河南省新高中創(chuàng)新聯(lián)盟2025屆高三高考模擬卷一數(shù)學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知向量N=（4,m-1）,5=（〃Z+2,-2）,若不,則機=（）

A.-2B.-3C.-4D.-5

A.2KB.272C.2D.1

3.已知集合4={414尤43},3={-0，若則實數(shù)煙取值范圍是（）

A.[-1,0]B.[0,1]C.[-l,0)U(0,l]D.[-2,0)U(0,2]

4.已知正數(shù)滿足4-奶=2匕+<7,則當a-g取得最大值時，。=（）

b

A.4+76B.4C.3A/6-4D.4-屈

22

5.已知雙曲線C:*一方=l（a>0,3>0）的左焦點為。點〃、N分別在C的兩條漸近線

上，若四邊形OMW（。為坐標原點）為正方形，則C的離心率為（）

A.—B.2C.5/2D.3

6.設S〃為數(shù)列也}的前〃項和，若S〃+3=2%+〃，則幾=（)

A.520B.521C.1033D.1034

7.函數(shù)/（耳=苓=的極值點為（）

e+e

A.0B.1C.-1D.e

一心(3兀兀、#tanxtany-1,(、cos2(x+y)

8.已知1、>￡°r，右。=，人一一cos(x+y),。=./、，貝!]()

(82)tanx+tany'/sin(尤+y)

A.^-<b<\B.a>c>bC.a<\

D.c2=ab

2

二、多選題

9.已知。涉是兩條不同的直線，％夕是兩個不同的平面，則下列命題為真命題的有（）

A.若a〃6,a〃〃￡,貝！|a,b平行或相交

B.若a則a_L6

C.若aua,buB、a〃B，b〃a,則a〃4

D.若aua,bu/3,a〃Q,aLb,則a,廣平行或相交

10.坐位體前屈（SitAndReach）是一種體育鍛煉項目，也是大中小學體質健康測試項目，

通常使用電動測試儀進行測試.為鼓勵和推動學生積極參加體育鍛煉，增強學生體質，我國

于2002年開始在全國試行《學生體質健康標準》，坐位體前屈屬于該標準規(guī)定的測試內容之

一.已知某地區(qū)進行體育達標測試統(tǒng)計得到高三女生坐位體前屈的成績J（單位:cm）服從

正態(tài)分布N（20,b）且尸信222）=0.1,現(xiàn)從該地區(qū)高三女生中隨機抽取3人，記J不在

區(qū)間（18,22）的人數(shù)為X,則（）

A.尸（18</<22）=0.9B.E（3X+2）=3.8C.“&X）=2.4

D.P（X21）=0.476

11.已知。為坐標原點，點尸（1,。）是拋物線C:y2=2px（p>0）的焦點，過點歹的直線交C于

M，N兩點，尸為C上的動點（與均不重合），且點尸位于第一象限，過點尸向,軸作

垂線，垂足記為點。，點A（2,5）,則（）

A.C:y2=4xB.NOPQ+NFON<180°

C.|R4|+|P0的最小值為底D.AOMV面積的最小值為2

三、填空題

12.設a+60=（l+夜?（其中a、beQ）,貝l]a=.

13.已知底面圓半徑為1,母線長為3的圓錐的頂點和底面圓周都在球。的球面上，則球。的

體積等于.

14.在棱長為3的正方體A2CZ）-A瓦GR中，E,產為線段的三等分點（E在反歹之間），

一動點尸滿足尸尸=2尸E,則（而+雨）?（元+隔）的取值范圍是.

試卷第2頁，共4頁

四、解答題

fanZ?De

15.在VABC中，角A、B、。的對邊分別為〃、b、c,*=々—1.

tanAa

⑴求8；

⑵設。=3,b=3幣.

①求J

②求tanA的值.

16.某地區(qū)大型服裝店對在該店購買衣服的客戶進行滿意度調研以便能更好地服務客戶，統(tǒng)

計了2024年1月至5月對該家服裝店不滿意的客戶人數(shù)如下:

月份X12345

不滿意的人數(shù)y1201051009580

(1)通過散點圖可知對該服裝店服務不滿意的客戶人數(shù)y與月份x之間存在線性相關關系，求

其之間的經驗回歸方程，并預測2024年8月對該大型服裝店服務不滿意的客戶人數(shù)；

(2)工作人員從這5個月內的調查表所記錄的客戶中隨機抽查100人，調查滿意度與性別的

關系，得到下表，試根據(jù)小概率值1=0.01的獨立性檢驗，判斷能否認為滿意度與性別有關

聯(lián)？

滿意不滿意

女客戶4812

男客戶2218

2加一〃龍y

附：經驗回歸方程為y=其中5=母---------a=y-bx-

2尤；_rix2

i=l

2n^ad-bc^

“(〃+b)(c+d)(〃+c)(力+d)'其中"=〃+/?+c+d.

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

17.已知項數(shù)為"("22,"wN*)的數(shù)列｛%｝滿足：％+/+...+1,=0且同+同+~+同=3.

(1)若〃=4,{a“}為等比數(shù)列，求生的值；

⑵若〃=9,{a“}是等差數(shù)列，求公差d的值.

18.已知橢圓石：/+/=1(。>6>0)的離心率為弓，菱形9CD的四個頂點都在E上.當

菱形ABCD的四個頂點恰為E的四個頂點時，菱形ABCD的面積是6點.

⑴求E的方程；

(2)證明：AC與8。的交點為坐標原點。；

(3)求菱形ABC。周長的取值范圍.

19.若函數(shù)滿足：“、馬?0,1),均有［“占)-)歸-%|成立,則稱函數(shù)“X)

為“絕對平方根函數(shù)”.

⑴判斷〃x)=x-2024是否為絕對平方根函數(shù)，并說明理由；

(2)證明：/(x)=xlnx為絕對平方根函數(shù).

試卷第4頁，共4頁

《河南省新高中創(chuàng)新聯(lián)盟2025屆高三高考模擬卷一數(shù)學試題》參考答案

題號12345678910

答案DBCDCCABBDBC

題號11

答案ABD

1.D

【分析】根據(jù)向量垂直的坐標表示列方程，解方程可得結論.

【詳解】因為2/5,

所以裁.方=0,

a=(4,m—1),&=(m+2,—2),

則=0,

解得根=-5.

故選：D.

2.B

【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算及復數(shù)的模廠計算公式求解即可.

44(-l-i)

【詳解】-==-2-2i

I(-l+i)(-l-i)

故二=|-2-2i|=J(-2)2+(-2)2=2V2.

1—1

故選:B.

3.C

【分析】根據(jù)集合的包含關系列不等式，解不等式可得結論.

-1</<3

【詳解】由3=4,得'14T43,

tw-t

解得一1且年0,

故實數(shù)，的取值范圍是［T,o)u(。』.

故選：C.

4.D

【分析】由條件可得得匕=乜，代入可得。=設f=4-a對右側進行換

a+2bb4-a

答案第1頁，共14頁

元，再結合基本不等式求目標函數(shù)的最值，并確定取最值的條件.

【詳解】由4—。6=2匕+。，得6==，

〃+2

a>0,b>0f

1Q+2

二.0<a<4,a—=a-----,

b4-a

令/=4—a(0<Z<4),

貝i]a—：=4T—=5—1+：jw5一2，|=5—2#,

當且僅當f=3,即1="時取等號，此時a=4-n.

故選：D.

5.C

【分析】分析可知，雙曲線C的兩條漸近線互相垂直，可求出」的值，由此可求得該雙曲

a~

線的離心率的值.

【詳解】由題意知四邊形。⑷W為正方形，點V、N分別在C的兩條漸近線上,

得雙曲線C的兩條漸近線互相垂直，故?[3二一八所以5=1,

故C的離心率為e=￡1+與=J1+1=近?

aa-

【分析】根據(jù)給定條件，利用4=5.-5,1，〃22求出冊，進而求出S“即可得解.

【詳解】數(shù)列｛%｝中，Sn+3=2an+n,當〃22時，Sn_i+3=2an_1+n-l,

兩式相減得an=2%-2<7?_1+1,即4=-1,則%-1=2(%-1),

而H+3=2q+l,解得4=2,因此數(shù)列｛約-1｝是以?！?=1為首項，2為公比的等比數(shù)列,

答案第2頁，共14頁

則%-1=1X2"T=2"T,即/=2"7+1,于是S"=2"+w-l,所以$0=210+10-1=1033.

故選：C

7.A

ex(2ex+l)(l-x-e')

【分析】求得f(x)

2，利用/(無)=。，解得x=0即可判斷.

(2ex+l)(e2x+ex)-(2e2x+ex)(2e'+x)

【詳解】解：.??:(旬=

e"+e?

1住,+1)0

2

...由r(x)=o,

即1-尤一1=0,

解得：x=0.

由尸(x)>0*得x<0,

由1(x)<。得">0,

Aar

二.函數(shù)/(X)=在x=0處取得極大值,

e+e

故選：A.

8.B

【分析】利用三角恒等變換化簡〃、b、c,求出九+y的取值范圍，可得出。、b的取值范

圍，逐項判斷即可.

tanxt-a-n-y--1-----——-1----------——1----------

【詳解】由題可得tanx+tanjtanx+tanytan(x+y),/?=-cos(x+y),

1-tanxtany

cos*2(*89x+^)1(、

(無+力

「、r<3兀兀、_,「3兀1

因為1、yGI-g-5I,則

故-1<tsn(x+y)<。，—1<cos(x+y)<—旦,

所以，a=~~t~~T~__>c=ab,所以a>c>b.

tan(x+y)2

故選：B.

9.BD

答案第3頁，共14頁

【分析】根據(jù)空間中的線線、線面、面面關系逐項判斷即可得結論.

【詳解】若a〃尸,a〃a,b〃￡,貝/力平行或相交或異面，故A錯誤；

若tzJ_#,a_Lc,6"L2,貝?。輆_L6,故B正確；

若aua,buB，a〃B,b〃a,則平行或相交，故C錯誤；

若aua,buB，a〃B，a，b,則夕,月平行或相交，故D正確.

故選：BD.

10.BC

【分析】利用正態(tài)分布的性質計算判斷A；利用二項分布的期望、方差公式計算判斷BC；

利用對立事件的概率公式計算判斷D.

【詳解】對于A,由小NQO,/),得PC418)=P(絆22)=0.1,

貝!］尸(18<［<22)=1—0.1—0.1=0.8,A錯誤；

對于B,由A知，J不在區(qū)間(18,22)的概率為0.2,X~8(3,02),E(X)=0.6,

因此E(3X+2)=3E(X)+2=3.8,B正確；

對于C,由B知，r>(X)=3x0.2x0.8=0.48,因此￡>(6%)=5￡>(X)=2.4,C正確；

對于D,P(X>1)=1-P(X=0)=1-0.83=0.488,D錯誤.

故選：BC

11.ABD

【分析】利用焦點坐標可判定A,利用平行線性質化兩角和為一個角可判定B,利用拋物線

的定義化折線段和為直線段可判定C,設的方程利用點到直線的距離公式及弦長公式計

算面積，并根據(jù)二次函數(shù)的性質求最值即可.

【詳解】對于A選項，由題意知］=1,故P=2,所以C:^=4x,故A正確；

對于B選項，由題意知PQ〃尤軸，所以』OPQ=/FOP,

所以ZOPQ+ZFON=ZFOP+ZFON=ZNOP,

又一NOP<18(T,即/。/>。+/尸<小<180。，故B正確；

對于C選項，由拋物線的性質知，I網(wǎng)+歸@=|網(wǎng)+|尸耳-1,

因此當尸,A,歹三點共線時，|即+|正司取得最小值，

此時\PA\+\PF\=\AF\=7(2-1)2+(5-0)2=后，

答案第4頁，共14頁

即（|如|+忱0）3=底-1,故C錯誤;

對于D選項，設直線"N的方程為X=my+1,

與拋物線C的方程聯(lián)立得y2-4my-4=0,

故A=(-4m)2一4乂(^)=16(療+1)>0,弘+%=4m,yxy2=-4,

因此|MTV|=Jl+病=Ji+療?，(％+%)2-4%%

=Jl+m2?V16m2+16=4(m2+1

l-ll1

又因為點0到直線MN的距離為d=-^=L=

\jl+mfl+m2

所以△OMN的面積為S=‘d|"N|=9-J_^X4(=2+1)=2次+=2,

「Lyjl+m

當m=0時，△OMN的面積取最小值2,故D正確.

【分析】利用二項展開式計算（1+3），的值，即可得出。的值.

【詳解】因為（1+0/=1+C；.0+C；.（應了+C；.（&『+…+C；.（后『

=1+C；.（何+C：W）4+C；.（可+C；+C＞（可+C；.（可+C；.（何［.拒

=239+169底=。+6忘，其中°、bwQ,

故a=239.

故答案為：239.

口243忘

13-----------7C

64

【分析】取圓錐PE的軸截面△B45,分析可知，球心。在直線PE上，設球。的半徑為R,

根據(jù)圓錐的幾何性質可得出關于R的等式，解出R的值，再利用球體的體積公式可求得結果.

答案第5頁，共14頁

【詳解】取圓錐PE的軸截面△上4B，則E為A8的中點，如下圖所示:

由圓錐的幾何性質可知，球心。在直線PE上，設球。的半徑為尺,

由題意可知，PA=PB=3,AE=BE=1,且PE_LAfi,

所以尸￡=，叢2—他2=7^1=20，

由勾股定理可得。屈+4￡2=爐，即|PE—R「+AE2=R2,即,近一R『+1=R2,

9

解得"懣,

所以球。的體積為V=g位=喑兀.

故答案為：*.

14.-中

【分析】建系，根據(jù)空間間距離公式分析可知點P的軌跡為以反［di］為圓心，半徑

R=半的球,根據(jù)數(shù)量積可得（PA+PA）.（PC+PQ）=4府2-18,結合球的性質可得PO的

范圍即可得結果.

【詳解】如圖，以。為坐標原點建立空間直角坐標系,

則E(2,2,1)/(1,1,2),設P(x,y,z),

因為尸產=2PE,則^(x-l)2+(y-l)2+(z-2)2=2^(x-2)2+(y-2)2+(z-l)2,

答案第6頁，共14頁

整理可得卜一―km，

可知點尸的軌跡為以“倍1，號為球心，半徑R=2回的球,

（333J3

取A4,,CG的中點分別為M,N,M,N的中點為0&B，j，

UUULUULILIL1UUUULU1LlUIU

則PA+PA,=2PM,PC+PQ=2PN,

可得（西+可）.（定+《）=4而.兩

/??\/??\>2>2>2

=4（尸0+0M）?（尸0-0M）=4尸O-4OM=4P0-18,

又因為OH=3出>尺，則a在球外，

6

則+即立4P04地，

62

可得（再+可）.（斤+呵=4帶-18e-y,9,

所以（丙+中）（無+g）的取值范圍是一弓，9.

"53'

故答案為：一了,9.

【點睛】關鍵點點睛：1.利用空間直角坐標系求點點P的軌跡;

2.根據(jù)數(shù)量積的性質可得（麗+可）?（卮+%）=4麗2-18,進而可求范圍.

71

15.⑴8=§

（2）①c=9；②乎

【分析】（1）由已知條件結合切化弦、正弦定理以及兩角和的正弦公式化簡得出cosB的值,

結合角B的取值范圍可得出角B的值;

（2）①利用余弦定理可得出關于c的等式，即可解得c的值;

tan0c

②由半=2-1結合所求數(shù)據(jù)可求得tanA的值.

tanAa

【詳解】（1）因為世=%-1,所以空警4+1=跑，,

tanAasinAcosBsinA

sinBcosA+cosBsinA2sinC即sin（A+B）_2sinC

所以

sinAcosBsinAsinAcosBsinA

sinC2sinC

所以

sinAcosBsinA

答案第7頁，共14頁

因為OVCVTT,O<A<TI,所以sinCwO,sinAwO,所以cos5=」，

2

TT

又0<3<兀，所以2=§.

jr

(2)①因為a=3,b=3幣,B=—,

由余弦定理可得/=+c2-2accosB，

即63=9+02-2x3xcx；,整理得c?一3°-54=0,

即，一3C-54=0,而c>0,所以c=9.

②由*3T=5知tanA=l^=亙

tanAa55

16.(l)y=—9X+127，預測2024年8月對該大型服裝店服務不滿意的客戶人數(shù)為55

(2)能認為滿意度與性別有關聯(lián)

【分析】(1)計算出輸、亍的值，將表格中的數(shù)據(jù)代入最小二乘法，計算出務、°的值，可

得出經驗回歸方程，再將x=8代入經驗回歸直線方程，可求得結果；

(2)提出零假設4：服務滿意度與性別無關聯(lián)，計算出/的觀測值，結合臨界值表可得出

結論.

【詳解】(1)由表中的數(shù)據(jù)可知，

-1+2+3+4+50-120+105+100+95+80…

x=-----------=3,y=--------------------=100,

5

=1x120+2x105+3x100+4x95+5x80=1410,5jry=5x3x100=1500,

4=1

5_

￡X；=55,^=S--------J*：：。。-%a==100-(-9)x3=127

,=,以；-5丁255-45

Z=1

不滿意人數(shù)y與月份X之間的經驗回歸方程為y=-9X+127.

當x=8時，y=-9x8+127=55,

故預測2024年8月對該大型服裝店服務不滿意的客戶人數(shù)為55.

(2)零假設為:服務滿意度與性別無關聯(lián)，

由表中的數(shù)據(jù)可得*=1°°X(48X18-22X12)2=露7.143>6.635=%。］，

60x40x70x307001

根據(jù)小概率值a=0.01的獨立性檢驗，我們推斷/不成立，故能認為滿意度與性別有關聯(lián).

答案第8頁，共14頁

3.3

17.⑴4=1或％

⑵上3或-士3

2020

【分析】(1)設等比數(shù)列｛%｝的公比為4,由題設4+%+…+%=。結合等比數(shù)列前“項和

公式求出4,再由題設固+同+闖+同=3即可求出生.

(2)先由等差數(shù)列前“項和公式求得Q+4d=0,即％=0,接著分"=0、4>0和d<0三

種情況結合題設同+同+…+寓|=3列出關于首項和公差列出不等式組即可求解.

【詳解】(1)設等比數(shù)列｛4｝的公比為4,顯然4rl.

,“1(1—/)

由6+電+。3+。4=0，得——-----=0?解得"=-1.

i-q

3

由同+同+悶+同=3,得川⑷=3,所以6=w或％=-1.

9x8

(2)由％+4+…+%=。，得9〃]+^—d=0,所以4+4d=0,即%=0.

當d=O時，a[=a2=---=a9=0,此時同+同H----1■同=0(舍去)；

3

當d>0時，則%+〃2+。3+。4=—5且“5=。，

\03

4。]+6d=—,33

即12'解得q=-牙"=亦；

4+4d=0,

一3

34。1+6d——,33

當d<0時，則%+%+。3+。4=—且。5=。，即<2解得％=.

2[q+4d=0,520

綜上所述，公差d的值為53或-親3.

18.(1)—+^=1

63

(2)證明見解析

(3)[8A/2,12]

【分析】(1)根據(jù)橢圓的離心率可得出。=回，再結合菱形9CD的面積可求出。、6的

值，由此可得出橢圓E的方程；

(2)分三種情況討論：①直線AC的斜率不存在；②直線AC的斜率為0；③直線AC的

斜率存在且不為零；在前兩種情況下，直接驗證結論成立；在第三中情況下，設直線AC的

答案第9頁，共14頁

方程為了=履+冽（左力0）,將該直線方程與橢圓方程聯(lián)立，求出線段AC的中點坐標，并求

出直線3。的方程，同理可求出的中點坐標，根據(jù)兩對角線的中點重合可求出機的值，

即可證得結論成立；

（3）分情況討論：①當AC的斜率不存在或斜率為。時，直接求出菱形的周長；②

當AC的斜率存在且不為零時，根據(jù)（2）中的結論可得出|OA「、的表達式，結合勾股

定理與基本不等式可求得|A網(wǎng)2的取值范圍，綜合可得出菱形ABC。周長的取值范圍.

【詳解】⑴設E的半焦距為c,依題意，￡=立，所以==":=1-1」，所以°=傷，

a2aaa2

又因為菱形神。的面積為|■x2qx2Z7=6&,所以2插廿=6e，

_22

所以b=G，所以a=&,所以E的方程為一+J=1.

63

（2）當AC的斜率不存在時，則5D的斜率為0,此時菱形ABCD的頂點為橢圓的四個頂點，

故AC與80的交點為。；

當AC的斜率為0時，則8。的斜率不存在，此時菱形A2CD的頂點為橢圓的四個頂點，故

AC與的交點為。；

當AC的斜率存在且不為0時，設直線AC的方程為y=kx+m（k^Q）,

設點4（%,其）、磯孫為），AB的中點為T（My'）.

聯(lián)立+2，6。得（2左2+1）》2+4如依+2m2-6=0,

[y=kx+m'7

所以△=16/療_4（2/+1）Q療一6）=8（6儲—療+3）＞0,

「4km所以無，=qi=UB，y'kx'=m

且％%=---；--=+m

122V+1乙乙K?12k2+1'

即

（2k2+12k2+1）

A771[2〃/77

因為菱形的對角線互相垂直平分，故直線6。的方程為%+kT

2左+1k\2%+1

，自1m

化簡,得尸一二一

2八1

-2km

同理可得BD中點的橫坐標x〃

（2Z:2+l）（^2+2））

答案第10頁，共14頁

因為才=x"且左wo,所以%=0,即點7（0,0）,即AC與80的交點為坐標原點.

綜上所述，AC與80的交點為坐標原點.

（3）當AC的斜率不存在或斜率為0時，易得菱形A3。的邊長為力2+券=3,故其周長

為12.

當AC的斜率存在且不為。時，由（1）知聯(lián)立所得的方程為（2左2+1）/一6=0,

所以|04「=才+V=儼+1b；=^1-

由勾股定理可得|A砰=|OA「+|O3『,

所以網(wǎng)2=61+1）（擊+/^]=2(2左2+1+F+211

H—------

2k2+1k2+2

=22+

令公鑒則何「＜2（2+2+[=9,所以向百2衣3卜

即周長的取值范圍為[8夜,12）.

綜上所述，菱形AS。周長的取值范圍是[8夜,12].

【點睛】方法點睛：圓錐曲線中取值范圍問題的五種求解策略：

（1）利用圓錐曲線的幾何性質或判別式構造不等關系，從而確定參數(shù)的取值范圍；

（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的

等量關系；

答案第11頁，共14頁

(3)利用隱含的不等關系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；

(4)利用己知的不等關系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；

(5)利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的

取值范圍.

19.(1)是絕對平方根函數(shù)，理由見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)“絕對值平方根”函數(shù)的定義驗證即可得出結論；

(2)先證明結論：對有l(wèi)na+l<<lnb+1,然后分三種情況：

b-a

-<x<x<l0<Xj<x<->0Vx討論，利用導數(shù)結合“絕對值平方根函數(shù)”

ei2,2eie

的定義可證得結論成立.

【詳解】(1)“力=%-2024是絕對平方根函數(shù).理由如下：

設不、/e(0,1),則V(芯)一八9)1=N-2024_(9-2024)1=|x,-x2|=|x2-^|,

令]=2Te[0,l),函數(shù)g(r)=--two,所以故居-%|vJw-xj,

即|〃占)_/(々)歸相二

故函數(shù)/(x)=x-2024是絕對平方根函數(shù).

(2)先證明一個結論：對有Ina+1<<ln6+l.

b-a

令g(x)=lnx-x+l,則短=易得xe(O,l)時，g〈x)>0,了?1,+力)時，g'(x)<0,

故g(無)在(0,1)上單調遞增，在(1,+e)上單調遞減，所以Vxe(O,+x),g(x)Wg(l)=O,

故x-121nx(當且僅當x=l時等號成立)，所以

.b

In—

blnb-ulnaalnb-alna,7

--------------+InZ?=7a+InZ?<1+In/?,

b-ab-ab一1

a

Tn。-P-1

b\nb-alnab]nb-b\na.卜、[b.,.

且a---------=----------+Ina=-------+Ina>--------+Ina=1+Ina，

b-ab-a1--

bb

▼rblnb-alna,,,f(b\—f(a]

所以lna+l<--------------<lnZ?+l,即nrlIna+1<'')------<ln/?+l.

b-a