專題26函數(shù)模型的實際應(yīng)用問題

目錄

解題知識必備.................................

壓軸題型講練............................................................2

題型一、二次函數(shù)模型....................................................2

題型二、分段函數(shù)模型....................................................3

題型三、指對幕函數(shù)模型..................................................5

壓軸能力測評（8題）....................................................7

??解題知識必備”

一、幾種常見的函數(shù)模型

1、一次函數(shù)模型：y=kx+b（k,6為常數(shù)，左。0）

2、二次函數(shù)模型：y=ax2-\-bx+c（Q,8c為常數(shù)，QWO）

3、指數(shù)函數(shù)模型：y=bax+c（。,8c為常數(shù)，bwO,。>0且awl）

4、對數(shù)函數(shù)模型：y=mlogax+n（加,a,〃為常數(shù)，mwO,a>0且awl）

5、塞函數(shù)模型：y=axn+b（〃］為常數(shù)，awO）

ax-\-b,x<m

6、分段函數(shù)模型：y=\；

cx+d,x>m

二、用函數(shù)模型解應(yīng)用問題的四個步驟

1、審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇模型；

2、建模：將自然語言化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學(xué)知識建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型;

3、求模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)模型；

4、還原：將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實際問題。

三、函數(shù)擬合與預(yù)測的一般步驟

1、通過原始數(shù)據(jù)、表格，繪出散點圖；

2、通過觀察散點圖，畫出擬合直線或擬合曲線；

3、求出擬合直線或擬合曲線的函數(shù)關(guān)系式；

4、根據(jù)擬合誤差要求判斷，選擇最佳的擬合函數(shù)；

5、利用選取的擬合函數(shù)進行預(yù)測；

6、利用函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)條件所給問題進行預(yù)測和控制，為決策和管理提供依據(jù)。

X壓軸題型講練”

【題型一二次函數(shù)模型】

一、解答題

1.（24-25高一上?湖南衡陽?階段練習）某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，其生產(chǎn)的總成本》（萬元）與年產(chǎn)量X（噸）

之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為了=，^2-20工+40000.已知此工廠的年產(chǎn)量最小為150噸，最大為250噸.

（1）年產(chǎn)量為多少噸時，生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本最低？并求出最低平均成本；

（2）若每噸產(chǎn)品的平均出廠價為24萬元，且產(chǎn)品全部售出，則年產(chǎn)量為多少噸時，可以獲得最大利潤？并求

出最大利潤.

2.（24-25高一上?安徽?階段練習）2024年8月16日，商務(wù)部等7部門發(fā)布《關(guān)于進一步做好汽車以舊換

新工作的通知》.根據(jù)通知，對符合《汽車以舊換新補貼實施細則》規(guī)定，報廢舊車并購買新車的個人消費

者，補貼標準由購買新能源乘用車補1萬元、購買燃油乘用車補7000元，分別提高至2萬元和1.5萬元，

某新能源汽車配件公司為擴大生產(chǎn)，計劃改進技術(shù)生產(chǎn)某種組件.已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的年固定成本為2000萬元,

每生產(chǎn)x（xeN*）百件，需另投入成本少（x）萬元，且0<x<45時，W（x）=3x2+260x；當x“5時，

4900

沙（x）=501x+——-4950,由市場調(diào)研知，該產(chǎn)品每件的售價為5萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的該產(chǎn)品當年能

x+20

全部銷售完.

（1）分別寫出04x<45與X245時，年利潤y（萬元）與年產(chǎn)量x（百件）的關(guān)系式（利潤=銷售收入-成本）；

（2）當該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少百件時，公司所獲年利潤最大？最大年利潤是多少？

3.（24-25高一上?江蘇宿遷?階段練習）如圖，宿遷市要在矩形地塊/8CZ）上規(guī)劃出一塊矩形地塊尸建

造市民休閑中心，為了保護文物，市民休閑中心不能超越文物保護區(qū)△/斯的界線環(huán)，經(jīng)實地測量知，

AB=150m,ND=110m,AE=45m,AF=30m,設(shè)=

⑴試用無表示尸0,PR；

（2）問：怎樣設(shè)計矩形市民休閑中心的長和寬，才能使其面積最大？最大面積是多少？

4.（24-25高一上?廣東揭陽?階段練習）中國芯片產(chǎn)業(yè)崛起，出口額增長迅猛，展現(xiàn)強勁實力和競爭力.中國

自主創(chuàng)新，多項技術(shù)取得突破，全球布局加速，現(xiàn)有某芯片公司為了提高生產(chǎn)效率，決定投入98萬元購進

一套生產(chǎn)設(shè)備.預(yù)計使用該設(shè)備后，第一年維修、保養(yǎng)費用12萬元，從第二年開始，每年所需維修、保養(yǎng)費

用比上一年增加4萬元，該設(shè)備使用后，每年的總收入為50萬元，設(shè)使用x年后該設(shè)備的盈利額為y萬

元.

（1）寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）從第幾年開始，該設(shè)備開始盈利（盈利額為正值）；

（3）使用若干年后，對設(shè)備的處理方案有兩種：

①當年平均盈利額達到最大值時，以30萬元價格處理該設(shè)備；

②當盈利額達到最大值時，以12萬元價格處理該設(shè)備.

請你研究一下哪種方案處理較為合理？請說明理由.（注：年平均盈利額為。，。=上）

5.（24-25高一上?上海?期中）現(xiàn)要在閣樓屋頂上開一窗戶，設(shè)其一邊長（單位：m）為x.

（1）已知閣樓屋頂為高2m,底邊長5m的銳角三角形，若開一個內(nèi)接矩形窗戶（陰影部分）（如圖所示）.

（i）要使窗戶面積不小于2平方米，求x的取值范圍；

（ii）規(guī)定：民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積，但窗戶面積與地板面積的比應(yīng)不小于10%,若閣樓的

窗戶面積與地板面積的總和為16.5平方米，則當邊長x為多少米時窗戶面積最?。孔钚≈凳嵌嗌倨椒矫?？

（2）一般認為，窗戶面積與地板面積的比值越大，采光效果越好，若同時增加相同的窗戶面積和地板面積，

采光效果是變好了還是變壞了？試從數(shù)學(xué)角度說明理由.

【題型二分段函數(shù)模型】

一、解答題

1.（24-25高一上?吉林長春?期中）某小微企業(yè)因資金鏈斷裂陷入生產(chǎn)經(jīng)營困境，該企業(yè)有60萬元的無息貸

款即將到期但無力償還，當?shù)卣徒鹑跈C構(gòu)為幫助該企業(yè)渡過難關(guān)，批準其延期還貸，并再為其提供30

萬元的無息貸款用來幫助其維持生產(chǎn)，該企業(yè)盈利途徑是生產(chǎn)銷售一種產(chǎn)品，已知每生產(chǎn)1萬件產(chǎn)品需投

入4萬元的資料成本費，每年的銷售收入R（x）（萬元）與產(chǎn)品年產(chǎn)量x（萬件）間的函數(shù)關(guān)系為

24x-2x2,0<x<6

R（X）=L,324,，該企業(yè)在運營過程中每年還要支付給全體職工共36萬元的人力成本費.

126-------,x>6

（1）寫出該企業(yè)的年利潤即（X）（萬元）關(guān)于產(chǎn)品年產(chǎn)量X（萬件）的函數(shù)解析式；

（2）當產(chǎn)品年產(chǎn)量為多少萬件時，企業(yè)獲得的年利潤最大？最大年利潤為多少萬元？

（3）該企業(yè)在維持生產(chǎn)的條件下，最短用幾年時間可以還清所有貸款？

2.（23-24高一上?江蘇鹽城?期末）近來，哈爾濱花式寵愛南方游客成為新晉頂流，“南方小土豆”“廣西小砂

糖橘”等對游客的愛稱也成為網(wǎng)絡(luò)熱梗.哈爾濱的旅游熱潮在一定程度上提升了該區(qū)域的經(jīng)濟發(fā)展活力.當?shù)?/p>

某滑雪場的一位滑雪護具售賣者，通過對每天銷售情況的調(diào)查發(fā)現(xiàn)：某品牌滑雪護具在過去的一個月內(nèi)（以

30天計），每件的銷售價格單位：元）與時間》（單位：天）的函數(shù)關(guān)系近似滿足/（x）=50+：（人為常數(shù),

且人>0）,日銷售量g（x）=a|x-司+6（單位：件）與時間x（單位：天）的部分數(shù)據(jù)如下表所示

X1015202530

g(x)5060706050

已知第10天的日銷售收入為2650元.

（1）請你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，求出日銷售量g（x）與時間x的函數(shù)解析式；

⑵設(shè)該工藝品的日銷售收入為尸（x）（單位：元），試求當x為何值時，尸（x）達到最小值，并求出最小值.

3.（24-25高一上?廣東佛山?階段練習）某住宅小區(qū)為了使居民有一個優(yōu)雅、舒適的生活環(huán)境，計劃建一座

八邊形的休閑場所.如圖，它的主體造型平面圖是由兩個相同的矩形48。和EFG”構(gòu)成的占地面積為100

平方米的十字形地域.計劃在正方形四VP0上建一座花壇，造價為每平方米。元；在四個相同的矩形（圖中

陰影部分）上鋪彩色水磨石地坪，造價為每平方米105元；再在四個空角（圖中四個三角形）上鋪草坪，

造價為每平方米40元.

EF

（1）設(shè)/。長為x米，總造價為S元，求S關(guān)于x的函數(shù)表達式，并寫出函數(shù)的定義域;

（2）若市面上花壇造價每平方米225元，求總造價S的最小值，并求此時花壇的造價.

【題型三指對塞函數(shù)模型】

一、解答題

1.（23-24高一上?福建廈門?階段練習）生物愛好者甲對某一水域的某種生物在自然生長環(huán)境下的總量W進

行監(jiān)測.第一次監(jiān)測時的總量為%（單位：噸），此時開始計時，時間用t（單位：月）表示.甲經(jīng)過一段時

間的監(jiān)測得到一組如下表的數(shù)據(jù)：

"月02816

墳/噸2.04.06.07.0

為了研究該生物總量w與時間t的關(guān)系，甲通過研究發(fā)現(xiàn)可以用以下的兩種函數(shù)模型來表達卬與t的變化關(guān)

系：

①w=c"+dw0；@w=bloga（Z+1）+w0（a>0Ha1）.

（1）請根據(jù)表中提供的前2列數(shù)據(jù)確定第一個函數(shù)模型的解析式；

（2）根據(jù)第3,4列數(shù)據(jù)，選出其中一個與監(jiān)測數(shù)據(jù)差距較小的函數(shù)模型；甲發(fā)現(xiàn)總量卬由“翻一番時經(jīng)過了2

個月，根據(jù)你選擇的函數(shù)模型，若總量卬再翻一番時還需要經(jīng)過多少個月？（參考數(shù)據(jù)：1g3yo.48,

lgl7?1.23）

2.（23-24高一上?四川瀘州?期末）在密閉培養(yǎng)環(huán)境中，某類細菌的繁殖在初期會較快，隨著單位體積內(nèi)細

菌數(shù)量的增加，繁殖速度又會減慢.在一次實驗中，檢測到這類細菌在培養(yǎng)皿中的數(shù)量y（單位：百萬個）

與培養(yǎng)時間x（單位f小時）的關(guān)系為：

X23691215

y3.23.53.844.14.2

根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)畫出散點圖如下:

4y（百萬個）

4-.,?

7.?

6>|23691215x（/J^）

為了描述從第2小時開始細菌數(shù)量隨時間變化的關(guān)系.現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：@y=m\og3x+n,

@y=myJx—3+n,③y=2v-m+n.

（1）選出你認為最符合實際的函數(shù)模型，并說明理由；

（2）請選取表格中的兩組數(shù)據(jù)，求出你選擇的函數(shù)模型的解析式，并預(yù)測至少培養(yǎng)多少個小時，細菌數(shù)量達

到5百萬個.

3.（24-25高一上?上海?課堂例題）聲音強度。（分貝）由公式。=10眩［正市J給出，其中/（W/cm）為聲

音能量.能量小于lOFw/cn?時，人聽不見聲音.強度大于60分貝時屬于噪音，其中70分貝開始損害聽

力神經(jīng)，90分貝以上就會使聽力受損，而一般的人待在100分貝至120分貝的空間內(nèi)，一分鐘就會暫時性

失聰.

⑴求/TOFw/cn?時的聲音強度；

（2）求噪音的能量范圍；

（3）當能量達到多少時，人會暫時性失聰？

4.（23-24高一上?廣東揭陽?階段練習）為踐行“綠水青山，就是金山銀山”，我省決定凈化練江上游水域的

水質(zhì).省環(huán)保局于2018年年底在練江上游水域投入一些蒲草，這些蒲草在水中的蔓延速度越來越快，2019

年2月底測得蒲草覆蓋面積為36m,2019年3月底測得蒲草覆蓋面積為48m°,蒲草覆蓋面積N（單位：

m2）與月份x（單位：月）的關(guān)系有兩個函數(shù)模型y=上優(yōu)（左＞0,。＞1）與y=加f+〃（加＞0）可供選擇.

⑴分別求出兩個函數(shù)模型的解析式；

（2）若2018年年底測得蒲草覆蓋面積為20^2,從上述兩個函數(shù)模型中選擇更合適的一個模型，試估算至少

到哪一年的幾月底蒲草覆蓋面積能超過810m2?（參考數(shù)據(jù)：lg220.30,1g3go.48）

5.（23-24高一上?河南?期末）為研究某種病毒的繁殖速度，某科研機構(gòu)對該病毒在特定環(huán)境下進行培養(yǎng)觀

察，每隔單位時間T進行一次記錄，用x表示經(jīng)過單位時間的個數(shù)，用》表示此病毒的數(shù)量，單位為萬個,

（1）判斷哪個函數(shù)模型更合適，并求出該模型的解析式；

（2）至少經(jīng)過多少個單位時間該病毒的數(shù)量不少于12億個?

參考數(shù)據(jù)：V522.236,V6a2.449,lg2?0.301,lg620.778.

X壓軸能力測評??

一、解答題

1.（24-25高一上?湖北?階段練習）新能源汽車是低碳生活的必然選擇和汽車產(chǎn)業(yè)的發(fā)展必然.某汽車企業(yè)為

了響應(yīng)國家號召，2023年積極引進新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備，通過分析，全年需要投入固定成本4000萬元.每

1Ox2+100x,（0<x<40）

生產(chǎn)X（百輛）新能源汽車，需另投入成本C（x）萬元，且C（x）=L“8100Q，由市場調(diào)

804x+---------13000,（x240）

研知，每輛車售價8萬元，且生產(chǎn)的車輛當年能全部銷售完.

（1）求出2023年的利潤￡（》）（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（百輛）的函數(shù)關(guān)系式；（利潤=銷售量x售價一成本）；

（2）2023年產(chǎn)量為多少百輛時，企業(yè)所獲利潤最大?并求出最大利潤.

2.（22-23高一上?福建廈門?期末）中國夢蘊含航天夢，航天夢助力中國夢.2022年11月29日23時08分,

搭載神舟十五號載人飛船的長征二號尸遙十五運載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心成功點火發(fā)射，實現(xiàn)了神舟十

五號航天員乘組與神舟十四號航天員乘組太空在軌輪換.已知火箭起飛質(zhì)量x（單位：kg）是箭體質(zhì)量M

（單位：kg）和燃料質(zhì)量入（單位：kg）之和.在發(fā)射階段，不考慮空氣阻力的條件下，火箭的最大速度v

（單位：km/s）和x的函數(shù)關(guān)系是v=alnx+61nA/,其中d6為常數(shù)，且當燃料質(zhì)量為0kg時，火箭的最

大速度為Okm/s.已知某火箭的箭體質(zhì)量為"kg,當燃料質(zhì)量為（e2-l）"kg時，該火箭最大速度為4km/s.

（1）求該火箭的最大速度v與起飛質(zhì)量x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當燃料質(zhì)量至少是箭體質(zhì)量的多少倍時，該火箭最大速度可達到8km/s?

3.（23-24高一上?吉林?期末）茶，是中華民族的舉國之飲，它發(fā)乎神農(nóng)，聞于魯周公，興于唐朝，盛在宋

代，如今已成了風靡世界的三大無酒精飲料（茶葉、咖啡和可可）之一，并將成為21世紀的飲料大王.中國茶

文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān).把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是

To℃,空氣溫度是7ZC,那么ftnin后物體的溫度7（。（單位：°C）可由公式7（。=（4求得,

其中先是一個隨著物體與空氣的接觸情況而定的常數(shù).現(xiàn)有某種剛泡好的普洱茶，茶水溫度是9（TC,放在室

溫20。（2的環(huán)境中自然冷卻，10分鐘后茶水的溫度是55。€\

（1）求左的值；

（2）經(jīng)驗表明，當室溫為25。12攝氏度時，該種普洱茶用85。（2的水泡制，自然冷卻至65笛時飲用，可以產(chǎn)生

最佳口感，那么，剛泡好的茶水在室溫為25°C時自然冷卻大約需要放置多長時間才能達到最佳飲用口感？

（結(jié)果精確到0.1）

（附:參考值ln2a0.7,ln3el.l）

4.（24-25高一上?廣西柳州?階段練習）國家發(fā)展改革委、住房城鄉(xiāng)建設(shè)部于2017年發(fā)布了《生活垃圾分類

制度實施方案》，規(guī)定46個城市在2020年底實施生活垃圾強制分類，垃圾回收、利用率要達35%以上.截至

2019年底，這46個重點城市生活垃圾分類的居民小區(qū)覆蓋率已經(jīng)接近70%.某企業(yè)積極響應(yīng)國家垃圾分類

號召，在科研部門的支持下進行技術(shù)創(chuàng)新，新上一種把廚余垃圾加工處理為可重新利用的化工產(chǎn)品的項目.

已知該企業(yè)日加工處理量x（單位：噸）最少為70噸，最多為loo噸.日加工處理總成本y（單位：元）與

日加工處理量尤之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為y=gx2+40x+3200,且每加工處理1噸廚余垃圾得到的化

工產(chǎn)品的售價為100元.

（1）該企業(yè)日加工處理量為多少噸時，日加工處理每噸廚余垃圾的平均成本最低？此時該企業(yè)處理1噸廚余

垃圾處于虧損還是盈利狀態(tài)？

（2）為了該企業(yè)可持續(xù)發(fā)展，政府決定對該企業(yè)進行財政補貼，補貼方式共有兩種.

①每日進行定額財政補貼，金額為2400元；

②根據(jù)日加工處理量進行財政補貼，金額為30x.

請分別計算兩種補貼方式下的最大利潤，如果你是企業(yè)的決策者，為了獲得最大利潤，你會選擇哪種補貼

方式進行補貼？為什么？

5.（22-23高三上?安徽亳州?階段練習）“小黃城外芍藥花，十里五里生朝霞，花前花后皆人家，家家種花如

桑麻.”這是清代文學(xué)家劉開有描寫安徽亳州的詩句，亳州位于安徽省西北部，有“中華藥都”之稱.亳州自商湯

建都到今，已有3700年的文明史，是漢代著名醫(yī)學(xué)家華佗的故鄉(xiāng)，由于一代名醫(yī)的影響，帶動了亳州醫(yī)藥

的發(fā)展，到明、清時期亳州就是全國四大藥都之一，現(xiàn)已是“四大藥都”之首.亳州建有全球規(guī)模最大、設(shè)施最

好、檔次最高的“中國（亳州）中藥材交易中心”，已成為全球最大的中藥材集散地，以及價格形成中心.某校

數(shù)學(xué)學(xué)習小組在假期社會實踐活動中，通過對某藥廠一種中藥材銷售情況的調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該中藥材在2021年

的價格浮動最大的一個月內(nèi)（以30天計）日平均銷售單價M（x）（單位：元/千克）與第x天

（l<x<3O,xe2V*）的函數(shù)關(guān)系滿足M（X）=￡+20（左為正常數(shù)）.該中藥材的日銷售量N（x）（單位：

千克）與x的部分數(shù)據(jù)如下表所示：

X4102030

N(x)149155165155

已知第4天該中藥材的日銷售收入為3129元.（日銷售收入=日銷售單價x日銷售量）

（1）求后的值;

（2）給出以下四種函數(shù)模型：①N（x）=a、+b,@N（x）=a{x-2^+b,③N（x）=a|x-20|+6,④

N（x）=elog/,請你根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，幫助這組同學(xué)從中選擇最合適的一種函數(shù)模型來描述該中藥材的日

銷售量N（x）與尤的關(guān)系，并求出該函數(shù)的解析式和日銷售收入/（x）（單位：元）的最小值.

6.（23-24高一上?四川南充?階段練習）假設(shè)某學(xué)習小組對家庭每月用水的收費提供了如下兩種模型：模型

一：若用水量不超過基本月用水量an?,則只付基本費8元和損耗費c元（c<5）；若用水量超過基本月用

水量，則除了需付基本費和損耗費外，超過部分還需按b元/n?進行付費；模型二：用函數(shù)模型了=上加-9+〃

（其中左，m,〃為常數(shù)，加>0且機W1）來模擬說明每月支付費用y（元）關(guān)于月用水量x（m3）的函數(shù)關(guān)系.

已知該市某家庭1—3月的用水量x分別為9m3,15U?和21m工支付的費用y分別為9元，19元和31元.

（1）寫出模型一中每月支付費用y（元）關(guān)于月用水量x（n?）的函數(shù)解析式；

（2）寫出模型二中每月支付費用y（元）關(guān)于月用水量x（n?）的函數(shù)解析式，并分析說明學(xué)習小組提供的模型

哪個更合理？

7.（23-24高一上?重慶九龍坡?階段練習）為研究一款額定功率是1.5kw、自帶水溫顯示的電動熱水壺的加

熱效果，在壺中水溫從加熱之初的室溫10℃升至10（F