專題05函數(shù)的概念與性質(zhì)

考情概覽

命題解讀考向考查統(tǒng)計(jì)

1.高考對(duì)函數(shù)的考查，重點(diǎn)是函數(shù)的單2023?新高考I卷，4

調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、周期性，需要氟、指、對(duì)函數(shù)的圖像與性質(zhì)2023?新高考I卷,10

關(guān)注周期性、對(duì)稱性、奇偶性結(jié)合在一2023?新高考H卷，4

起，與函數(shù)圖像、函數(shù)零點(diǎn)和不等式相2022?新高考I卷，12

結(jié)合進(jìn)行考查。2023?新高考I卷,11

抽象函數(shù)的性質(zhì)

2.高考對(duì)函數(shù)的考查重點(diǎn)關(guān)注以基本初2024?新高考I卷，8

等函數(shù)組成的復(fù)合函數(shù)以及抽象函數(shù)2022?新高考H卷，8

為載體，對(duì)函數(shù)內(nèi)容和性質(zhì)進(jìn)行考查，函數(shù)與不等式結(jié)合2024?新高考H卷，8

考查函數(shù)的定義域、值域，函數(shù)的表示2024?新高考I卷，6

方法及性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、分段函數(shù)、三次函數(shù)的圖像與性質(zhì)2024?新高考I卷，10

周期性）、圖像等。2024?新高考H卷，11

|2024年真題研析

命題分析

2024年高考新高考I卷考查了分段函數(shù)、抽象函數(shù)、三次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，難度處于適中及較難。

II卷考查了三次函數(shù)的性質(zhì)及將函數(shù)與不等式結(jié)合考查，難度是較難的?？傮w來(lái)說(shuō)函數(shù)主要以課程學(xué)習(xí)情

景為主，備考應(yīng)以常見(jiàn)的選擇題和填空題為主進(jìn)行訓(xùn)練，難度跨度大，既有容易題，也有中檔題，更有困

難題，而且常考常新。函數(shù)考查應(yīng)關(guān)注：（1）指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、號(hào)函數(shù)及一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像

和性質(zhì)是基礎(chǔ)，要求考生要在理解的基礎(chǔ)上熟練掌握這些函數(shù)的圖像和性質(zhì)，準(zhǔn)確把握函數(shù)概念和性質(zhì)的

本質(zhì)，會(huì)處理分段函數(shù)與抽象函數(shù)的相關(guān)問(wèn)題，會(huì)識(shí)別函數(shù)圖像的變化。同時(shí)，指對(duì)運(yùn)算也是?？疾榈闹?/p>

識(shí)點(diǎn)，考生應(yīng)加強(qiáng)對(duì)公式的理解及應(yīng)用的訓(xùn)練。

（2）函數(shù)性質(zhì)、零點(diǎn)、圖像等問(wèn)題是函數(shù)專題的重點(diǎn)考察內(nèi)容，注意函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的綜合應(yīng)用，

注重?cái)?shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化與化歸思想以及構(gòu)造新函數(shù)的訓(xùn)練，為突破難點(diǎn)作好準(zhǔn)備工作。

試題精講

一、單選題

-x?—2cix—axv0

,，’C,在R上單調(diào)遞增，則。取值的范圍是（）

{6*+111（元+1）,尤20

A.SO]B.[-1,0]C.[-1,1]D.[0,+⑹

2.（2024新高考I卷-8）已知函數(shù)為了（尤）的定義域?yàn)镽,/（x）>/（.r-l）+/（x-2）,且當(dāng)x<3時(shí)f（x）=x,

則下列結(jié)論中一定正確的是（）

A./（10）>100B./（20）>1000

C.『（10）<1000D./（20）<10000

3.12024新高考II卷.8）設(shè)函數(shù)函x）=（x+a）ln（x+b）,若〃幻20,則』+從的最小值為（）

A.-B.—C.gD.1

842

二、多選題

1.（2024新高考1卷-10）設(shè)函數(shù)/。）=（》-1）2（犬-4）,則（）

A.x=3是/（無(wú)）的極小值點(diǎn)B.當(dāng)0<x<l時(shí)，/（x）</（x2）

C.當(dāng)l<x<2時(shí)，-4</（2x-l）<0D.當(dāng)—l<x<0時(shí)，f（2-x）>f{x}

2.（2024新高考H卷?II）設(shè)函數(shù)f（x）=2x3-3加+1,則（）

A.當(dāng)時(shí)，Ax）有三個(gè)零點(diǎn)

B.當(dāng)。<0時(shí)，x=0是AM的極大值點(diǎn)

C.存在a,6,使得x=b為曲線y=/（x）的對(duì)稱軸

D.存在a,使得點(diǎn)。，/⑴）為曲線y=/（x）的對(duì)稱中心

近年真題精選

一、單選題

1.（2023新高考I卷4）設(shè)函數(shù)/（力=2小同在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞減，貝ija的取值范圍是（）

A.（-co,-2]B.[-2,0）

C.（0,2]D.[2收）

22

2.（2022新高考II卷?8）已知函數(shù)/*）的定義域?yàn)镽,且/'（X+y）+/（尤-y）=/（x）/（^）,/（D=1,則￡/W=

k=\

A.-3B.-2C.0D.1

0y—1

3.(2023新高考H卷4)若/(x)=(尤+a)ln在1為偶函數(shù)，貝1］。=().

A.-1B.0C.1D.1

二、多選題

1.(2022新高考I卷J2)已知函數(shù)〃x)及其導(dǎo)函數(shù)/'(x)的定義域均為R,記g(x)=/'(無(wú))，若/g一2》

g(2+x)均為偶函數(shù)，則()

A./(0)=0B.=°C./(-I)=/(4)D.g(-l)=g(2)

2.(2023新高考I卷J0)噪聲污染問(wèn)題越來(lái)越受到重視.用聲壓級(jí)來(lái)度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級(jí)

4=20xlg且，其中常數(shù)為(為＞0)是聽(tīng)覺(jué)下限閾值，〃是實(shí)際聲壓.下表為不同聲源的聲壓級(jí):

Po

聲源與聲源的距離/m聲壓級(jí)/dB

燃油汽車1060?90

混合動(dòng)力汽車105060

電動(dòng)汽車1040

已知在距離燃油汽車、混合動(dòng)力汽車、電動(dòng)汽車10m處測(cè)得實(shí)際聲壓分別為P”P(pán)2，P3,則().

A.P；P2B.p2>Wp3

C.P3=lOOpoD.“〈loop2

3.(2023新高考I卷JD已知函數(shù)3(無(wú))的定義域?yàn)镽,〃孫)=y2/(x)+x2〃y),則().

A./(0)=0B.f(l)=0

C.是偶函數(shù)D.x=0為/(x)的極小值點(diǎn)

必備知識(shí)速記

一、函數(shù)定義域限制

求解函數(shù)的定義域應(yīng)注意：

(1)分式的分母不為零；

(2)偶次方根的被開(kāi)方數(shù)大于或等于零：

(3)對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1；

(4)零次幕或負(fù)指數(shù)次幕的底數(shù)不為零；

(5)三角函數(shù)中的正切y=tan%的定義域是｛R%￡R^x^kx+—,keZ

(6)已知/("的定義域求解/的定義域，或已知/的定義域求/("的定義域，遵循兩

點(diǎn)：①定義域是指自變量的取值范圍；②在同一對(duì)應(yīng)法則〕下，括號(hào)內(nèi)式子的范圍相同；

(7)對(duì)于實(shí)際問(wèn)題中函數(shù)的定義域，還需根據(jù)實(shí)際意義再限制，從而得到實(shí)際問(wèn)題函數(shù)的定義域.

二、基本初等函數(shù)的值域

(1)y=kx+b(k￥Q)的值域是R.

(2)y=?+法+c(awo)的值域是：當(dāng)〃>0時(shí),值域?yàn)樯玤｝;當(dāng)〃<0時(shí),值域?yàn)椋鹹|4號(hào)盧｝.

(3)y=—(k^O)的值域是｛y\yN0).

(4)y=0”(a>0且a/1)的值域是(0,+oo).

(5)y=log。x(°>0且aH1)的值域是尺.

三、函數(shù)的單調(diào)性

(1)單調(diào)函數(shù)的定義

一般地，設(shè)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?,區(qū)間。qA：

如果對(duì)于。內(nèi)的任意兩個(gè)自變量的值為，9當(dāng)占<當(dāng)時(shí)，都有/(百)</5),那么就說(shuō)/(x)在區(qū)間。上是

增函數(shù).

如果對(duì)于。內(nèi)的任意兩個(gè)自變量的值不，七,當(dāng)不<三時(shí)，都有/(王)</(當(dāng))，那么就說(shuō)/(x)在區(qū)間。上

是減函數(shù).

①屬于定義域A內(nèi)某個(gè)區(qū)間上；

②任意兩個(gè)自變量不，X?且不<工2；

③都有了(占)<f(x2)或/&)>/(X2)；

④圖象特征：在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左向右是上升的，減函數(shù)的圖象從左向右是下降的.

(2)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵從“同增異減”，即在對(duì)應(yīng)的取值區(qū)間上，外層函數(shù)是增(減)函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是增(減)

函數(shù)，復(fù)合函數(shù)是增函數(shù)；外層函數(shù)是增(減)函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是減(增)函數(shù)，復(fù)合函數(shù)是減函數(shù).

四、函數(shù)的奇偶性

函數(shù)奇偶性的定義及圖象特點(diǎn)

奇偶性定義圖象特點(diǎn)

如果對(duì)于函數(shù)/(X)的定義域內(nèi)任意一個(gè)X,都有/(_x)=/(x),那

偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱

么函數(shù)/(X)就叫做偶函數(shù)

如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)X,都有/(-%)=-/(%),

奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

那么函數(shù)/(X)就叫做奇函數(shù)

判斷/(-%)與f｛x｝的關(guān)系時(shí)，也可以使用如下結(jié)論：如果/(-%)-/(x)=0或上D=1(/(^)W0),則函數(shù)于(x)

f(x)

為偶函數(shù)；如果/■(—x)+y(x)=o或正立=-1(/0)W0),則函數(shù)y(x)為奇函數(shù).

/(X)

注意：由函數(shù)奇偶性的定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)前提條件是：對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x,f也

在定義域內(nèi)(即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱).

五、函數(shù)的對(duì)稱性

(1)若函數(shù)y=/(x+a)為偶函數(shù)，則函數(shù)y=f(x)關(guān)于*=a對(duì)稱.

⑵若函數(shù)y=為奇函數(shù)，則函數(shù)y=/(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱.

(3)若/(x)=f(2a-x),則函數(shù)f(x)關(guān)于x=a對(duì)稱.

(4)若/(x)+/(2a-元)=26，則函數(shù)/(x)關(guān)于點(diǎn)(a,切對(duì)稱.

六、函數(shù)的周期性

(1)周期函數(shù)：

對(duì)于函數(shù)y=/(x),如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有/(x+T)=/(x),那

么就稱函數(shù)y="x)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期.

(2)最小正周期：

如果在周期函數(shù)/(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么稱這個(gè)最小整數(shù)叫做/(x)的最小正周期.

七、常見(jiàn)的幕函數(shù)圖像及性質(zhì)

函數(shù)y=xy-x2y=x-1

y

VVk

圖象十(1/

7T0x

定義域RRR{x|x>0}{%|%wO}

值域R{yly>0)R{yly>0)3"。}

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

在(YO,0)上單調(diào)遞在(-w,0)和

在R上單在R上單調(diào)遞在［0,+00)上單調(diào)

單調(diào)性減，在(0,+8)上單(0,+00)上單調(diào)遞

調(diào)遞增增遞增

調(diào)遞增減

公共點(diǎn)(1，1)

八、指數(shù)及指數(shù)運(yùn)算

1、指數(shù)

(1)根式的定義：

一般地，如果尤,=a,那么x叫做。的〃次方根，其中(〃>1,weN*),記為標(biāo)，〃稱為根指數(shù)，。稱為

根底數(shù).

(2)根式的性質(zhì):

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的〃次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的“次方根是一個(gè)負(fù)數(shù).

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的〃次方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù).

(3)指數(shù)的概念：指數(shù)是基運(yùn)算/(aw0)中的一個(gè)參數(shù)，。為底數(shù)，〃為指數(shù)，指數(shù)位于底數(shù)的右上角，塞

運(yùn)算表示指數(shù)個(gè)底數(shù)相乘.

(4)有理數(shù)指數(shù)塞的分類

九個(gè)

①正整數(shù)指數(shù)累4=小a°,a(〃**)；②零指數(shù)幕'=1("°)；

③負(fù)整數(shù)指數(shù)累，"=5(4*0,〃eN*)；④0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)易等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)累沒(méi)有意義.

(5)有理數(shù)指數(shù)幕的性質(zhì)

①a"Z"=a"""(a>0,m,n&Q).②(a"')"=a'""(a>0,m,〃e。)；

③=a"7/"(a>0,b>0,m^Q)-④府=/g〉Q，m,MQ).

2、指數(shù)函數(shù)

y=ax

0<a<la>l

圖

象

<L

o\~，o]17

性①定義域R,值域(0，+8)

質(zhì)②a0=l,即時(shí)x=0,y=l,圖象都經(jīng)過(guò)(。，1)點(diǎn)

③優(yōu)=a，即x=l時(shí)，，等于底數(shù)。

④在定義域上是單調(diào)減函數(shù)在定義域上是單調(diào)增函數(shù)

⑤％<。時(shí)，ax>1;尤>。時(shí)，X<。時(shí)，0<a”vl;犬>0時(shí)，ax>1

⑥既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)

九、對(duì)數(shù)及對(duì)數(shù)運(yùn)算

1、對(duì)數(shù)式的運(yùn)算

(1)對(duì)數(shù)的定義：一般地，如果優(yōu)=N(a>0且。*1),那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x=bg“N,讀

作以。為底N的對(duì)數(shù)，其中。叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).

(2)常見(jiàn)對(duì)數(shù)：

①一般對(duì)數(shù)：以。(。>0且。*1)為底，記為log〉讀作以。為底N的對(duì)數(shù)；

②常用對(duì)數(shù)：以10為底，記為IgN；

③自然對(duì)數(shù)：以e為底，記為InN；

(3)對(duì)數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算法則：

①log：=0；log：=1；其中a>0且awl；

②=N(其中口>0且a，N>0)；

③對(duì)數(shù)換底公式：log/=^

log,a

④log.(ACV)=logaM+logaN；

M

⑤loga—=logaM-log/；

⑥logb"=—logb(m，雕eR)；

ama

⑦戶*=6和log.4=6;

2、對(duì)數(shù)函數(shù)的定義及圖像

(1)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義：函數(shù)y=log“x(。>。且。片1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù).

對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象

a>\0<a<l

圖象\(to)

0/i(1,0)

定義域：(0,+8)

值域：R

性質(zhì)過(guò)定點(diǎn)(1,0),即X=1時(shí)，y=0

在(。，+8)上增函數(shù)在(0,+s)上是減函數(shù)

當(dāng)Ovxvl時(shí)，y<。，當(dāng)1之1時(shí)，丁之。當(dāng)0<工<1時(shí)，y>0,當(dāng)％之1時(shí)，y<0

十、函數(shù)與方程

1、函數(shù)的零點(diǎn)

對(duì)于函數(shù)y=,我們把使=0的實(shí)數(shù)無(wú)叫做函數(shù)〉=/(%)的零點(diǎn).

2、方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系

方程“X）=0有實(shí)數(shù)根o函數(shù)y="X）的圖像與X軸有公共點(diǎn)o函數(shù)y="X）有零點(diǎn).

3、零點(diǎn)存在性定理

如果函數(shù)y=〃尤）在區(qū)間［?；厣系膱D像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有〃0）"伍）＜0,那么函數(shù)＞=/（x）

在區(qū)間（a,6）內(nèi)有零點(diǎn)，即存在ce（a,6）,使得f（c）=O,c也就是方程〃x）=0的根.

4、二分法

對(duì)于區(qū)間目上連續(xù)不斷且"（b）＜0的函數(shù)〃x）,通過(guò)不斷地把函數(shù)的零點(diǎn)

所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)的近似值的方法叫做二分法.求方程

〃x）=0的近似解就是求函數(shù)零點(diǎn)的近似值.

5、用二分法求函數(shù)/（x）零點(diǎn)近似值的步驟

（1）確定區(qū)間［a,可，驗(yàn)證/'（a＞f（6）＜0,給定精度￡.

（2）求區(qū)間（a,6）的中點(diǎn)玉.

（3）計(jì)算/（再）.若〃可）=0,則芯就是函數(shù)/（力的零點(diǎn);若〃。/（占）＜0,則令6=玉（此時(shí)零點(diǎn)

%）.若〃6）"（占）＜0,則令〃=演（此時(shí)零點(diǎn)及e（占,6））

（4）判斷是否達(dá)到精確度€,即若心-W＜￡,則函數(shù)零點(diǎn)的近似值為。（或匕）；否則重復(fù)第（2）—⑷

步.

用二分法求方程近似解的計(jì)算量較大，因此往往借助計(jì)算完成.

【函數(shù)性質(zhì)常用結(jié)論】

1、單調(diào)性技巧

（1）證明函數(shù)單調(diào)性的步驟

①取值：設(shè)三，X2是/（X）定義域內(nèi)一個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)量，且不＜%；

②變形：作差變形（變形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商變形；

③定號(hào)：判斷差的正負(fù)或商與1的大小關(guān)系；

④得出結(jié)論.

（2）函數(shù)單調(diào)性的判斷方法

①定義法：根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義，按照“取值一變形一判斷符號(hào)一下結(jié)論”進(jìn)行判斷.

②圖象法：就是畫(huà)出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的上升或下降趨勢(shì)，判斷函數(shù)的單調(diào)性.

③直接法：就是對(duì)我們所熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，直接寫(xiě)出它們的單調(diào)區(qū)間.

（3）記住幾條常用的結(jié)論：

①若/（x）是增函數(shù)，則-/（x）為減函數(shù)；若/（尤）是減函數(shù)，則-/。）為增函數(shù)；

②若f{x}和g（x）均為增（或減）函數(shù)，則在/（x）和g（x）的公共定義域上/（x）+g（x）為增（或減）函數(shù)；

③若/（x）＞0且/（x）為增函數(shù)，則函數(shù)J而為增函數(shù)，」—為減函數(shù)；

/（X）

④若〃x)>0且/(尤)為減函數(shù)，則函數(shù)J而為減函數(shù)，,為增函數(shù).

/(X)

2、奇偶性技巧

(1)函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

(2)奇偶函數(shù)的圖象特征.

函數(shù)/(X)是偶函數(shù)o函數(shù)/(》)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；

函數(shù)/(x)是奇函數(shù)O函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱.

⑶若奇函數(shù)y="x)在x=0處有意義，則有/(0)=0；

偶函數(shù)y=f(x)必滿足f(x)=/(|x|).

(4)偶函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相反；奇函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)

區(qū)間上單調(diào)性相同.

(5)若函數(shù)以X)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)f(x)能表示成一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)的和的形式.記

g(x)=+/(-x)］，/?(x)=1［/(x)-/(-x)］，則f(x)=g(x)+h(x).

(6)運(yùn)算函數(shù)的奇偶性規(guī)律：運(yùn)算函數(shù)是指兩個(gè)(或多個(gè))函數(shù)式通過(guò)加、減、乘、除四則運(yùn)算所得的函數(shù)，

如/(x)+g(x),/(x)-g(x),f(x)Xg(尤),/(x)-i-g(x).

對(duì)于運(yùn)算函數(shù)有如下結(jié)論：奇土奇=奇；偶士偶=偶;奇士偶=非奇非偶；

奇乂(十)奇=偶；奇、(+)偶=奇；偶x(十)偶=偶.

(7)復(fù)合函數(shù)y=/［g(x)］的奇偶性原來(lái)：內(nèi)偶則偶，兩奇為奇.

(8)常見(jiàn)奇偶性函數(shù)模型

奇函數(shù)：①函數(shù)f(x)=根(4)&*0)或函數(shù)f(x)=m(^l).

a'-1ax+\

②函數(shù)=.

③函數(shù)f(X)=log”吐色=loga(1+且-)或函數(shù)/(X)=log”2二^=log”(1一-—)

x-mx-mx+mx+m

2

④函數(shù)/(X)=log.(y/x+\+x)或函數(shù)/(x)=loga(G+1-x).

注意：關(guān)于①式，可以寫(xiě)成函數(shù)/(x)=〃2+W上(xwO)或函數(shù)/(無(wú))=(〃zeR).

a-1a+1

偶函數(shù)：①函數(shù)/(%)=土S+L).

，KY

②函數(shù)/(x)=logfl(a+l)-?.

③函數(shù)/(|尤|)類型的一切函數(shù).

④常數(shù)函數(shù)

3、周期性技巧

函數(shù)式滿足關(guān)系(尤eR)周期

/(x+T)=/(x)T

/(x+T)=-/(x)2T

/(X+T)=I"(尤+T)=_I

2T

/(x)fM

/(x+r)=/(x-r)2T

/U+r)=-/(x-r)4T

1f(a+x)=f(a-x)

2(b-a)

[f(b+x)=f(b-x)

\f{a+x)=f{a-x)

[/■(尤)為偶函數(shù)la

{f(a+x)=-/(a-x)

2(b-a)

f(b+x)=-/(6-x)

/(a+x)=-/(a-%)

la

/(x)為奇函數(shù)

I/(a+x)=/(a-尤)

4s-〃)

f(Jy+x)=-f(b-x)

1/(a+尤)=/(a-尤)

[/(尤)為奇函數(shù)4a

f(a+x)=-/(a-x)

4〃

/(x)為偶函數(shù)

4、函數(shù)的的對(duì)稱性與周期性的關(guān)系

(1)若函數(shù)y=/(x)有兩條對(duì)稱軸x=a,x=b(a<b),則函數(shù)/(x)是周期函數(shù)，且T=2(6—a);

(2)若函數(shù)y=/(x)的圖象有兩個(gè)對(duì)稱中心(a,c),(4c)(a<6),則函數(shù)y=/(x)是周期函數(shù)，且T=2(6-。)；

(3)若函數(shù)y=/(x)有一條對(duì)稱軸*="和一個(gè)對(duì)稱中心(仇0)(0<力，則函數(shù)y=/(x)是周期函數(shù)，且

T=4(6—a).

5、對(duì)稱性技巧

(1)若函數(shù)y=了。)關(guān)于直線x=a對(duì)稱，則/("+%)=f{a-x).

(2)若函數(shù)y=/(%)關(guān)于點(diǎn)(a,。)對(duì)稱，貝!J/(〃+X)+/(〃—％)=25.

(3)函數(shù)y=f(a+x)與y=/(a-x)關(guān)于)軸對(duì)稱，函數(shù)y=f(a+x)與y=關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

一、單選題

1—/lpx

1.(2024?黑龍江齊齊哈爾?三模)若/(x)=------sinx為偶函數(shù)，貝lj〃=()

l+ex

A.1B.0C.-1D.2

2.（2024?湖南邵陽(yáng)?三模）是“函數(shù)〃力="-。（a>0且awl）在R上單調(diào)遞減”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.（2024?湖南長(zhǎng)沙?三模）地震震級(jí)通常是用來(lái)衡量地震釋放能量大小的數(shù)值，里氏震級(jí)最早是由查爾斯?

里克特提出的，其計(jì)算基于地震波的振幅，計(jì)算公式為IgA-1乳，其中M表示某地地震的里氏震級(jí)，A

表示該地地震臺(tái)測(cè)振儀記錄的地震波的最大振幅，4表示這次地震中的標(biāo)準(zhǔn)地震振幅.假設(shè)在一次地震中，

某地地震臺(tái)測(cè)振儀記錄的地震波的最大振幅為5000,且這次地震的標(biāo)準(zhǔn)地震振幅為0.002,則該地這次地震

的里氏震級(jí)約為（）（參考數(shù)據(jù)：坨2合0.3）

A.6.3級(jí)B.6.4級(jí)C.7.4級(jí)D.7.6級(jí)

4.（2024?河北?二模）已知函數(shù)y=〃x-l）為奇函數(shù)，則函數(shù)y=〃x）+l的圖象（）

A.關(guān)于點(diǎn)。,1）對(duì)稱B.關(guān)于點(diǎn)（1,-1）對(duì)稱

C.關(guān)于點(diǎn)（-1,1）對(duì)稱D.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

x2-2ax,x>\

5.（2024?陜西渭南.二模）已知函數(shù)/（尤）=°是R上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

—X—l,x<1

12

A.（0,1）B.（0,1]C.（0,1）D.（0,1]

6.（2024?湖北?二模）已知函數(shù)"x）=log5（，-2）在[1,+a））上單調(diào)遞增，則0的取值范圍是（）

A.B.[ln2,-H?）C.（2,+oo）D.[2,+oo）

7.（2024?寧夏銀川?三模）己知函數(shù)=則下列說(shuō)法不正確的是（）

A.函數(shù)〃尤）單調(diào)遞增B.函數(shù)〃尤）值域?yàn)椋?,2）

C.函數(shù)的圖象關(guān)于（0』）對(duì)稱D.函數(shù)的圖象關(guān)于（L1）對(duì)稱

8.（2023?遼寧葫蘆島?二模）已知函數(shù)〃尤）=/-》+1,則（）

A./⑴有一個(gè)極值點(diǎn)

B.〃尤）有兩個(gè)零點(diǎn)

C.點(diǎn)（0,1）是曲線>=/（無(wú)）的對(duì)稱中心

D.直線y=2x是曲線y=/（x）的切線

9.（2024?寧夏銀川?三模）已知函數(shù)/（x）=V-7爐+14%一。有3個(gè)零點(diǎn)小巧，毛（玉<馬<毛），有以下

四種說(shuō)法：

①'>0

②W<4

③存在實(shí)數(shù)。，使得毛，巧，％成等差數(shù)列

④存在實(shí)數(shù)。，使得4,巧，斗成等比數(shù)列

則其中正確的說(shuō)法有（）種.

A.1B.2C.3D.4

("1)*一；"411

10.（2024?河北保定?三模）已知/（%）=<a（。>1）的值域?yàn)?。，?',+8）,貝I。的取值范

XH-----1,X>1

圍是()

35537

A.t-,2]B.C.[-,2)D.[-,2]

24

11.（2024.河南.三模）設(shè)函數(shù)/（尤）的定義域?yàn)镽,y=/（x-1）+1為奇函數(shù)，,=/卜-2）為偶函數(shù)，若

“2024）=1,則〃-2）=（）

A.1B.-1C.0D.-3

12.（2024?四川.三模）已知定義在R上的函數(shù)“X）在區(qū)間［TO］上單調(diào)遞增，且滿足〃4-x）=〃x）,

/（2-x）=-/（x）,則（）

A.Xf(k)=QB.f(0.9)+/(1.2)>0C.f(2.5)>/(log280)D./(sinl)</fln!

2=1I4

13.（2024.四川.三模）定義在R上的函數(shù)丁=〃M與，=8（司的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱，且函數(shù)

y=g（2x—1）+1為奇函數(shù)，則函數(shù)y=/（x）圖象的對(duì)稱中心是（）

A.（―1,—1）B.（—1,1）C.（3,1）D.（3,-1）

二、多選題

14.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（x）=V+依2+&X+C下列結(jié)論中正確的是（）

A.若/（%）=0,則為是/⑴的極值點(diǎn)

B.HXoeR,使得/（%）=。

C.若看是Ax）的極小值點(diǎn)，則/（x）在區(qū)間（-8,x0）上單調(diào)遞減

D.函數(shù)y=/（x）的圖象是中心對(duì)稱圖形

15.（2024?湖南長(zhǎng)沙?模擬預(yù)測(cè)）瓶，亦稱超重氫，是氫的同位素之一，它的原子核由一個(gè)質(zhì)子和兩個(gè)中子

組成，并帶有放射性，會(huì)發(fā)生月衰變，其半衰期是12.43年.樣本中旅的質(zhì)量N隨時(shí)間r（單位:年）的衰變規(guī)律

滿足N=N°-2一品，其中或表示旅原有的質(zhì)量，貝IJ（）（參考數(shù)據(jù):1g2Q0.301）

N

A.r=12.431og2—

B.經(jīng)過(guò)24.86年后，樣本中的瓶元素會(huì)全部消失

C.經(jīng)過(guò)62.15年后，樣本中的瓶元素變?yōu)樵瓉?lái)的《

D.若尤年后，樣本中旅元素的含量為0.4N。，貝丘>16

16.(2024.福建廈門(mén)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)“X)的定義域?yàn)镽,〃%+〉)=工學(xué)+/3,且/⑴=1,則()

eye

A./(O)=OB./(-l)=e2

C.e"(x)為奇函數(shù)D.在(0,+s)上具有單調(diào)性

17.(2024.江西南昌.三模)已知函數(shù)/'(x)=a/+6尤?+cx+d(a*0),若y=1f(x)-2|的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)

稱，則下列說(shuō)法正確的是()

A.y="(x)l的圖象也關(guān)于直線尤=1對(duì)稱B.y