函數(shù)的概念與性質(zhì)專項(xiàng)復(fù)習(xí)

（5大必考點(diǎn)18種題型）

【考點(diǎn)1:函數(shù)的概念與表示】...................................................................1

【題型一：求函數(shù)的定義域】....................................................................3

【題型二：求函數(shù)的解析式】....................................................................3

【題型三：求函數(shù)的值域】......................................................................5

【題型四：分段函數(shù)】...........................................................................8

【考點(diǎn)2：函數(shù)的單調(diào)性及應(yīng)用】...............................................................10

【題型五：判斷函數(shù)的單調(diào)性】.................................................................16

【題型六：利用單調(diào)性求最值】.................................................................16

【題型七：利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式】.........................................................20

【題型八：利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小】.........................................................23

【考點(diǎn)3：函數(shù)的奇偶調(diào)性及應(yīng)用】.............................................................28

【題型九：判斷函數(shù)的奇偶性】.................................................................30

【題型十：利用奇偶性求參數(shù)值】...............................................................30

【題型十一：利用函數(shù)的奇偶性求解析式】.......................................................32

【題型十二：利用函數(shù)的奇偶性比較大小】.......................................................35

【考點(diǎn)4：嘉函數(shù)］............................................................................41

【題型十三：幕函數(shù)的概念】...................................................................43

【題型十四：塞函數(shù)的圖象】...................................................................43

【題型十五：幕函數(shù)的性質(zhì)】...................................................................45

【考點(diǎn)5：二次函數(shù)】..........................................................................52

【題型十六：求二次函數(shù)的解析式】.............................................................53

【題型十七：二次函數(shù)的單調(diào)性與最值】.........................................................54

【題型十八：二次函數(shù)與不等式恒成立、存在性問題】............................................55

【考點(diǎn)1:函數(shù)的概念與表示】

【知識點(diǎn)：函數(shù)的概念與表示】

1.函數(shù)的有關(guān)概念

(1)函數(shù)的定義域、值域：在函數(shù)y=/(x),xGN中，x叫做自變量，x的取值范圍N叫做函數(shù)的定義域;

與x的值相對應(yīng)的j值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合｛/(■叫*G㈤叫做函數(shù)的值域.顯然，值域是集合5的子

集.

(2)函數(shù)的三要素：定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系.

(3)同一函數(shù)：如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個函數(shù)相等，這是判斷兩函數(shù)相等

的依據(jù).

2.常見基本初等函數(shù)定義域的基本要求

(1)分式函數(shù)中分母不等于零.

(2)偶次根式函數(shù)的被開方式大于或等于0.

(3)一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域均為R.

(4)j=x°的定義域是｛x|x#0｝.

4.對于抽象函數(shù)定義域的求解

(1)若已知函數(shù)形)的定義域?yàn)椋踑,b］,則復(fù)合函數(shù)慮(x))的定義域由不等式aWg(x)W6求出；

(2)若已知函數(shù)危(x))的定義域?yàn)椋踑,b］,則/(x)的定義域?yàn)間(x)在加上的值域.

［易錯提醒I

陸羲而(x)i顏比叉載招而至X的或值青氤…而示基g(x)的就面南面二

［方法技巧］解決已知定義域求參數(shù)問題的思路方法

5.求函數(shù)解析式的四種方法

由已知條件/(gG))=尸(%),可將"4)改

「寫成關(guān)于g(%)的表達(dá)式，然后以與替代gG),

配湊法

便得了(%)的解析式

對于形如y=/(g(%))的函數(shù)解析式，令

法二行g(shù)(%),從中求出％=8(t),然后代入表達(dá)式

換元法求出/(力，再將￡換成“，得到f(%)的解析式，

要注意新元的取值范圍

■

先設(shè)出含有待定系數(shù)的解析式，再利用恒等式

法三

的性質(zhì)，或?qū)⒁阎獥l件代入，建立方程(組)，

待定系數(shù)法一

通過解方程(組)求出相應(yīng)的待定系數(shù)

1'............./1、.................

法四-x)的表西可，;

I解方程組法「7可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個等式組成!

1---------二1:方程組，通過解方程組求出/G)i

6.分段函數(shù)

若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間，有著不同的對應(yīng)關(guān)系,這樣的函數(shù)通常叫做分

段函數(shù).

7.分段函數(shù)的相關(guān)結(jié)論

(1)分段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù).

(2)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，值域等于各段函數(shù)的值域的并集.

分段函數(shù)求值的解題思路

求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當(dāng)出

現(xiàn)加"))的形式時，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值?

［方法技巧］

泵加殳函數(shù)百變量而宿戰(zhàn)我圍的元國

求某條件下自變量的值或范圍，先假設(shè)所求的值或范圍在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)

自變量的值或范圍，切記代入檢驗(yàn)，看所求的自變量的值或范圍是否滿足相應(yīng)各段自變量的取值范圍.

【題型一：求函數(shù)的定義域】

(24-25高一上?廣東深圳?階段練習(xí))己知〃x)=43，則/"(x)的定義域?yàn)?/p>

1.

A/3-X

【答案】(x|x<3)且(XN1)/(-S,1)U(1,3)

【分析】考慮二次根式被開方數(shù)大于或等于0,分式的分母不為0,。的0次方無意義，列不等式組計(jì)算求

解即可.

x-\w0

【詳解】由3—x20n%<3且xwl.

y/3—xw0

所以函數(shù)定義域?yàn)椋簕x[x<3且xwl}.

故答案為：{x[x<3且xwl}.

2.（24-25高一上?山東濟(jì)南?階段練習(xí)）已知片〃2x+1）定義域?yàn)椋?,3],則kf（x+1）的定義域?yàn)?

【答案】（2,6]

【分析】根據(jù)3<2x+lW7可得3<x+lW7,即可求解.

【詳解】由于y=/（2》+1）定義域?yàn)椋?,3],故3<2x+lV7,

因止匕N=/（x+l）的定義域需滿足3<x+l<7,解得2<xW6,

故y=/（x+l）的定義域?yàn)椋?,6],

故答案為：（2,6]

3.（2025?河南信陽一模）已知不等式辦2+（a+2）x+c>0的解集為{x|-l<x<2},則函數(shù)、=必至的

定義域?yàn)?

【答案】[0,2]

【分析】根據(jù)題意，得到-1和2是方程辦2+（a+2）x+c=0的兩個根，列出方程組，求得的值，得出函

數(shù)l4+2x，結(jié)合函數(shù)的解析式有意義，列出不等式，即可求解.

【詳解】由不等式G2+（a+2）x+c>0的解集為{x|-l<x<2},

可得-1和2是方程加+（。+2N+。=0的兩個根，且。<0,

-1+2=二

a

則解得。=-1,。=2,所以函數(shù)>=y/—x2+2x，

-1x2=-

a

要使得函數(shù)y=J-x2+2%有意義,則滿足_工2+2%20,

即x2-2x=x(x-2)<0,解得0<x<2,

所以函數(shù)、=必+CX的定義域?yàn)閇0,2].

故答案為：[0,2].

4.（24-25高一上?廣東東莞?階段練習(xí)）函數(shù)y=I士忖的定義域是（）

X

A.[—2,2]B.（—2,2）

C.[-2,0）u（0,2]D.[-4,0）u（0,4]

【答案】D

【分析】由4-忖？0,且加0,即可求得結(jié)果.

f4-lxl>0

【詳解】由題意得'，解得-4Wx<4且XHO,

|x片0

所以函數(shù)的定義域?yàn)閇-4,0）。（0,4].

故選：D.

5.（24-25高一上,江西宜春?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（司=」辦2-2姓+1的定義域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)。的取值范圍

是（）

A.（0,1]B.（0,+功C,[1,+co）D.[0,1]

【答案】D

【分析】將問題轉(zhuǎn)化為不等式ax?-2辦+120恒成立問題，分類討論。=0與aw0兩種情況，結(jié)合根的判別

式得到不等式，從而得解.

【詳解】因?yàn)?卜）=點(diǎn)=的定義域?yàn)镽,

所以不等式辦+120對任意的xeR恒成立，

當(dāng)。=0時，120恒成立，滿足題意；

>0

當(dāng)QW0時，貝U人/2/解得0<。<1；

[A=4a-4a<0

綜上，OWaWl,即。的取值范圍是

故選：D.

【題型二：求函數(shù)的解析式】

1.（24-25高一上?天津?yàn)I海新?階段練習(xí)）已知/（W+2）=x+l,則/（"=（）

A.x2-4x+5（x>2）B.x2-4x+3（x>2）

C.x2-4x+3(x>0)D.x2-4x+5(x>0)

【答案】A

【分析】由配湊法/(4+2)=x+l=(4+2『一4(&+2)+5和6+222即可得解.

【詳解】因?yàn)?(6+2)=x+l=(4+2)2-4(五+2)+5,且?+222,

所以/(x)=r2-4x+5(尤22).

故選：A.

2.(24-25高一上?河北保定?階段練習(xí))完成下列問題：

⑴已知/(2X-1)=4X2+3,求/(x).

(2)己知f(x)是一次函數(shù)，且滿足3/(x+l)+2/(x-l)=5x+16,求/(x).

【答案】(D/(X)=X2+2X+4

(2)/(x)=x+3

【分析】(1)利用換元法求解即可；

(2)利用待定系數(shù)法求解即可.

【詳解】(1)令2x-l=f=x=—,所以有/(。=4：+3=r+2/+4,

所以/(x)=Y+2x+4.

(2)設(shè)/(x)=Ax+b,得/(x+l)=Ax+左+6,/(工一1)=Ax—左+6,

因?yàn)?/(x+l)+2/(x-l)=5x+16,

彳導(dǎo)3{jix+左+Z?)+2(kx—k+b)=5x+16,

整理得(5左一5)x+左+56—16=0,

,口J5左一5=0jk=l

得卜+56-16=()016=3，

所以/(x)=x+3.

3.（24-25高一上?天津和平?開學(xué)考試）（1）已知函數(shù)/（尤-l）=2x+5,求/（x）的解析式;

(2)已知〃x)-3((-x)=8x+2,求f(x)的解析式.

【答案】(1)/(x)=2x+7；(2)/(x)=2x-l

【分析】(1)直接對所求式子進(jìn)行變形即可得解；

(2)由方程組法對所求式子進(jìn)行變形即可求解.

【詳解】(1)/(x)=/(x+l-l)=2(x+l)+5=2x+7；

(2)/⑴：/(x)-3/(r)+3["fA3/(x)]8x+2+3(-8x+2)：2、1

—8—8

4.(24-25高一上?新疆烏魯木齊?階段練習(xí))已知函數(shù);'(x)是一次函數(shù)，且滿足了(x-l)+/(x)=2x-l.

⑴求/(x)的解析式;

(2)在⑴的條件下，求函數(shù)g(x)=/2(x)-2/(x)+2的解析式,并求g(7(2))的值.

【答案】⑴/(x)=x

(2)g(x)=x2-2x+2,g(f(2))=2

【分析】(1)利用待定系數(shù)法，結(jié)合題目中的函數(shù)類型以及所滿足的等式，可得答案；

(2)將(1)的答案代入題目中的等式，可得答案.

【詳解】(1)由題意可設(shè)/(力=區(qū)+6(910),代入/(X—1)+/(力=2無一1,

\k=\

貝左(x—l)+b+h+b=2x-l,整理可得2而一人+2b=2x—l,解得〈八，

[p=0

所以/(x)=x.

(2)由/(X)=JC,貝1|g(x)=x"—2x+2；

由"2)=2,貝iJg(〃2))=g(2)=22-2x2+2=2.

5.(24-25高一上?廣西玉林?階段練習(xí))(1)已知/(x)是一次函數(shù)，且〃/(x))=9x+4,求〃x)的解析式;

(2)已知函數(shù)[(4+2)=X,求函數(shù)f(x)的解析式；

(3)已知函數(shù)了=/(x)滿足/(x)+2/d)=x,求函數(shù)了=/@)的解析式；

X

x2

【答案】(1)/(x)=3x+l或/(%)=—3%-2；(2)/(X)=X2-4X+4(X>2)；(3)/(%)=--+—.

33x

【分析】(1)設(shè)〃力=丘+6化*0),可用待定系數(shù)法求解析式.

(2)令4+2=/,用換元法求解析式.

(3)將x換成[，得/d)+2〃x)=！，用解方程組法求解析式.

XXX

【詳解】(1)設(shè)/(x)=Ax+b(后w0),貝！J/(/㈤)=無出+6)+6=/%+助+>=9x+4,

于是L[■左2=9A4,解得(k匕=31或L\k=-3

[kb+b=4[P=1[b=-2

所以/(x)=3x+l或/(%)=-3%-2.

(2)令+2=￡,貝l]x=(%—2)2/22,于是/(%)=(f—2)2=r—4%+4,

所以/(x)=x2-4x+4,x>2.

(3)由/(x)+2/d)=無，得〃3+2/(X)=L

/(x)+2/(-)=x

,消去了(一)解得:

?y

/(-)+2/(x)=-x

x2

所以小)=丁春.

【題型三：求函數(shù)的值域】

1.(24-25高一上?福建漳州,階段練習(xí))函數(shù)了=-x2+2x+3(0VxW3)的值域.

【答案】[0,4]

【分析】先將函數(shù)化為頂點(diǎn)式，確定拋物線的開口方向和對稱軸，再根據(jù)給定區(qū)間找出函數(shù)的最大值和最

小值，從而確定值域.

【詳解】將函數(shù)化為頂點(diǎn)式：^=-X2+2X+3=-(X-1)2+4,

拋物線的二次項(xiàng)系數(shù)為-1>0,所以開口向下.對稱軸為x=1.

因?yàn)閤e[0,3],所以當(dāng)x=l時，y=4,取得最大值兀1ax=4.

當(dāng)x=3時，J；=-(3-1)2+4=0,取得最小值幾山=0.

函數(shù)的值域?yàn)閇0,4].

故答案為：［0,4］.

2.(24-25高一上?重慶?階段練習(xí))函數(shù)y=x+VI=I的值域?yàn)?)

99

A.(-<?,2]B.[2,+oo)C.—00,—D.

4

【答案】C

【分析】利用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求解值域即可.

【詳解】根據(jù)題意知函數(shù)定義域?yàn)?-叫幻，令/=H4o,

所以y=x+=T2+/+2=+g,

19(9"|

當(dāng)/三時，—"不所以函數(shù)的值域?yàn)樾?a-

故選：C.

3.(多選)(24-25高一上廣西玉林?階段練習(xí))下列函數(shù)中值域?yàn)椋?,+⑹的是()

A.y=yfxB.y=x-2x+lC.^=--D.y=|x|T

【答案】AB

【分析】求出各選項(xiàng)中的函數(shù)值域，即可判斷得解.

【詳解】對于A,函數(shù)y=4的定義域?yàn)椋?,+8),值域也為［0,+9),A是;

對于B,函數(shù)了=--2x+l=(x-l)2定義域?yàn)镽,值域?yàn)椋?,+8),B是；

對于C,函數(shù)>的定義域?yàn)?-鞏0)U(0,+S),值域?yàn)?-8,0)U(0,+S),C不是；

對于D,函數(shù)y=|x|-l的定義域?yàn)镽,值域?yàn)椋?1,+8),D不是.

故選：AB

4.(2024高一?全國?專題練習(xí))求函數(shù)了=衛(wèi)工工的值域.

X+X+1

【答案】［1,5］

【分析】根據(jù)分式函數(shù)的特點(diǎn)，因定義域?yàn)镽,可將其化成關(guān)于%的一元二次方程恒有實(shí)根的情況，通過根

的判別式即可求得函數(shù)的值域.

13

【詳解】因?yàn)橐?》+1=。+5)2+1>0恒成立，故X6R,

則由了=：可得,。一2)x2+(y+l)x+y—2=0,

X+X+1

當(dāng)夕=2時，x=0,適合題意；

當(dāng)yw2時，由于XCR,故(y_2)x2+(y+l)x+y_2=0恒有實(shí)數(shù)根,

故△=3+1)2-4(一)220,解得5且尸2,

綜上可得，y=-X+2的值域?yàn)?5].

X+X+1

5.(24-25高一上?廣東中山?階段練習(xí))求下列函數(shù)的值域:

小4x2+4x+9八、

Wy=---------------(zx>0)

x

(2)y=x-2s/X+1

【答案】⑴[16,+8)

(2)[-2,+8)

【分析】(1)由基本不等式求出即可；

(2)設(shè):工節(jié)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；

/、*后4、,?、4x2+4x+9.9l~9.，/

【詳解】(1)y=--------------=4x+—+4>2/4xx—+4=16,

XXA\X

當(dāng)且僅當(dāng)=9=：3時取等號，

x2

所以函數(shù)的值域?yàn)閇16,+8),

(2)設(shè)，=Jx+1,Z>0,貝!Jx=/一1,

所以>=%—2&TT=?T-2"(”1)2—2,

所以值域?yàn)閇-2,+8).

【題型四：分段函數(shù)】

x2-2x,x>-2

1.(24-25高一上?廣東中山?階段練習(xí))已知函數(shù)/(%)=則/(〃-4))=()

x+3,x<-2

A.-1B.3C.-3D.24

【答案】B

【分析】由分段函數(shù)定義域范圍直接代入計(jì)算即可；

【詳解】由題意可得，當(dāng)x=-4<-2時，4)=-4+3=-1,

當(dāng)x=_]>_2時，/(-1)=(-1)2-2X(-1)=3,

所以-4))=3.

故選：B.

2.(24-25高一上?新疆烏魯木齊?階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=「2Jc，則〃〃1))=

\2,x—x<U

A.14B.5C.1D.-1

【答案】B

【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式代入計(jì)算可得.

【詳解】=

[2x-3x,x<0

.-./(l)=/(-l)=5,

，/(〃l))=〃5)=/⑶=〃1)=/(T)=5.

故選：B.

/、f2x+l,x<1

3.(24-25高一上?福建寧德?階段練習(xí))己如函數(shù)無)=2°?

(2)若求實(shí)數(shù)。的值;

⑶作出函數(shù)y=f（x）在［-2,2）區(qū)間內(nèi)的圖像.

【答案】⑴/(T=-IJ/=1：

（2）2或。

⑶圖象見解析

【分析】（1）代入求值即可；

（2）分。＜1與。＞1兩種情況，列出方程，求出實(shí)數(shù)”的值，去掉不合要求的解.

（3）根據(jù)分段函數(shù)解析式即可作出函數(shù)圖象.

【詳解】(1)易知/(-1)=一2+1=-1,//(；)=/(2'；+1]=/(2)=22-3=1

（2）當(dāng)aWl時，2a+l=l,解得。=0,滿足要求,

當(dāng)時，/_3=1,解得。=2或。=一2（舍）

綜上可得a=2或0

（3）由分段函數(shù)解析式分別由一次函數(shù)和二次函數(shù)圖象性質(zhì)作出函數(shù)圖象如下所示:

-x2+20x-64,xG[3,12),

4.⑵-25高一上?安徽?階段練習(xí)）已知函數(shù)一到+76,92,4。］.

⑴求/(〃10))的值;

（2）若實(shí)數(shù)。滿足a275a+36＜0且/⑷=0,求。的值;

（3）求“X）的最大值.

【答案】（1）31

(2)4

（3）40

【分析】（1）由分段函數(shù)解析式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果;

(2)由不等式可得3<a<12,然后代入計(jì)算，即可求得。；

(3)分別求得xe[3,12)與xe[12,40]時，函數(shù)/(x)的最大值，然后比較大小即可得到結(jié)果.

【詳解】(1)H^l/(10)=-102+20x10-64=36,

則/(/(10))=〃36)=-36+76=31；

(2)由a。-15a+36<0可得3)(a-12)<。,解得3<a<12,

且〃。)=0,則-/+20.-64=0,解得。=4或a=16(舍).

(3)當(dāng)xe[3,12)時，/(x)=-x2+20x-64=-(x-10)2+36,

當(dāng)x=10時，/(x)有最大值，最大值為"10)=36；

當(dāng)xe[12,40]時，/(x)=-x--+76=-|x+—L76<-2.%?—+76=-2xl8+76=40,

xVx)Vx

當(dāng)且僅當(dāng)X=^時，即x=18時，等號成立，則最大值為/(18)=40；

X

綜上所述，當(dāng)x=18時，〃尤)有最大值為40.

5.(24-25高一上?廣東深圳?階段練習(xí))給定函數(shù)/(x)=x+l,g(x)=(x+l)2,xeR.

1尸

???111Illi

???111111Illi

LJ_L；51____I___J_____；5__J_L1J

111111Illi

111：4111：4Illi

111111Illi

111：3111：3Illi

111111Illi

11112111：2Illi

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II|111______||||jlIlli?

-l'(9-i'o1112J3;4x

5位運(yùn)jl；2：34x-5；-4-3：-2

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L1L_.?2.JLJ1____*___1_____-2_JLJJ

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：-41____1___i_____(4____1___1_____1___J

⑴在同一直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)/(無)，g(x)的圖象;

(2)觀察圖象，直接寫出不等式(x+l)2<x+l的解：

(3)VxeR,用M(x)表示/(X),g(x)中的較大者，記為加(力=0^]〃》)名")}.例如，當(dāng)x=2時,

M⑵=max{/(2),g(2))=max{3,9}=9.請分別用圖象法和解析法表示函數(shù)“⑴.

【答案】(1)圖象見解析

(2)—1<x<0

(x+1)*,x<-1

(3)M(X)=<x+1,-1<x<0

(x+1)2>0

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)/(x),g(x)的解析式即可作出圖象;

(2)(3)結(jié)合圖象即可求得答案;

【詳解】(1)畫出函數(shù)/(x),g(x)的圖象如圖:

(2)觀察圖象，可得不等式(x+l)2<x+l的角率為一l<x<0；

(3)結(jié)合(1)可用圖象法表示M(x)如圖:

由(X+1)2=X+1可得％=0或%=-1,

(x+l)2,x<-1

故M(x)=<x+l,-l<x<0.

(x+1)",x>0

【考點(diǎn)2：函數(shù)的單調(diào)性及應(yīng)用】

【知識點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性及應(yīng)用】

1.單調(diào)函數(shù)的定義

增函數(shù)減函數(shù)

一般地，設(shè)函數(shù)小)的定義域?yàn)?,如果對于定義域/內(nèi)某個區(qū)間。上的任意兩

個自變量X1，X2

定義

當(dāng)巧<血時，都有加1)勺M),那么就說當(dāng)巧今2時，都有鶴且皿，那么就

函數(shù)於)在區(qū)間與上是增函數(shù)說函數(shù)Ax)在區(qū)間D上是減函數(shù)

y=f(?)

y\/f^

圖象描述

0W1i2Xo\_?2X

自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的

2.單調(diào)區(qū)間的定義

若函數(shù)v=/U)在區(qū)間0上是增函數(shù)或減函數(shù),則稱函數(shù)y=/(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)

間D叫做函數(shù)y=/(x)的單調(diào)區(qū)間.

3.復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的規(guī)律

若兩個簡單函數(shù)的單調(diào)性相同，則它們的復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；若兩個簡單函數(shù)的單調(diào)性相反，則它們

的復(fù)合函數(shù)為減函數(shù).即“同增異減”.

4.函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

(1)若於)，g(x)均為區(qū)間4上的增(減)函數(shù)，則/(x)+g(*)也是區(qū)間N上的增(減)函數(shù).更進(jìn)一步，有增

+增增，增一減f增，減+減f減，減一增f減.

(2)若A>0,則相x)與外)單調(diào)性相同；若A<0,則破x)與/)單調(diào)性相反.

(3)在公共定義域內(nèi)，函數(shù)y=/(x)(Ax)WO)與)=」-單調(diào)性相反；函數(shù)了=/日)(如)?0)與P=

心)

(4)奇函數(shù)在其關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上單調(diào)性相同，偶函數(shù)在其關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上單調(diào)性相反.

［易錯提醒］

一一石漳福反商戛比交城畫在「友茶蕈詞反而前應(yīng)疥泰比父嬴在Q嘀床近

(2)單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示；如有多個單調(diào)區(qū)間應(yīng)分開寫，不能用并集符

號“U”連接，也不能用“或”連接.

一［萬法技司

香亍語示再要施腦法

［提醒］上述g(x)與"X)的值域應(yīng)在外層函數(shù)外)的定義域內(nèi).

［易錯提醒］

(i語函函至反商記一百王草詞「而法西豪蓑應(yīng)辰詞而荏薄字反響王屯亮孽函嬴

(2)對于分段函數(shù)的單調(diào)性，除注意各段的單調(diào)性外，還要注意銜接點(diǎn)的取值.

5.函數(shù)的最值

前提設(shè)函數(shù)八X)的定義域?yàn)?,如果存在實(shí)數(shù)"滿足

對于任意XC/,都有

對于任意xG/,都有存在

條件/U)WM；存在沏右/，使得

xoe/,使得

結(jié)論Af為最大值M為最小值

6.函數(shù)最值存在的兩條結(jié)論

(1)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值.當(dāng)函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)時最值一定在端點(diǎn)處取到.

(2)開區(qū)間上的“單峰”函數(shù)一定存在最大值或最小值.

7.利用函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)最值的步驟

(1)判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性；

(2)計(jì)算端點(diǎn)處的函數(shù)值；

(3)確定最大值和最小值.

8.分段函數(shù)的最值

由于分段函數(shù)在定義域不同的子區(qū)間上對應(yīng)不同的解析式，因而求其最值的常用方法是先求出分段函

數(shù)在每一個子區(qū)間上的最值，然后取各區(qū)間上最大值中的最大者作為分段函數(shù)的最大值，各區(qū)間上最小值

中的最小者作為分段函數(shù)的最小值.

［方法技巧］求函數(shù)最值的五種常用方法

方法步驟

單調(diào)性法先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值

圖象法先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，求出最值

基本不等式法先對解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求

出最值

導(dǎo)數(shù)法先求導(dǎo)，然后求出在給定區(qū)間上的極值，最后結(jié)合端點(diǎn)值，求出最值

換元法對比較復(fù)雜的函數(shù)可通過換元轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)，再用相應(yīng)的方法求最值

【題型五：判斷函數(shù)的單調(diào)性】

4

1.（24-25高一?上海?課堂例題）求函數(shù)＞=x+—的單調(diào)區(qū)間.

x

【答案】增區(qū)間:（-*-2）,（2,+8）,減區(qū)間：（-2,0）,（0,2）,

【分析】利用定義法進(jìn)行取值、作差、因式分解最后分析正負(fù)即可.

【詳解】任取再應(yīng)e（-8,0）u（°，+8）,且再＜馬，

4

???/（%）=%+-,

X

_（%一工2）（占/一4）

二（再一工2）］-----二

x{x2

當(dāng)再<馬<一2時，xr-x2<0,xxx2>0,

（再一毛）（再七一4）〈0

xrx2>4,

xxx2

即〃再）-/（尤2）＜0=＞/（再）＜〃々），故“X）在（7,-2）上是增函數(shù),

同理，“X）在（2,+⑹上是增函數(shù)，在（-2,0）上是減函數(shù)，在（0,2）上是減函數(shù)，

4

.?）=X+—的增區(qū)間:（_8,—2）,（2,+8）,減區(qū)間:（-2,0）,（0,2）.

2.（24-25高一上?全國?課堂例題）證明函數(shù)在區(qū)間（2,+8）上單調(diào)遞減.

【答案】證明見解析

【分析】根據(jù)單調(diào)性的定義，即可作差求證.

【詳解】證明:e（2,+℃）,且再＜%,

11_x-x（%一再乂9+川）

/(xi)-/(^2)=2x

；-4xf-4(%；_4)卜;_4)（片-9G一4）

因?yàn)?＜%＜%2，

所以馬-%>0,Xj+x2>0,x；〉4,xf>4,

所以/(xJ-/(X2)>0,

即/（巧）>/（工2）.

所以函數(shù)/（x）=了匕在（2,+8）上單調(diào)遞減.

—x2+2ax—4x<]

3.（24-25高一上?云南紅河?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=/八；一，滿足對于任意實(shí)數(shù)X”/且看

^a-l）x,x>1

都有"再）一"々）>0成立，則a的取值范圍是_________.

玉-x2

【答案】（1,4]

【分析】由條件可得函數(shù)函數(shù)/（X）為增函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)，一次函數(shù)及函數(shù)單調(diào)性的定義列不等式可得

結(jié)論.

【詳解】由已知函數(shù)〃無）的定義域?yàn)镽,

因?yàn)閷τ谌我鈱?shí)數(shù)國逃2且、戶々，都有「‘八2'》0成立,

再-x2

所以函數(shù)/'（X）為R的增函數(shù)，

z、—1?+2ax—4,xV1

又〃『（"1）21，

所以函數(shù)了=-/+2◎-4在（-8』上為增函數(shù)，

且函數(shù)V=（a-l）x在（L+8）上增函數(shù)，-l+2?-4<（z-l,

所以<7-1>0,a<4,

所以l<aW4,

所以。的取值范圍是（1,4]

故答案為：。,4].

4.（23-24高一上吶蒙古巴彥淖爾?期末）已知函數(shù)/'（x+lbT――

X十/X十/

（1）求/（X）的解析式；

⑵判斷/（X）在（0,+8）上的單調(diào)性，并根據(jù)定義證明.

【答案】（1"（X）=±

⑵/（x）在（0,+紇）上單調(diào)遞減，證明見解析

【分析】（1）由配湊法可得函數(shù)解析式；

（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可.

【詳解】（［）因?yàn)?（x+l）=；―、:，

（X+1）+1

所以〃》）=￡?

（2）“X）在（0,+8）上單調(diào)遞減.

證明如下：

令0＜%＜%2，則％2-玉＞0，

）一f（x}=_I______1=（%2+%1）（工2-%1）:

“J/（J一亦而-卜；+加；+1），

即/（%）＞/（工2），

所以〃x）在（0,+司上單調(diào)遞減.

5.（2024?山東濟(jì)南?三模）已知函數(shù)/（x）=x+‘，且/⑴=2.

X

（1）求加的值；

（2）判斷函數(shù)“X）在（1,+⑹上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并證明.

【答案】⑴1

（2）增函數(shù)，證明見解析

【分析】（1）將/（1）=2代入函數(shù)求值即可；

（2）利用單調(diào)性的定義判斷即可.

【詳解】（1）???/（1）=2,

:A+m=2

:.m=\

（2）函數(shù)為增函數(shù)，證明如下：

設(shè)再、Z是（1，+8）上的任意兩個實(shí)數(shù)，且1＜占＜》2,

則/（為）-/（、2）=再+---X2+—

Xl<X2）

=再-x2+-...-

x,—x?

=xx-x2——------

XxX2

1石工2）

當(dāng)1<玉〈工2時，X\X2-1>0,玉一々〈O,

從而/（芭）-/（工2）<。，即/（七）</（七），

???函數(shù)/'（x）=g+x在（1,+8）上為增函數(shù).

6.（2024高三?全國?專題練習(xí)）函數(shù)/（尤）的定義域?yàn)椋?,+8）,且對一切x>0/>0都有

d=/（x）-/3,當(dāng)X>1時，有〃x）>0.

⑴求/⑴的值；

（2）判斷f（x）的單調(diào)性并證明；

【答案】⑴0

（2）/（力在（0,+紇）上是增函數(shù)，證明見解析

【分析】⑴令x=〈=i,代入巾］=〃x）_/3可求/⑴;

（2）設(shè)0<玉<工2，由/（馬）_/（占）=/1>0

，得/（%）>/（*）,可證/'（X）在（0,+力）上是增函數(shù).

【詳解】（1）"1）="，=/⑴-〃1）=0.

（2）/（x）在（0,+紇）上是增函數(shù).

證明：設(shè)0<±<%，貝IJ由/二，/卜）-/5）,

得〃xJ=W，

因?yàn)閺?qiáng)＞1，所以/衛(wèi)＞0.

玉

所以/(々)-/(再)＞0,即/(切＞/(%),

即“X)在(0,+紇)上是增函數(shù).

【題型六：利用單調(diào)性求最值】

1.(多選)(24-25高一上?廣東深圳?階段練習(xí))已知函數(shù)7'(x)=一，下列選項(xiàng)正確的是(

x-6

A.若/(x)=2,貝i]x=14

B.函數(shù)/(x)在定義域內(nèi)是減函數(shù)

C.若x?2,8]時,則/(x)的值域是[T5]

D.若xeN,則函數(shù)/(x)有最小值也有最大值

【答案】AD

Q

【分析】求得函數(shù)/(x)=l+-7的定義域與單調(diào)性，進(jìn)而逐項(xiàng)計(jì)算判斷即可.

x-6

【詳解】對于A,由/(x)=2,可得號=2,解得x=14,故A正確；

x-6

對于B,/(x)=號=1+—的定義域?yàn)?-叱6)U(6,+⑹,

x-6x-6

所以/(X)在(-8,6)上單調(diào)遞減，且

所以/(X)在(6,+8)上單調(diào)遞減,且/(力＞1,

故"X)在(F,6)U(6,+CO)上不是單調(diào)函數(shù)，故B錯誤；

對于C,由B可得，當(dāng)xe[2,6)時，/(x)＜/(2)=-l,

當(dāng)尤w(6,8]時,/(x)＞/(8)=5,所以〃無)的值域是(-叫T35,+8),

當(dāng)x=6時，/(無)無意義，故C錯誤；

當(dāng)xeN且xe[0,6)時，-7=/(5)WW”0)=-；，

當(dāng)xeN且xw(6,+co)時，l</(x)V/(7)=9,

所以若xeN,則函數(shù)/（x）有最小值也有最大值，故D正確;

故選：AD.

2.（24-25高一上?廣東江門,階段練習(xí)）已知函數(shù)f（x）=

3x-l

⑴先判斷函數(shù)“X）在區(qū)間+s］上的單調(diào)性,再用定義法證明；

（2）求函數(shù)/（x）在區(qū)間［1,5］上的最值.

【答案】（l）/（x）在］,+，|上單調(diào)遞減，證明見解析；

（2）最大值為了⑴=g,最小值為/（5）=g

【分析】（1）將令;"5應(yīng)用作差法判斷〃%）,/（%）的大小判斷單調(diào)性；

（2）利用/（X）的單調(diào)性求區(qū)間的最值.

【詳解】⑴/（x）=丁二在佶,+s］上單調(diào)遞減，

31一1）

令;＜西＜2，

則/'（演）一/（尤2）=-

3再-13X2-1

3%-1-（3再-1）3X2—3石

一（3再—1）（3皆一1）—（3匹—1）（3%—1）

3（X2-XJ

一（3石-1）（3々-1）'

X3^-1＞0,3x2-1＞0,,x2-Xj＞0,

所以/（石）-/（%2）＞。，故/（不）＞/（%2），

則〃x）在區(qū)間Q,+“］上的單調(diào)遞減.

（2）由（1）知：“X）在，,+e］上的單調(diào)遞減，所以/（x）在［1,5］上遞減，

即/（X）max=/⑴=Ax）1nm=/（5）=毅匕=:，

故函數(shù)/（X）在區(qū)間工5］上的最大值為/（1）=\,最小值為"5）=［.

214

2

3.（24-25高一上?廣東東莞?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（司=三三，且/⑴=10.

⑴求a；

（2）判斷函數(shù)/（x）在［3,+8）上的單調(diào)性,并用定義法證明；

⑶求函數(shù)7'（x）在區(qū)間［3,6］上的最大值和最小值.

【答案】⑴9

（2）函數(shù)f（x）在［3,+s）上單調(diào)遞增，證明見解析

⑶最大值為最小值為6.

2.

【分析】（1）直接由/⑴=10代入〃x）=土詈，即可求得a；

（2）利用定義法作差計(jì)算，即可證明函數(shù)的單調(diào)性；

（3）利用函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算最值即可.

2

【詳解】（1）函數(shù)/（尤）=三/，因?yàn)?⑴=10,

所以7（1）=11^￡=10,則4=9.

（2）函數(shù)/（x）在［3,+co）上單調(diào)遞增,

由（1）知，/（X）==x+—,

XX

下面證明單調(diào)區(qū)間，

設(shè)34再<%2，則/（再）一）（%2）=玉一%2+-----------（X1-X2）----