熱點專題2-2函數單調性與奇偶性15類題型全歸納

近4年考情(2020-2024)

考題統(tǒng)計考點分析考點要求

2024年新高考I卷，第6題,5分近幾年的高考情況來看，函數

借助函數圖象，會用符

2024年上海卷，第4題,5分的單調性、奇偶性、是高考的

號語言表達函數的單調

一個重點，需要重點關注，與

2023年新高考I卷，第4題,5分

性、最大值、最小值，理

函數圖象、函數零點和不等式

2023年新高考H卷，第4題,5分

解它們的作用和實際意義

相結合進行考查，解題時要充

2023年新高考I卷，第8題,5分

分運用轉化思想和數形結合思

2022年新高考n卷，第6題,5分

想

2021年新高考I卷，第6題,5分

模塊一1熱點題型解讀(目錄)

［題型1］函數的單調性..........................................................2

【題型2】復合函數單調性的判斷................................................4

【題型3】由分段函數的單調性與最值求參數范圍...................................6

【題型4】利用單調性求最值或值域..............................................10

【題型5】由單調性求參數的范圍.................................................11

【題型6】結合單調性解函數不等式..............................................13

【題型7】已知函數的奇偶性求解析式、求值......................................15

【題型8】函數的奇偶性的判斷與證明............................................17

【題型9】函數圖像的識別.......................................................23

【題型10］利用單調性，奇偶性比大小...........................................26

【題型11】已知函數的奇偶性求參數.............................................28

【題型12］解奇函數不等式......................................................33

【題型13］解偶函數不等式......................................................36

【題型14】函數不等式恒成立問題與能成立問題...................................39

【題型15］存在任意雙變量問題42

模塊二1核心題型?舉一反三

【題型1】函數的單調性

基礎知識

（1）單調函數的定義

一般地，設函數/（X）的定義域為A,區(qū)間￡）04：

如果對于￡）內的任意兩個自變量的值不，/當不＜X2時，都有/'（網）＜/（彳2）,那么就說了（X）在區(qū)間

￡）上是增函數.

如果對于。內的任意兩個自變量的值不，尤2，當天1＜彳2時，都有/'（占）＜/'（X2），那么就說/（X）在區(qū)

間。上是減函數.

①屬于定義域A內某個區(qū)間上；

②任意兩個自變量玉，%且％＜工2；

③都有/津）＜/（無2）或③再）＞F（無2）；

④圖象特征：在單調區(qū)間上增函數的圖象從左向右是上升的，減函數的圖象從左向右是下降的.

（2）單調性與單調區(qū)間

①單調區(qū)間的定義：如果函數/（X）在區(qū)間。上是增函數或減函數，那么就說函數/（%）在區(qū)間。上

具有單調性，。稱為函數“X）的單調區(qū)間.

②函數的單調性是函數在某個區(qū)間上的性質.

（3）幾條常用的判斷單調性的結論：

①若/（幻是增函數，則--（無）為減函數；若/（x）是減函數，則-/（無）為增函數；

②若于（x）和g（x）均為增（或減）函數，則在/（尤）和g（x）的公共定義域上/（%）+g（x）為增（或減）函數；

③若/（幻＞。且/（x）為增函數，則函數"后為增函數，人為減函數；

④若/（尤）＞0且/（無）為減函數，則函數J府為減函數，；為增函數.

L（2024?安徽蚌埠?模擬預測）下歹屈數中,滿足“對任意的2e（?！叮?使得胃口

成立的是（）

A./(x)=-x2-2x+l

B.f(x)=x--

X

C.f(x)=x+l

D./(x)=log2(2x)+1

【答案】A

【解析】根據題意，”對任意的菁,％e(0,+oo),使得"為)則函數y(x)在(0,+oo)上為

x1-x2

減函數.

對于選項A,/(X)=-X2-2X+1,為二次函數，其對稱軸為x=-l,在(0,+⑹上遞減，符合題意；

對于選項B,/(x)=x--,其導數/'(x)=l+3，所以/(x)在(0,+8)上遞增，不符合題意；

XX

對于選項C,/(x)=x+l為一次函數，所以/(X)在(0,+8)上遞增，不符合題意；

對于選項D,由復合函數單調性“同增異減''知，/(x)=log2(2尤)+1在(0,+co)上單調遞增，不符合題

意.

【鞏固練習1］已知函數/(X)的定義域為R,貝『"(x+l)>/(x)恒成立”是“函數/(x)在R上單調遞

增”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】函數“X)為R上增函數nVxeR,f(x+r)>f(x),反之不成立，即可判斷出結論.

【詳解】函數"X)為R上增函數nVxeR,/(x+l)>/(x),反之不成立，

例如定義A”)在(0J上,f(x)=-x,且在R上滿足在(x+l)=/(x)+l,則有，

“/(x+l)>/(x)”是“函數/(X)為增函數”的必要不充分條件.

【鞏固練習2】(2024?陜西榆林?一模)已知函數〃尤)在［0,+。)上單調遞增，則對實數。>0,6>0,

是"(。)>/修)”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】因為函數/(X)在［0,+8)上單調遞增，且。>0,6>0,

由增函數的定義可知，當.>萬時，有/(。)>/0)，

充分性成立；當時，若”=6,由函數定義可知矛盾，

若a<b,由函數單調性的定義可知矛盾，則。>6,必要性成立.

即對實數〃〉0,b〉0,“4＞人”是“/(〃)＞/⑻”的充要條件.

【題型2】復合函數單調性的判斷

基礎知識

復合函數的單調性：“同增異減”

判斷復合函數y=/［＜?(%)］的單調性的步3聚，

第一'步：定義域優(yōu)先，拆分前必須確定函數的定義域。

第二步：將復合函數分解成y=f(u)與u二g(x)。

第三步：分別確定這兩個函數的單調性。

第四步：用"同增異減"判斷函數y=/［g(x)］的單調性

同增異減”的意思如下圖:

u=g(x)y=f(u)y=f芭(切

增增增

增減減

減增減

減減增

2.函數＞三_r的單調增區(qū)間為()

O—JX—X

A.「A"B,16,；

C.—|,1］和(1,+00)D.(-00,-6)1

【答案】C

【分析】令/=-5x+6,根據二次函數的性質求出f的單調區(qū)間，再由復合函數的單調性即可得

函數的單調增區(qū)間.

【詳解】設，=一/-5x+6,則有xw-6且xwl,

t=-x2-5x+6=-(x+-)2+—,貝|/e(_8,0)lO,—,

所以函數,=-----——^的定義域為：{%|%工一6且工。1},

6—5x—x

由二次函數的性質可知，的單調遞增區(qū)間為：(-8,-6),1-6,-g；單調遞減區(qū)間為：-1,1］和(1,+s)；

又因為y在區(qū)間(-8,0)和(0,+8)上單調遞減，

j和(1,+=°).

由復合函數的單調性可知：函數y=7----------的單調增區(qū)間為:

6-5x-x

3.已知/'(x)=8+2x--,若g(x)=/(2-x2),則g(x)()

A.在區(qū)間(-1,0)內是減函數B.在區(qū)間(0,1)內是減函數

C.在區(qū)間(-2,0)內是增函數D.在區(qū)間(0,2)內是增函數

【答案】A

【分析】直接利用復合函數單調性得到答案.

【詳解】，。)=8+2工-，在(_8,1)上單調遞增，在(1,+8)上單調遞減，

r=2-Y在(_8,o)上單調遞增，在(0,+“)上單調遞減，根據復合函數的單調性：

當xe(ro,-l)時，re(-oo,l),函數單調遞增；

當xe(-l,0)時，re(l,2),函數單調遞減；

當xe(O,l)時，re(l,2),函數單調遞增；

當時，re(-8,l),函數單調遞減

【鞏固練習1】函數/(X)=，)42>8的單調遞增區(qū)間是()

A.(-oo,l)B.(-oo,-2)C.(4,+oo)D.(l,+oo)

【答案】A

【解析】函數=的定義域為R,函數a=f-2x-8在(-8』)上單調遞減，在。,+?)單

調遞增，

而函數y=(g>在R上單調遞減，因此函數/(x)在(-吟1)上單調遞增，在(1,y)單調遞減，

12

所以函數/(X)=(萬廠0-8的單調遞增區(qū)間是(-8,1).

【鞏固練習2】函數y=ln(d-2x)的單調遞減區(qū)間是()

A.B.(l,+oo)C.(-oo,0)D.(2,+8)

【答案】C

【解析】由y=ln(尤2-2X),

x2-2x>0,解得x<0或x>2,

所以函數y=ln(x2-2x)的定義域為(-8,0)(2,+8),

令"=/-2x,則函數"=/一2%在(-8,0)上單調遞減，在(2,+s)上單調遞增，

而函數y=In"在(0,+8)上為增函數，

由復合函數單調性可得y=ln(x2-2x)的單調遞減區(qū)間為(-8,0).

1

【鞏固練習3]函數/(%)=的單調遞減區(qū)間是(）

J）」-8x+15

A.(-oo,3)B.(3,4]C.(5,+oo)D.（4,+oo）

【答案】C

【解析】由/(%)=/可得=一8%+15〉0,

7x—8x+15

解得尤<3或x>5,

由,=必一8%+15圖象的對稱軸為1=4,

則y=必一8%+15在[4,+oo)上單調遞增，

故"X)二百士K

的單調遞減區(qū)間為(5,+8)

【題型3】由分段函數的單調性與最值求參數范圍

基礎知三]

函數/(x)=,在R上為增函數，貝U：

①S(X)在(ro,m]上單調遞增；②，(X)在O,+8)上單調遞增；③

s(x)xGm

函數/(x)=,一，在R上為減函數，貝h

[/(%),%>m

①5(%)在(Y0,汨上單調遞減；②/(%)在(租,+8)上單調遞減；③SO)2,O).

—X——ClY<"0

4.(2024新高考1卷真題)已知函數為/(尤)=x,八’八，在R上單調遞增，則。取值的

爐+ln(x+l),尤20

范圍是()

A.(-8,0]B.[-1,0]C.L-1,1]D.[0,+8)

【答案】B

【分析】根據二次函數的性質和分界點的大小關系即可得到不等式組，解出即可.

【詳解】因為〃x)在R上單調遞增，且尤20時，/(x)=e'+ln(x+l)單調遞增，

-—^—>0

則需滿足J2x(-1),解得

-?<e°+In1

即〃的范圍是[T,0].

|丫2?丫<1

5.(2024?陜西商洛?一模)已知函數/(%)=:、二-?是定義在R上的增函數，則。的取

\(3—a)x+2,x>1

值范圍是()

A.[1,3)B.[1,2]C.[2,3)D.(0,3)

【答案】B

—x2+2ax,x<1

【解析】因為/(?=]是定義在R上的增函數,

[(3-6Z)X+2,X>1

>1

-2

所以，3-a>0,解得lWa42.

—1+2a?3—〃+2

6.已知〃x)=j(-十叫的值域為R，則。的最小值為(

A.0B.2C.-D.1

4

【答案】D

【分析】首先判斷。>0,再分0<aV2和。>2兩種情況討論，求出。的取值范圍,即可得解.

/、[ax-\Ax<d)

【詳解】因為小)=[(>2)2,ga)的值域為R，

-l,(x<0)

當a=0時/(%)=(一),刈，顯然值域不為R,故舍去;

當Q<0時函數y=依一1(%<。)單調遞減，即—

又>=(工一2)220,函數“X)的值域不為R,故舍去；

所以Q>0,

此時當工<〃時f^x)=ax-\,函數單調遞增，

又函數y=(1-2)2在(-00,2)上單調遞減，在(2,+00)上單調遞增，且尤=2時y=。，

當0va<2時，只需滿足!”-1-°,解得l?a<2,

0<6Z<2

當a>2時，只需滿足1一1""一2),解得°>2,

a>2

綜上可得aNl,即[的最小值為1.

/、\(a-2)x+4a-6,x<l—―

【鞏固練習1】已知函數〃x)=j：，+2x>]滿足對于任意的不，超(5二馬)都有

/(%)一/(%)>。成立，則實數。的取值范圍是()

【答案】B

/(X)-/(%)_

【解析】根據題意，對于任意的國,％2(%。%2)都有----------->。成立

X]—x2

/、{(a-2)x+4a-6,x<l

貝“函數/(x)=r>+2]>]在R上是增函數

?！?>0

：.<a>1,解得

(a—2)x1+—6Ka1+2

（2?-3）x+2,x<1

【鞏固練習2]已知函數/(%)=<a1是R上的減函數，則。的取值范圍是(

一,x>I

33

A.0<a<一B.IWa<—

22

3?3

C.0<〃W—D.I<（2<—

22

【答案】B

(2〃-3)X+2,N〈I

【解析】由于函數/(%)=<a是定義在R上的減函數,

一,%>I

所以，函數y=(2〃-3)x+2在區(qū)間(-00可上為減函數,

函數y=3在區(qū)間(L+8)上為減函數，且有(2a-3)+22a,

x

2a—3<0

33

即Q>0,解得l〈a<一.因此，實數。的取值范圍是1,-

2a-\>a2L2

2m、

Y-I------—--3X〉Iq

【鞏固練習3】已知函數/(幻=〈■X'一在R上單調遞增，則實數機的取值范圍為(

(4+m)x-9,x<l

A.[-3,2)B.[-3,2]C.(-3,2)D.[-2,3]

【答案】B

【分析】根據對勾函數的性質以及反比例函數的性質，即可由分類討論，結合分段函數的單調性求

解.

JQ_|--2--m-----3-Y>-]

【詳解】因為函數〃尤)=x'一，在R上單調遞增，

(4+m)x-9,x<I

2m—3

當2機—3<0時，由于丁=%和>=-----均在犬21單調遞增函數，

x

故/（%）=%+2m3在x21上單調遞增,

X

1+2m-3>4+m-9

3

所以4+m>0,解得一3?相<一,

2m-3<0"

當2帆-3>0時，根據對勾函數的性質可知，若/（%）在上單調遞增,

N21n-3<1

貝1卜2加一3>0,解得萬<相42,

1+2m—3>4+m-9

\x,x>l

當2旭-3=0時，m=~,此時/（幻=11,顯然滿足/（X）在R上單調遞增,

2——X-9X<1

129

綜上，—3WmW2.

【鞏固練習4】已知函數/（%）=x',若/（尤）的值域為[2,6],則實數c的取值范圍是

X2-2x+3,c<x<3

（）

A.-l,-4B.-1，0C.[-1,0）D.—1，—《

_4」4J2_

【答案】A

【分析】首先分析函數y=2%+3的取值情況，從而判斷c?l,再結合2c+3<6得到-IWcWl,

再分OKcWl和—1WcvO兩種情況討論，當一1VcvO時結合函數y=-'+2在（一8,0）上的單調性，

x

得到-』+2W6,從而求出c的取值范圍.

C

【詳解】對于函數y=x,—2了+3=（尤一1）2+2,當x=3時，y=6,當X=1時，y=2,

而-Lwo,即有-J_+2W2,依題意可得C?1,又02_2C+3W6,解得-IVCV3,

XX

所以-IWcWl；

當0<c<l時，函數/（x）在（F,0）上的取值集合為（2,+8）,不符合題意，

當一1<。<0,函數y=-一+2在（一oo,c）上單調遞增，

x

11-----1-2461

貝]2<一—+2<一一+2,所以<c,解得一IVCV——，

xc[,八4

-l<c<0

所以實數c的取值范圍是-1,-y.

4

—x+2,x<1

【鞏固練習5］若函數〃x）=幺“＞］的值域為（0,+8）,則實數。的取值范圍為（）.

、尤，

A.（0,1］B.（-1,0）C.（1,+8）D.［L+8）

【答案】D

【分析】求出函數/（%）=-元+2在（-8,1）上的值域，由已知可得函數在［L+OO）上的值域包

X

含（0,1］,再列出不等式求解即得.

【詳解】當］＜1時，函數/（%）=-%+2在（—8,1）上單調遞減，/（%）在（-8,1）上的值域為（1,+00）,

因為函數于（X）在R上的值域為（0,+8）,則函數/（X）=￡在［1,+?）上的值域包含（0,1］,

顯然。＞0,否則當X21時，-＜0,不符合題意，

X

于是函數/（無）=9在口,"）上單調遞減，其值域為（。㈤，因此（0,1］=（。,風則

所以實數。的取值范圍為［1,+8）.

【題型4】利用單調性求最值或值域

基礎知識

利用函數單調性求函數最值時應先判斷函數的單調性，再求最值.常用到下面的結論：

1、如果函數'=/（%）在區(qū)間（a，b］上是增函數，在區(qū)間\b,c）上是減函數，則函數y=/（x）（xea，c）

在元=｝處有最大值/S）.

2、如果函數'=/（*）在區(qū)間（。，句上是減函數，在區(qū)間屹，c）上是增函數，則函數丁=/（尤）（％￡々，c）

在元二b處有最小值/（〃）.

3、若函數V=/（尤）在［。，句上是嚴格單調函數，則函數y=/O）在［。，加上一定有最大、最小值.

4、若函數y=/。）在區(qū)間3,勿上是單調遞增，則y=的最大值是/3）,最小值是了⑷.

5、若函數丁=/（兀）在區(qū)間［。，切上是單調遞減，則y=的最大值是/⑷，最小值是/S）.

7.（2024.江西上饒.一模）.函數段）=-x+［在［―2,—芻上的最大值是（）

op

A.-B.--C.-2D.2

23

【解題思路】由題可知#%）在［-2,一寸上是減函數，從而可求出其最大值

【解答過程】解：因為函數丫=一％和y=：-1在［一2,一-寸1上均為減函數，

所以危)在［-2,一勺上是減函數,

???府)max=/1-2)=2甘,

【鞏固練習1】當xe0，U"+co］時，則函數y=勺值域為()

)8-5%

A.(fO)B.

C.(-oo,0)u；，+°0)D.

【答案】C

【分析】利用換元法，結合反比例函數的單調性進行求解即可.

【詳解】令8—5x=/,因為,所以％￡(°，8］5-0°,。)，

o1

當te(0,8］時，函數/⑺=：單調遞減，故〃。2〃8)="

當re(-oo,0)時，即r<0,所以/(。=：<0,

所以函數的值域為：(-°o,0)U—,+ooj.

【鞏固練習2】已知函數/(x)=f-2x,xe［2,5］,則函數的最大值為()

A.15B.10C.0D.-1

【答案】A

【分析】根據給定函數的單調性，求出在指定區(qū)間上的最大值作答.

【詳解】函數解幻=爐-2%在［2,5］上單調遞增,則“幻網=『(5)=52-2x5=15,

所以函數/(x)的最大值為15.

【題型5】由單調性求參數的范圍

基礎知識

若已知函數的單調性，求參數。的取值范圍問題，可利用函數單調性，先列出關于參數a的不等式,

利用下面的結論求解.

1、若1>/(%)在［加，川上恒成立=在［加，川上的最大值.

2、若av/(x)在［加，網上恒成立oa</(x)在O,2上的最小值.

8.若函數〃x)=(f2+6x-5)在區(qū)間-2,加+2)內單調遞增，則實數機的取值范圍為(

2

一51「57|「5』「5八

A.—,+°°B.不3C.—,2D.；,2

L3)[3」[3」L3)

【答案】D

【解析】由已知得-尤2+6x—5>0,解之得xe(l,5),即的定義域為(1,5),

又/■(x)在區(qū)間(3機-2,〃?+2)內單調遞增，根據復合函數的單調性,

3m—2>3解得gw根<2.

可得:

3m—2<m+2<5

9.(2024?廣東佛山?二模)已知。<。<1且awg,若函數/(x)=Zlog/Togz/在(0,+8)上單調

遞減，則實數。的取值范圍為()

A.(―,—)B.(0,—)C.(,—)1(―,1)D.(0,4)(]」)

【答案】D

”、21nxInx2In2tz-Intz,In4a,

【解析】依題意,j(x)=-----------=------------lnx=-----------In],

In(2InlaIna?(In2a)Ina?(In2d)

顯然函數y=ln尤在(0,+s)上單調遞增，而函數,⑺在(0,+8)上單調遞減，

In4a八、[lna<0111

因此---n一、一°,而0<a<2〃<4。，則1114〃<0或〈日八，解得0<a<—或一<〃<1,

Ina?(In2a)[In2a>042

所以實數。的取值范圍為(0,3u(L1).

42

【鞏固練習1】(2024?廣東揭陽?二模)已知函數/(%)=-/+3+1在(2,6)上不單調，貝布的取值范

圍為()

A.(2,6)B.(―co,2]U[6,+oo)

C.(4,12)D.(-oo,4]U[12,+oo)

【解題思路】根據給定條件，利用二次函數的單調性列出不等式求解即得.

【解答過程】函數“X)=—/+a尤+1的圖象對稱軸為刀=/依題意，2<]<6,得4<a<12,

所以a的取值范圍為(4,12).

【鞏固練習2】(2023?天津河北?一模)設a€R,則“a>-2”是“函數/(無)=2/+4ax+1在(2,+8)

上單調遞增”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解題思路】根據題意，由二次函數的對稱軸和函數的單調性的關系以及充分性與必要性的應用，

即可得到結果.

【解答過程】函數/(X)=2x2+4ax+1的對稱軸為x=—a,

由函數f(x)=2x2+4ax+1在(2,+8)上單調遞增可得-a<2,即a>-2,

所以“a>—2”是“函數f(x)=2x2+4ax+1在(2,+8)上單調遞增”的充分不必要條件.

【鞏固練習3]已知函數/(》)=加+》_3,若對任意的工,%€工+8),且百/馬，/(%)_/(%)<3恒

%一％2

成立，則實數〃的取值范圍是()

A.(-oo,l)B.(-oo,l]C.(-Qo,0)D.(-Qo,0]

【答案】D

【分析】不妨設g(x)=f(x)-3x=ax2-2x-3,由題分析可得函數g(%)在口,+(x))上單調

遞減，討論。=0和〃W0時，要使g(%)在口依)上單調遞減時需要滿足的條件，即可求出答案.

【詳解】不妨設1K%<%2,則玉-工2<0,根據題意，可得〃石)一/(%2)>3(石一%2)恒成立，即

)-3^>〃無2)-3%恒成立.令g(x)=f(x)-3x=ax2-2x-3,

則g&)>g(X2)恒成立，所以函數g(%)在口,+°°)上單調遞減.

當〃=0時，g(x)=-2x—3在[1,+co)上單調遞減，符合題意；

當awO時，要使且(%)=奴2一2%一3在口,+8)上單調遞減，

a<Q,

則<-2解得a<0.

一丁(1，

、2a

綜上所述，實數〃的取值范圍是(-8,0].

【題型6】結合單調性解函數不等式

基礎知識

求解函數不等式時，由條件去掉“了"，從而轉化為自變量的大小關系，記得考慮函數的定義域.

的X的取值范圍是()

(33

【答案】D

【分析】由已知有0W2x-l<§,即可求取值范圍.

【詳解】因為函數f(x)是定義在區(qū)間［0,+8)上的增函數，滿足/(2x-l)</

112

所以0V2x—l<§,

11.已知函數以支)=(—_3：Y；T-：2，丫：V；0，則不等式/(a)>/(3a—4)的解集為()

VX十3XNU

5

A.(_g+8)B.(2,+8)C.(—00,2)D.(_8,_j)

【解題思路】由分段函數表達式，判斷其單調性，利用單調性，求解不等式.

【解答過程】根據題目所給的函數解析式，可知函數/(%)在(-8,+8)上是減函數,

所以a<3a—4,解得a>2.

【鞏固練習1】已知函數“X)是定義在［0,+⑹上的單調減函數：若則。的取值

范圍是()

【答案】D

11?

【詳解】由已知042。一1<§,解得gWaV］

【鞏固練習2】(2024.湖北武漢?二模)已知函數〃力=小|,則關于x的不等式〃2x)>〃l一x)的

解集為()

【答案】A

【分析】消去絕對值可得函數的單調性，利用函數單調性解不等式即可得.

fY2Y>0

【詳解】由"了)=無國=<；一,故”元)在R上單調遞增，

-x,%<0

HU‘若〃2")>〃力則實數”的取值范圍是()

【鞏固練習3］已知函數/(%)=

A.(-0o,-l)j(2,+oo)B.(-1,2)

C.(-2,1)D.(r°,-2)(1,-KO)

【答案】D

【分析】結合二次函數和分段函數性質，研究給定函數的單調性，再借助單調性求解不等式作答.

【詳解】因y=-/-4x為開口向下的二次函數，對稱軸為x=-2,故函數在［0,+8）上單調遞減；

y=1—4x為開口向上的二次函數，對稱軸為x=2,故函數在上單調遞減，且7（0）=0,因

f—尤2—4犬x>0/\

此函數/（%）=<2，—在R上單調遞減，則/（2-4）>/（々）02-。2<〃0々2+［一2>。，即

［x-4x,x<0

（〃+2）（〃一1）>0,

解得a>1或av—2,

所以實數〃的取值范圍是（r°,-2）（1,-H3o）

【鞏固練習4】（23-24高三上?山東青島?期中淀義在（0,+8）上的函數/（x）滿足""三""）<。，

且"2）=4,則不等式〃x）-2x>0的解集為（）

A.（2,+co）B.（0,2）C.D.

【答案】B

【分析】根據題意可得函數△^在（0,+e）上單調遞減，結合"2）=4可將不等式化為/H>小，

xx2

可得不等式解集為（0,2）.

［詳解］根據定義域為（0,+8）且%<0可知召［!：）—

再一元2

f（x,）f（x2）

又占,馬,所以對V為w（0,+co）,占無2<0恒成立;

%一工2

即可知函數y=4"在（0,+8）上單調遞減；

X

又〃2）=4,可得*1=2,

不等式，（力一2%>?？苫癁樾?>2=/^1,解得0<彳<2,

x2

可得不等式〃x）-2x>0的解集為（0,2）.

【題型7】已知函數的奇偶性求解析式、求值

基礎知識

使用前提：已知函數在給定的某個區(qū)間上的解析式，求其在對稱區(qū)間（或對稱區(qū)間的子區(qū)間）上的

解析式.

解題步驟：第一步：首先設出所求區(qū)間的自變量Z；

第二步：運用已知條件將其轉化為已知區(qū)間滿足的Z的取值范圍；

第三步：利用已知解析式確定所求區(qū)間相應的函數的表達式.

12.已知函數〃力,g(x)分別是定義在R上的偶函數和奇函數，且〃x)+g(x)=f-x+1,則g(3)

的值是.

【答案】-3

【解析】因為/(x)+g(x)=f-x+1①，所以/(-x)+g(-x)=x2+X+1

由函數/(X),gQ)分別是定義在R上的偶函數和奇函數，貝Ijf(x)=f(-x),g(x)=-g(-x)

所以/(尤)-g(尤)=X?+%+1②

則①-②可得：2g(x)=-2x,所以g(x)=-x

則g(3)=-3.

13.(2024.廣東湛江.二模)已知奇函數=<八則g")=_______.

g(x)+l,x>0,

【答案】-X2+3^-1

【解析】當x>0時，—x<0,/(x)=g(x)+1=-/(-x)=-[(-x)2-3-(-x)J=-x2+3%,

貝Ig(x)=f2+3，-l.

14.(2024?海南?三模)已知函數/(乃為奇函數，g(x)為偶函數，且/(乃-g(x)=/,則*=()

2_i_-i2_1-1_2-12

A.二B.二C.yD.6

ee1+e"e

【答案】c

【解題思路】根據解析式，分別代入x=l和刀=一1,再結合函數的奇偶性，即可求解f(l)和g(l),

再求其比值.

【解答過程】取久=1得/(I)一g(l)=e①，取X=—1得了(一1)一9(-1)=[,

即—f(l)—g(l)=:②，①一②得2/(1)=e-5,①+②得—2g(l)=e+：,

所以*=二

。⑴1+e2

【鞏固練習1】若定義在R上的偶函數和奇函數g(x)滿足“尤)+g(x)=e",則g(x)的解析式

為g(x)=.

【答案】三匚

【解析】由題意得：/(-x)+g(-x)=e^,即〃x)—g(x)=eT①,/(x)+g(x)=e'②，②-①得:

2g(x)=e-e'解得:g(x)=

【鞏固練習2】(2024?山西呂梁?一模)已知函數/(%)為定義在R上的奇函數，且當％Z0時，/(%)=

2X+%—1,則當％V0時，f(%)=()

A.2-x-x-lB.2-x+x+l

C.-2-x-%-1D.-2-x+%+1

【答案】D

【解題思路】根據奇函數的性質進行求解即可.

【解答過程】當％V0時，則一無>0,因為f(%)是奇函數，

所以/(第)=—/(-%)=-2~x4-%+1.

【鞏固練習3】已知函數/(%)對一切實數x都滿足/(x)+/(-x)=0,且當x<0時，〃x)=2f—x+1,

則"x)=.

-2x?-x-1,x>0

【答案】<0,x=0

2尤2-x+l,x<0

【解析】函數〃X)對一切實數X都滿足/(x)+/(-x)=0,

所以“0)=0,

設x>0,則一x<0,/(-%)=2尤2+x+l,

又因為/(x)+〃—x)=。即/(力=一/(一力，

所以fM--2x2-x-1

—2x?—x—1,%〉0

所以/(%)=<°，%=。

2x2-x+l,x<0

【題型8】函數的奇偶性的判斷與證明

基礎知識

一、函數奇偶性的定義及圖象特點

奇偶性定義圖象特點

如果對于函數/(無)的定義域內任意一個X,都有/(-%)=f(x),

偶函數關于y軸對稱

那么函數/(X)就叫做偶函數

奇函數如果對于函數/(X)的定義域內任意一個X,都有/(T)=—/(X),關于原點對稱

那么函數/(X)就叫做奇函數

二、判斷奇偶性技巧

(1)函數具有奇偶性的必要條件是其定義域關于原點對稱.

(2)奇偶函數的圖象特征.

函數/(x)是偶函數o函數/(x)的圖象關于v軸對稱；

函數/(X)是奇函數O函數/(X)的圖象關于原點中心對稱.

(3)若奇函數y=/(x)在％=0處有意義，則有/'(())=0；

偶函數y=f(x)必滿足f(x)=f(]xI).

(4)偶函數在其定義域內關于原點對稱的兩個區(qū)間上單調性相反；奇函數在其定義域內關于原點對稱

的兩個區(qū)間上單調性相同.

(5)若函數〃幻的定義域關于原點對稱，則函數/(無)能表示成一個偶函數與一個奇函數的和的形式.

記g(x)=+/(-%)],人(尤)=-/(-%)],則f(無)=g(x)+h(x).

(6)運算函數的奇偶性規(guī)律：運算函數是指兩個(或多個)函數式通過加、減、乘、除四則運算所得

的函數，如/(x)+g(x),f(x)-g(x),f(x)xg(x),/(x)+g(x).

對于運算函數有如下結論：奇±奇=奇；偶土偶=偶；奇±偶=非奇非偶；

奇*(十)奇=偶；奇、(+)偶=奇；偶、(十)偶=偶.

(7)復合函數y=/Tg(x)]的奇偶性原來：內偶則偶，兩奇為奇.

(8)常見奇偶性函數模型

(l+

奇函數：①函數/(x)=m(S(x