解答壓軸函數(shù)綜合題

一、解答題

1.（2024?廣東深圳?統(tǒng)考中考真題）為了測(cè)量拋物線的開口大小，某數(shù)學(xué)興趣小組將兩把含有刻度的直尺

垂直放置，并分別以水平放置的直尺和豎直放置的直尺為x,y軸建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，該數(shù)學(xué)小

組選擇不同位置測(cè)量數(shù)據(jù)如下表所示，設(shè)￡口的讀數(shù)為x,00讀數(shù)為y,拋物線的頂點(diǎn)為C.

①②③④⑤⑥

X023456

y012.2546.259

（II）描點(diǎn)：請(qǐng)將表格中的??描在圖2中；

（III）連線：請(qǐng)用平滑的曲線在圖2將上述點(diǎn)連接，并求出y與尤的關(guān)系式；

（2）如圖3所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線=S的頂點(diǎn)為C,該數(shù)學(xué)興趣小組用水平

和豎直直尺測(cè)量其水平跨度為45,豎直跨度為CO,且=CD~U,為了求出該拋物線的開口大

小，該數(shù)學(xué)興趣小組有如下兩種方案，請(qǐng)選擇其中一種方案，并完善過程：

方案一：將二次函數(shù)=方「十無平移，使得頂點(diǎn)C與原點(diǎn)。重合，此時(shí)拋物線解析式為卜=a、’.

①此時(shí)點(diǎn)B'的坐標(biāo)為；

②將點(diǎn)3‘坐標(biāo)代入】?二a「中，解得“=；（用含，”，〃的式子表示）

方案二：設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為

①此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)為；

②將點(diǎn)8坐標(biāo)代入1rf）'+上中解得.=;（用含如w的式子表示）

（3）【應(yīng)用】如圖4,已知平面直角坐標(biāo)系「6'中有A,B兩點(diǎn),AB=4,且-必丁軸，二次函數(shù)

，3.3

。1』=1口+入）+上和+5都經(jīng)過A,2兩點(diǎn)，且C和g的頂點(diǎn)尸，0距線段43的

距離之和為10,若45】軸且從8-4,求4的值.

12

y=7x

【答案】（1）圖見解析，4；

（I?力-T*

（2）方案一：①A②用’；方案二：①I-4②加"；

L.1

（3）a的值為2或J.

【解析】

【分析】（1）描點(diǎn)，連線，再利用待定系數(shù)法求解即可；

（2）根據(jù)圖形寫出點(diǎn)8'或點(diǎn)2的坐標(biāo)，再代入求解即可；

（3）先求得即-A+2S+力），c斷點(diǎn)坐標(biāo)為P-力」），再求得C頂點(diǎn)距線段.46

的距離為卜+“廣七|二,得到'的頂點(diǎn)距線段46的距離為10-5:2,得到Q的頂點(diǎn)坐標(biāo)為

Q（-M10+上）或。（-兒6+上），再分類求解即可.

【小問1詳解】

解：描點(diǎn)，連線，函數(shù)圖象如圖所示，

設(shè)拋物線的解析式為丁=a—+b工+c,

c=0

4a+?+c=1

由題意得16a4-46+c=4

1

a=-

4

<6=0

c=0

解得-

與X的關(guān)系式為41；

【小問2詳解】

解:方案一：①?.，超=桁,CD-n,

D'B,=-m

,?一，

fl-m.n\

此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為1-

仕風(fēng)力

故答案勺：V-A

1-ma=n

②由題意得<2),

_An

解得mJ,

An

故答案為：m7；

方案二：①：c點(diǎn)坐標(biāo)為(力AB=m,CD^n,

DB=

??.2,

(1,>

hL+--m,k+n

此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)為'

%上+力）

|A+—

故答案勺：1

上+力=《i（方+；a—方）+k

②由題意得

_4〃

解得。一,

An

故答案為：加’；

【小問3詳解】

解：根據(jù)題意°和0'的對(duì)稱軸為'=一〃,

則a—.S+h,3i+C的頂點(diǎn)坐標(biāo)為尸i」），

G頂點(diǎn)距線段.45的距離為伊+*）-*1=8,

，的頂點(diǎn)距線段.43的距離為10-S=2,

.?.。1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為。（-41°+上）或。（-兒6+上）,

當(dāng)°）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為Of0+“）時(shí)，J'LaC+A1+10+上，

將‘4（一力一'S+*'代入得4a+10+七=8+七，解得"-2；

當(dāng)G的頂點(diǎn)坐標(biāo)為Q.M+*）時(shí)，乃"（"％）'+6”,

_2

將4（?'?38+”）代入得4a+6+t=8+t,解得02；

1-1

綜上，a的值為3■或2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，拋物線的平移等，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)

鍵.

2.（2023.廣東深圳.統(tǒng)考中考真題）蔬菜大棚是一種具有出色的保溫性能的框架覆膜結(jié)構(gòu)，它出現(xiàn)使得人

們可以吃到反季節(jié)蔬菜.一般蔬菜大棚使用竹結(jié)構(gòu)或者鋼結(jié)構(gòu)的骨架，上面覆上一層或多層保溫塑料膜，

這樣就形成了一個(gè)溫室空間.如圖，某個(gè)溫室大棚的橫截面可以看作矩形聲（;二和拋物線，超。構(gòu)成，其

中,45=3m,BC=4m,取30中點(diǎn)o,過點(diǎn)o作線段30的垂直平分線交拋物線怒口于點(diǎn)區(qū)

若以。點(diǎn)為原點(diǎn)，8（?所在直線為％軸，°E為y軸建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系.

請(qǐng)回答下列問題：

（1）如圖，拋物線碗。的頂點(diǎn)求拋物線的解析式；

（2）如圖，為了保證蔬菜大棚的通風(fēng)性，該大棚要安裝兩個(gè)正方形孔的排氣裝置LRGT,以曲，若

FZ=A?=0.75m,求兩個(gè)正方形裝置的間距GM的長;

（3）如圖，在某一時(shí)刻，太陽光線透過A點(diǎn)恰好照射到C點(diǎn)，此時(shí)大棚截面的陰影為雙，求身：的長.

【答案】（1）

（2）05m

97

—m

（3）12

【解析】

【分析】（1）根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)函數(shù)解析式為】?二[''+4,求出A點(diǎn)坐標(biāo)，待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式

即可；

（2）求出-‘5時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的值，得至U斤N的長，再減去兩個(gè)正方形的邊長即可得解；

3

（3）求出直線工。的解析式，進(jìn)而設(shè)出過點(diǎn)攵的光線解析式為4，利用光線與拋物線相切,

求出";的值，進(jìn)而求出K點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出8,1的長.

【小問1詳解】

解：?.?拋物線花。的頂點(diǎn)氐（"?,

設(shè)拋物線的解析式為】?=c-+4,

?.?四邊形.此。為矩形，OR為B「的中垂線，

,必=BC-4iu,03-Jm,

,?.45-3m,

.?.點(diǎn)AU),代入.】?二—+4,得：

3=加+4,

1

一=一彳

1，,

y=--x+4

拋物線的解析式為.4；

【小問2詳解】

?.?四邊形IFGT,四邊形均為正方形，F(xiàn)Z=A^?=0.75m,

:.MG=FN=FL=NR=075m,

延長LF交BC于點(diǎn)月，延長凡M交BC于點(diǎn)J,則四邊形尸凡ZM,四邊形48尸月均為矩形,

：.FH=AB=3m,FN=HJ

,.HL=HF+FL=375m,

,解得：1=±1,

.?H(-LO)，〃L0)，

?.FN=HJ=M,

-.GM=FN-FG-^=G5m.

【小問3詳解】

.4SC=4m,Off垂直平分BC,

?.08=。。=%,

.5(-2,0I,C|2,0I

設(shè)直線4C的解析式為r=Q+°,

戶+6=0

則：l-"+b=3,解得:

?.?太陽光為平行光，

3

“■一r=-r

設(shè)過點(diǎn)K平行于/r的光線的解析式為“4,

r---r

由題意，得：.4與拋物線相切，

1。

y---x+4

<

5

y=—i+m

聯(lián)立I4,整理得：I-3x4-4m-16=0,

3_73

則：A=（T-4（4吁16）=0解得：一密;

37373

4-16,當(dāng)J=0時(shí)，12,

.喉。）

?，

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用.讀懂題意，正確的求出二次函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合的思想,

進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵.

3.（2022.廣東深圳.統(tǒng)考中考真題）一個(gè)玻璃球體近似半圓。，凡9為直徑，半圓。上點(diǎn)C處有個(gè)吊燈

EF,EF“AB,COLdB,EF的中點(diǎn)為D,Q4=4

圖①圖②

(1)如圖①，C”為一條拉線，〃在。3上，''：必=〔求。二'：長度.

(2)如圖②，一個(gè)玻璃鏡與圓。相切，，為切點(diǎn)，”為?！錾弦稽c(diǎn)，為入射光線，為反射光

8HM=XOHN=A50.tm4C0H=二.八.

線，4求8'的長度.

(3)如圖③，M是線段8上的動(dòng)點(diǎn)，A仍'為入射光線，口加="°印『為反射光線交圓。于點(diǎn)

在M從。運(yùn)動(dòng)到E的過程中，求"點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長.

八“-0

ON=—

【答案】(1)2(2)

,】6

4+月

(3)9

【解析】

【分析】(1)由D尸=08Q“=16D9〃0B,可得出。尸為￡0。”的中位線，可得出。為CO中

點(diǎn)，即可得出「口的長度；

tanZCOZ/=-

(2)過N點(diǎn)作ND'OH,交0E于點(diǎn)、D,可得出一八月。為等腰直角三角形，根據(jù)4,可

八~ND3

tanZ^NOD==一

得出CD4,設(shè)ND=3x=DH,則0D=4x,根據(jù)。D+DH=0H,即可求得

7,再根據(jù)勾股定理即可得出答案;

(3)依題意得出點(diǎn)N路徑長為：08+Sr,推導(dǎo)得出-6C?=￡0°,即可計(jì)算給出即可得出答

案.

【小問1詳解】

?.?DF=OSCM=1￡DFCB

二。射為LCOM的中位線

二。為。。的中點(diǎn)

\'C0=AO=4

■CD~2

【小問2詳解】

過N點(diǎn)作即交。占于點(diǎn)D,

?…HN=W,

.?.一M/D為等腰直角三角形，即ND=ZW,

2

tanZ.COH=—

又?:4,

tanZ2J0D=—

4,

tanZJVi2Z)=—=-

ODA,

/.ND:OD=3:4,

設(shè)ND=3x=DH,則0D=4x,

-.-OD+DH^OH,

：.3T+4x=4,

_4

解得「，

ND導(dǎo)嚴(yán)吟,

*病詢=鴆+閨=衛(wèi)

.?.在RAJVQD中，{7J7;

【小問3詳解】

如圖，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)。重合時(shí)，點(diǎn)N也與點(diǎn)O重合.當(dāng)點(diǎn)〃運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)T,故點(diǎn)N路

徑長為：OB+嚏.

HH

?...=.M子LTHC=.MHC.

：.￡OHA^AOAH=65°.

???一TH。=2一TOH=50。

."”=80。，

CA80016

j=1"x4x------=-K

:.r360°9,

,,16

i/-=4+—n

??.N點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長為：OB+*9,

,16

4+—x

故答案為：9.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，弧長公式、勾股定理、中位線，利用銳角三角函數(shù)值解三角函數(shù)，掌握以

上知識(shí)，并能靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

4.(2024?廣東深圳?鹽田區(qū)一模)【項(xiàng)目式學(xué)習(xí)】

項(xiàng)目主題：車輪的形狀

項(xiàng)目背景：在學(xué)習(xí)完圓的相關(guān)知識(shí)后，九年級(jí)某班同學(xué)通過小組合作方式開展項(xiàng)目式學(xué)習(xí)，深入探究車輪

制作成圓形的相關(guān)原理.

【合作探究】

(1)探究A組：車輪做成圓形的優(yōu)點(diǎn)是：車輪滾動(dòng)過程中軸心到地面的距離始終保持不變.另外圓形車

輪在滾動(dòng)過程中，最高點(diǎn)到地面的距離也是不變的.如圖1,圓形車輪半徑為4cm,其車輪最高點(diǎn)到地面

的距離始終為cm；

(2)探究B組：正方形車輪在滾動(dòng)過程中軸心到地面的距離不斷變化.如圖2,正方形車輪的軸心為°,

若正方形的邊長為6cm,車輪軸心。距離地面的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的高度差為cm；

(3)探究。組：如圖3,有一個(gè)正三角形車輪，邊長為6cm,車輪軸心為°(三邊垂直平分線的交

點(diǎn))，車輪在地面上無滑動(dòng)地滾動(dòng)一周，求點(diǎn)。經(jīng)過的路徑長.

探究發(fā)現(xiàn)：車輛的平穩(wěn)關(guān)鍵看車輪軸心是否穩(wěn)定，即車輪的軸心是否在一條水平線上運(yùn)動(dòng).

【拓展延伸】

如圖4,分別以正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A,B,。為圓心，以正三角形的邊長為半徑作63°圓弧，這樣形成

的曲線圖形叫做“萊洛三角形”.“萊洛三角形”在滾動(dòng)時(shí)始終位于一組平行線之間，因此放在其上的物

體也能夠保持平衡，但其車軸中心。并不穩(wěn)定.

(4)探究D組：使“萊洛三角形”以圖4為初始位置沿水平方向向右滾動(dòng).在滾動(dòng)過程中，其“最高

點(diǎn)”

和“車輪軸心，?！本诓粩嘁苿?dòng)位置，那么在“萊洛三角形”滾動(dòng)一周的過程中，其“最高點(diǎn)”和“車輪

軸心°”所形成的圖形按上、下放置，應(yīng)大致為.

Anrn

【答案】8；-3；4&；A

【解析】

【分析】本題主要考查圓的綜合應(yīng)用，主要考查了弧長公式，正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，理解題

意并畫出圖形是解題的關(guān)鍵.

(1)利用正方形的性質(zhì)解答即可；

(2)畫出圖形，找到最高點(diǎn)和最低點(diǎn)即可得到答案；

(3)分別求出三部分一定的距離，然后相加即可；

(4)由題意知：最高點(diǎn)與水平面距離不變，即可得到結(jié)論.

【詳解】解：(1)；圓形車輪與地面始終相切，

車輪軸心。到地面的距離始終等于圓的直徑，

?.?圓形車輪半徑為4cm,

故車輪最高點(diǎn)到地面的距離始終為Smi,

故答案為：8；

(2)如圖所示，‘二人’為正方形車輪的軸心「移動(dòng)的部分軌跡，

點(diǎn)D為車輪軸心。的最高點(diǎn)，點(diǎn)0為車輪軸心。的最低點(diǎn)，

由題意得車輪軸心。距離地面的最低高度為,肛'=G4=?井門口

車輪軸心二距離地面的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的高度差為'：應(yīng)-5cm,

故答案為：(3盧-笏；

■▲

(3)點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)軌跡為圓，以點(diǎn)0為圓心，3為半徑，

運(yùn)動(dòng)距離為二萬‘:仆二」

故答案為：4岳；

(4)由題意知，當(dāng)“萊洛三角形”在滾動(dòng)時(shí)始終位于一組平行線之間，因此放在其上的物體也能夠保持

平衡，

故“最高點(diǎn)”和“最低點(diǎn)所形成的圖案大致是“A,

故答案為：A.

5.(2024?廣東深圳?福田區(qū)三模)背景：雙目視覺測(cè)距是一種通過測(cè)量出左、右兩個(gè)相機(jī)視野中，同一物

體的成像差異，來計(jì)算距離的方法.它在“A/”領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.

材料一：基本介紹

如圖1,是雙目視覺測(cè)距的平面圖.兩個(gè)相機(jī)的投影中心4,G的連線叫做基線，距離為?；€與左、

右投影面均平行，到投影面的距離為相機(jī)焦距了,兩投影面的長均為/。，/,1是同型號(hào)雙目相機(jī)中，內(nèi)置

的不變參數(shù))，兩投影中心0；分別在左、右投影面的中心垂直線上.根據(jù)光的直線傳播原理，可以

確定目標(biāo)點(diǎn)p在左、右相機(jī)的成像點(diǎn)，分別用點(diǎn)2，彳表示.w分別是左、右成像點(diǎn)到各投影面左

端的距離.

長度為，長度為，

圖1圖2

材料二：重要定義

①視差——點(diǎn)尸在左、右相機(jī)的視差定義為”=口1一內(nèi)1.

②盲區(qū)——相機(jī)固定位置后，在基線上方的某平面區(qū)域中，當(dāng)目標(biāo)點(diǎn)P位于該區(qū)域時(shí)，若在左、右投影面

上均不能形成成像點(diǎn)，則該區(qū)域稱為盲區(qū)（如圖2,陰影區(qū)域是盲區(qū)之一）.

③感應(yīng)區(qū)——承上，若在左、右投影面均可形成成像點(diǎn)，則該區(qū)域稱為感應(yīng)區(qū).

材料三：公式推導(dǎo)片段

以下是小明學(xué)習(xí)筆記的一部分：

如圖3,顯然，一-P。冉，一?？词皇?。冉，可得二Q.HOrH,

/二即+FR

所以，:GH+GH（依據(jù)）…

圖3圖4

任務(wù)：

（1）請(qǐng)?jiān)趫D2中（A,B,C,。是兩投影面端點(diǎn)），畫出感應(yīng)區(qū)邊界，并用陰影標(biāo)示出感應(yīng)區(qū).

（2）填空：材料三中的依據(jù)是指；已知某雙目相機(jī)的基線長為200mm,焦距/'為4mm,則位于感

應(yīng)區(qū)的目標(biāo)點(diǎn)P到基線的距離z（mm）與視差d（mm）之間的函數(shù)關(guān)系式為.

（3）如圖4,小明用（2）中那款雙目相機(jī)（投影面CD長為10mm）正對(duì)天空連續(xù)拍攝時(shí)，一物體M正

好從相機(jī)觀測(cè)平面的上方從左往右飛過，已知M的飛行軌跡是拋物線的一部分，且知，當(dāng)M剛好進(jìn)入感

應(yīng)區(qū)時(shí)，4=005mm,當(dāng)M剛好經(jīng)過點(diǎn)。.的正上方時(shí)，視差d=00」mm,在整個(gè)成像過程中，d呈

1

現(xiàn)出大一小一大的變化規(guī)律，當(dāng)d恰好減小到上述4的3時(shí)，開始變大.

①小明以水平基線為X軸，右投影面的中心垂直線為y軸，建立了如圖4所示的平面直角坐標(biāo)系，則該拋

物線的表達(dá)式為(友情提示：注意橫、縱軸上的單位：Im=1000mm)；

②求物體M剛好落入“盲區(qū)”時(shí)，距離基線的高度.

_800

【答案】(1)見解析(2)等比性質(zhì)；

134s

V-------X+—x+40

(3)①'50

【解析】

【分析】本題考查函數(shù)的實(shí)際問題，讀懂題意找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

(1)利用盲區(qū)的定義作圖即可；

(2)根據(jù)待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式；

(3)①先根據(jù)題意確定拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；

②由盲區(qū)的定義可知當(dāng)M在直線°。的右側(cè)時(shí)，進(jìn)入盲區(qū)，利用方程組解題即可.

【小問工詳解】

如圖3所示：

【小問2詳解】

材料三中的依據(jù)是指等比性質(zhì)；

*■

二二--

設(shè)“d,由雙目相機(jī)的基線長為200mm,焦距/為4mm,可得:

200x4=800,

800

【小問3詳解】

①解：如圖4,A/剛好進(jìn)入感應(yīng)區(qū)時(shí)，4=°.05..2=0,此時(shí)”=-「劣=°.05.

z=-^^-=16000(mm)=16(m).

此時(shí)，005

因CD=10mm,了=4mm,

4

可得，OP所在直線解析式為：‘一

令3=16,得x=-20,即尸(-2°，16)

=40000(mm)=40lmI.

當(dāng)“經(jīng)過點(diǎn)。，的正上方時(shí)，視差d=002,此時(shí),002

即，拋物線與J軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為(°4°),

1

當(dāng)b減小到上述W的3時(shí)，二=3.16=之后“開始變大，：開始變小,

即，拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為黃.

設(shè)拋物線解析式為-v=a^+bx+cm*0)

將(-20,16).(0,40)等代入得，

圖4

=.4也=——12

解得，55,

因?yàn)?a<0,對(duì)稱軸在J.軸右側(cè)，

所以，八0.

故5,

=__1_

此時(shí)50,

1,4皿

v=---x+-x+40

所以，拋物線解析式為.505,

=4

②由C7?=：0mm,J=可得直線0口的解析式為.5,

||4

F

14..

v-----x23+—x+40

得「505,

解得，*1=2。6弓=-203（舍）

此時(shí)，】'=166m.

【初步探究】

6.（2024.廣東深圳-33校聯(lián)考二模）【項(xiàng)目式學(xué)習(xí)】

項(xiàng)目主題：設(shè)計(jì)落地窗的遮陽篷

項(xiàng)目背景：小明家的窗戶朝南，窗戶的高度,45=1m,為了遮擋太陽光，小明做了以下遮陽蓬

的設(shè)計(jì)方案，請(qǐng)根據(jù)不同設(shè)計(jì)方案完成以下任務(wù).

方案1：直角形遮陽篷

如圖1,小明設(shè)計(jì)的第一個(gè)方案為直角形遮陽篷5CD，點(diǎn)c在.45的延長線上CE1

圖1

(1)若EC=0.5m,CD=lm,則支撐桿BD=m.

（2）小明發(fā)現(xiàn)上述方案不能很好發(fā)揮遮陽作用，如圖2,他觀察到此地一年中的正午時(shí)刻，太陽光與地平

「

tana=—1tanu=—4

面的最小夾角為a,最大夾角為小小明查閱資料，計(jì)算出丁,3,為了讓遮陽篷既能最

大限度地使冬天溫暖的陽光射入室內(nèi)（太陽光與RD平行），又能最大限度地遮擋夏天炎熱的陽光（太陽光與

AD平行）.請(qǐng)求出圖2中3CD的長度.

方案2：拋物線形遮陽篷

（3）如圖3,為了美觀及實(shí)用性，小明在（2）的基礎(chǔ)上將CD邊改為拋物線形可伸縮的遮陽篷，點(diǎn)尸為拋

物線的頂點(diǎn)，［F段可伸縮），且一「尸。=9尸，BC,<?二的長保持不變.若以c為原點(diǎn)，CD方向?yàn)?/p>

X軸，30方向?yàn)閥軸.

①求該二次函數(shù)的表達(dá)式.

_的5=二

②若某時(shí)刻太陽光與水平地面夾角r的正切值3使陽光最大限度地射入室內(nèi)，求遮陽蓬點(diǎn)。上升

的高度最小值（即點(diǎn)。到CD的距離）

【答案】（1）:

3(?=二m

(2)3,CD=2m

f2jlO2、

9

(3)19)

【解析】

【分析】(1)利用勾股定理求3口即可;

(2)由題意得到=-OH"=產(chǎn)P.t_「RD

由題意得：CD//AM,BDRAE,ZC=ZCXA/=90°,

Z.CDB—/RAM-aZ.CDB-AEAM=a,BC=,x.CD=3x；在RtZiCRD中，利用正切定義求出

BC_=lAC4x+2_4j=2

CD~3,在Rt-dCD中，利用正切定義求出訪一§,得到方程一本一一5,則有一3則BCCD

的長度可求.

(3)①由題意，JCD為等腰直角三角形，從而有尸(LD,設(shè)二次函數(shù)為：代入

尸求出函數(shù)關(guān)系式即可；

②B。'光線與水平方向的夾角為0,過。作X軸的垂線交尤軸于點(diǎn)E,過B作y軸的垂線，兩條垂線交于

tan^=—°"、D'[3m.2m--|_v2

點(diǎn)H,gp3=BH,設(shè)DH==貝g點(diǎn)(代入J一、+2、求出

X即可.

【小問1詳解】

在Rt一「初中，_(?=兜。，

BD=JBC3+CD3=V05J+1J=與

昱

故答案為：二；

【小問2詳解】

由題意得：CD//AM,BDffAE,ZC=ZC4M=90°,

vCDAM

:公DA=￡DAM=B

.?.BD/'/AE，

:.Z^DA=Z￡AD,

:.ZCDA-ZBDA=ADAM-Z￡AD,

:.乙CDB=_EAM=a,

在Rt-。應(yīng))中，ZC=90°,

BC1

Ism乙CDB=tzuiex=-=—

???CD3,

..設(shè)BC=XCD=3T

在P」_4CD中，ZC=90°,

tanZ.CDA=tanP==—

CD3,

x+24

-

..“3,

解得"3.

BC=■—m___

3,CD=2m.

【小問3詳解】

①由尸為拋物線頂點(diǎn)，可知尸「=陽，

vZCFZ)=90°,

為等腰直角三角形

由二次函數(shù)對(duì)稱性可知，F(xiàn),111

設(shè)二次函數(shù)為：-v=a”,一門，代入kil■■得

1=解得al,

.力關(guān)于x的關(guān)系式為：》■一“(,-加一/+X,

②光線與水平方向的夾角為仇過。作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)E,

q2D,H

tane=---------

過3作y軸的垂線，兩條垂線交于點(diǎn)H.即3=BH,

代入"Ell得加3吁2）,

化簡得二'7E：一1:力-二'=0,

"屈2-反

解得，々=9，巾：>=9（答案不合理，舍去）

2^02

：.D,E=99,

------m

遮陽蓬點(diǎn)。上升的高度最小值為I99>.

【點(diǎn)睛】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式，勾股定理，解直角三角形的

實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

7.（2024?廣東深圳?33校聯(lián)考一模）如圖1,一灌溉車正為綠化帶澆水，噴水口，離地豎直高度為〃=11

米.建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為兩條拋物線的部分圖

象，把綠化帶橫截面抽象為矩形QERG,其水平寬度Z）E=：!米，豎直高度￡F=°丁米，下邊緣拋物線

是由上邊緣拋物線向左平移得到，上邊緣拋物線最高點(diǎn)A離噴水口的水平距離為2米，高出噴水口0.4

米，灌溉車到綠化帶的距離OD為d米.

（3）若d=32米，灌溉車行駛時(shí)噴出的水（填“能”或“不能”）澆灌到整個(gè)綠化帶.

【答案】（1）上邊緣拋物線噴出水的最大射程℃'為6m；

⑵職工。）

（3）不能.

【解析】

【分析】（1）求得上邊緣的拋物線解析式，即可求解；

（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，確定平移的單位，求得下邊緣拋物線解析式，即可求解；

（3）根據(jù)題意，求得點(diǎn)尸的坐標(biāo)，判斷上邊緣拋物線能否經(jīng)過點(diǎn)尸即可；

【小問1詳解】

解：由題意可得：42J6）

且上邊緣拋物線的頂點(diǎn)為A,故設(shè)拋物線解析式為：-二「+16

1

將代入可得：a=一?

v=---（x-2）J+1.6

即上邊緣的拋物線為：一10

n-T-+16=0

將’二0代入可得：10

解得：（舍去）或％=6

即久1=61n

上邊緣拋物線噴出水最大射程為6m；

【小問2詳解】

由（1）可得，""J1J'

y--）+1.6

上邊緣拋物線為：10,可得對(duì)稱軸為：

點(diǎn)片關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)為:(4.12)

下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，可得上邊緣拋物線向左平移4個(gè)單位，得到下邊緣拋物

1j

r=——（x+2）+16

線，即下邊緣的拋物線解析式為：.10

3

__(,+2)+1,6=0

將r-°代入可得:10''

解得："二-'（舍去）或1=?

即點(diǎn)叩網(wǎng);

【小問3詳解】

v2<32<6,

綠化帶的左邊部分可以灌溉到，

由題意可得：死（5.2.0.7）

1,B1,C

），=__（-2f+l6）,=?—（5.2-2）+16=0576<07

將丁=5二代入至『10x可得：,10

因此灌溉車行駛時(shí)噴出的水不能澆灌到整個(gè)綠化帶.

【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，涉及了待定系數(shù)法求解析式，與丁軸交點(diǎn)等問題，解題的關(guān)鍵是理

解題意，正確求得解析式.

8.（2024?廣東深圳?南山區(qū)一模）已知一次函數(shù)「二的圖象與二次函數(shù)一寸"，■"的

圖象相交于點(diǎn)4L"*）,，卜2"）.

（1）求一次函數(shù)的表達(dá)式，并在圖中畫出這個(gè)一次函數(shù)的圖象；

kx^b<—（x+2）a—2

（2）根據(jù)函數(shù)圖象，直接寫出不等式2的解集；

y=_（x+、）'■?

（3）當(dāng)時(shí)，拋物線.2-與直線.「=”只有一個(gè)交點(diǎn)，求〃的取值范圍；

v=—（x+2）s-2—（x-m）J-2

（4）把二次函數(shù).2的圖象左右平移得到拋物線G：.二，直接寫出當(dāng)拋物

線G與線段.43只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)3的取值范圍.

V=—1+I

【答案】(1)一次函數(shù)的表達(dá)式為,2,圖象見解析

(2)一］或1>1

--<nS"—

(3)22或力=--

——smv-

(4)4或-2〈附04

【解析】

【分析】(1)將43點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)中求":，*的值，進(jìn)而可得48點(diǎn)坐標(biāo)，然后將43點(diǎn)坐

標(biāo)代入一次函數(shù)解析式中求七5的值，進(jìn)而可得一次函數(shù)解析式，最后描點(diǎn)連線即可；

(2)根據(jù)不等式的解集是一次函數(shù)圖象在二次函數(shù)圖象下方所對(duì)應(yīng)的'的取值范圍求解即可；

335

V=——J'u——>=一

(3)求1=-3時(shí)的二次函數(shù)的函數(shù)值為.2,然后結(jié)合圖象，可知在頂點(diǎn)以及.二上方，.

下方時(shí)，只有一個(gè)交點(diǎn)，確定取值范圍即可；

(x-wi)J-2v=—(x-m)3-2v=—(x-w)3-2

(4)分①當(dāng).2過點(diǎn)A時(shí)，②當(dāng)?2過點(diǎn)5時(shí)，③當(dāng).2與

直線,43只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，三種情況求解沔的值，然后結(jié)合圖象確定取值范圍即可.

【小問1詳解】

w=—(1+2)J-2

\mr=—(x+2)3-2?=—

解：將山Lmm,陽-川，代入-2得，I

?「一次函數(shù)」=云+"**°)的圖象過A點(diǎn)和9點(diǎn),

上+6=當(dāng)

：.4，

-2k+b=-2

&=1

解得

一次函數(shù)的表達(dá)式為J

描點(diǎn)作圖如下:

【小問2詳解】

kx+b<—(JT+2)3-2

解：由(1)中的圖象可知，不等式-的解集為：或、>1；

【小問3詳解】

工代入得一V,

由圖象可知，當(dāng)-3三101時(shí)，直線--2'~"與直線】?="只有一個(gè)交點(diǎn)，則"的取值范圍是

2或％=一2；

【小問4詳解】

解：由題意知，分三種情況求解：

?,?—(x-m)1-24(1-m)J-2=—

①當(dāng).2過點(diǎn)A時(shí)，即：！

解得";一」或m=-2,

當(dāng)切=一1時(shí)，拋物線與原二次函數(shù)重合，與線段.45有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,故舍去,

w=4；

v=—（x——2—（—2—加尸-2=-2

②當(dāng).2過點(diǎn)B時(shí)，即2,

解得f=F="（舍去）;

r=—（r-w）a-2

③當(dāng),2■與直線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，

整理得：、jA+3）+/-6=0,

A=[-l2m+3|]I-4|mJ-6>=4w3+l>n+9-W+24=12m4-33=0

則ni|，

11

ffl----------

解得：4,

11Q

——4tn<一.

綜上，4或-2<m&4.

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)與不等式，二次函數(shù)圖象的平移，二次函數(shù)綜合等知

識(shí).解題的關(guān)鍵在于數(shù)形結(jié)合.

9.（2024?廣東深圳?羅湖區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。為原點(diǎn)，已知4（1°）、將

QC繞/的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，點(diǎn)。落到點(diǎn)2的位置，拋物線赤、經(jīng)過點(diǎn)A,點(diǎn)。是拋物線

的頂點(diǎn).

（1）求拋物線的解析式；

（2）判斷點(diǎn)B是否在拋物線上；

（3）若點(diǎn)P是線段上的點(diǎn)，且一45'0一-C4R,求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

（4）若點(diǎn)尸是x軸上的點(diǎn)，以尸、A、D為平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)作平行四邊形，使該平行四邊形的另一

個(gè)頂點(diǎn)在y軸上，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo).

尸?！悖?/p>

（2）點(diǎn)8在拋物線上（3）13）

（4）戶（7。）或（IM或（3。）

【解析】

【分析】（1）將4二°）代入'=ai一久6T即可得到答案；

（2）先證明四邊形0nBe是平行四邊形，由平移的性質(zhì)可得：2的坐標(biāo)為小再檢驗(yàn)即可；

⑶作軸于E,D尸，】軸于R如圖，利用頂點(diǎn)式】'=6門-11一耳，得到則

可求出一二」『一。，XD=2,OB=6,再求出43的長和tanN80E=",N30R=6O°,則可判

斷然后利用相似比求出兒P,從而可得到p點(diǎn)坐標(biāo)；

（4）設(shè)尸點(diǎn)坐標(biāo)為‘久山，另一個(gè)頂點(diǎn)為。，坐標(biāo)為TJX,分三種情況討論，根據(jù)平行四邊形對(duì)角線互

相平分，則兩條對(duì)角線的中點(diǎn)相同，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式建立方程求出。即可得到P點(diǎn)坐標(biāo).

【小問1詳解】

解：將4（20代入「山？-入舟，得

0=4a-473,解得a=/.

拋物線的表達(dá)式為J=招，”品.

【小問2詳解】

?.?將繞47的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°.

:.0A=BC,0C=M,

四邊形。月是平行四邊形，

:,BC//0A.

..#.0）,CQ.羽,

...由平移的性質(zhì)可得：B的坐標(biāo)為＜4-S,

把X=3代入A=后”后,得J=

.??3在拋物線上.

【小問3詳解】

作3E—、軸于E,二RJ.J軸于R如圖1,

..v=Vs.r-2=61X-1)'-4

?,

.z)ii.-V3i

??9

:3=拒,OF=AF=\,

...tanZDAF=5AD=>lAF'+DF2=2,

.-.ZZ)AF=60o,

/Ci

總=/+(3拘'=2"

BE=343,OE-3,OB=JOE，+BE,=6,

tan—5。目-y/3,

.-.Z5C￡=6C°,

...Z￡OA-/DAP.

?：3D:￡CAB,

：.J^AD^>^ACB,

APADAP2

二〔14=一t,即2=6,

"=二

【小問4詳解】

設(shè)尸點(diǎn)坐標(biāo)為‘a(chǎn)。’，另一個(gè)頂點(diǎn)為。，坐標(biāo)為,分三種情況討論:

由平行四邊形對(duì)角線互相平分的性質(zhì)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得,

a+1=1+口，解得

??.P點(diǎn)坐標(biāo)為'-1'叫

???P點(diǎn)坐標(biāo)為工°1

③如圖，當(dāng)4D、為對(duì)角線時(shí),

同理可得？+l=O+a,解得a=3

二.尸點(diǎn)坐標(biāo)為(*°)

綜上可得P點(diǎn)坐標(biāo)為(-L0)或(1.0)或口0)

【點(diǎn)睛】本題考查了利用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式，旋轉(zhuǎn)與平移的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳

角三角函數(shù)的應(yīng)用，坐標(biāo)系中構(gòu)成平行四邊形的問題，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，分類討論，利用中點(diǎn)

坐標(biāo)公式建立方程是解題的關(guān)鍵.

10.(2024廣東深圳?寶安區(qū)三模)根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù).

如何設(shè)計(jì)拱橋景觀燈的懸掛方案？

圖1中有一座拱橋，圖2是其拋物

線形橋拱的示意圖，某時(shí)測(cè)得水

素

材面寬20m,拱頂離水面5m.據(jù)

1調(diào)查，該河段水位在此基礎(chǔ)上再

漲1Sm達(dá)到最高.miW2

為迎佳節(jié)，擬在圖1橋洞前面的橋

拱上懸掛40cm長的燈籠，如圖3.

為了安全，燈籠底部距離水面不

素

小于；為了實(shí)效，相鄰兩盞燈/安全距離：

材

/:最高

2籠懸掛點(diǎn)的水平間距均為16m；

為了美觀，要求在符合條件處都

掛上燈籠，且掛滿后成軸對(duì)稱分圖3

布.

問題解決

任務(wù)確定橋拱

在圖2中建立合適的直角坐標(biāo)系，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

1形狀

任務(wù)探究懸掛在你所建立的坐標(biāo)系中，僅在安全的條件下，確定懸掛點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最小值和橫坐

2范圍標(biāo)的取值范圍.

任務(wù)擬定設(shè)計(jì)給出一種符合所有懸掛條件的燈籠數(shù)量，并根據(jù)你所建立的坐標(biāo)系，求出最左邊一

3方案盞燈籠懸掛點(diǎn)的橫坐標(biāo).

X

【答案】任務(wù)一：見解析，,-0；任務(wù)二：懸掛點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最小值是-18；-6sx<6;任務(wù)

三：兩種方案，見解析

【解析】

【分析】任務(wù)一：根據(jù)題意，以拱頂為原點(diǎn)，建立如圖1所示的直角坐標(biāo)系，待定系數(shù)法求解析式即可求

解；

任務(wù)二：根據(jù)題意，求得懸掛點(diǎn)的縱坐標(biāo)〕'之一'+13+1-04=-13,進(jìn)而代入函數(shù)解析式即可求得橫

坐標(biāo)的范圍；

任務(wù)三：有兩種設(shè)計(jì)方案，分情況討論，方案一：如圖2（坐標(biāo)系的橫軸，圖3同），從頂點(diǎn)處開始懸掛

燈籠；方案二：如圖3,從對(duì)稱軸兩側(cè)開始懸掛燈籠，正中間兩盞與對(duì)稱軸的距離均為03m,根據(jù)題意

求得任意一種方案即可求解.

【詳解】任務(wù)一：以拱頂為原點(diǎn)，建立如圖1所示的直角坐標(biāo)系，

圖I

則頂點(diǎn)為■且經(jīng)過點(diǎn)（】?！鲆?上

設(shè)該拋物線函數(shù)表達(dá)式為二6jCM。），

則一5=100口,

0-

20,

該拋物線的函數(shù)表達(dá)式是.20.

任務(wù)二：?.?水位再上漲】Sm達(dá)到最高，燈籠底部距離水面至少1m,燈籠長04m,

...懸掛點(diǎn)的縱坐標(biāo)>>^-5+18+1+04=-18）

懸掛點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最小值是一18.

J

8=--LX

當(dāng)卜=-18時(shí)，-20,解得$=6或與=-6,

???懸掛點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是一60106.

任務(wù)三：有兩種設(shè)計(jì)方案

方案一：如圖2（坐標(biāo)系的橫軸，圖3同），從頂點(diǎn)處開始懸掛燈籠.

-648016

圖2

v12A<6,相鄰兩燈籠懸掛點(diǎn)的水平間距均為】6m