2x-(ax+2)e-l+x-(aeA-l)(2ex-x),

令9(x)=2e*-x,求導得e'(x)=2e*-1,當x<-ln2時，(p(x)<0,當x〉-ln2時，

(p(x)>0,

函數(shù)9(X)在(—8,-In2)上遞減，在(-In2,+8)上遞增，

虱x)2。(-In2)=1+In2>0,即2e*—x>0，

①當aW0時，ae*—1<0，/'(x)<0恒成立，/(%)在R上單調遞減；

②當a>0時，由/''(x)<0,得％<—lna,由/''(x)>0,得］>—lna,

函數(shù)/(x)在(—8,—Ina)上單調遞減，在(-Ina,y)上單調遞增,

所以當aW0時，/(幻在R上單調遞減;

當a>0時，/。)在(—8,—111々)上單調遞減，在(—Ina,y)上單調遞增.

【小問2詳解】

由(1)知，當aWO時，/(%)在R上單調遞減，/(%)在R上至多一個零點，不滿足條件，

1121I2

當。>0時，/(x)=/(-Ina)=1——+Ina+n",令g(a)=l——+lna+n"，

mina2a2

則g'(a)=^-+—+=—(—+l+lna)=—(—+l-ln—),

a~aaaaaaa

令"(x)=x-l-lnx,求導得t/(x)=1—L，當0<%<1時，M'(X)<0,當]>1時，

x

u'(x)>0,

函數(shù)”(X)在(0,1)上單調遞減，在(1,+8)上單調遞增，M(X)>W(1)=0,即一InxNl—x,

1112

于是g'(a)2—[—+1+(1——)]=->0,函數(shù)g(a)在R上單調遞增，而g⑴=0,

aaaa

則當0<a<l時，g(a)<0,當a=l時，g(a)=O,當a〉l時，g(a)>0,

①若a>l,則/(%)血口=g(a)>°，故/(x)>0恒成立，/(%)無零點；

②若a=l,則1nhi=g(a)=O,/。^。僅有一個實根/—足用。，不滿足條件；

③若0<。<1,貝U/aL=g(a)<。，

注意到—lna>0,/(—2)==+^^+2=^4^々+2-2〉0，

v7e34e2e4e2

31

于是/(%)在(-2,-Ina)上有一個實根，又ln(--1)>In-=-ln?,

aa

3333i3

且/(ln(——1))=a(——I)2-[aln(——l)+2-a](——l)+-ln2(——1)

aaaa2a

333i3

>a(——I)2-[aln(——1)+2-?](——1)=(3-?)[——ln(——1)],

aaaaa

令/i(x)=x—ln(3x—l)(x>l),則磯x)=l—=當l<x<g時/(x)<0,

當x〉g時〃(x)>0,

4444

所以〃(x)在(1,§)上單調遞減，在(§,+oo)上單調遞增，/z(x)>/i(-)=j-ln3>0,

1313

則—ln(—1)>0,又0<。<1,即3—a>0，則有(3—a)[—ln(-1)]>0,

aaaa

33

即/(ln(--l))>0,于是/(x)在(-In?,ln(--1))上有一個實根，

aa

又/(%)在(-8,Tna)上單調遞減，在(-Ina,y)上單調遞增，因此/(%)在R上至多兩

個實根，

3

又/(%)在(-2,-Ina)及(-lna,ln(--1))上均至少有一個實根，則/(%)在R上恰有兩個

a

實根，

所以0<a<l時，/(幻在R上恰有兩個實根.

【小結】思路小結：己知函數(shù)的零點或方程的根的情況，求解參數(shù)的取值范圍問題的本質都

是研究函數(shù)的零點問題，求解此類問題的一般步驟：

①轉化，即通過構造函數(shù)，把問題轉化成所構造函數(shù)的零點問題；

②列式，即根據函數(shù)的零點存在定理或結合函數(shù)的圖象列出關系式；

③得解，即由列出的式子求出參數(shù)的取值范圍.

19.角谷猜想，也稱為“3〃+1”猜想.其內容是：任取一個正整數(shù)，如果是偶數(shù)，將它除以

2；如果是奇數(shù)，則將它乘以3再加上1,如此反復運算，該數(shù)最終將變?yōu)?.這就是對一個

正整數(shù)運算時“萬數(shù)歸1”現(xiàn)象的猜想.假如對任意正整數(shù)%(4?2),按照上述規(guī)則實施第

1次運算后的結果記為q,實施第2次運算后的結果記為的，…，實施第"-1次運算后的

結果記為a“一i，實施第w次運算后得到數(shù)1,停止運算，便可以得到有窮數(shù)列

其遞推關系式為:

3%+1為為奇數(shù)

W+1=1”%為偶數(shù)億=°,2-?,〃-1),%叫做數(shù)列｛4｝的原始項.將此遞推關系

、萬

I，。"+1為為奇數(shù)

左=0,1,2,…,n―1;XeZ,且2。0),其它規(guī)

式推廣為：以+1=<ak

、萬為為偶數(shù)

則不變，得到的數(shù)列記作｛2?4｝數(shù)列，試解答以下問題:

(1)若旬=5,則數(shù)列｛3?｝的項數(shù)為

(2)求｛-1?a,J數(shù)列的原始項a0的所有可能取值構成的集合；

(3)若對任意的｛1?叫數(shù)列，均有210g2%+d,求d的最小值.

【答案】(1)5；(2)｛x|x>2,xeN｝；

(3)2.

【解答】

【分析】(1)旬=5,根據給定條件，逐一計算即可得數(shù)列｛3?4｝的項數(shù).

(2)證明對于任意的正整數(shù)/之2,當g=?時，均存在數(shù)列｛4｝為｛—1?4｝數(shù)列，%=2

時，4=1,n=1符合題意，利用反證再進行分類討論可得.

(3)先證d=2符合題意，分類討論①當〃=2f+l,②當〃=2/+2,最后證明422和

d<2兩種情況得答案.

【小問1詳解】

%=5嗎=3x5+1=16,%=16+2=8,%=8+2=4,%=4+2=2,

%=2+2=1,所以數(shù)列｛3?%｝的項數(shù)為5.

【小問2詳解】

ak—1,a*為奇數(shù)

小猿”為偶數(shù)(左=。/2…,3),

下面證明對于任意的正整數(shù)1之2,當/=/時，均存在數(shù)列｛4｝為｛-1?4｝數(shù)列，

4=2時，q=L〃=l符合題意，

反證，假設存在正整數(shù).23,當/=f時，不存在數(shù)列｛4｝為｛-1?4｝數(shù)列，

設此時/的最小值為"(M?3),即佝=2,3,4,…,M-1時，存在｛-1?an｝數(shù)列,a0=M

時，不存在｛—1?a”｝數(shù)列，

①當加為奇數(shù)時，因為存在以M—1為原始項的｛-1?4｝數(shù)列，

所以M—1嗎,。2，。3,就是原始項為M的｛—1?%｝數(shù)列，與假設矛盾；

②當Af為偶數(shù)時，因為存在以子為原始項的｛T?4｝數(shù)列，%，4，%，…，4，

所以，>4,42,%，…，?就是原始項為"的｛一1??！埃龜?shù)列，與假設矛盾，

綜上可知，｛-1?4｝數(shù)列的原始項4的所有可能取值為全體大于等于2的正整數(shù)，

即｛—1?4｝數(shù)列的原始項％的所有可能取值構成的集合為｛x|x22,xeN｝.

【小問3詳解】

ak+1,以為奇數(shù)

依題意，ak+l=\a（4=0,1,2,…，〃一1）,""—1，-1—2,a〃―2—4,?,,,

小以為偶數(shù)

先證明d=2符合題意，即210g2%+2,（%>2）,

當”=1時，顯然成立；當〃=2時，q=2,即〃<21og2a1+2也成立；

當〃23時，對任意%>3,ae<―1——，；+Lmr,故iz.<—L+1,即a,—222(a—2),

j+2[224J;+22;+2

n-l

①當"=2/+l?