專題06幾何證明

考點聚焦：核心考點+中考考點，有的放矢

重點專攻：知識點和關(guān)鍵點梳理，查漏補缺

難點強化：難點內(nèi)容標注與講解，能力提升

提升專練：真題感知+精選專練，全面突破

考點聚焦

重

點

專

攻

考點I平行線的判定與性質(zhì)3

考點2三3形內(nèi)角和定理

考)

點考點3三角形的外角性質(zhì)）

剖

析考點4全等三角形的判定與性質(zhì))

考點5等朦三角形的判定與性質(zhì))

考點6命題與定理）

試卷第1頁，共14頁

0＞重點專攻------------------------------------------

知識點一演繹證明

1演繹證明的概念

從已知的概念、條件出發(fā)，依據(jù)已被確認的事實和公認的邏輯規(guī)則，推導(dǎo)出某結(jié)論為正確的

過程叫演繹證明

演繹證明不用想的太過復(fù)雜，它只是一種嚴格的數(shù)學(xué)證明，七年級學(xué)習(xí)額的平行線、三角形

全等證明一樣，核心是由因為推出所以，每一句推理有理有據(jù)，本書中的演繹證明簡稱證明

注意：①證明中的每一步推理都要有依據(jù)，不能想當(dāng)然②具體問題具體分析，并不是所有

真理都可以進行演繹證明

2.證明幾何問題的方法

(1)綜合法：由題設(shè)逐步推導(dǎo)到結(jié)論的一種證明方法

(2)分析法：由結(jié)論逐步追溯到題設(shè)的一種方法

易錯易混提示：

①幾何證明時，一般先用分析法找到思路，然后改用綜合法寫出證明過程

②在幾何證明中，有時需要添加輔助線，添加輔助線的過程要在證明過程中寫出來，交代

清楚，輔助線通常畫慮線即可

(3)證明過程中，前一段的“果”為后一段提供了“因“，一連串連貫有序的因果關(guān)系組成了

完整的證明

知識點二定義、命題、真命題及假命題的概念

1.定義：能界定某個對象含義的子叫做定義

2.命題：判斷一件事情的句子叫做命題

注意：

(1)命題必須是一個完整的句子，通常是一個陳述句或否定句，問句、祈使句、感嘆句都

不是命題；問句、祈使句、感嘆句都不是命題；問句、祈使句、感嘆句都不是命題！

(2)命題是判斷性語句，必須是對某件事情作出肯定或否定的判斷

3.真命題：判斷為正確的命題叫做真命題

注意：

判斷一個命題是真命題，往往需要從命題的題設(shè)出發(fā)，通過證明步一步推得結(jié)論成立.

4.假命題：判斷為錯誤的命題叫做假命題

試卷第2頁，共14頁

5.［補充］反例：符合命題的題設(shè)，但不符合命題結(jié)論的例子稱為反例.判斷一個命題是假命

題，通常只要舉出反例即可

答疑解惑：如何判斷命題真假？

判斷命題的真假，關(guān)鍵在于題設(shè)成立的前提下，看結(jié)論是否正確，可先舉“特例”驗證，特例

成立，還不能說明命題為真命題，要將特殊形式轉(zhuǎn)化成一般形式，用推理的方法說明結(jié)論正

確；若特例不成立，則命題一定是假命題.

知識點三命題的結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)命題通常由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成.

題設(shè)是已知事項，結(jié)論是由已知事項推出的事項

這樣的命題可以寫成“如果...，那么…”的形式.用“如果”開始的部分是題設(shè)，用“那么”開始

的部分是結(jié)論

注意：

存在一些命題的題設(shè)和結(jié)論不是很分明，我們可以先把命題改寫成“如果...，那么…”的形式,

這樣就更加清楚地找出命題的題設(shè)和結(jié)論.

知識點四公理和定理的概念

1.公理：人們從長期的實踐中總結(jié)出來的真命題叫做公理

2.定理：從公理或其他真命題出發(fā)，用推理方法證明為正確的，并進一步作為判斷其他命題

真假的依據(jù)，這樣的真命題叫做定理.定理是需要證明的.

知識點五證明思路的分析

1.證明思路

要想證明一個命題是否正確，我們在思考時，可以由最后的結(jié)論反著向前追溯證明

2.證明思路的分析方法

先定位清楚題目“要證什么？”，然后再羅列出我們“需知什么”也就是要準備哪些條件，由此

再考慮“只要證什么"，一直追溯至r’已知”而證明的表述

證明邏輯順序：“已知”一“可知”一“結(jié)論”.

3.證明的一般步驟

(1)分清命題的題設(shè)和結(jié)論；

如果問題與圖形有關(guān)，要根據(jù)條件畫出圖形，并在圖形上標出有關(guān)的字母與符號.

注意：無圖幾何、“射線”或“直線”等幾何問題，我們可能還需要進行分類討論.

(2)結(jié)合圖形，寫出已知求證；

試卷第3頁，共14頁

（3）分析因果關(guān)系找出證明途徑；

（4）有條理地寫出證明過程（每一步推理都要有推理的依據(jù)）.

注意：

在證明的表述中，符號讀作因為，“???”讀作所以.

如果已知中給出圖形，給出了已知和求證，這時我們只要寫出“證明”這一步即可

知識點六幾何證明中常用的證明方法

證明類型證明方法

證明兩直線

利用平行線性質(zhì)判定定理和公理

平行

證法1：如果兩線段分別在兩個三角形中可證兩個三角形全等證法2：如果

證明兩線段

兩線段在一個三角形中，可證它們所對的角

相等

證法3：可以借助一條線段證明兩線段都等于第二條

證法1：利用平行線的性質(zhì)證兩角相等；證法2：如果兩角分別在兩個三角

證明兩角相形中，可證這兩個三角形全等；

等證法3：如果兩角在一個三角形中，可證它們所對的邊相等（等腰三角形的

性質(zhì)）

證明兩直線

證法1：利用垂直定義；證法2：利用等腰三角形“三線合一”

互相垂直

知識點七互逆命題、原命題、逆命題

概念

在兩個命題中，如果第一個命題的題設(shè)是第二個命題的結(jié)論，而第一個命題的結(jié)論又是第二

個命題的題設(shè)，那么這兩個命題叫做互逆命題

如果把其中一個命題叫做原命題，那么另一個命題叫做它的逆命題

原命題與逆命題是相對的，每個命題都有逆命題.

原命題是真命題，逆命題不一定是真命題；原命題是假命題，逆命題不一定是假命題

拓展：符號語言表示原命題：如果p,那么q；逆命題：如果q,那么p.

2.方法

寫原命題的逆命題時，首先要分清這個命題的題設(shè)和結(jié)論，最好先將原命題改寫成“如果…,

試卷第4頁，共14頁

那么...”的形式，“如果”引出的部分是題設(shè)，“那么”引出的部分是結(jié)論，再根據(jù)改寫后的命

題寫出原命題的逆命題.

知識點八互逆定理、逆定理

如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明也是定理，那么這兩個定理叫做互逆定理，其中一個叫做另

一個的逆定理

注意：

①互逆定理，其題設(shè)與結(jié)論互換，說明問題時，其推理的方向正好相反

②每一個命題都有逆命題，而每一個定理不一定都有逆定理.定理和逆定理都是真命題，

而命題和逆命題卻不一定都是真命題.

3提升專練

考點剖析

【考點1平行線的判定與性質(zhì)】

（2023春?浦東新區(qū)校級期末）

1.若兩條平行線被第三條直線所截，則下列說法錯誤的是（）

A.一對同位角的平分線互相平行

B.一對內(nèi)錯角的平分線互相平行

C.一對同旁內(nèi)角的平分線互相平行

D.一對同旁內(nèi)角的平分線互相垂直

（2023秋?浦東新區(qū)期中）

2.如圖1,點、C,。在直線4B上，NACE+NBDF=18?！?EF//AB.

⑴求證：CE//DF；

（2）NDEE的角平分線尸G交于點G,過點尸作四_L尸G交CE的延長線于點若

ZCMF=55°,求NCP少的度數(shù).

試卷第5頁，共14頁

【考點2三角形內(nèi)角和定理】

（2022秋?廬陽區(qū)校級月考）

3.如圖，BD,CE分別是4ABC的高線和角平分線，且相交于點O,若NBCA=70。，貝"BOE

的度數(shù)是（）

A.60°B.55°C.50°D.40°

（2022秋?長寧區(qū)校級期中）

4.已知△48C的三個內(nèi)角滿足=+則該三角形是（）

A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形

（2024秋?浦東新區(qū)期中）

5.如圖，已知△NBC中，NB=NC,D是邊BC上一點,DE1AB,垂足為點E,

DF1BC,垂足為點。，DF交邊AC于點、F,當(dāng)乙4=40。，則NDH4=度.

（2023秋?松江區(qū)期末）

6.如圖，在△NBC中，己知AD是248C的角平分線，點。是△4BC內(nèi)一點，且

AD1BD,ADAC=20°,ZC=38°,那么NBAD=°.

（2023秋?黃浦區(qū)期末）

7.如果一個直角三角形的一個內(nèi)角等于30。，其中一條較長的直角邊長為3,那么斜邊的長

試卷第6頁，共14頁

為.

【考點3三角形的外角性質(zhì)】

（2023秋?徐匯區(qū)月考）

8.BP和CP是aABC兩個外角的平分線，則28尸（？為（）

A.B.90+-ZAC.90--ZAD.N4

222

（2024春?西安校級期中）

9.如圖所示，。為△NBC的三條角平分線的交點，ZSOC=120°,則/C48=度.

（2023秋?松江區(qū)校級月考）

10.如圖，在△/2C中，ZABC=50°,三角形的兩個外角和4CF的平分線交于點

E,則乙42￡=度.

【考點4全等三角形的判定與性質(zhì)】

（2024秋?閔行區(qū)期中）

11.如圖，在△N2C中，AD工BC于點、D,8EL4C于點E,AD、8E交于點尸，且

那么下列結(jié)論中錯誤的是（）

A.ZAFE=ZACBB.ZCBE=ZCADC.FE=FDD.DC=FD

試卷第7頁，共14頁

（2022秋?奉賢區(qū)校級期中）

12.在銳角AABC中，AD1BC,BE1AC,垂足分別為D、E,AD與BE交于點F,BF=

AC那么4ABe等于（）

A.60°B.50°C.48°D.45°

（2023秋?閔行區(qū)期末）

13.如圖，在Rta/BC中，ZBCA=90°,8是高，BE平分NABC交CD于點E,過E作

EF〃4c交邊AB于點F,交邊8c于點G,連接CF,下列結(jié)論中，不一定成立的是

（）

A.ZEFD=ZBCDB.ZACF=ZDCFC.BF=BCD.AF=CF

（2023秋?黃浦區(qū)期末）

14.如圖，C、。兩點分別在射線上，點P在/NQ8的內(nèi)部，且

CP=DP,PM±OA,PN±OB,垂足分別為點M、N,且CM=DN,若DN=3,CO=7,則

。。的長為（）

A.10B.13C.15D.17

（2024秋?徐匯區(qū)校級期中）

15.如圖，是△4BC中BC邊上的中線，若48=5,AC=3,則AD的取值范圍為

16.如圖，A48C中，。是/C邊的中點，過。作直線交48于點E,交3c的延長線于點

試卷第8頁，共14頁

F,且/E=CF.若/8=19,BC=1,則

（2024秋?閔行區(qū)期中）

17.如圖，在四邊形/BCD中，連接NC、BD.已知NDBC=NDB4=ND4C,

ZBCA^90°,AC=6,AB=CB+2#,那么△4DC的面積是

*

B

（2023秋?浦東新區(qū)期末）

18.在A48C中，/。是8c邊上的中線,/DL/8,如果AC=5,AD=2,那么AB的長是.

【考點5等腰三角形的判定與性質(zhì)】

（2023秋?徐匯區(qū)校級月考）

19.如圖，A4BC中，48=7,/C=5,2c=10,0B平分UBC,。。平分41C5,經(jīng)過

點。，與/C相交于點M,N,宣MN!/BC,則A/MN的周長等于（）

A.17B.15C.12D.11

（2024秋?閔行區(qū)校級期中）

20.如圖，在△ABC中，平分ZA4C,8尸，/。于點尸，48=4,BP=3,AC=10,

ZC=18°,貝1|48C=

試卷第9頁，共14頁

（2023秋?金山區(qū)校級月考）

21.如圖，在448C中，NBAC=126°,4D，BC于D,^.AB+BD=DC,那么NC的度

數(shù)是.

A

D

【考點6命題與定理】

（2024秋?徐匯區(qū)校級期中）

22.下列說法中，正確的是（）

A.每個命題不一定都有逆命題

B.每個定理都有逆定理

C.真命題的逆命題仍是真命題

D.假命題的逆命題未必是假命題

（2024秋?閔行區(qū)校級期中）

23.下列命題中，真命題是（）

A,內(nèi)錯角相等B.方程爐=0沒有實數(shù)根

C.對頂角相等D.若選=a，貝1U>0

（2024秋?徐匯區(qū)校級期中）

24.下列命題中，真命題是（）

A.所有定理都有逆命題

B.三角形的一個外角等于兩個內(nèi)角的和

C.同位角相等

D.等邊三角形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形

（2024秋?閔行區(qū)校級期中）

25.下列命題中，真命題是（）

A.兩個等邊三角形全等

B.底邊及一個內(nèi)角相等的兩個等腰三角形全等

C.兩邊及其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形全等

D.兩邊及第三邊上的中線對應(yīng)相等的兩個三角形全等

（2024秋?浦東新區(qū)期中）

試卷第10頁，共14頁

26.下列命題中，其逆命題是真命題的是（）

A.對頂角相等B.全等三角形對應(yīng)角相等

C.兩個全等三角形的面積相等D.兩直線平行，內(nèi)錯角相等

（2024秋?普陀區(qū)期中）

27.下列命題中，是真命題的是（）

A.如果一元二次方程G2+6x+c=0（aw0）有兩個實數(shù)根，那么〃一4就＞0

B.如果那么^

C.兩腰及一腰上的高對應(yīng)相等的兩個等腰三角形全等

D.底邊及一個內(nèi)角相等的兩個等腰三角形全等

（2024秋?閔行區(qū)期中）

28.下列命題中，真命題的是（）

A.兩邊及第三邊上的中線對應(yīng)相等的兩個三角形全等

B.兩邊及第三邊上的高對應(yīng)相等的兩個三角形全等

C.兩邊及其中一邊上的高對應(yīng)相等的兩個三角形全等

D.兩邊及其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形全等

（2023秋?楊浦區(qū)期末）

29.已知下列命題中：

①有兩條邊分別相等的兩個直角三角形全等；

②有一條腰相等的兩個等腰直角三角形全等；

③有一條邊與一個銳角分別相等的兩個直角三角形全等；

④頂角與底邊分別對應(yīng)相等的兩個等腰三角形全等.

其中真命題的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

過關(guān)檢測

（2022秋?寶山區(qū)校級期中）

30.在&ABC中，AD平分NBAC,DE〃AC,若NB=55°,NC=75°,那么ZADE=

試卷第11頁，共14頁

A

（2023秋?徐匯區(qū)月考）

31.已知：如圖，在△4BC中，平分/A4C,點尸是的中點，EF/AC,交的

延長線于點E.求證：BE_LAD.

（2022秋?黃浦區(qū)校級月考）

32.我們將一副三角尺按如圖所示的位置擺放，則'

（2023秋?金山區(qū)期末）

33.如圖，在△ABC中，點廠是高40、BE的交點，且AF=/C,則248C=_度.

（2024秋?浦東新區(qū)期中）

34.已知如圖，AB=AC,AD=AE,ZBAE=ZCAD,BD與相較于點尸，求證:

FB=FC

試卷第12頁，共14頁

A

35.如圖，點A、E、F、C在同一直線上，ZEDF=ZFBE=90°,DE=BF,

AE=CF.求證：CO.（本題要寫依據(jù)）

36.如圖，已知在中，4D平分NBAC,BE//AD,交C4延長線交于點E,F是BE

的中點，求證：AF1.BE.

37.如圖，在三角形4BC中，。是/C邊上的一點，過點。作交//C2的平

分線于點交//C8的鄰補角的平分線于點尸，求證：OE=OF.

（2024秋?靜安區(qū)校級期中）

試卷第13頁，共14頁

38.下列命題中，真命題的個數(shù)是（）

（1）等角的補角相等；（2）兩邊及其中一邊的對角對應(yīng)相等的三角形是全等三角形；（3）

一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，則這兩個角相等；（4）兩條直線被第三條直線所

截，同旁內(nèi)角互補；（5）等腰三角形，兩腰上的高相等.

A.2B.3C.4D.5

（2023秋?虹口區(qū)校級期末）

39.下列命題的逆命題是真命題的是（）

A.若。>0,b>0,則。+6>0B.全等三角形的對應(yīng)角相等

C.對頂角相等D.若同=同，貝Ua=b

（2023秋?浦東新區(qū)校級期末）

40.下列三個命題：①對頂角相等；②全等三角形的對應(yīng)邊相等；③如果兩個實數(shù)是正數(shù),

它們的積是正數(shù).它們的逆命題成立的個數(shù)是（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

試卷第14頁，共14頁

1.c

【分析】結(jié)合角平分線的性質(zhì)，根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定進行分析.

【詳解】如圖所示：

若兩條平行線被第三條直線所截，一對同位角和內(nèi)錯角的平分線互相平行，一對同旁內(nèi)角的

平分線互相垂直，所以c錯誤.

故選C.

【點睛】本題考查了角平分線性質(zhì)，平行線的性質(zhì)與判定，平行線的判定與性質(zhì)的應(yīng)用貫穿

于整個初中學(xué)習(xí)，是平面圖形中極為重要的知識點，與各個知識點結(jié)合極為容易，是中考中

的熱點，在各種題型中均有出現(xiàn)，需多加關(guān)注.

2.（1）證明見解析

（2）/8/=110。.

【分析】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的定義.

（1）根據(jù)平角的性質(zhì)進行等量代換，得至IJNBDF=2BCE,利用同位角相等兩直線平行即

可證明；

（2）根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補得到NC=125。，進而得到ND尸G=35。，再根據(jù)

角平分線的定義，得至（尸E=24"G=70。，最后利用平行線的性質(zhì)，即可求出NCA尸的度

數(shù).

【詳解】（1）證明：???//CE+/8DF=180°,ZACE+ZBCE=180°,

ZBDF=/BCE,

CE//DF；

（2）M：-：CE//DF,

ZCMF+ZDFM=180°,

???ZCMF=55°,

ZDFM=125°,

FM1FG,

：.ZGFM=90°,

答案第1頁，共24頁

??.ZDFG=ZDFM-ZGFM=125°-90°=35°,

???FG是ZDFE的角平分線，

ZDFE=2ZDFG=70°,

?：EF〃AB,

/CDF+/DFE=180。,

.-.ZCZ)F=110°.

3.B

【分析】根據(jù)角平分線的定義和三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論.

【詳解】解：???BD1AC,

??ZBDC=9O。，

???CE平分NACB,ZACB=70°,

.?ZDCO=35。，

.-.ZBOE=ZCOD=90°-35°=55°,

故選：B.

【點睛】此題主要考查三角形角度求解，解題的關(guān)鍵是熟知角平分線的定義和三角形的內(nèi)角

和.

4.A

【分析】根據(jù)，即可求解.

【詳解】解：???N4=N5+NC,ZA+ZB+ZC=180°f

??/+44=180。，

解得：ZA=90°f

??.該三角形是直角三角形.

故選：A

【點睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握三角形的內(nèi)角和等于180。是解題的

關(guān)鍵.

5.160

【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、垂線的定義，由三角形內(nèi)角和定理得出

ZS=ZC=1(180°-Z^)=70o,由垂線的定義得出NCDF=90。，再由三角形內(nèi)角和定理得

出/CFD=20。，即可得解.

答案第2頁，共24頁

【詳解】解：???/5=/。，ZA=40°f

??./B=NC=1(180°-ZA)=70°,

,:DF1BC,

.?./CDF=90。,

??.ZCFD=180°-ZC-/CDF=20°,

ZDFA=1SO°-ZCFD=160°.

故答案為：160.

6.58

【分析】本題考查三角形外角性質(zhì)，等角的余角相等，解題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造等腰三角

形.

【詳解】解：延長/。交5C于點E,

???BD是/ABC的角平分線，

???ZABD=ZEBD,

???ADLBD,

/BAD=ABED=ADAC+/C=20。+38。=58。，

故答案為：58.

A

A.

/

/、、

B匕-----3~

7.273

【分析】根據(jù)較長的直角邊長為3,直角三角形的一個內(nèi)角等于30°,可設(shè)30°所對的邊長為

x,然后根據(jù)勾股定理可得斜邊的長

【詳解】???直角三角形的一個內(nèi)角等于30°,其中一條較長的直角邊長為3,

??.較長的直角邊對應(yīng)的角度是60°,

,設(shè)30°所對的邊長為x,則斜邊長為：2尤，

根據(jù)勾股定理得:3?+/=(2x)2,

解得：x=

答案第3頁，共24頁

???斜邊長為：2vL

故答案為：2月

【點睛】本題主要考查了勾股定理在解直角三角形中的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)

鍵

8.C

【分析】根據(jù)題意作出圖形，根據(jù)由三角形的內(nèi)角和定理以及三角形外角的性質(zhì)，求得NP

與NA的關(guān)系，從而計算出NP的度數(shù).

【詳解】解：如圖，???BP,CP是aABC的外角平分線,

???zPBC=yQA+NACB),zPCB=y(NA+NABC),

又?./PBC+NPCB+NP=180°,

.?.NP=180。—(ZPBC+ZPCB)

=180°-1(ZA+ZACB+ZA+ZABC)

=180°-1(180+z.A)

=90°-yZA,

故選C.

【點睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理.解決問題的關(guān)鍵是掌握:

三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.

9.60

【分析】此題主要考查角平分線性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，利用角平分線的定義和三角形內(nèi)

角和定理計算+的度數(shù)，從而得出答案，熟練進行角度的轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：：。為△NBC的三條角平分線的交點，

答案第4頁，共24頁

可得ZBOC=180。-；(N4BC+ZACB)=120°,

ZABC+ZACB=120°,

ZCAB=60°,

故答案為：60.

10.25

【分析】根據(jù)題意過點E作△/BC三邊的垂線段EG,EK,根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，

EG=EK,進而判定BE是N/2C的角平分線，根據(jù)角平分線的定義即可求得NN8E.

【詳解】解：如圖，過點E作△/呂。三邊的垂線段EG,E”,EK,

D

A/..

???三角形的兩個外角ZDAC和AACF的平分線交于點E

口區(qū)------ciT-F

EG=EH,EH=EK

EG=EK

在//2C的角平分線上，即BE是。的角平分線

:.ZABE=-ZABC=25°

2

故答案為：25

【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)與判定，證明BE是/N2C的角平分線是解題的關(guān)鍵.

11.C

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角

形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可判斷A,B選項，證明

△BDF咨ADC(ASA),可判斷C,D選項.

【詳解】解：???/〃，8C,BELAC,

；.NADC=NAEB=9。°,

ACAD+ZACB=90°,ZAFE+ACAD=90°,

；"AFE=NACB,故選項A正確；

???ZBEC=ZADC=90°,

NCBE+ZACB=ZCAD+ZACB=90°,

答案第5頁，共24頁

:.NCBE=/CAD,故選項B正確；

在△AD廠和△40。中，

ZCBE=ZDAC

<BD=AD,

/BDF=/ADC=90。

MBDF沿ADCgZ，

:.DF=DC,故選項D正確；

???ABDF出ADC,

「?△5。尸和不可能全等，

：.EF手DF,故選項C錯誤；

故選：C.

12.D

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，然后證明△BDFwaADC,再利用全等的性質(zhì)得出BD=AD,

從而得到4ADB為等腰直角三角形，即可得到結(jié)果.

【詳解】如圖，

.-.ZBDF=ZADC=ZBEC=9O°,

.-.zDBF+zC=zC+zCAD,

.*.ZDBF=ZDAC,

"BF=AC

^△BDF和4ADC中，＜/DBF=ADAC

ZBDF=ZADC

.*.ABDF=AADC(AAS),

??.BD=AD,

???AABD是等腰直角三角形,

??2ABC=45°.

答案第6頁，共24頁

故選D.

【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握判定方法和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

13.D

【分析】本題主要考查了角平分線的定義，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì),

等腰直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)性質(zhì)逐項判斷即可，熟練掌握以上知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【詳解】A>"EF//AC,ZBCA=90°,

:"CGE=NBCA=90°,

.-.ZBCD+ZCEG=9Q°,

又???CD是高，

：.NEFD+NFED=9Q°,

?:NCEG=ZFED,

ZEFD=ZBCD,故此選項正確；

B、由上可得：NEFD=NBCD,

又由C選項得：ABCE”ABFE,

BF=BC,

ZBFC=ZBCF,

:"BFC-ZEFD=NBCF-ZBCE,即/DCF=/CFG,

■：EF//AC,

：.NACF=ZCFG,

ZACF=ZDCF,故此選項正確；

C、由A證明得=

BE平分/ABC,

NEBC=NEBF,

在ABCE和△AFE1中，

ZEFD=ZBCD

<NEBF=ZEBC,

BE=BE

.-.^BCE^BFE(AAS),

：.BF=BC,故此選項正確；

D、由上可知：ZACF=ZDCF,若4F=CF,則有乙1CF=/DCF=,

答案第7頁，共24頁

則有乙4=30。，與題意不符，故此選項不一定成立；

故選：D.

14.B

【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，先證明RMPCM之RtAPDN(HL)得到

PM=PN,CM=DN=3,則(W=CO+CM=10,進一步證明RtZ\OPCgRt2XOPN(HL)

得到CW=(W=10,貝l]DO=ON+ON=13.

【詳解】解：PM1OA,PN1OB,

：.ZPMC=ZPND=9Q°,

■:CP=DP,CM=DN,

...RtAPCMgRtAPrw(HL),

：.PM=PN,CM=DN=3,

:.OM=CO+CM=10,

?：PM=PN,OP=OP,

RtAOPC^RtAOP^(HL),

：.ON=0M=10,

：.DO=ON+DN=U,

故選B.

15.\<AD<A

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用.熟練掌握全等三角

形的判定與性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

如圖，延長/。到E,使DE=AD,連接班，證明AbDE0ACa^SAS),則5E=/C=3,

^B-BE<2AD<AB+BE,可得5-3<2/Z)<5+3,計算求解即可.

【詳解】解：如圖，延長/。到E,使。￡=加，連接BE,

答案第8頁，共24頁

???DE=AD,ZBDE=ZCDA,BD=CD,

"DE知CD4（SAS）,

；,BE=AC=3,

???AB-BE<2AD<AB+BE,

5—3<24D<5+3,

??-1<AD<4,

故答案為：1<4D<4.

16.6

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全

等三角形是本題的關(guān)鍵.

如圖，過點A作/H||8尸交所的延長線于點八由“44S"可證"DHMACD?？傻?/p>

AH=CF=AE,可得NH=NAEH=NF=/FEB,可得BE=BF,即可求解.

【詳解】解：如圖，過點A作/8||8尸交巫的延長線于點“，

\,/H=ZF,且NO=DC,NADH=/CDF,

A\EB

7

H

,"DH*CDF（AAS）,

AH=CF,

'：AE=CF,

AH=AE,

AH=ZAEH,

ZAEH=ZF=/FEB,

/.BE=BF=BC+CF=1+CF,

答案第9頁，共24頁

:.AB=AE+BE=CF+1+CF=\<),

CF=6,

故答案為：6.

17.3>/5

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形外角的定義和性質(zhì)等知識，正確

作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵.設(shè)/C、BD交于點、0,延長8C、血)交于點尸，過

點C作產(chǎn)于點E,過點。作于點首先證明AOBC0AOBM,由全等三

角形的性質(zhì)可得0c=OM,BC=BM,進而可知/M=2逐；再證明△尸Z歷段A4D2,易得

FD=AD,BF=AB,進而推導(dǎo)尸C=NM=2括，結(jié)合△CD廠和ACD4等底等高，利用

求解即可.

【詳解】解：如圖，設(shè)BD交于點、0,延長8C、3交于點尸，過點C作C￡_L/尸于點

E,過點。作于點

VZDBC=ZDBA,ZBCA=90°,OMLAB,

???在△03。和中，

ZOCB=ZOMB=90°

<ZOBC=ZOBM,

OB=OB

???△05C之△OBM(AAS),

OC=OM,BC=BM,

???AB=BM+AM=CB+245,

答案第10頁，共24頁

???AM=2下,

-ZCOD=ZDBC+/ACB=ZDAC+/ADB,

又?：/DBC=/DAC,

AACB=/ADB=90°,

??.ZBDF=180°-/ADB=90°,

在AFDB和小ADB中,

/DBC=ZFBA

<BD=BD,

/BDF=/BDA=90。

.?.△FZ蘇名△4D5(ASA),

；.FD=AD,BF=AB,

AB=BM+AM,BF=BC+FC,且BC=BM,

???FC=AM=275,

在△CD廠和ACD4中，F(xiàn)D=AD,CE1AF,

即ACDF和ACDA等底等高，

?■S.ADC=S.CDF=^S.ACF=JxjCF.NC=gx/xx6=3一.

故答案為：3A/5.

18.3

【分析】過點C作CEII/8交ND延長線于￡,先證A4BO三△ECD(AAS),求出

222

AE=2AD=4,在RtA4EC中，CE=J74c-汨=75-4=3即可.

【詳解】解：過點C作CEII48交4D延長線于E,

以。是BC邊上的中線，

.■.BD=CD,

■.■AD1AB,CEWAB,

：.ADLCE,UBD=^ECD,

.s=90°,

在A4BD和△ECD中

答案第11頁，共24頁

ZADB=/EDC

<AABD=/ECD,

BD=CD

???△ABD三AECD(AAS),

，AB=EC,AD=ED=2,

??/E=24D=4,

在RtA4EC中，CE=Jm-坦=752-42=3,

：.AB=CE=3.

故答案為：3.

【點睛】本題考查中線性質(zhì)，平行線性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，勾股定理，掌握中線性

質(zhì)，平行線性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，勾股定理，關(guān)鍵是利用輔助線構(gòu)造三角形全等.

19.C

【分析】根據(jù)平分乙45C,CO平濟44CB,且"NI山C,可得出NO=NC,所

以三角形4AW的周長是AB+AC.

【詳解】解：M。平分乙45C,CO平分UCB,

；?乙MBO=(OBC,Z.OCN=Z-OCB,

???MNRBC,

??.￡MOB=LOBC,2LNOC=Z-OCB,

：/MBO=UAOB,乙NOC=(NCO,

:.MO=MB,NO=NC,

-AB=7,AC=5f

?,&MN的周長=4AFHW+4N=45+4C=7+5=12.

故答案為：C.

【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)等腰三角形的

判定和性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)得出三角形/W的周長是/B+/C

20.54

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性

答案第12頁，共24頁

質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.延長5尸交/C于點E,

根據(jù)角平分線的定義可得=再根據(jù)垂直定義可得//尸5=N4PE=90。，從而

利用ASA證明①名然后利用全等三角形的性質(zhì)可得445￡=44防,

BP=PE=3,AB=AE=4,從而可得5￡=￡C=6,進而可得NE5C=NC=18。，最后利用三

角形的外角性質(zhì)可得44匹=445￡=36。，從而利用角的和差關(guān)系進行計算即可解答.

【詳解】解：如圖，延長5P交4C于點E,

/./BAD=ZDAE,

???BPAD,

ZAPB=ZAPE=90°,

???AP=AP,

:AABP-AEP(ASA),

ZABE=ZAEB,BP=PE=3,AB=AE=4,

-AC=10,

.\EC=AC-AE=10-4=6f

?:BE=BP+EP=6,

BE=EC,

ZEBC=ZC=1S°,

?；/AEB是AEBC的一個外角,

AAEB=ZEBC+ZC=36°,

ZAEB=/ABE=36°,

/ABC=/ABE+ZEBC=54°,

故答案為：54.

21.18°

【分析】由AB+BD=DC,可以得到輔助線：在DC上截取DE=BD,連接AE；根據(jù)SAS證

答案第13頁，共24頁

WAADB=AADE,再利用全等三角形的對應(yīng)邊，對應(yīng)角相等，可得至！UB=NAED,AE=AB；

又由等量代換，證得AAEC是等腰三角形，利用等邊對等角，即可求得與NC的關(guān)系，

由三角形的內(nèi)角和是180。，即可求得結(jié)果.

【詳解】解：在DC上截取DE=BD,連接AE,

???AD1BC,

/.ZADB=ZADE=9O°,

,?,AD=AD,

.-.△ADB=AADE,

NB=Z_AED,AE=AB,

???AB+BD=DC,DE+EC=DC,

??.AE=AB=EC,

.-.zAEB=2zEAC=2zC,

?,.zB=2z.C,

vzBAC=126°,zB+zC+zBAC=180°,

.-.3ZC=54°,

/.ZC=18°.

故答案為：18。.

【點睛】：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì).解此題的關(guān)鍵是

找到輔助線的作法，解題時應(yīng)注意積累經(jīng)驗.

22.D

【分析】本題考查的是命題與定理的區(qū)別，（1）判斷正確的命題叫定理；（2）任何一個命題

都有逆命題，但不一定是真命題；不是任何一個定理都有逆定理.

根據(jù)逆命題的概念、真假命題的概念判斷即可.

【詳解】解：A、每個命題都有逆命題，故本選項說法錯誤，不符合題意；

B、每個定理都有逆命題，不一定有逆定理，故本選項說法錯誤，不符合題意；

C、真命題的逆命題不一定是真命題，故本選項說法錯誤，不符合題意；

答案第14頁，共24頁

D、假命題的逆命題不一定是假命題，本選項說法正確，符合題意;

故選：D.

23.C

【分析】本題考查了真命題，平行線的性質(zhì)，利用平方根解方程，對頂角相等，二次根式的

性質(zhì).熟練掌握真命題，平行線的性質(zhì)，利用平方根解方程，對頂角相等，二次根式的性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

利用平行線的性質(zhì)，利用平方根解方程，對頂角相等，二次根式的性質(zhì)對各選項進行判斷作

答即可.

【詳解】解：A.由題意知，兩直線平行，內(nèi)錯角相等，A不是真命題，故不符合要求；

B.方程/=0有實數(shù)根，B不是真命題，故不符合要求；

C.對頂角相等，C是真命題，故符合要求；

D.若貝UaNO,D不是真命題，故不符合要求；

故選：C.

24.A

【分析】本題考查命題與定理，同位角，等邊三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，軸對稱圖

形，中心對稱圖形，關(guān)鍵是掌握任何命題都有逆命題，同位角的定義，三角形的外角性質(zhì),

軸對稱圖形，中心對稱圖形的定義.由命題逆命題的概念，同位角的定義，三角形外角的性

質(zhì)，軸對稱圖形，中心對稱圖形的定義，即可判斷.

【詳解】解：A、定理也是命題，有逆命題，正確，故A符合題意；

B、三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，故B不符合題意；

C、兩直線平行，同位角相等，故C不符合題意；

D、等邊三角形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故D不符合題意.

故選：A.

25.D

【分析】根據(jù)各個選項中的說法，可以判斷是否正確，本題得以解決.本題考查命題和定理、

全等三角形的判定、等腰三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，可以判斷出各個命題

的真假.

【詳解】解：A、兩個等邊三角形不一定全等，如兩個等邊三角形的邊不相等，則這兩個兩

個等邊三角形不全等，故選項A錯誤，不符合題意；

答案第15頁，共24頁

B、底邊及一個內(nèi)角相等的兩個等腰三角形不一定全等，如一個等腰三角形的底角與另一個

等腰三角形的頂角相等，都是50。，則這兩個三角形不全等，故選項B錯誤，不符合題意；

C、兩邊及其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等，故選項C不符合題意；

D、兩邊及第三邊上的中線對應(yīng)相等的兩個三角形全等，故選項D正確，符合題意；

故選：D.

26.D

【分析】本題考查命題與定理，熟練掌握命題與逆命題的概念和相關(guān)定理是解題的關(guān)鍵.

交換原命題的題設(shè)和結(jié)論部分得到四個命題的逆命題，然后根據(jù)對頂角的定義、平行線的判

定、全等三角形的判定進行判定即可.

【詳解】解：A、對頂角相等的逆命題是相等的角是對頂角，逆命題是假命題，不符合題意；

B、全等三角形對應(yīng)角相等的逆命題是對應(yīng)角相等的三角形是全等三角形，逆命題是假命題，

不符合題意；

C、兩個全等三角形的面積相等的逆命題是面積相等的三角形是全等三角形，逆命題是假命

題，不符合題意；

D、兩直線平行，內(nèi)錯角相等的逆命題是內(nèi)錯角相等，兩直線平行，逆命題是真命題，符合

題意；

故選：D.

27.B

【分析】本題主要考查了命題真假的判定，根據(jù)根的判別式，等腰三角形的性質(zhì)，算術(shù)平方

根定義，三角形全等的判定方法，逐項進行判斷即可.

【詳解】解：A.如果一元二次方程辦2+8+。=0伍/0）有兩個實數(shù)根，那么/一4的20,

原命題不是真命題，故A不符合題意；

B.如果力=尸，那么77=病，此命題為真命題，故B符合題意；

C.如圖△/2C和AEFG都是等腰三角形，且AB=EF=4C=GE,且腰上的高CD=G〃，

從圖形中顯然可看出這兩個三角形不全等，原命題是假命題，故C不符合題意；

D.如圖，LABCJDEF<^BC=EF,//=/￡,但△4BC與不全等，因此原

答案第16頁，共24頁

命題是假命題，不符合題意.

故選：B.

28.A

【分析】本題考查的真命題和假命題判斷，掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.利用

全等三角形的判定方法，將各選項逐一證明判定即可.

【詳解】解：A、如圖，AB=AB-AC=AC',40、是中線，且40=/力’則

ABCA'B'C.理由：

，ABDE訃CDA,

BE=AC,

同理可證=

BE=B'E',

在442。和中，

AB=AB,BE=B'E',AE=A'E',

"BE出AA'B'E',

■■NBAD=ZB'A'D',

同理可證

答案第17頁，共24頁

ACAD=ZC'A'D',

ABAC=ABAC',

又AB=<B'，AC=AC',

：.ABC^A'B'C,是真命題；故該選項符合題意;

B、兩邊和第三邊上的高對應(yīng)相等，不能判斷兩個三角形全等，理由如圖:

△48C和的邊=AC=AD,第三邊上的高都是

AH,兩個三角形不全等，是假命題，故該選項不符合題意；

C、兩邊及其中一邊上的高對應(yīng)相等的兩個三角形全等，是假命題，故不符合題意；

反例：如下圖，在。和ZUBC中，47=4；比=BC高AH=AH,zUB'C和

不一定全等；

D、兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形也可以全等，如在直角三角形中運用HL,

即可證明兩個三角形全等，是假命題，故該選項不符合題意；

故選：A.

29.B

【分析】根據(jù)全等三角形的判定、等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)逐個排查即可.

【詳解】解：①由于S&4不能判定三角形全等，則有兩條邊分別相等的兩個直角三角形不

一定全等，故原命題是假命題；

②由于滿足NS/,則有一條腰相等的兩個等腰直角三角形全等，故原命題是真命題；

③有一條邊與一個銳角分別對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等，故原命題是假命題；

④由于兩等腰三角形頂角相等，則他們的底角對應(yīng)相等，再結(jié)合底相等，滿足故原命

題是真命題.

答案第18頁，共24頁

其中真命題的個數(shù)是2個.

故選：B.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定、等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)等知識點，靈

活應(yīng)用相關(guān)知識成為解答本題的關(guān)鍵.

30.25

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和的性質(zhì)求得/A4c的度數(shù)，再根據(jù)角平分線和平行線的性質(zhì)，

求解即可.

【詳解】解：由三角形內(nèi)角和的性質(zhì)可得：ABAC=1SO°-ZB-ZC=50°

又,.?/￡>平分NA4c

...ZBAD=ZCAD=-ABAC=25°

2

又?;DE〃AC

："ADE=ZCAD=25°

故答案為：25.

【點睛】此題考查了三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基

礎(chǔ)知識.

31.證明見解析

【分析】本題考查平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義.先證明

ZAEF=/E4E得到AF=EF,再證明8尸=跖，得至*/FBE=/FEB,結(jié)合三角形內(nèi)角和定

理即可證明.

【詳解】證明：?:EF〃AC*

ZCAE=ZAEF,

?；4D平分NBAC,

."CAE=ZFAE,

???ZAEF=ZFAE,

■■■AF=EF,

丁點尸是48的中點,

???AF=BF,

：.BF=EF,

■■NFBE=NFEB,

答案第19頁，共24頁

VZEAF+/FBE+ZBEA=180。，

???/EAF+ZFBE+ZBEF+ZAEF=180°,

???ZBEF+ZAEF=90°=ZAEB,