重難點09函數(shù)的單調(diào)性與參數(shù)取值范圍期中、期末復(fù)習(xí)八大題型匯總

題型解讀

好量滿分技巧/

技巧一.一次函數(shù)y—kx+b（k0）

/.當(dāng)左＞0時，在R上單調(diào)遞增；

2.當(dāng)左＜0時，在R上單調(diào)遞減.

技巧二反比例函數(shù)y=：（kR0）

/.當(dāng)左＞0時，在（-嗎0）和（0,口＞）上單調(diào)遞減；

2.當(dāng)左＜0時，在（-8,0）和（0,一）上單調(diào)遞增.

技巧三.二次函數(shù)y=ax2+by=+c(a*0)

bb

—00,----------

2。」上單調(diào)遞減，在

/當(dāng)a＞0時，在五上單調(diào)遞增;

bb

—00,----------——,+GO

2。」上單調(diào)遞增，在

2.當(dāng)。＜°時，在2a上單調(diào)遞減.

技巧四.對勾函數(shù)（耐克函數(shù)）

定義：形如y=x+"（p>0，且p為常數(shù)）

X

單調(diào)性：在（---J引和［后,+8）上為增函數(shù)，在（-J萬,。）和（O,J萬）上為減函數(shù).

漸近線：對勾函數(shù)有兩條漸近線：一條是y軸（x#0,圖象無限接近于y軸，但不相交），

另一條是直線y=x（當(dāng)x趨近于無窮大時，“趨近于0,y趨近于x,因為3片0,所以丁力龍）.

XX

技巧五.分段函數(shù)的單調(diào)性

1.分段函數(shù)在其定義域內(nèi)是增函數(shù)必須滿足的條件:

（1）每一段都是增函數(shù);

（2）相鄰兩段函數(shù)中啟變量取值小的一段函數(shù)的最大值（或上邊界）小于等于自變量取值大的

一段函數(shù)的最小值（或下邊界）。

2.分段函數(shù)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)必須滿足的條件：

（1）每一段都是減函數(shù);

（2）相鄰兩段函數(shù)中啟變量取值小的一段函數(shù)的最小值（或下邊界）大于等于自變量取值大的一段函數(shù)的最大

值（或上邊界）。

技巧六.函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)：

1.增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)；

2.增函數(shù)-減函數(shù)=增函數(shù)；

3.減函數(shù)+減函數(shù)=減函數(shù);

4.減函數(shù)-增函數(shù)=減函數(shù)；

■3*題型提分練

題型1一次函數(shù)型

【例題1](2023春?江西?高一寧岡中學(xué)?？计谀?設(shè)函數(shù)=(a-l)x+1是R上的減函數(shù)，則有()

A.a>1B.a<1C.a>1D.a<1

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性列出相應(yīng)的不等式，即可求得答案.

【詳解】由題意函婁好(%)=(a-l)x+1是R上的減函數(shù)，

則a71,否則〃無)=1為常數(shù)函數(shù)，不合題意，故f(x)=(a-1)%+1為一次函數(shù)，

故a—1<0,a<1,

故選：D

【變式(2021秋?陜西延安?高一?？计谀┕珊瘮?shù)f⑴=(1-2a)x+b是R上的增函數(shù)，則有：)

A.aV-B.a>—C.CL<C—D.a>—

2222

【答案】A

【解析】函數(shù)/'(久)=(1-2a)x+b是R上的增函數(shù)很!|1一2a>0,可得答案.

【詳解】函數(shù)"X)=(1—2a)x+b是R上的增函數(shù)很111一2a>0,即a<之

故選：A

【變式1-1J2.(多選)(2021秋?河北石家莊?高一石家莊一中校考期末)"函數(shù)f⑴=(a-l)x+a(aGR)

為增函數(shù)"的一個充分不必要條件是()

C.a>1D.(a—l)(a—2)<0

【答案】AD

【分析】先利用一次函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍，再求出選項ABCD中a的范圍，利用充分性和必要性判斷

選項即可.

【詳解】由函數(shù)f(嗎=(a-1)乂+a(aGR)為增函數(shù)，

可得a-l>0na>l；

對于選項A：由W>。，得a>2,

則a>2是a>1的充分不必要條件，

故選項A正確；

對于選項B：由：<1,得a<0或a>1,

則a<?；騛>1是a>1的必要不充分條件，

故選項B不正確；

對于選項C：a>1是a>1的充要條件，

故選項C不正確；

對于選項D:由(a-l)(a一2)<0,得1<a<2,

則1<a<2是a>1的充分不必要條件，

故選項D正確；

故選：AD.

【變式1-1】3.(2021秋?湖南邵陽?高一統(tǒng)考期末)已知f(x)=ax+1在R上是增函數(shù)，則a的取值范

圍為()

A.a>0B.a<0C.a>0D.a<0

【答案】C

【分析】利用一次函數(shù)的單調(diào)性與一次項系數(shù)有關(guān)，函數(shù)單調(diào)遞增只需一次項系數(shù)大于零即可.

【詳解】函數(shù)f(x)=ax+1在R上是增函數(shù)，則a>0.

故選：C

【點睛】本題考查一次函數(shù)的單調(diào)性，需熟記一次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

【變式1-1J4.(2022秋?云南玉溪?高一統(tǒng)考期末)函數(shù)y=(2k+l)x+6在(-叼+8)上是減函數(shù)，則()

Q-k>-lD.k<-9

【答案】D

【詳解】：函數(shù)y=(2k+l)x+。在(-8,+8)上是減函數(shù),2fc+1<0,fc<-1,故選D.

題型2反比例函數(shù)型

【例題2］(2021秋?浙江?高一期末)函數(shù)f⑴=含在［1,3］上單調(diào)，則實數(shù)a的取值范圍()

A.(-3,-1)B.(1,3)

C.(-00,1)U(3,+oo)D.(-00,-3)U(―1,4-00)

【答案】D

【分析】結(jié)合函數(shù)/(乃=書的單調(diào)性分類討論即可.

【詳解】因為函數(shù)f(x)=上在(-2-a)和(-/+8)上單調(diào)遞減，由題意，/(x)=上在［1,3］上單調(diào)，所以

—CL<1或一a>3,解得a>—1或a<—3,所以a的取值范圍為(一8,-3)U(―1,+°o).

故選：D

【變式2-1］1.(2021秋?黑龍江大慶?高一鐵人中學(xué)?？计谀?函數(shù)/(%)=三|在區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞減,

則實數(shù)a的取值范圍為

【答案】(1,+00)

【解析】由已知結(jié)合反比例函數(shù)的圖像平移及函數(shù)的單調(diào)性求解即可.

【詳解】因為函數(shù)/(乃==在區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞減,

X—1

所以a-1>0,

即a>1,

則實數(shù)a的取值范圍為(1,+8);

故答案為:(1,+8).

【變式2-1]2.(2023秋?吉林?高一吉林市田家炳高級中學(xué)校考期末)若函數(shù)f(久)=簧(。eZ)在區(qū)間

(-2,+8)上單調(diào)遞增，貝必的最小值為

【答案】1

【分析】由/(?=a+翳以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得1-2a<0,再根據(jù)a6Z可求出結(jié)果.

【詳解】因為"X)=策=a+翳在區(qū)間(-2,+8)上單調(diào)遞增，

所以1-2a<0,即a>|,

因為aeZ,所以a的最小值為L

故答案為：1.

【變式2-1]3.(2022秋?天津河西?高一統(tǒng)考期末)若函數(shù)f(久)=合在區(qū)間(-2,+8)上單調(diào)遞增，則實數(shù)

k的取值范圍是()

A.(—00,—1)B.{-2}C.(-00,-2]D.(-00,-2)

【答案】C

【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到關(guān)于k的不等式組，解出即可.

【詳解】解：f(x)=合=1+程，

若f(x)在(-2,+8)上單調(diào)遞增，

則，故居4,

故選：C.

【變式2-1J4.(2023秋?湖南衡陽?高一衡陽市八中校考期末)已知函數(shù)/Xx)=竺二在(2,+8)上單調(diào)遞減,

X—CL

則實數(shù)a的取值范圍是()

A.(—00,—1)u(1,+8)B.(—1,1)

C.(-8,-1)u(1,2]D.(-8,—1)u(1,2)

【答案】C

【分析】先用分離常數(shù)法得到f(x)=W+a,由單調(diào)性列不等式組，求出實數(shù)a的取值范圍.

【詳解】解：根據(jù)題意，函數(shù)/(乃=/二==貯二+口，

x—ax—ax—a

若/在區(qū)間(2,+8)上單調(diào)遞減，必有產(chǎn)-/彳°,

解可得：a<—1或1<a<2,即a的取值范圍為(—8,—1)U(1,2],

故選：C.

【變式2-1]5(2021秋?上海浦東新?高一上海市進(jìn)才中學(xué)?？计谀?"a<1"是"函數(shù)y=分在區(qū)間

(一嗎1)上嚴(yán)格遞減”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】先求解出函數(shù)y=可在區(qū)間(_8,1)上嚴(yán)格遞減時a的取值范圍，然后根據(jù)a<1與所求a的范圍之

間的關(guān)系確定出屬于何種條件.

【詳解】因為、=答=智詈=2+三，

所以y==若在(-8,1)上嚴(yán)格遞減則有2-a>0,所以a<2,

X-1

又因為(—8,1)(—8,2),

所以是〃函數(shù)y=在區(qū)間(-8,1)上嚴(yán)格減〃的充分不必要條件，

X—1

故選：A.

【變式2-1]6.(2020秋云南玉溪?高一云南省玉溪第一中學(xué)校考期末)函婁好⑴="在區(qū)間(6,+8)上

單調(diào)遞增，則下列說法正確的是()

A.a>—2,b2—1B.a〉一2,b>—1C.a<—2,b2—1D.a<-2,b>—1

【答案】A

【解析】利用分離常量的方法分離函數(shù)為f(x)=2-翳若2+a>0,/(x)在(-8,—1),(—1,+8)上為增函數(shù)

若2+a<0/。)在(-8,-1),(-1,+8)上為減函數(shù).

[詳解]fM=—=2(x+>"2=2一四

八'x+1x+1x+1

1?,fO)在區(qū)間(瓦+8)上單調(diào)遞增,

,2+a>0產(chǎn)>—2

[b>-1[b>-r

故選：4

【點睛】本題考查函數(shù)中分離常量的方法，函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，難度一般.

【變式2-1】7.(多選)(2022秋?江蘇連云港?高一期末)已知函數(shù)/⑺=誓|在區(qū)間(-2,+8)上單調(diào)遞

增，則a,6的取值可以是()

A.a=1,/?=2B.a=b=-

，2

C.a=-1rb=1D.0<a<lfb=2

【答案】AD

3_2&

【分析】根據(jù)題意，將函數(shù)的解析式變形可得f(x)=晟亳+，再結(jié)合反比例函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)圖象平

移的規(guī)律可得-2W-2,3-也<0,分析可得a,b的關(guān)系，據(jù)此分析選項可得答案.

aa

【詳解】根據(jù)題意，

b-(ax+2)+3--3--

f(X)=--x--+--3=@----------------=—2-+-b

ax+2ax+2ax+2a

其定義域為｛x|x4-3，

若函數(shù)了(X)="|上單調(diào)遞增，必有-2W-2,3-弛<0

'、'ax+2aa

即0<aw1且弛>3,

a

據(jù)此分析選項AD符合.

故選：AD

題型3二次函數(shù)型

【例題3](2023春?云南昆明?高一?？计谀?若函數(shù)y=/+(2a-l)x+1在區(qū)間(-8,2]上是減函數(shù),

則實數(shù)a的取值范圍是()

A1-|,+8)B,(-00,|]C,[|,+oo)D.(-00,-j]

【答案】D

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸得到不等式，求出答案.

【詳解】y=x2+(2a-l)x+1的對稱軸為％=號^,

要想函數(shù)y=x2+(2a-l)x4-1在區(qū)間(一8,2]上是減函數(shù)，則上羅>2,

解得aW-1,

故選：D

【變式3-1]1.(2023秋?甘肅臨夏?高一?？计谀?函數(shù)f。)=/一4%+3在區(qū)間[a,+8)上單調(diào)遞增,

則a的取值范圍是()

A.(2,+oo)B.[2,+oo)

C.(—co,2)D.(—oo,2]

【答案】B

【分析】令二次函數(shù)對稱軸大于小于a即可求解.

【詳解】/(x)=%2-4%+3的對稱軸為：久=一^=2,

要使函數(shù)在區(qū)間[a,+8)上單調(diào)遞增，貝!]a>2,解得aG[2,+8).

故選：B.

【變式3-1J2.(2022秋?江蘇南京?高一?？计谀?若函數(shù)y=/-2ax+1在區(qū)間[-2,1]上為單調(diào)減函數(shù),

則實數(shù)a的取值范圍為（）

A.a<—2B.a<—2C.a>1D.a>1

【答案】D

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的開口方向，對稱軸方程，得到不等式，求出答案.

【詳解】y=x2-2ax+1開口向上，對稱軸為x=a,

要想y=/-2ax+1在區(qū)間［—2,1］上為單調(diào)減函數(shù)，貝必>1.

故選：D

【變式3-1］3.（2023秋?天津紅橋?高一天津市瑞景中學(xué)校考期末）已知函婁好㈤=/+2kx-5在［-2,4］

上具有單調(diào)性，則實數(shù)k的取值范圍為（）.

A.fc<-4B.fc>2

C.k<—4或k>2D.k<-4或k>2

【答案】C

【分析】首先求出二次函數(shù)的對稱軸，再結(jié)合題意求解即可.

【詳解】函數(shù)/'（x）=x2+2kx-5的對稱軸為尤=-k,

因為函數(shù)f（久）=/+2kx-5在［-2,4］上具有單調(diào)性，

所以一卜>4或—k<-2,即k<一4或k>2.

故選：C

【變式3-1J4.（2023秋?甘肅天水?高一統(tǒng)考期末）已知aGR，則"0<a<1"是"函數(shù)f（x）=ax2-2x-

5在內(nèi)單調(diào)遞減”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】求得"函數(shù)/(久)=叱-2x-5在(-1,1)內(nèi)單調(diào)遞減"時a的取值范圍，根據(jù)充分、必要條件的知

識求得正確答案.

【詳解】若函數(shù)f⑺=此一2x一5在內(nèi)單調(diào)遞減，

當(dāng)a=0時，f(x)=-2x-5在(—1,1)內(nèi)單調(diào)遞減，符合題意.

當(dāng)a>。時，/(x)=ax2-7.x-5的開口向上，對稱軸為％=亍,

貝421，解得。<a<l.

當(dāng)a<0時，f(x)=ax2-2x-5的開口向下，對稱軸為x=:,

則工<—1,解得一1<a<0.

CL

綜上所述，若函數(shù)f(X)=以2一2%-5在(-1,1)內(nèi)單調(diào)遞減，則-1WaW1.

所以"0<a<1"是"函數(shù)/(X)=a/-2x-5在(-1,1)內(nèi)單調(diào)遞減”的充分不必要條件.

故選：A

【變式3-1]5.(2023秋?湖南常德?高一漢壽縣第一中學(xué)校考期末)若函數(shù)/(?=a/+x+a在[1,+8)上

單調(diào)遞增，則a的取值范圍是()

A.(0,+oo)B.(0,1]C.[1,+8)D.[0,+oo)

【答案】D

【分析】分a=0和a豐0兩種情況進(jìn)行討論即可

【詳解】當(dāng)a=0時，則f0)=%,在[L+8)上單調(diào)遞增，滿足題意；

當(dāng)a牛。時，/(%)-ax2+x+a的對稱軸為久=一卷，

要使函數(shù)/(%)在[L+8)上單調(diào)遞增，只需(一/W1,解得a>0

Ia>0

綜上,a的取值范圍是[0,+8)

故選：D

2e

【變式3-1]6.(2022?全國?高一期末)已知函數(shù)fQ)=ax+x-3,若對任意的打多口，+°°)(且比i豐

%回3<3恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是()

A.(—8,1)B.(-OO,1]C.(-8,0)D.(—00,0]

【答案】D

2

【分析】不妨設(shè)1<xt<x2,令g(x)=/(x)-3x=ax-2x-3,由題分析可得函數(shù)g(x)在[1,+8)上單

調(diào)遞減，討論a=。和a豐0時，要使g(x)在[1,+8)上單調(diào)遞減時需要滿足的條件，即可求出答案.

【詳解】不妨設(shè)1-<X2,則X1-小<0,根據(jù)題意,可得/'01)-/(%2)>301-％2)恒成立，即/O1)-

2

3/>/(x2)—3久2恒成立?令g(x)=/(x)—3%=ax—2%—3,

則gCq)>。(超)恒成立,所以函數(shù)g(x)在[1,+8)上單調(diào)遞減

當(dāng)a=0時，g(x)=-2x-3在[1,+8)上單調(diào)遞減，符合題意；

當(dāng)a牛。時，要使g(x)=ax2-2x-3在[1,+8)上單調(diào)遞減，

貝”—二W1解得a<0.

綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是(-8,0].

故選：D.

題型4分段函數(shù)型

一久2—0%—9%v1

(±X>1'—在R上單調(diào)遞增，則

實數(shù)a的取值范圍為()

A.[-5,0)B.(—co,—2)

C.[—5,—2]D.(—8,0)

【答案】C

【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可求出實數(shù)a的取值范圍.

【詳解】由題意，％eR,

—丫2—ny—9YV1

a丫、；—中，函數(shù)單調(diào)遞增，

->X>1

{x

———>1

2x(-1)-

a<0,解得：-5Wa4-2，

-l-a-9<^

故選：C.

【變式4-1】1.(2023春云南保山?高一統(tǒng)考期末)已知的=以；誓二黑‘二「'為增函數(shù)，則a的

取值范圍是()

A.-2<a<4B.2<a<4

C.—3<a<4D.3<a<4

【答案】D

【分析】根據(jù)分段函數(shù)為增函數(shù)，根據(jù)每一段都是增函數(shù)，且注意節(jié)點處的取值，列出不等式組，解之即

可.

【詳解】因為f(x)=HU；")"一「為增函數(shù)，

—a+4〉0

(-^<-1，解得3Wa<4.

d—4-3a<1—CL—8

故選：D.

【變式4-1】2.(2022秋?全國?高一期末)已知函數(shù)&)=把+在R上單調(diào)遞增，則實數(shù)a

的取值范圍是()

A.(—1,1]B.(—1,2)C.[1,2)D.(0,+oo)

【答案】A

【分析】根據(jù)八久)在R上遞增列不等式，由此求得a的取值范圍.

【詳解】y=/一2x+4的開口向上,對稱軸為x=1,

由于“X)在R上遞增，

所以[a+I)xl+"1<12-2x1+4,解得T<aWL*

所以a的取值范圍是(-1,4

故選：A

【變式4-1]3.(多選)(2023秋?山西大同?高一山西省陽高縣第一中學(xué)校?？计谀?設(shè)函數(shù)f(x)=

L工a，當(dāng)/⑺為增函數(shù)時，實數(shù)a的值可能是()

A.2B.-lC.|D.1

【答案】CD

【分析】由題知a?-:L<a?-2a2+1,且a>0,進(jìn)而解不等式即可得0<aW1,再結(jié)合選項即可得答案.

【詳解】解：當(dāng)x<a時，/(%)="-1為增函數(shù)，則a>0,

當(dāng)x>a時，/'(%)=%2—2ax+l=(x—a)2+1—a?為增函數(shù)，

故/⑺為增函數(shù),則a?-1Wa?-2a2+1,且a>0,解得0<a<1,

所以，實數(shù)a的值可能是(0H內(nèi)的任意實數(shù).

故選：CD.

【變式4-1]4.(2023秋?上海松江?高一?？计谀?若函數(shù)f(x)=4x+港區(qū)間[3,+8)上是嚴(yán)格增函數(shù),

則實數(shù)a的取值范圍是

【答案】(-?>,36]

【分析】利用函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，結(jié)合定義法求實數(shù)a的取值范圍，

【詳解】函數(shù)/(%)=4x+￡在區(qū)間[3,+8)上是嚴(yán)格增函數(shù)，則任取3<%!<x2,都有/(/)<g,

即f(的)-即*2)=4/+2-(軌+￡)=3-*2)C或；")<0，

由34/V冷/有%1—x2<0z%62>0;所以4%I%2—a>0,

由4工62>36,貝！Ja<36,即實數(shù)a的取值范圍是(一8,36].

故答案為：(—co,36]

【變式4-1】5.(2022秋?全國?高一期末)設(shè)函數(shù)f(x)=[”+：'”>°，貝妤(-4)=，若f⑷=

1/(%+3),x<0

f(-2),則實數(shù)a的最大值為

【答案】|/3.53

【分析】第一空，直接根據(jù)分段函數(shù)的解析式即可求得答案;第二空，判斷a的最大值一定是正數(shù)，由此分

析當(dāng)x>0時，/(%)=%+(的單調(diào)性，結(jié)合f(1)=/(3)=4,求得答案.

【詳解】由題意得/'(—4)=/(-I)=/(2)=2+|=|,

又“0=/(-2)=/(I)=4，結(jié)合解析式可知a的最大值一定是正數(shù)，

當(dāng)x>0時，/(X)=x+l,f⑺在(0,百)上遞減，在(舊,+8)上單調(diào)遞增，

且/(I)=/(3)=4,

若X>3/0)>7(3)=4,所以實數(shù)a的最大值為3,

故答案為：13.

題型5對勾函數(shù)型

【例題5](2023秋廣東東莞?高一統(tǒng)考期末)"a<-2"是"/⑴=%+%(0,+8)上單調(diào)遞增"的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】充分性直接證明，必要性舉特值驗證.

【詳解】Va<-2/(%)=%+三在(0,+8)單調(diào)遞增，充分性成立，

若a=-1時/(*)=%+：在(0,+8)單調(diào)遞增，但是不滿足a<-2,所以必要性不成立.

故選：A

【變式5-1]1.(2022秋?河南濮陽?高一濮陽一高?？计谀?已知函數(shù)f⑺=/一缶-5)久+a,若f⑺在

區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，目修在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是

【答案】[4,5]

【分析】由二次函數(shù)性質(zhì)與對勾函數(shù)性質(zhì)列式求解

【詳解】/(x)=x2-(a-5)x+a對稱軸為x=?,

蜉=%+三一一5),當(dāng)a>0時，在(0,孤)上單調(diào)遞減,

C—<o

由題意得2-U,解得4<a<5,

IVa>2

故答案為：[4,5]

【變式5-1J2.(2021秋?上海楊浦?高一復(fù)旦附中校考期末港函數(shù)/⑸==|手(％N0)的值域為阿+8),

則實數(shù)a的取值范圍是.

【答案】(一8,2]

【解析】分離常數(shù)，根據(jù)a的取值范圍，分類討論函數(shù)單調(diào)性及值域.

【詳解】由題意"X)=胃蘆=x+1，

當(dāng)a-1W0,即aW1時,函數(shù)了(久)在[0,+8)單調(diào)遞增,

故/(x)min=/(0)=a，值域為[a,+8)恒成立；

當(dāng)a—1>0,即a>1時,f(x)=x+14——227a—1,

當(dāng)且僅當(dāng)X+1=M，即X=折I-1時取等，

又/(%)在[而=I-1,+8)單調(diào)遞增，且/(0)=a,

若值域為[a,+8),則有域-1—1<0,解得1<a42,

綜上所述，a的取值范圍為(-8,2],

故答案為：(-8,2].

【變式5-1]3.(2018秋?上海嘉定?高一統(tǒng)考期末)已知區(qū)間(0,+8)為函數(shù)/O)=辦+女26eR,bK0)

的單調(diào)遞增區(qū)間，貝以為滿足的條件是

【答案】a>0,b<0.

【分析】由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)即可得出a,6滿足的條件.

【詳解】令為=ax,y2=p

則由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法知，

函數(shù)月,必在（0,+8）上均為增函數(shù)；

”=紙（0,+8）上為減函數(shù),

a>0,b<0.

故答案為：a20,6<0

【點睛】本題考查復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法.屬于中檔題.

【變式5-1]4.（2021秋?上海浦東新?高一?？计谀┮阎瘮?shù)/⑺=x-式a為實常數(shù)），

（1）判斷函數(shù)/（久）的奇偶性并證明.

（2）若y=/O）在（0,1]上是減函數(shù)，求a的取值范圍.

【答案】（1）見解析（2）（-8,-1]

【分析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷f（-x）與f（x）的關(guān)系，可得函數(shù)的奇偶性；（2）利用函數(shù)

的單調(diào)性，構(gòu)建不等式即可得到結(jié)果.

【詳解】（1）函數(shù)/（無）為奇函數(shù)，證明如下：

函數(shù)的定義域為（-8,0）U（0,+8）

/（-X）=-X+"-/（X）,

BP/（-x）=-/（x）

函數(shù)/（X）為奇函數(shù)；

(2)設(shè)0<x2<1,則

/(3一/0)=12-今-1】-3=出一創(chuàng)1+尋

又y=/(無)在(0,1]上是減函數(shù)，比2-%

.'.1d----<0,即a<-%i%2

%1欠2

又0<Xr<X2<1,「.一%1%2>—1

」.aW—1

故a的取值范圍是(-8,-1]

【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，考查學(xué)生對函數(shù)的性質(zhì)理解與掌握的情況，屬于中檔題.

【變式5-1】5(2021秋?江西宜春?高一江西省銅鼓中學(xué)校考期末)已知函數(shù)/(無)=2x-爭勺定義域為(0,1]

(aGR).

(1)當(dāng)-1時,求函數(shù)y=f(%)的值域；

(2)若函數(shù)y=/(%)在定義域上是減函數(shù)，求a的取值范圍；

(3)求函數(shù)y=/(久)在定義域上的最大值及最小值，并求出函數(shù)取最值時x的值.

【答案】(1)[2企,+8);(2)(-oo,-2]；(3)見解析

【詳解】(1)函數(shù)y=f(x)=2x+^>2V2,所以函數(shù)y=/'(%)的值域為[2&,+oo)

(2)若函數(shù)y=/(X)在定義域上是減函數(shù)，則任取比1/26(0.1舊X]<也都有/(xD>/(%2)成立，即

(%1-X2)>Q,只要a<一2*62即可，由Xi，%2e(0.1],故一2血%2e(-2,0),所以aW-2,故

a的取值范圍是(-8,-2];

(3)當(dāng)a20時，函數(shù)y=f(x)在(0.1]上單調(diào)增，無最小值，當(dāng)久=1時取得最大值2-a；由(2)得當(dāng)

a<—2時，y=/(x)在(0.1]上單調(diào)減，無最大值，當(dāng)x=1時取得最小值2-a；當(dāng)-2<a<0時，函數(shù)

y=f(x)在(0.亨]上單調(diào)減，在12'」上單調(diào)增，無最大值，當(dāng)％=苧時取得最小值2、F.

【點睛】利用函數(shù)的單調(diào)性求值域是求值域的一種重要方法.特別注意當(dāng)函數(shù)含有參數(shù)時，而參數(shù)又會影

響了函數(shù)的單調(diào)性，從而需要分類討論求函數(shù)的值域.

題型6絕對值函數(shù)型

【例題6］（2021秋?上海長寧?高一上海市延安中學(xué)校考期末）若函數(shù)y=|2x+a|在區(qū)間［3,+8）上是嚴(yán)格

增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是

【答案】［-6,+8）

【解析】首先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用區(qū)間［3,+8）是增區(qū)間的子集，求a的取值范圍.

【詳解】函數(shù)y=|2x+a|在（-8,-習(xí)是減函數(shù)，在（-也+8）是增函數(shù)，

若函數(shù)在區(qū)間［3,+8）是增函數(shù)，則—與W3na2-6.

故答案為：［—6,+00）

【變式6-1］1.（2023秋?湖北武漢?高一武漢市新洲區(qū)第一中學(xué)?？计谀┮阎猣（2x）=|x-a|,若函數(shù)f（x）

在區(qū)間（-8,2］上為減函數(shù)，則a的取值范圍是（）

A.a>1B.a>1

C.a>2D.a>2

【答案】A

【分析】先求出函數(shù)解析式，再求出函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，然后結(jié)合已知條件可求出a的取值范圍.

【詳解】令力=2%,則/⑴=||-a|,

.?-a,x>2a

所以/'（X）=5-a=2x，

1

"a——2,x<2a

所以/（%）在（-8,2a］上遞減，

因為函數(shù)人乃在區(qū)間（-8,2］上為減函數(shù)，

所以2a22,得a21,

故選：A

【變式6-1］2.（2021秋?上海浦東新?高一上海市實驗學(xué)校?？计谀┤艉瘮?shù)y=-|x-a|與y=2在區(qū)間

［1,2］上都是嚴(yán)格減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為（）

A.（-oo,0）B.（-1,0）u（0,1］C.（0,1）D.（0,1］

【答案】D

【分析】由一次函數(shù)及反比例函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖像變換即可得到實數(shù)a的取值范圍.

【詳解】函數(shù)y=~\x-a|的圖像關(guān)于％=a對稱，

所以當(dāng)x>a,y隨x的增大而減小，當(dāng)x<a,y隨x的增大而增大.

要使函數(shù)y=-|%-a|在區(qū)間［1,2］上都是嚴(yán)格減函數(shù)，

只需a<1；

要使y=祟在區(qū)間［1,2］上都是嚴(yán)格減函數(shù)，只需a>0；

故a的范圍為0<aW1.

故選：D

【變式6-1J3.（2022秋?上海長寧?高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)y=|x2-皿|在區(qū)間［1,+口）上是嚴(yán)格增函數(shù),

則實數(shù)機(jī)的范圍是

【答案】（—00,1］

【分析】先求解/-巾X=0的根,判斷兩根的大小以及嚴(yán)格遞增區(qū)間，再判斷m的范圍.

【詳解】令/一mx=0,解得x=?；騲=m,

二當(dāng)巾=0時，y=|久2|在［1,+8）上是嚴(yán)格增函數(shù);

若m>0時，函數(shù)在|m,+8）上單調(diào)遞增，

又函數(shù)在區(qū)間［1,+8）上是單調(diào)遞增，故6W1；

若m<0時，函數(shù)在［0,+8）上單調(diào)遞增，則函數(shù)在區(qū)間［1,+8）上是單調(diào)遞增恒成立，

綜上m的范圍是巾<1.

故答案為：（-8,1］

【變式6-1]4.(2022秋?上海金山?高一上海市金山中學(xué)?？计谀?若函數(shù)g(x)=2%2-|x-t|(x-。在

區(qū)間[0,2]上是嚴(yán)格減函數(shù)，則實數(shù)珀勺取值范圍是

【答案】(-00,-2]U[6,+00).

【分析】分類討論，按絕對值的定義分類討論去掉絕對值符號，然后對分類函數(shù)的兩個二次函數(shù)的對稱軸

進(jìn)行分類討論可得.

「、曲、,、r2I八(2%2-(%-t)2,X>t(X2+2tX-t2,X>t

【詳￥解】因為g⑴=2'T”--t)=+(%-)2,比<t=e2-2t久+產(chǎn),”<t,

當(dāng)t=0時，x6[0,2]時，g(x)=%2單調(diào)遞增，不合題意；

當(dāng)t<0時，xW[0,2]時,g(x)=x2+2tx-t2=(x+t)2-2t2,函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,2]上是嚴(yán)格減函數(shù),

則一t>2,gpt<-2；

當(dāng)t22時，xe[0,2]時,g(x)=3x2-2tx+t2,函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,2]上是嚴(yán)格減函數(shù)，

則522,即t26；

當(dāng)。<<時，如=鼠_2墳+?2,0"<「

-t<0,因此y=x2+2tx-/在匕2]是單調(diào)遞增，不合題意；

綜上,珀勺范圍是(—8,—2]U[6,+oo).

故答案為:(-8,-2]U[6,+oo).

【變式6-1]5.(2023秋?上海青浦?高一上海市青浦高級中學(xué)?？计谀?設(shè)函數(shù)"%)=/+|x-a|,a為

常數(shù).

(1)若人%)為偶函數(shù)，求a的值；

⑵設(shè)a>0,g(x)=號，xe(0,a]為嚴(yán)格減函數(shù)，先將久久)表達(dá)式化簡(去掉絕對值)，再利用函數(shù)單調(diào)

性的定義求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】(l)a=0；

(2)見解析

【分析】(1)由偶函數(shù)的定義求解；

(2)根據(jù)絕對值的定義去掉絕對值符號，由嚴(yán)格減函數(shù)的定義求參數(shù)范圍.

【詳解】(1)由題意/*(-%)=/(%),即％2+|-x-a\=x2+\x-a\,

\-x-a\=\x-a\,平方得a%=。恒成立，所以a=0；

(2)0<x<a時，g(%)=")一"=%+^-1,

艮fg(%)=x+Ifi<x<a,

xG(0,a|時，g(%)為嚴(yán)格減函數(shù)，

設(shè)ovv打工。，g(%i)-g(%2)=x1+--x2--=——>o恒成立,

%2%1%2

'.'x1—x2<0,.'.x1x2—a<0,即X1久2<a<

又0<X]<不<a,則X62<a2,所以a?<a,而a>0,故解得0<aW1.

..a的范圍是(0,1].

【變式6-1]6.(2021春?浙江?高一期末)已知函數(shù)f(x)=/-|/—6—4|在區(qū)間(-8,-2)和(2,+8)上

均單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是

【答案】0<a<8

2

【分析】設(shè)9(久)=x-ax-4,求出函數(shù)g(x)的兩個零點%1，刀2，且<x2,將函數(shù)f(%)化為分段函數(shù),

分類討論a,當(dāng)a<。時,可知函數(shù)/(%)在區(qū)間(-8,-2)上不可能單調(diào)遞增；當(dāng)a>0時，根據(jù)久】的范圍可知

恒滿足函數(shù)/(%)在區(qū)間(-8,-2)上單調(diào)遞增，根據(jù)解析式可知f(x)在第+8)上單調(diào)遞增，再由？<2可解得

結(jié)果.

【詳解】設(shè)g(x)="-ax-4,其判別式4=a2+16>0,所以函數(shù)g(%)一定有兩個零點，

設(shè)函數(shù)9(0的兩個零點為打,無2，且無1<久2，

22

+2AC日a—Va+16a+Va+16

E0x—ax—4=0得%i=----------,X2=--------/

ax+4,x<xlf

2

所以函數(shù)/(%)=/一|g(x)|=2x—ax—A,xr<x<x2,

a%+4,%&

①當(dāng)a<0時，f(x)在(-叫久i)上單調(diào)遞減或為常函數(shù)，從而f⑺在(-~-2)不可能單調(diào)遞增，故a>0,

②當(dāng)a>。時，%!=匕立注<丁=0,

a-Va2+16+2_a+4-Va2+16_Va2+8a+16-Va2+16

+2>o,所以比1>-2,

222

所以-2<%!<0,

因為“嗎在(-8/1)上單調(diào)遞增，所以f(x)在(-8,-2)上也單調(diào)遞增，

因為〃X)在邑句和(如+8)上都單調(diào)遞增，且函數(shù)的圖象是連續(xù)的，所以f。)在邑+8)上單調(diào)遞增，

44

欲使“X)在(2,+8)上單調(diào)遞增，只需^w2,得aW8,

綜上所述：實數(shù)a的取值范圍是0<aW8.

故答案為：0<a<8

【點睛】關(guān)鍵點點睛：求解關(guān)鍵有2個：①利用g(x)=產(chǎn)-辦-4的零點將函數(shù)/⑴化為分段函數(shù)；②分

類討論a,利用分段函數(shù)的單調(diào)性求解.

題型7構(gòu)造新函數(shù)

【例題7](2022秋?全國?高一期末)已知/(久)=a/+1是定義在R上的函數(shù)，若對于任意1<%!<%2<3,

都有33>_2,則實數(shù)a的取值范圍是()

%]一%2

A.{0}B.[0,+oo)C.[-|，+°°)D.[，。)

【答案】C

【分析】根據(jù)不等式構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)而可以判斷構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【詳解】因為1<%i<%2<3,所以由

"?)二，">一2今/(%1)-/(%2)<-2(X1—X)今/(%1)+2%1</(%2)+2X/

22

構(gòu)造函數(shù)g(x)=以x)+2x,由/■(/)+2xi</(%2)+2X20gOi)<g(%2),

2

因為1<xr<x2<3,所以函數(shù)g(x)=f(%)+2x=ax+1+2x是［1,3］上的增函數(shù),

當(dāng)a=。時，函數(shù)g(x)=1+2%是［1,3］上的增函數(shù),符合題意；

當(dāng)a*0時，函數(shù)g(x)=ax2+1+2x的對稱軸為：尤=-3,

當(dāng)a>。時，顯然函數(shù)g(x)=a/+1+2久是［1,3］上的增函數(shù)，符合題意；

當(dāng)a<0時，要想函數(shù)g(x)=a/+1+2久是［1,3］上的增函數(shù)，只需3<-i=>a>-|,而a<0,所以一1W

a<0,

綜上所述：實數(shù)a的取值范圍是卜：,+8),

故選：C

【點睛】關(guān)鍵點睛：由上匕3>-2構(gòu)造新函數(shù)g(x)=/(%)+2x=ax2+l+2x是解題的關(guān)鍵.

1X1—%2

【變式7-1J1.(2022秋浙江紹興?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)"%)="；?產(chǎn)，對任意兩個不等實數(shù)久戶2e

［1,+8),都有>0,則實數(shù)a的取值范圍是

【答案】(-00,4］

”一)“"2)

【分析】Xj(<)T/(X2)>(J今>0,則慮="+1+/在［1,+8)上單調(diào)遞增，據(jù)此可得答案.

一工2X,—%2XX+1

/(Xl)/(x2)/(X!)/(X2)

【詳解】對任意兩個不等實數(shù)%,“2e［1,+8),由9魚曰3>o可得1產(chǎn)>0即打Q>o,

巧-不石-蔡乙一整

則￡詈=X+1+三在［1,+8)上單調(diào)遞增，

則取任意%1，%2e［1,+00),%1<%2，有小步-=X1+1+-4--(%2+1+-yr)=(久1-%2),

X、%2X^+l\%2+

(%1+1)(72+1)-a<Q

(x1+l)(x2+l)'

又(%1—%2)<0,(%1+l)(x2+1)>0.

則01+l)(x2+1)-a>0,即a<(%1+l)(x2+1);對任意%L%2W［L+8)恒成立,

注意到(%1+1)(%24-1)>4,則a<4.

故答案為：(-8,4］.

【變式7-1】2(2023秋?四川巴中?高一校考期末周數(shù)/(%)=/+5%+2a+1若對于任意%］必e(2,+8),

當(dāng)均豐右時，都有9*3>o，則實數(shù)a的取值范圍是

%2一%1

【答案】a<|

【分析】首先將不等式變形，并構(gòu)造函數(shù)九0)=竽=x+等+5,討論2a+1的正負(fù)，結(jié)合函數(shù)在區(qū)間

(2,+8)的單調(diào)性，求實數(shù)a的取值范圍.

【詳解】1.對于任意%,%2e(2,+8)當(dāng)修主町時，都有>0,

%2Tl

f(%2))(%1)

...熏亂>0,令八(x)=?,則h(x)在(2,+8)上單調(diào)遞增，

%2一汽1X

又二力(%)=x++5,當(dāng)2a+1<。時,滿足題目條件,此時a<—|；

當(dāng)2a+1>0時，a>-Jx>0時，x+手>2Jx-=2,2a+1,當(dāng)久=72a+1時,等號成立，根

據(jù)對勾函數(shù)單調(diào)性可知，有儂TI<2,a<|,

綜上可知，aW|.

故答案為：aW|.

【變式7-1]3.(2023秋?廣東深圳?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(%)滿足2/(x)+/(-%)=%+|(刀片0).

⑴求y=f(x)的解析式,并求/(久)在上的值域；

⑵若對V/,%2￡(2,4)且修*x2,都有了3―)>上(卜eR)成立，求實數(shù)k的取值范圍.

%2一%1

【答案】(1)/0)=x+1(%*0),/(x)￡[-y,-2Vz]

⑵(-22]

【分析】(1)由條件可得2〃-x)+式x)=~x-l，然后可解出f(久)，然后利用對勾函數(shù)的知識可得答案；

(2)設(shè)4>不>Xi>2,條件中的不等式可變形為/(右)+->/O1)+-,即可得g(x)=/(%)+-=%+

%2X1X

?在區(qū)間(2,4)遞增，然后分k+2=0、k+2<0、fc+2>0三種情況討論求解即可.

【詳解】(1)因為2/(x)+/(-x)=x+沁羊0)①，

所以2f(-久)+/(%)=-x-^(x0)②，聯(lián)立①②解得/(久)=x+|(x0)