廣東省河源市2023-2024學年高二上學期期末考試數(shù)學試題

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.

寫在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.若直線/與直線;x+3y—1=0平行，則/的斜率為()

311

A.6B.——C.-D.一一

266

【答案】D

【解析】將直線-x+3y-l=0化為斜截式可得y=--x+-,

263

易知直線/的斜率與直線y=+的斜率相等，即/的斜率為-,；

636

故選：D

2.若等差數(shù)列｛4｝中=-6,。3+。5=0，則。10=()

A.12B.14C.-24D.-26

【答案】A

【解析】設等差數(shù)列｛4｝的公差為d，

則/+%=q+2d+4+4d=0,解得d=2：

因此可得數(shù)列｛4｝的通項公式為=%+(〃-1)2=2〃-8,

所以Io=2x10—8=12.

故選：A

3.已知雙曲線—丁=1的左、右焦點分別為耳,此，點尸是。的左支上一點，則

I尸耳I一|尸閱=()

A.275B.—2卡C.±75D.±2百

【答案】B

【解析】根據(jù)雙曲線標準方程可知a=百，

由雙曲線定義可得||「片|-歸曰=24=2君，

又耳為左焦點，點P是C的左支上一點，所以歸國<歸閭，

可得|尸制一歸閶=-2君.

故選：B

4.己知點4（0,0,1）,6（2,0,1）,C（0,-l,0）,則原點。到平面ABC的距離為（）

A.—B.1C.J2D.2

2

【答案】A

【解析】易知荏=（2,0,0）,恁=（0,—1,—1）,

設平面ABC的一個法向量為n=（九,y,z）,

AB-n=2x=0

貝U一，解得x=0,取y=Lz=-1可得”=（0,1,-1）；

AC-n=-y-z=Q

又礪=（0,0,1）,

uurr

,0An10

所以原點。到平面ABC的距離為d==一尸=+.

U。22

故選：A

5.在高層建筑中，為了優(yōu)化建筑結(jié)構(gòu)，減少風荷載影響，設計師可能會將建筑設計成底面

樓層高度比較高，隨著樓層往上逐步按照等比數(shù)列遞減的“金字塔”形狀，已知某高層建筑

共10層，第2層高度為4Gm，第九層高度記為為m,{4}是公比為手的等比數(shù)列，

若第左層高度小于6m,則左的最小值為（）

A.6B.5C.4D.3

【答案】C

【解析】由題意得4=4G，q;號

則％=8,故4=8x（#）"T,

由題意得8x<6，解得k>3,

即左的最小值是4.

故選：c.

6.若圓O:V+V=r2(r3>0)上到直線/:屈—y+1=0的距離為］的點恰好有3個，

則廠=()

A.1B.2C,3D.4

【答案】A

【解析】由圓+/=，(廠〉0),可得圓心0(0,0),

L,11

則圓心。到直線Z：V3x-y+l=0的距離為d=J詆2+(獷=2，

rrI

要使得圓。到直線/的為一的點恰好有3個，則d=—=—,可得r=l.

222

故選：A.

7.如圖，在正三棱錐尸—A5C中，高PO=6,A5=3jL點及/分別為9,PC的中

點，則瓦?赤;=()

【答案】B

【解析】在等邊AABC中，因為AB=3有，可得AABC的高為“=36x1=2,

22

229

所以OC=—/z=—x—=3,

332

在直角△POC中，可得PA=PB=PC=個PO?+OC?+乎=34，

又因為E,尸分別為P3,PC的中點，可得EF=^,OE=OF=LPC=^，

222

竺+竺口

OE?+OF?-EF?4447

在AOEF中，可得cosNEOE=

2OEOFW

30375763

所以赤.赤=|礪H而|cosNEOE=

---------X---------X一=——

22108

故選：B.

22

8.若點P既在直線/才―y+2=。上，又在橢圓。：二+3=1（。〉6〉0）上，C的左、

ab

右焦點分別為片，工，|月耳|=2,且/耳尸工的平分線與/垂直，則C的長軸長為（）

A.巫

B.V10

2

C*釁D.而唔

【答案】B

【解析】過點耳、B分別作片N、6“垂直直線/于點N、M,

作"PF?的平分線PH與x軸交于H,

由閨乙|=2,故耳（—1,0）、6（1,0）,

由？且為/月尸鳥的平分線，故NFiPH=NF?PH,

政NF[PN=NF[PM,

又RN工I、F2M±I,故△耳PN與△鳥PM相似,

A/2

寓M-Mijp耳[號」

\F2M\\MP\\PF2\3723,

2

由/比一丁+2=0,令y=0,則％=—2,

故直線,與x軸交于點G（—2,0）,故|NG|=正,

丁

\2

呼372’故\MN\=當當=拒，

\MG\=

2

7

山N|[NP1附|=1

由區(qū)M\MP\\PF2\3'

i^\NP\=^\MN\=^，\MP\=^\MN\=^-

由橢圓定義可知，\PF\+\PF^2a,故2a=乎+

即C的長軸長為而.

故選：B.

二、選擇題：本題共4小題，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.

9.若點。為原點，且圓。與圓C:x?+y2—6x+8y+16=0沒有公共點，則圓。的半徑

可以是()

A.1B.2C.8D.9

【答案】AD

【解析】圓C：(x—3)2+(y+4)2=9的圓心C(3,—4),半徑廠=3,IOC1=5,顯然點。在

圓C外，

由于圓。與圓C無公共點，則圓。與圓C可以外離，也可以內(nèi)含，且圓。在圓。內(nèi)，

設圓。的半徑為R,于是R+r<|OC|或H-r>|OC|,即R+3<5或R—3>5,解得

0<R<2或R>8,

所以圓。的半徑可以是1或9,即AD滿足，BC不滿足.

故選：AD

io.已知分別為空間中兩條不重合的直線4,4的方向向量，加7分別為兩個不重合的

平面名尸的法向量，則下列結(jié)論正確的是()

A.若“〃2，則ZHBB.若)=—3。，則

C.若加_1_”,則。-L，D.若。//，,則7〃”

【答案】BC

【解析】對于A中，由〃/心可得Z/區(qū)，則日=4B,XeR，當4=1時，a=b>所以A

錯誤;

對于B中，由0=—3。，可得Z//5，貝!1"〃2，所以B正確；

對于C中，因為正）分別為兩個不重合的平面d尸的法向量，若菊，幾可得。，力，

所以C正確；

對于D中，因為正，■分別為兩個不重合的平面名尸的法向量，若al1/3,可得而//九所

以D不正確.

故選：BC.

11.已知數(shù)列｛%,｝是等差數(shù)列，。應都是正整數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.若q〉P,則與.p+%+p=2agB.｛4｝不可能是等比數(shù)列

C.｛an+ail+l｝不是等差數(shù)列D.若%,+24+3=3,則ap+2=1

【答案】AD

【解析】由等差數(shù)列下標和性質(zhì)，以及，q都是正整數(shù)，

若q>p,則q—2應+。都是正整數(shù)，且滿足4―。+4+。=24，所以。匕0+4+?=2%,

即A正確；

當數(shù)列｛4｝是非零的常數(shù)列時，例如4=1滿足｛4｝是等差數(shù)列，也是等比數(shù)列，即B錯

誤；

不妨設數(shù)列｛4｝的公差為d,易知（見+4+1）—（4-i+%）=4—%-i+4+i一%=2d為定

值，

所以｛%+%+1｝是公差為2d的等差數(shù)列，即C錯誤；

由4,+24*3=3可得%,+。"2+a"+4=3a"+2=3,可得4+2=1,即D正確；

故選：AD

12.已知直線/：x+y=心拋物線G：V=x與拋物線。2：/=丁的焦點分別為耳,工，

則（）

A.存在/,使得直線/過點耳與B

B.存在/,使得直線/與G，C2各有1個公共點

c.若/過C1與。2的公共點，貝也與a，a兩準線的交點距離為逆

--2

D./與G，G的交點個數(shù)構(gòu)成的集合為｛。，2,3,4｝

【答案】ABD

11

【解析】拋物線G：y92=%的焦點大（“0）,準線4：%二—工，拋物線。2：%9=》的焦點

x+y=t

由｛2消去y得V+X一才=o,

x=y

由A=l+4/=0,得仁-L此時直線/與C只有一個公共點，

4

x+y=t.

由12消去X得V+yT=0,

y=x

由A'=l+4/=0,得t=-L直線/與C1只有一個公共點，

4

因此當f=—J■時，直線/與孰,。2各有1個公共點，B正確；

4.

拋物線G與c2的公共點為（0,0）和（1,1）,

當直線/經(jīng)過點（0,0）時，直線/的方程為x+y=0,

直線/與4：x=一；交于點（—；，；），與4：y=交于點（；，一；），

這兩個交點間距離為注，c錯誤；

2

當/<—；時，A<0,A'<0,/與孰,。2的交點個數(shù)為。，

當，=—1時，/與G，G的交點個數(shù)為2,

當,時，直線/與G，。？的交點各有兩個，

4

而當/=0或f=2時，直線,經(jīng)過了￡,。2的交點

此時/與G，G的交點個數(shù)為3,

當t〉-；且心0且段2時，/與GC的交點個數(shù)為4,

因此/與G，02的交點個數(shù)構(gòu)成的集合為｛。，2,3,4｝,D正確.

故選：ABD

三、填空題：本題共4小題.

22

13.橢圓土+匕=1的離心率為.

96

【答案】B

3

22

【解析】橢圓三+匕=1的長半軸長。=3,半焦距,=乒4=6，

96

所以橢圓工+2=1的離心率e=$=走.

96a3

故答案為：B

3

14.已知點4(—1,。,—2),B(0,l,-l),若直線A5的一個方向向量為方=(—2,y,z),則

y+z=.

【答案】-4

【解析】易知初=(1,1,1),顯然方向向量為=(—2,y,z)與通=(1,1,1)共線，

即通=2為，解得4=—2,所以y=-2,z=-2；因此可得y+z=-4；

故答案為：-4

2ne%o

15.已知正項數(shù)列｛4｝滿足4+1

【答案】y

2n%+12〃

【解析】由%M=一可得)"=

n+1〃+1

2x92x82x72x648

由累乘可得.=色"％?巴?收=____x____x____x____

d>69+18+17+16+1y

故答案為：

16.《測圓海鏡》是金元時期李治所著中國古代數(shù)學著作，是中國古代論述容圓的一部專

著，如第2卷第8題的“弦外容圓”問題是一個勾股形（直角三角形）外與弦相切的旁切圓

問題，已知在RtAiABC中A（0,2）,3（2,0）,點C在第一象限，直線AC

的方程為x-2y+4=。，圓E與B4延長線、延長線及線段AC都相切，則圓E的標

準方程為.

【答案】（x-2『+卜-8-2而『=卜五+2行『

【解析】根據(jù)題意可知左的=-1，直線B4的方程為％+V一2=0,

由A515c可得&c=l，所以直線的方程為％—y—2=。，

x—2y+4=0,、

聯(lián)立直線AC和的方程《-0八，可得。（8,6）；

x-y-2=0、7

由圓E與氏4延長線、延長線及線段AC都相切，由對稱性可得圓心E在ZA6。的

平分線上，即x=2上；如下圖所示：

設石（2/）,且f>2,

\2+t-2\\2-2t+4\「「

由直線與圓相切可得J_1=J_解得"8+2后或"8-2加（舍）；

A/2A/5

結(jié)合圖形可知E（2,8+2廂），此時圓心為石（2,8+2W），半徑為40+26；

因此圓E的標準方程為（x-2）2+（y-8-2屈『=（4A歷+2司.

故答案為：（x—2『+（y—8—2/J=（4忘+2君了

四、解答題：本大題共6小題，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知點A（0,—2）,3（1,—1）,直線/:x+2陽+1=0與直線45垂直.

（1）求用的值；

（2）若圓C經(jīng)過點A3,且圓心C在x軸上，求點C的坐標.

解：（1）依題意，直線AB的斜率為左=T—（一2）=i,由直線A5垂直于直線/,得

1-0

-一-=-L所以7〃=一.

2m2

(2)線段A3的中點坐標為(；31

,則線段A3的中垂線方程為y+耳=一(％—5)，即

x+y=-l,

由圓C經(jīng)過點A3,得圓心C在直線x+y=-l上，而圓心。又在x軸上，

所以點C的坐標為(—1,0).

18.已知數(shù)列｛叫的前〃項和為S“，84+283=—10.

(1)若｛4｝是等比數(shù)列且公比q=-2,求生；

(2)若｛/｝是等差數(shù)列且4=-7,求S”的最小直

解：(1)設首項為％,由題意得1+2S3=—10,且｛4｝是等比數(shù)列,

故立匕42+匈31

=-10,解得％=—10,

1—(一2)1-(-2)

則生=_10X(-2)2=-40,

(2)設首項為由,公差為d,且｛4｝是等差數(shù)列，

故_28+4(4—l)d+2x(_2]+3(3—l)d)=_i0,解得4=5,

22

,,_〃(5"—12—7)519

故怎=-7+5(“-1)=5〃-12,Sc"=-----------=—?2——?,

19

由二次函數(shù)性質(zhì)得，當〃=—時，5”取得最小值，但九一定為正整數(shù)，

10

則當〃=2時，S“取得最小值，此時S〃=S2=—9.

19.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，上4,底面48。。,24=2筋=2.

(1)證明：BDX.PC-,

(2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值.

解：(1)如圖所示：

連接8。，AC,因為底面ABCD是正方形,

所以，AC,又K4，底面ABCD,

所以/，4，瓦),

又ACryPA=A,ACu平面PAC,Q4u平面PAC,

所以8D工平面A4C,又PCu平面PAC,

所以班＞_LPC；

(2)建立如圖所示空間直角坐標系：

則P（0,0,2）,B（l,0,0）,C（l,l,0）,D（O,1,O）,

PB=（l,O,-2）,PC=（l,l,-2）,PD=（O,l,-2）,

設平面PC￡)的一個法向量為：n=(x,y,z),

n-PC=0x+y-2z=0

則_，即

n-PD=0y-2z=0

令y=2,得z=l,x=。，

則￡=（0,2,1）,

設直線PB與平面PC。所成的角為6,

叵臼

則sin0=jcos^PB,7i^|=2_2

PB-MV5-V5-5

22

20.已知雙曲線匚。-*=1(°>01>0)經(jīng)過點(3,-2),且C的一條漸近線的方程為丁=匕

(1)求C的標準方程；

(2)若點尸是C的左頂點，用(加,“)是C上與頂點不重合的動點，從下面兩個條件中選

一個，求直線與PN的斜率之積.

①關于原點對稱；②M,N關于y軸對稱.

注：若選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

bb

解：(1)由題意得。的一條漸近線的方程為y=—%,故一二1,

aa

4廣

X—9—-y=1,角牟得〃=/?=逐，

ab

22

故C的標準方程為工-匕=1；

55

(2)若選①，關于原點對稱，

由題意得尸卜際,0),M(m,n),m±A/5,N(—m,—ri),

由題意得尸卜^/^,0),M(m,n),m±A/5,

故史-n2

=1f

55

c

nnn2m2-5

人IfkpM.kpN~/T~￡2~￡2'一一]，

機+，5-m+V55-m5-m

21.已知數(shù)列｛%,｝前幾項和為S“.

1111

(I)若=2〃+1,求和：—+—+—+?--+—；

、2、3、n

2s

(2)若"=a"+l,證明：｛%｝是等差數(shù)列.

解：(1)由4=2〃+1,得4+I—%,=(2〃+3)—(2“+1)=2,即數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列,

因此S"="(q；4)="(〃+2),貝1jg=111

),

n(n+2)2nn+2

所以-L+J-+J-+...+_L=J_[(i__L)+(J__J_)+(l__L)+...+(□-----—)+(l———)]

S]S2S3Sn23243