第一章數(shù)與式

重難點(diǎn)01規(guī)律探究型問(wèn)題

（2種命題預(yù)測(cè)+17種題型匯總+專題訓(xùn)練）

【題型匯總】

個(gè)位數(shù)規(guī)律

單/多項(xiàng)式類規(guī)律

數(shù)陣類規(guī)律

楊輝三角形類規(guī)律

數(shù)與式（8種）

表格類規(guī)律

跨學(xué)科類規(guī)律（化學(xué)）

通過(guò)觀察已知等式求解

通過(guò)觀察已知等式，猜想第n個(gè)代數(shù)式

圖形固定累加型

圖形遞變累加型

圖形（5種）分區(qū)域累加型

,圖形循環(huán)規(guī)律

圖形類規(guī)律

沿坐標(biāo)運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)的規(guī)律

繞原點(diǎn)呈"回"字形運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)的規(guī)律

平面直角坐標(biāo)系中的規(guī)律問(wèn)題（4種）圖形變換的點(diǎn)的規(guī)律

坐梯由與直線相結(jié)合臧律

類型一數(shù)與式、圖形的規(guī)律問(wèn)題

【命題預(yù)測(cè)】數(shù)與式、圖形的規(guī)律問(wèn)題該題型主要以選擇、填空形式出現(xiàn)，難度系數(shù)不大，需要學(xué)生學(xué)會(huì)

分析各式或圖形中的“變”與“不變”的規(guī)律一一重點(diǎn)分析“怎樣變”，應(yīng)結(jié)合各式或圖形的序號(hào)進(jìn)行前后

對(duì)比分析。主要考查學(xué)生閱讀理解、觀察圖形的變化規(guī)律的能力，要求學(xué)生通過(guò)觀察分析推理，探究其中

蘊(yùn)含的規(guī)律，進(jìn)而歸納或猜想出一般性的結(jié)論.

題型01個(gè)位數(shù)規(guī)律

1.（2024?山西大同?模擬預(yù)測(cè)）在營(yíng)養(yǎng)和生存空間沒(méi)有限制的情況下，某種細(xì)胞可通過(guò)分裂來(lái)繁殖后代，我

1

們就用數(shù)學(xué)模型2n來(lái)表示，即2=2,22=￡23=8,24=16）23=32,…請(qǐng)你推算23。24的個(gè)位數(shù)字

是.

2.（2024?山東臨沂?二模）觀察下列等式:7°=1,71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,...

根據(jù)其中的規(guī)律可得7。+7】+72+…+72024的結(jié)果的個(gè)位數(shù)字是.

3.（2021?湖北武漢?一■模）觀察下列算式：21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,28

256,31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,37=2187,33=6561,根據(jù)上述算式中

的規(guī)律，221+311的末位數(shù)字是（）

A.3B.5C.7D.9

題型02單/多項(xiàng)式類規(guī)律

4.（2022?西藏?中考真題）按一定規(guī)律排列的一組數(shù)據(jù)：；，-I，_三,搭，-II，....則按此規(guī)律排列

252172637

的第10個(gè)數(shù)是（）

A.--B.—C.--D.—

1011018282

5.（2023?西藏?中考真題）按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：5a,8a2,Ila3,14a4,....則按此規(guī)律排列的第w

個(gè)單項(xiàng)式為.（用含有〃的代數(shù)式表示）

6.（2021?甘肅武威?中考真題）一組按規(guī)律排列的代數(shù)式：a+2b,a22b\a3+2b3,a4=2b7,則第n個(gè)

式子是.

題型03單/多項(xiàng)式類規(guī)律

7.（2024?四川德陽(yáng)?中考真題）將一組數(shù)衣,2,遙,2夜,同,2丹…，岳，…，按以下方式進(jìn)行排列：

第一行V2

第二行2V6

第三行2VIV102V3

則第八行左起第1個(gè)數(shù)是（）

A.7V2B.8V2C.V58D.4夕

8.（2022?湖南懷化?中考真題）正偶數(shù)2,4,6,8,10,按如下規(guī)律排列，

2

46

81012

14161820

則第27行的第21個(gè)數(shù)是—.

9.（2022?山東泰安?中考真題）將從1開始的連續(xù)自然數(shù)按以下規(guī)律排列:

第1行1

第2行234

第3行56789

第4行10111213141516

第5行171819202122232425

若有序數(shù)對(duì)(n,m)表示第〃行，從左到右第加個(gè)數(shù)，如(3,2)表示6,則表示99的有序數(shù)對(duì)是.

10.(2023?湖南常德?中考真題)觀察下邊的數(shù)表(橫排為行，豎排為列)，按數(shù)表中的規(guī)律，分?jǐn)?shù)孤若排

在第〃行b列，則a—匕的值為()

1

1

12

21

123

321

1234

----

4321

A.2003B.2004C.2022D.2023

題型04楊輝三角形類規(guī)律

H.(2023?黑龍江大慶?中考真題)1261年，我國(guó)宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在其著作《詳解九章算法》中提到了如圖

所示的數(shù)表，人們將這個(gè)數(shù)表稱為“楊輝三角”.

1(a+b)T=a+b

1121](a+b)2=a2+2ab+b2

1331(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

14641(a+by=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

觀察“楊輝三角”與右側(cè)的等式圖，根據(jù)圖中各式的規(guī)律，(a+b)7展開的多項(xiàng)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為一.

12.(2023?四川巴中?中考真題)我國(guó)南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家楊輝于1261年寫下的《詳解九章算法》，書中記載的

圖表給出了(a+6尸展開式的系數(shù)規(guī)律.

1(a+h)°=1

11(a+bp=a+b

121(a+b)2=a2+2ab+b2

1331（a+b）3—a3+3a2b+3ab2+b3

當(dāng)代數(shù)式--12x3+54--108x+81的值為1時(shí)，則x的值為（）

A.2B.-4C.2或4D.2或一4

13.（2020?山東泰安?中考真題）右表被稱為“楊輝三角”或“賈憲三角”.其規(guī)律是：從第三行起，每行兩端的

數(shù)都是“1”，其余各數(shù)都等于該數(shù)“兩肩”上的數(shù)之和.表中兩平行線之間的一列數(shù)：1,3,6,10,15,……,

我們把第一個(gè)數(shù)記為由,第二個(gè)數(shù)記為42,第三個(gè)數(shù)記為。3,……，第n個(gè)數(shù)記為即，則+a2oo=.

1

1

11

161

題型05表格類規(guī)律

14.（2021?湖北隨州?中考真題）根據(jù)圖中數(shù)字的規(guī)律，若第n個(gè)圖中的q=143,則p的值為（）

15.（2020?湖北?中考真題）根據(jù)圖中數(shù)字的規(guī)律，若第n個(gè)圖中出現(xiàn)數(shù)字396,貝加=（）

16.（2020?湖南婁底?中考真題）下列各正方形中的四個(gè)數(shù)之間都有相同的規(guī)律，根據(jù)此規(guī)律，尤的值為（）

26

1438

29320435

A.135B.153C.170

17.（2024?河南商丘?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在2x2的網(wǎng)格內(nèi)各有4個(gè)數(shù)字，各網(wǎng)格內(nèi)數(shù)字都有相同的規(guī)律，。為

D.9850

題型06跨學(xué)科類規(guī)律（化學(xué)）

18.（2024.重慶?中考真題）烷煌是一類由碳、氫元素組成的有機(jī)化合物質(zhì)，下圖是這類物質(zhì)前四種化合物

的分子結(jié)構(gòu)模型圖，其中灰球代表碳原子，白球代表氫原子.第1種如圖①有4個(gè)氫原子，第2種如圖②

有6個(gè)氫原子，第3種如圖③有8個(gè)氫原子，……按照這一規(guī)律，第10種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子

D.26

19.（2023?四川遂寧?中考真題）烷煌是一類由碳、氫元素組成的有機(jī)化合物，在生產(chǎn)生活中可作為燃料、

潤(rùn)滑劑等原料，也可用于動(dòng)、植物的養(yǎng)護(hù).通常用碳原子的個(gè)數(shù)命名為甲烷、乙烷、丙烷......癸烷（當(dāng)

碳原子數(shù)目超過(guò)10個(gè)時(shí)即用漢文數(shù)字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化學(xué)式為CH"乙烷的化學(xué)

式為C2H6,丙烷的化學(xué)式為C3H8……，其分子結(jié)構(gòu)模型如圖所示，按照此規(guī)律，十二烷的化學(xué)式為

甲烷乙烷

20.（2024?重慶?一模）有機(jī)化學(xué)中“烷燒”的分子式如CH4、C2H6、C3H8…可分別按下圖對(duì)應(yīng)展開，則GooHm

H

HHHHH

I

—

——III

CCCC

HH”cHHH

-----?

——-

——

—III??

H

HHHHH

22c33

A.00B.2002D.)0

21.（2024?廣東?三模）化學(xué)中直鏈烷煌的名稱用“碳原子數(shù)+烷”來(lái)表示，當(dāng)碳原子數(shù)為1?10時(shí)，依次用甲、

乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸表示，其中甲烷的化學(xué)式為CHg乙烷的化學(xué)式為C2H6,丙烷的化學(xué)

式為C3H8,其分子結(jié)構(gòu)式如圖所示，依此規(guī)律，己烷的化學(xué)式為—.

甲烷乙烷丙烷

題型07通過(guò)觀察已知等式求解

22.(2023?四川內(nèi)江?中考真題)對(duì)于正數(shù)x,規(guī)定f(x)=三，例如：f(2)=整=：,f停)=a=j/⑶=

X?J.NiJ.3\Z/—rJ.J

12

IS=r，G)=奈=也計(jì)算：/島)+?(擊)+f得)+…+嗚+嗚+〃1)+f(2)+f⑶+???+

/(99)+/(100)+/(101)=()

A.199B.200C.201D.202

23.(2021?四川眉山?中考真題)觀察下列等式：/=Jl+1+U=1+為；

~\lJ.ZZXXZ

x2=J1+J==-=1+；

Z7223262X3

“3=jl+/+J=V=1+5?

根據(jù)以上規(guī)律，計(jì)算X]+X2+無(wú)3+…+乂2020—2021=.

24.（2024?四川遂寧?中考真題）在等邊AABC三邊上分別取點(diǎn)D、E、F,使得力。=BE=CF,連結(jié)三點(diǎn)得

至必。EF,易得AADFmABED三ACFE,設(shè)S—BC=1，則SADEF=1-3S0DF

圖②圖③

如圖①當(dāng)竽=泄，S3F=1-3X*[

如圖②當(dāng)喧=9時(shí),SADEF=l-3x|?i

如圖③當(dāng)竽=[時(shí),SADEF=1-3X卷=總

直接寫出,當(dāng)筆時(shí)，SADEF=

25.(2024?安徽?模擬預(yù)測(cè))觀察下列圖形，并根據(jù)圖形規(guī)律解決問(wèn)題

??o

???O?oo

?*OOooo

?OO?OOOOOO

2x(l+2)=2x32x(l+2+3)=3x42x(1+2+3+4尸4x5

圖①

J

圖2

圖3

圖②

觀察圖②，我們把第1、第2、第3,......第九個(gè)圖形中反“L”型陰影部分面積分別記為S】、52、S3....

13

Sn,可得：S1=1=I；$2=8=23；$3=27=33；…,

(1)由圖①直接寫出1+2+3+…+n=,由圖②直接寫出5?=；

⑵通過(guò)圖②可以發(fā)現(xiàn)：

第1個(gè)圖形可得等式：13=〃；

第2個(gè)圖形可得等式：13+23=(1+2)2；

第3個(gè)圖形可得等式：13+23+33=(1+2+3)2；

第71個(gè)圖形可得等式：13+23+33+.?.+/=i;

4

(3)根據(jù)以上結(jié)論計(jì)算：23+43+63+-+1003.

題型08通過(guò)觀察已知等式，猜想第n個(gè)代數(shù)式

26.(2023?山東聊城?中考真題)如圖，圖中數(shù)字是從1開始按箭頭方向排列的有序數(shù)陣.從3開始，把位

于同一列且在拐角處的兩個(gè)數(shù)字提取出來(lái)組成有序數(shù)對(duì)：(3,5)；(7,10)；(13,17)；(21,26)；(31,37)…如果

單把每個(gè)數(shù)對(duì)中的第一個(gè)或第二個(gè)數(shù)字按順序排列起來(lái)研究，就會(huì)發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律.請(qǐng)寫出第〃個(gè)數(shù)

對(duì)：

???37

212019181736

227651635

238141534

249231433

251011121332

262728293031

27.(2023?浙江?中考真題)觀察下面的等式：32-I?=gx1,52-32=8x2,72-52=8X3,92-72=

8x4,....

(1)嘗試：132-II2=8x.

(2)歸納：(2n+1)2—(271-1產(chǎn)=8x(用含n的代數(shù)式表示，”為正整數(shù)).

(3)推理：運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，推理說(shuō)明你歸納的結(jié)論是正確的.

28.(2022?安徽?中考真題)觀察以下等式：

第1個(gè)等式：(2X1+=(2X2+1尸一(2X2尸,

第2個(gè)等式：(2x2+1尸=(3x4+—(3x4)2,

第3個(gè)等式：(2x3+1)2=(4x6+I/-(4x6)2,

第4個(gè)等式：(2x4+1)2=(5x8+—(5x8)2,

按照以上規(guī)律.解決下列問(wèn)題:

⑴寫出第5個(gè)等式：

(2)寫出你猜想的第〃個(gè)等式(用含”的式子表示)，并證明.

29.(2024?安徽宿州?三模)觀察下列圖形與等式的關(guān)系:

第1個(gè)圖22一野=2+1=3

第2個(gè)圖H32—22=3+2=5

第3個(gè)圖"2_32=4+3=7

第4個(gè)圖i52-42=5+4=9

根據(jù)圖形及等式的關(guān)系，解決下列問(wèn)題：

（1）第5個(gè)圖中空白部分小正方形的個(gè)數(shù)是，第6個(gè)圖中空白部分小正方形的個(gè)數(shù)滿足的算式:,

（2）用含門的等式表示第九個(gè)圖中空白部分小正方形的個(gè)數(shù)反映的規(guī)律：；

2222222

（3）運(yùn)用上述規(guī)律計(jì)算：（2024-20232+2022-2021+2020-2019+--+2-I）X總.

題型09圖形固定累加型

30.（2023?重慶?中考真題）用圓圈按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案中有2個(gè)圓圈，第②個(gè)圖案

中有5個(gè)圓圈，第③個(gè)圖案中有8個(gè)圓圈，第④個(gè)圖案中有11個(gè)圓圈，…，按此規(guī)律排列下去，則第⑦

個(gè)圖案中圓圈的個(gè)數(shù)為（）

OOOOO

OOOOOOOOOOOOOO

OOOOO

(1)(2)(3)

A.14B.20C.23D.26

31.（2024?黑龍江牡丹江.中考真題）如圖是由一些同樣大小的三角形按照一定規(guī)律所組成的圖形，第1個(gè)

圖有4個(gè)三角形.第2個(gè)圖有7個(gè)三角形，第3個(gè)圖有10個(gè)三角形……按照此規(guī)律排列下去，第674個(gè)圖

中三角形的個(gè)數(shù)是（)

△

△△△△

△△△△△△△

△△△△△△△△△

第1個(gè)第2個(gè)第3個(gè)

A.2022B.2023C.2024D.2025

32.（2023?山西?中考真題）如圖是一組有規(guī)律的圖案，它由若干個(gè)大小相同的圓片組成.第1個(gè)圖案中有4

個(gè)白色圓片，第2個(gè)圖案中有6個(gè)白色圓片，第3個(gè)圖案中有8個(gè)白色圓片，第4個(gè)圖案中有10個(gè)白色圓

片，…依此規(guī)律，第w個(gè)圖案中有個(gè)白色圓片（用含〃的代數(shù)式表示）

第1個(gè)第2個(gè)第3個(gè)第4個(gè)

33.（2023?湖北十堰?中考真題）用火柴棍拼成如下圖案，其中第①個(gè)圖案由4個(gè)小等邊三角形圍成1個(gè)小

菱形，第②個(gè)圖案由6個(gè)小等邊三角形圍成2個(gè)小菱形，……，若按此規(guī)律拼下去，則第w個(gè)圖案需要火

柴棍的根數(shù)為________（用含n的式子表示）.

①②

題型10圖形遞變累加型

34.（2024?山東濟(jì)寧.中考真題）如圖，用大小相等的小正方形按照一定規(guī)律拼正方形.第一幅圖有1個(gè)正

方形，第二幅圖有5個(gè)正方形，第三幅圖有14個(gè)正方形……按照此規(guī)律，第六幅圖中正方形的個(gè)數(shù)為（）

35.（2022?山東濟(jì)寧?中考真題）如圖，用相同的圓點(diǎn)按照一定的規(guī)律拼出圖形.第一幅圖4個(gè)圓點(diǎn)，第二

幅圖7個(gè)圓點(diǎn)，第三幅圖10個(gè)圓點(diǎn)，第四幅圖13個(gè)圓點(diǎn)……按照此規(guī)律，第一百幅圖中圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）

第一幅圖第二幅圖第三幅圖第四幅圖

A.297B.301C.303D.400

36.（2024.西藏?中考真題）如圖是由若干個(gè)大小相同的“O”組成的一組有規(guī)律的圖案，其中第1個(gè)圖案用了

2個(gè)“第2個(gè)圖案用了6個(gè)“O”,第3個(gè)圖案用了12個(gè)9”，第4個(gè)圖案用了20個(gè)9”，……,依照

此規(guī)律，第幾個(gè)圖案中“O”的個(gè)數(shù)為（用含"的代數(shù)式表示）.

ooooo

ooooooooo

oooooooooooo

oooooooooooooo

第1個(gè)第2個(gè)第3個(gè)第4個(gè)

37.(2024?安徽合肥?二模)若干個(gè)“△”和“★”按照一定規(guī)律排列成下列圖形.

★

圖1圖2圖3

⑴按照上圖所示規(guī)律，圖4中有個(gè)“△”，圖5中有個(gè)“★”；

(2)設(shè)圖n中有x個(gè)“△”，y個(gè)“★”，試求y與x之間的數(shù)量關(guān)系.

38.(2023?安徽?中考真題)【觀察思考】

◎

◎

◎◎**?

◎◎*◎◎**◎?***◎

◎*◎◎*◎*◎◎*◎*◎*◎◎*◎*◎*◎*◎

第1個(gè)圖案第2個(gè)圖案第3個(gè)圖案第4個(gè)圖案

【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】

請(qǐng)用含n的式子填空：

(1)第71個(gè)圖案中“◎”的個(gè)數(shù)為二

(2)第1個(gè)圖案中“★”的個(gè)數(shù)可表示為菱，第2個(gè)圖案中“★”的個(gè)數(shù)可表示為詈，第3個(gè)圖案中“★”的個(gè)數(shù)可表

示為等，第4個(gè)圖案中“★”的個(gè)數(shù)可表示為等，……，第n個(gè)圖案中“★”的個(gè)數(shù)可表示為.

【規(guī)律應(yīng)用】

(3)結(jié)合圖案中“★”的排列方式及上述規(guī)律，求正整數(shù)n,使得連續(xù)的正整數(shù)之和1+2+3+…+九等于第九個(gè)

圖案中“◎，，的個(gè)數(shù)的2倍.

題型11分區(qū)域累加型

39.(2024?河北唐山?模擬預(yù)測(cè))嘉嘉利用便利貼拼成一個(gè)寶塔形圖案，寶塔形圖案共有10層，每一層由三

列的便利貼拼成，前3層如圖所示.若同一層中每一列皆比前一列多2張，且每一層第一列皆比前一層第

一列多2張，則此寶塔形圖案是由()張便利貼拼成的.

第一列.....口]

第二列……□□□-第一層

第三列…口口□□口」

□□□

□□□□□-第二層

□□□□□□□

□□□□□

□□□□□□□.第三層

□□□□□□□□□J

A.354B.360C.384D.390

40.(2024?山東泰安.中考真題)如圖所示，是用圖形“?！焙汀?”按一定規(guī)律擺成的“小屋子”.按照此規(guī)律繼續(xù)

擺下去，第個(gè)“小屋子”中圖形“?！眰€(gè)數(shù)是圖形“?”個(gè)數(shù)的3倍.

o

Ooo

CDOOOooo

0OOOOOOOOOOO

0OOOOOOOOOooooo

OOOOOOOOOooooo

00OOOOOOoo

OOOOOOOooooo

(1)(2)(3)(4)(5)……

41.(2024?安徽?模擬預(yù)測(cè))下列圖形都是有同樣大小的小圓圈按一定規(guī)律所組成的，其中第①個(gè)圖形中一

共有4個(gè)小圓圈，第②個(gè)圖形中一共有10個(gè)小圓圈，第③個(gè)圖形中一共有19個(gè)小圓圈，…，按此規(guī)律排

列下去，第⑦個(gè)圖形中小圓圈的個(gè)數(shù)為.

oo

Oooo

0oooo

%O0O0ooooo

0^

鬻oooo

OC。

00(。oooo

。

0。

00。0oooo

。

①②③。oooo

④

42.(2024?安徽六安?模擬預(yù)測(cè))如圖，圖案1中“☆”的個(gè)數(shù)為1x2,“★”的個(gè)數(shù)為手，圖案2中“☆”的個(gè)數(shù)

為2X3,“★”的個(gè)數(shù)為詈，圖案3中“☆”的個(gè)數(shù)為3X4,“★”的個(gè)數(shù)為詈；….

★

★★

★★★★

★★★★★★

★★★★☆☆☆☆

★★☆☆☆☆☆☆☆

☆☆☆☆☆☆☆☆☆

圖案1圖案2圖案3

（1）圖案5中“☆”的個(gè)數(shù)為」

（2）圖案〃中，“★”的個(gè)數(shù)為二（用含〃的式子表示）

（3）根據(jù)圖案中“☆”和“★”的排列方式及規(guī)律，若圖案n中“★”的個(gè)數(shù)是“☆”的個(gè)數(shù)的|,求n的值.

題型12圖形循環(huán)規(guī)律

43.（2021百色市模擬）正方形紙板4BCD在數(shù)軸上的位置如圖所示，點(diǎn)4。對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為1和0,若正方

形紙板4BCD繞著頂點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛟跀?shù)軸上連續(xù)翻轉(zhuǎn)，則在數(shù)軸上與2020對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是（）

A.AB.BC.CD.D

44.（2023?浙江衢州?模擬預(yù)測(cè)）根據(jù)圖中箭頭的指向規(guī)律，從2022到2023再到2024,箭頭的方向是以下

圖示中的（）

1f25f69f10

tIt—-■

03—>47—>8

45.（2024貴州市模擬）如圖，物體從A點(diǎn)出發(fā)，按照4TB（第一步）-C（第二步）一。一力—

GT4TB……的順序循環(huán)運(yùn)動(dòng)，則第2023步到達(dá)（）

A.A點(diǎn)B.C點(diǎn)C.G點(diǎn)、D.F點(diǎn)、

46.（2022?海南省直轄縣級(jí)單位?二模）如圖，正方形ABC。邊長(zhǎng)為1,動(dòng)點(diǎn)P從A開始沿正方形的邊按

A—B—CTD—A逆時(shí)針?lè)较蜓h(huán)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)它的運(yùn)動(dòng)路程為2022時(shí)，點(diǎn)尸所在位置為點(diǎn).

題型13圖形類規(guī)律

47.（2022?山東聊城?中考真題）如圖，線段力B=2,以AB為直徑畫半圓，圓心為以力公為直徑畫半圓

①；取的中點(diǎn)4，以414為直徑畫半圓②；取的中點(diǎn)^3，以44為直徑畫半圓③…按照這樣的規(guī)

律畫下去，大半圓內(nèi)部依次畫出的8個(gè)小半圓的弧長(zhǎng)之和為.

48.（2022?黑龍江綏化?中考真題）如圖，4AOB=60。，點(diǎn)心在射線04上，且。P1=1,過(guò)點(diǎn)P1作104交

射線。B于Ki，在射線04上截取2止2，使P/2=PIKI；過(guò)點(diǎn)P2作P2K2，。4交射線。8于/，在射線0月上截

取P2P3,使P2P3=P2K2.按照此規(guī)律，線段P2023K2023的長(zhǎng)為.

49.（2021?貴州黔西?中考真題）如圖,在RtAOAB中,Z.AOB=90°,0A=OB,AB=1,作正方形41瓦6。1，

使頂點(diǎn)4，Bi分別在。4,0B上，邊GA在4B上；類似地，在RtACM/i中，作正方形2c2。2；在RtAO4Bz

中，作正方形43B3c3。3；???；依次作下去，則第n個(gè)正方形4tBnCn外的邊長(zhǎng)是.

50.（2020?遼寧?中考真題）如圖，四邊形28CD是矩形，延長(zhǎng)D4到點(diǎn)E,使力E=連接EB,點(diǎn)6是CD的

中點(diǎn)，連接EFi，B&,得到/E&B；點(diǎn)F2是C0的中點(diǎn)，連接EF2，BF2,得到4EF2B；點(diǎn)F3是C&的中點(diǎn)，

連接EF3,BF3,得到/EF3B；…；按照此規(guī)律繼續(xù)進(jìn)行下去，若矩形ABC。的面積等于2,則的面積

為.（用含正整數(shù)n的式子表示）

類型二平面直角坐標(biāo)系中的規(guī)律問(wèn)題（旋轉(zhuǎn)、平移、翻滾、漸變等）

【命題預(yù)測(cè)】該題型主要以選擇、填空的形式出現(xiàn)，一般較為靠后，有一定難度，該題型需要分析變化規(guī)

律得到一般的規(guī)律（如點(diǎn)變的循環(huán)規(guī)律或點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的循環(huán)規(guī)律，點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的變化規(guī)律等）。主要考查對(duì)點(diǎn)

的坐標(biāo)變化規(guī)律，一般我們需要結(jié)合所給圖形，找到點(diǎn)或圖形的變化規(guī)律或者周期性，最后利用正確運(yùn)用

數(shù)的運(yùn)算求解。這類問(wèn)題體現(xiàn)了“特殊與一般”的數(shù)學(xué)思想方法，解答時(shí)往往體現(xiàn)“探索、歸納、猜想”

等思維特點(diǎn)，對(duì)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力具有很高的要求。

題型01沿坐標(biāo)運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)的規(guī)律

51.（2024?黑龍江綏化?中考真題）如圖，已知&（1,一百）,4（3,-b），4（4,0），4（6,。），4（7,8），4（9,遍），

47（1。,。），舊）…，依此規(guī)律，則點(diǎn)力2024的坐標(biāo)為.

52.（2024?河南南陽(yáng).三模）如圖，點(diǎn)41（1,1）,點(diǎn)為向上平移1個(gè)單位，再向右平移2個(gè)單位，得到點(diǎn)出；

點(diǎn)4向上平移2個(gè)單位，再向右平移4個(gè)單位，得到點(diǎn)&；點(diǎn)4向上平移4個(gè)單位，再向右平移8個(gè)單位,

得到點(diǎn)力4；…按這個(gè)規(guī)律平移得到點(diǎn)占00,則點(diǎn)&00的坐標(biāo)為（）

4

A.(2100-1,2100)B.(2",2100)

C.(2100-1,2")D.(2"+l,2100)

53.(2024?甘肅酒泉.三模)如圖，動(dòng)點(diǎn)尸在平面直角坐標(biāo)系中按圖中箭頭所示方向運(yùn)動(dòng)，第1次從原點(diǎn)運(yùn)

動(dòng)到點(diǎn)(-1,1),第2次接著運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)(-2,0),第3次接著運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)(一3,2),按這樣的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，

經(jīng)過(guò)第2024次運(yùn)動(dòng)后，動(dòng)點(diǎn)尸的坐標(biāo)是.

(-7,2)(-3,2)

(-8,0)(-6；0)(-4,0)(-2,0)0\~~x

54.(2024?山東泰安.二模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有若干個(gè)整數(shù)點(diǎn)，其順序按圖中“7”方向排列，如

(0,1),(-1,2),(0,2),(1,2),(2,3),(1,3),(0,3),……，根據(jù)這個(gè)規(guī)律探索可得第2024個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是

題型02繞原點(diǎn)呈“回”字形運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)的規(guī)律

55.(2023?山東日照?中考真題)數(shù)學(xué)家高斯推動(dòng)了數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展，被數(shù)學(xué)界譽(yù)為“數(shù)學(xué)王子”，據(jù)傳，他在

計(jì)算1+2+3+4+???+100時(shí)，用到了一種方法，將首尾兩個(gè)數(shù)相加，進(jìn)而得到1+2+3+4+??-+100=

1°°"黑°°).人們借助于這樣的方法，得到1+2+3+4+―?+n=若2("是正整數(shù)).有下列問(wèn)題，如

圖，在平面直角坐標(biāo)系中的一系列格點(diǎn)4(修,%),其中i=1,2,3,…,…，且陽(yáng),為是整數(shù).記071=%+%,

如4(0,0),即的二0〃2(1，0)，即。2=即。3=0,…，以此類推.則下列結(jié)論正確的是()

-y

t——2——?-—

?

i餐一!4_4一,10

-2i-1：0n~\2x

:a一":/\A

-1%：12

；A,AA:,

二--9A--3瓦，IA

-213

A.。2023=40B.CI2024=43C.a（2?i-1）2=2TI—6D.a（2?t-1）2=2幾—4

56.（2024?山東聊城?三模）如圖是從原點(diǎn)開始的通道寬度為1的回形圖，。4=1,反比例函數(shù)y=｝與該回

形圖的交點(diǎn)依次記為Bl、B2.B3......則&024的坐標(biāo)為________.

1廠—bl1

：!L弋弛

一品塊工」[,

\%:

L....4________,

5,0

57.(2021?山東濰坊?中考真題)在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4從原點(diǎn)出發(fā),沿如圖所示的方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)位置的

坐標(biāo)依次為：A2(1,0),A?(1,1),A4(-b1),4(7，-1)As(2,-1),A7(2,2),....若到

達(dá)終點(diǎn)An(506,-505),則a的值為_____.

匕

5-

----------------4--^--------------鏟

產(chǎn)1------------3"Y----------111

二二二二必一」一

-4-3-1-10\A.\：，x

：/丁1

19■A?

[43^14

58.(2023?遼寧阜新?中考真題)如圖，四邊形0aBe1是正方形，曲線C】C2c3c4c5…叫作“正方形的漸開線”,

其中Cm2，C戌3,。式4，c/5，…的圓心依次按。，A,B,G循環(huán).當(dāng)。4=1時(shí)，點(diǎn)C2023的坐標(biāo)是()

A.(-1,-2022)B.(—2023,1)C.(-1,-2023)D.(2022,0)

題型03圖形變換的點(diǎn)的規(guī)律

59.(2023?山東煙臺(tái)?中考真題)如圖，在直角坐標(biāo)系中，每個(gè)網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度，以

點(diǎn)尸為位似中心作正方形「&&&，正方形P444力6,…，按此規(guī)律作下去，所作正方形的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，

其中正方形Pdi4A的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為P(-3,0)4(—2,1),42(—1,。)，4(—2,—1)，則頂點(diǎn)&oo的坐標(biāo)為()

A.(31.34)B.(31,-34)C.(32,35)D.(32,0)

60.(2023?湖南懷化?中考真題)在平面直角坐標(biāo)系中，△力。B為等邊三角形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0).把△AOB

按如圖所示的方式放置，并將AAOB進(jìn)行變換：第一次變換將AAOB繞著原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，同時(shí)邊長(zhǎng)

擴(kuò)大為AAOB邊長(zhǎng)的2倍，得到△&?！?；第二次旋轉(zhuǎn)將△41。當(dāng)繞著原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，同時(shí)邊長(zhǎng)擴(kuò)

大為△&。&,邊長(zhǎng)的2倍，得到△&OB2，….依次類推，得到△力2033。殳033，則△々023。82033的邊長(zhǎng)

為，點(diǎn)42023的坐標(biāo)為?

y.

火照A

61.(2024河口區(qū)模擬)如圖，在單位為1的方格紙上，4243，A^4^5-△公人力7，…，都是斜邊

在無(wú)軸上，斜邊長(zhǎng)分別為2,4,6,…的等腰直角三角形，若△4424的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為4(2,0)，4(1,1)，

4(。，0)則依圖中所示規(guī)律，4024的坐標(biāo)為.

62.(2024.黑龍江齊齊哈爾?中考真題)如圖，數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在用幾何畫板繪制幾何圖形時(shí)，發(fā)現(xiàn)了如“花朵”

形的美麗圖案，他們將等腰三角形08C置于平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。的坐標(biāo)為(0,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0),

點(diǎn)C在第一象限，N。8c=120。.將AOBC沿尤軸正方向作無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)，使它的三邊依次與x軸重合，第一

次滾動(dòng)后，點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為0',點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Ct0C與。'C，的交點(diǎn)為稱點(diǎn)41為第一個(gè)“花朵”的花心，

點(diǎn)兒為第二個(gè)“花朵”的花心；……；按此規(guī)律，AOBC滾動(dòng)2024次后停止?jié)L動(dòng)，則最后一個(gè)“花朵”的花心

的坐標(biāo)為.

63.(2024.黑龍江大興安嶺地?中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形0MNP頂點(diǎn)〃的坐標(biāo)為(3,0),

A是等邊三角形,點(diǎn)2坐標(biāo)是(1,0),△CMB在正方形。MNP內(nèi)部緊靠正方形。MNP的邊(方向?yàn)椤?M-

NTP-O-M-…)做無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)，第一次滾動(dòng)后，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為4的坐標(biāo)是(2,0)；第二次滾

動(dòng)后，&的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為4,4的坐標(biāo)是(2,。)；第三次滾動(dòng)后，4的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為4,4的坐標(biāo)是(3-

如此下去，...，則4024的坐標(biāo)是.

64.（2024?黑龍江齊齊哈爾?一模）如圖，把RtAOAB置于平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,4）,點(diǎn)8的

坐標(biāo)為（3,0）,將Rt△。力8沿x軸的正方向作無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)，使它的三邊依次與x軸重合.點(diǎn)尸是RtACMB兩

銳角平分線的交點(diǎn)，第一次滾動(dòng)后得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B；第二次滾動(dòng)后得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)為02；……按此規(guī)律，則點(diǎn)22024

的坐標(biāo)是.

65.（2023?山東東營(yíng)?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線/：y=百久一遍與x軸交于點(diǎn)兒,以。4

為邊作正方形&B1G。點(diǎn)G在y軸上，延長(zhǎng)C/1交直線/于點(diǎn)4，以G4為邊作正方形2c2。1，點(diǎn)。2在y

軸上，以同樣的方式依次作正方形3c3c2，…，正方形8202382023。2023c2022，則點(diǎn)4023的橫坐標(biāo)

66.（2023?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)8在x軸上,04=0B=4,

連接力8,過(guò)點(diǎn)。作。A1148于點(diǎn)A］，過(guò)點(diǎn)4作lx軸于點(diǎn)Bi；過(guò)點(diǎn)名作B〃2，48于點(diǎn)A2，過(guò)點(diǎn)4作

4B2IX軸于點(diǎn)B2；過(guò)點(diǎn)作殳&于點(diǎn)&，過(guò)點(diǎn)43作&B3軸于點(diǎn)殳；…；按照如此規(guī)律操作下

去，貝1J點(diǎn)4023的坐標(biāo)為

67.（2024?四川廣安?中考真題）已知，直線=y%-個(gè)與方軸相交于點(diǎn)&，以。公為邊作等邊三角形。力

點(diǎn)/在第一象限內(nèi)，過(guò)點(diǎn)當(dāng)作x軸的平行線與直線1交于點(diǎn)為，與y軸交于點(diǎn)G，以G&2為邊作等邊三角形

C14B2（點(diǎn)B2在點(diǎn)位的上方），以同樣的方式依次作等邊三角形C2&B3,等邊三角形C3/I4B4…，則點(diǎn)4024的

橫坐標(biāo)為.

68.（2023?山東煙臺(tái)?模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，正方形力BCD的位置如圖所示，點(diǎn)力的坐標(biāo)為（1,0）,

點(diǎn)。的坐標(biāo)為（0,2）,延長(zhǎng)CB交x軸于點(diǎn)兒,做第1個(gè)正方形&B1GC；延長(zhǎng)C/1交x軸于點(diǎn)必，做第2個(gè)正

方形2c2的…，按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，第2023個(gè)正方形的面積為（）

2022/q\4044

C.5x1.D.5x(-)

【專項(xiàng)訓(xùn)練】

1.（2024?江蘇徐州?中考真題）觀察下列各數(shù)：3、8、18、38、…，按此規(guī)律，第5?7個(gè)數(shù)可能為（）

A.48、58、68B.58、78、98C.76、156、316D.78、158、318

2.（2024?江蘇揚(yáng)州?中考真題）1202年數(shù)學(xué)家斐波那契在《計(jì)算之書》中記載了一列數(shù)：1,1,2,3,5,……，

這一列數(shù)滿足：從第三個(gè)數(shù)開始，每一個(gè)數(shù)都等于它的前兩個(gè)數(shù)之和.則在這一列數(shù)的前2024個(gè)數(shù)中，奇

數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.676B.674C.1348D.1350

3.（2024.重慶南岸.模擬預(yù)測(cè)）按照如圖所示的方法鋪設(shè)黑、白兩色的小正方形地磚，第1個(gè)圖案中有1塊

黑色小正方形地磚，第2個(gè)圖案中有5塊黑色小正方形地成，第3個(gè)圖案中有13塊黑色小正方形地磚，...，

4.如下圖，將形狀、大小完全相同的“?”和線段按照一定規(guī)律擺成以下圖形，第1幅圖形中“?”的個(gè)數(shù)為由,

第2幅圖形中“?”的個(gè)數(shù)為a2,第3幅圖形中“?”的個(gè)數(shù)為。3,…，以此類推，那么工+工+工+…+工的

ala2a3a19

值為（）

589431

D.-----

840-----