專題4.4解三角形大題歸類

目錄

一、熱點(diǎn)題型歸納

【題型一】巧用“拆”面積法解決角平分線題型............................................1

【題型二】角平分線的擴(kuò)展結(jié)論..........................................................4

【題型三】中線的處理方法..............................................................6

【題型四】三角形高的類型.............................................................10

【題型五】三角形內(nèi)心.................................................................12

【題型六】外接圓.....................................................................14

【題型七】雙三角形...................................................................16

【題型八】四邊形.....................................................................18

【題型九】四邊形圖形最值.............................................................20

二、真題再現(xiàn).........................................................................23

三、模擬檢測(cè).........................................................................30

熱點(diǎn)題型歸納

【題型一】巧用“拆”面積法解決角平分線題型

【典例分析】

(2022?湖北.高三開學(xué)考試)在AABC中，AB=2AC,點(diǎn)。在3C邊上，AD平分

⑴若cos/ACB=,求cos/BAC；

5

⑵若4)=AC,且AASC的面積為近，求BC的長.

2

【答案】(1)2-3"⑵后

10

【分析】(1)在AABC中，利用正弦定理可得sin/ABC=巫，從而可得cosNABC=題，再由

1010

cos^CAB=-cos(^ABC+^ACB),展開即可求解；

1113

(2)利用三角形的面積公式可得一AC-ADsind+—AaADsine=—ARAC-sin20,從而解得cosO=—,

2224

根據(jù)三角形的面積求出〃=4,再由余弦定理即可求解.

(1)由cos/AC2=姮，WsinZACB=—,

55

ABAC

在△ABC中，由正弦定理可得

sinZACBsinZABC

又AB=2AC,所以sin/ABC=辿,

10

AB>AC,故cos/ABC=W^,

10

所以cosXCAB=cos(乃-NABC-^ACB)=-cos{ZABC+ZACB),

即cos/C4B=sin^ABCsin^ACB—cos^ABCcos^ACB,

所以c°s44人巫X也一亞X姮=2.

10510510

(2)

由已知，設(shè)AB=2AC=2/,所以AD=AC=%,另設(shè)NC4Z)=夕.

由^AABC=^AACD+^AABD，'t-2t'sm20=—t-t-sm0+—'2t-1-smO,

所以2sin6?cose=—sinO+sin。，

31

因?yàn)閟ingwO,所以cos6=—,所以cos26=2cos2。一1二—,

48

又0<26<萬,sin26=A/1-COS22^=^2-,

8

又s…乎=：上2529=乎產(chǎn),所以r=4,

99

222

所以臺(tái)。2=r+4z-2-r-2rcos2(9=-Z=-x4=18,所以BC=3jL

【提分秘籍】

基本規(guī)律

角平分線"拆”面積法：Saabc=Saacd+S^ABD

【變式演練】

1.（2022?湖北?高三開學(xué)考試）已知AABC的角A氏C的對(duì)邊分別為a,b,c,且

sinA（ccosB+bcosC）-csinB=csinC+Z?sinB,

⑴求角A；

⑵若AD平分㈤C交線段BC于點(diǎn)。，且AD=2,BO=2C。，求AABC的周長.

2

【答案】（1）A=1乃（2）9+3j7

【分析】（1）先利用余弦定理化簡ccosB+AcosC,然后代入已知式子中利用正弦定理統(tǒng)一成邊的形式,

再利用余弦定理可求出角A,

2s

⑵由S"BC=SABAD+SACAD結(jié)合AO平分4AC,A=可得〃c=2Z?+2c,作AE_LBC于f,則由「'"結(jié)

合已知條件可得3=2,解方程組可求得6,c,再利用余弦定理可求出“，從而可求出三角形的周長.

b

^22_72〃2人22

(1)由余弦定理得ccos5+Z?cosC=ex------------+Z?x---------------=a

2ac2ab

所以sinA(ccosB+bcosC)-csinB=csinC+Z?sinBnJtzsinA-csinB=csinC+Z?sinB

再由正弦定理，得m=。2+〃，得/+〃—/=—秘，

所以COSA="+：-)=_L因?yàn)锳e(0,i),所以A=2萬

2bc23

JT

(2)因?yàn)?。平分N&4C,所以/區(qū)4￡?=/01。=一.由

3

S

s?ABC=S.BAD+.CAD^-b-csin-7T=-c-ADsin-+-b-ADsm-,

1711

q—cADsin——BD-AE,Rn

得加=?+2c.作AE_LBC于E,則之典--------=---------=>￡=-=2.

bDC

S*CDIfe.ADsin^ICDAE

232

,[bc=2b+2cA,億=6,人、_

由《〃，解得L2由余弦定理，Wa2=b1+c2-2/?ccosA=63,所以Q=3\/7

\c=2b/?=3,

故A"C的周長為9+3夕

2.(2022?江蘇?鹽城中學(xué)高三開學(xué)考試)(sinA-sinC)a=(Z>-c)(sinB+sinC),②

(2a-c)cos8=gj+〃-J③sin(2+C)=；cos(8-/］這三個(gè)條件中選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并解

2ao\0?

答.已知ziABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且__________.

⑴求3

(2)若匕=如，NABC的平分線交AC于點(diǎn)。，且30=逑，求△ABC的面積.

5

【答案】⑴3=32)6

【分析】(1)若選條件①，先用正弦定理將角轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，再利用余弦定理即可；若選條件②，先用

余弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，再利用正弦定理即可；若選條件③，先用三角形的內(nèi)角之和為萬，再利用

正弦定理即可；

(2)利用角平分線的性質(zhì)得到以.0=5少0+5讖8,結(jié)合余弦定理和三角形的面積公式即可

(1)

選擇條件①：

222

根據(jù)正弦定理，可得：(a—c)a=(b—c)R+c)可得：a+c-b=ac

根據(jù)余弦定理，可得：cos8，+c2/=j_Be(0㈤,.B=%

2ac23

選擇條件②：

根據(jù)余弦定理，可得：Qa-c)cosB=2ab0=bcosC

la

根據(jù)正弦定理，可得：(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC

1jr

整理可得：2sinAcosB=sin(B+C)=sinAo可得：cosB=-BG(0,^),.\B=—

選擇條件③:

易知：A+B+C=7TO可得：sinA=qcos(5-工)根據(jù)正弦定理，可得：sinA=—cos(B--)

b6smB6

可得：sinB=cos(B--)=—0085+i8^5^3^^：tanB=A/3

622

3￡(0,B=y

(2)根據(jù)題意，可得：S"BC=S4w+可得：—diesin—=—xcsin—+—xasin—

23256256

整理可得i+c』c根據(jù)余弦定理，可得一2=片+入2砒C0SZA3C

可得：13=/+/一。。，即(〃+。)2-3〃。=13可得：25(〃C)2-48。。一208=。

1

解得：ac=4或ac=-^j(舍)5AASC=-acsin—^73

【題型二】角平分線的擴(kuò)展結(jié)論

【典例分析】

(2022.湖北?襄陽四中模擬預(yù)測(cè))在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,角A的平分線交

BC邊于點(diǎn)D.

yABDB,

⑴證明：—,AD2=ABAC-DBDC;

ACDC

(2)若AD=1,A=—,求的最小值.

【答案】(1)證明見解析(2)3

【分析】(1)根據(jù)題意得到sinNA4D=sinNC4D,sinZADB=sinZADC,由正弦定理得到

A5BDACDCADr)DAD

兩式相除得到就二灰’進(jìn)而得到如訴就BC，

sinNADB-sin/BADsinZADC~sinZCAD

Ar

DC=^BC,根據(jù)余弦定理，并代入化簡，即可求解?

AABn+AAC

(2)根據(jù)除即+5型8=5兵品，得至lJ0+c=Oc,結(jié)合基本不等式求得歷24,進(jìn)而求得￡)3?。。=歷-1,

即可求解.

(1)

解：在和△BCD中，可得NBA￡)=NCW,NADB+ZADC

所以sinZBAD-sinACAD,sinZADB=sinZADC,

r二rt十>L丑77千甲,彳曰用AB_BDAC_DC

“，、sinZADB~sinZBAD'sinZADC~sinZCAD"

4DDRABAC

兩式相除得一二—,可得30=-------BC,DC=---------BC,

ACDCAB+ACAB+AC

y7p/AOTA/AD/^^坦人口六士工用4日A§2+5/)2_A￡)2AB?+BC?—/

又由ricosZABD=cosZABC,根據(jù)余弦定理得---------------=------------

2ABBD2ABBC

2

所以A￡>2=相+BD2一型函2+叱_3)=型AB?+—AC-BD(BC-BD)

BC'BCBC

AR

代入可得AD2=--------AB2+--------AC2—BDDC

AB+ACAB+AC

ABAC

=ABAC------------------1------------------—BDDC=ABAC—BDDC.

AB+ACAB+AC

(2)解：由A￡)=l,4=3-及％謝+5-8=54.，可得b+c=bc

根據(jù)基本不等式得兒=Hc22癡，解得歷之4,當(dāng)且僅當(dāng)〃=c=2時(shí)等號(hào)成立,

又由AD=1,AD'=ABAC-DBDC,DB-DC=bc-l>3,

所以℃的最小值是3.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

ABAC

角平分線定理（大題中，需要證明，否則可能會(huì)扣過程分）：BDCD

【變式演練】

1.

.（2022?山東日照?高三開學(xué)考試）如圖，已知在AASC中，〃為上一點(diǎn)，AB=2AC<BC,240弓）且

sin

8

（2）若AM為㈤C的平分線，且AC=1,求八4。/的面積.

【答案】（1）（（2）姮

812

【分析】（1）由sinB=史求得cosB=Z,由AB=2AC可得sinC=2sin3,結(jié)合=得ZWC=2ZB,

88

利用正弦定理即可求得答案；

2

（2）由余弦定理求得BC=2,根據(jù)角平分線性質(zhì)定理可求得CM=：,再求得sinC,由三角形面積公式

可得答案._

（1）因?yàn)閟in8=^5,Be（0,，，所以cos8=Jl-sin?B=L,因?yàn)锳B=2AC,

818

qin04/?

所以由正弦定理知——=——=2,即sinC=2sinB,

sinBAC

因?yàn)锳M=BM，所以ZAA/C=2N3，sinZAMC-sinIB=2sinBcosB,

ACsinZAMC2sinBcosB_7

在△AMC中,--------------=----------------=cosB=—.

~AMsinC2sinB8

222

o_i_r_173

（2）由題意知AB=2AC=2,設(shè)BC=x,由余弦定理得cosB=解得BC=2或BC=—.

4x82

因?yàn)?ACV3C,所以3c=2,因?yàn)锳M為NBAC的平分線，ZBAM=ZCAM

S-AB-AMsinZBAM-BMxh

所以產(chǎn)L=M-------------------------------------=2-------"為底邊8C的高）

以ACM-AC-AMsinZCAM-CMxh

22

所以第=絲=2,^CM=\BC=l，而由⑴知sinC=2sinB=姮，

CMAC334

所以SAACM=-AC-CM-sinC=-xlx=^-.

2.（2022?河南?模擬預(yù)測(cè)（文））在AABC中，角AB,C所對(duì)的邊為a,6,c,已知6=2,c=4,2sinA=3sin2c.

⑴求。；

（2）設(shè)A的平分線與BC交于點(diǎn)。，求AD的長.

【答案】⑴°=3&⑵2

【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理可得答案；（2）利用余弦定理、角平分線性質(zhì)可得答案.

272_2

（1）由2sinA=3sin2c得sinA=3sinCeosC,再由正弦定理和余弦定理得a=3cx---------—

lab

把b=2,c=4代入，=3x4x^^^得〃=3（/—12）所以q=3夜；

（2）由余弦定理可得cosC=a2+b,$=?，因?yàn)槭墙茿的平分線，孚=”,4?=24<7,

2ab4BDCD

所以BD=2CD,所以CQ=JL

在AACD中，AD2=AC2+CD2-2ACxCDcosC=4,

所以AD=2.

3.(2022?湖北?高三開學(xué)考試)已知AASC的角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且

sinA(ccosB+Z?cosC)-csinB=csinC+Z?sinB,

⑴求角A；

(2)若AD平分N8AC交線段BC于點(diǎn)。，且AD=2,3D=2CD,求AABC的周長

【題型三】中線的處理方法

【典例分析】

（2022?福建.三明一中模擬預(yù)測(cè)）已知C的內(nèi)角a,8,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且c=2人-2acosC.

⑴求角A;_

⑵若M為8c的中點(diǎn)，AM=y/3,求448C面積的最大值.

【答案】（l）A=g⑵石

【分析】（1）解法一：根據(jù)正弦定理邊化角求解即可；

解法二：利用余弦定理將cosC用邊表示再化簡即可；

（2）解法一：根據(jù)基底向量的方法得+AC）,兩邊平方化簡后可得從+,2=12-歷，再結(jié)合

基本不等式與面積公式求面積最大值即可；

解法二：設(shè)=再分別在AABM,AACM和AABC中用余弦定理，結(jié)合cos〃WB+cos4WC=0

可得k+°2=12-bc,再結(jié)合基本不等式與面積公式求面積最大值即可

（1）解法一：因?yàn)閏=2b-2acosC,

由正弦定理得：sinC=2sinB—2sinAcosC,

所以sinC=2sin(A+C)-2sinAcosC=2sinAcosC+2cosAsinC—2sinAcosC=2cosAsinC,

1兀

因?yàn)閟inCwO,所以2cosA=l,cosA=-,為OvAv兀，所以A=子

23

^2>2_2

解法二：因?yàn)椤?2〃—2acosC,由余弦定理得：c=2b-2aa,整理得反=/+廿一片,

lab

22

即=/7+c-be,又由余弦定理得〃2=〃2+。2-28ccosA所以2cosA=l,cosA=；,

jr

因?yàn)镺VAVTT,所以A=耳.

___.1—.—.

(2)解法一：因?yàn)镸為BC的中點(diǎn)，所以AM=.(42+AC),

所以病2=；(啟+2通?衣+恁)，即slk+/+zoccos/),

BPb2+c2=12-bc,而62+0222歷，

所以12-歷22歷即歷W4,當(dāng)且僅當(dāng)匕=c=2時(shí)等號(hào)成立

所以AABC的面積為SoBc=LbcsinA〈Lx4xYlw5/L即AABC的面積的最大值為g.

△ABC222

解法二：設(shè)BM=MC=加，

在AABA/中，由余弦定理得c?=3+，W2-2X6XCOS/408,①

在△ACM中，由余弦定理得廿=3+/-2X6XCOSNAMC,②

因?yàn)镹AMB+NAMC=7t,所以cosN/VWB+cosN/VWC=0

所以①+②式得。2+°2=6+2加.③

在AABC中，由余弦定理得4M=62+C2-2X6CCOSA，

而2=],所以4/=6?+<?-be,④

聯(lián)立③④得：2b2+2c2-12^b2+c2-bc,b2+c2=\2-bc,而從+c?之力c,

所以12-仇'N%。，即歷44,當(dāng)且僅當(dāng)匕=c=2時(shí)等號(hào)成立.

所以AABC的面積為SOBC=L歷sinAV’xdxYlw石.即AABC的面積的最大值為6.

Z-A/IDI--222

【提分秘籍】

基本規(guī)律

中線的處理方法

2.雙余弦定理法（補(bǔ)角法）:

如圖設(shè)5r>=DC,

在AABZ）中，由余弦定理得AB?=AD2+3D2_2xAD><3r）xcosZADB，①

在八4?！辏┲?，由余弦定理得AC?=AD2+DC2-2XADXDCXCOS/ADC，②

因?yàn)镹AMB+NAMC=TI,所以cosNAPB+cosNADCuO

所以①+②式即可

3.延伸補(bǔ)形法：如圖所示，延伸中線，補(bǔ)形為平行四邊形

4.中線分割的倆三角形面積相等

【變式演練】

1.（2022.河南?開封市東信學(xué)校模擬預(yù)測(cè)（理））在4ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且

,.B+C.

Osin=asmBn.

2

（1）求角A的大??；

⑵若。為3c邊中點(diǎn)，且45=2,求〃的最小值.

【答案】（1）/（2）竽

【分析】（1）利用三角恒等變形及正弦定理即可求解；（2）利用余弦定理及基本不等式即可求解.

牝C=asinB,bsin上二A

(1)VZ?sin=asinB,BPbcos—=asinB.

222

AAAA

由正弦定理得sinHeos—=sinAsinB/.,sinB^O,cos—=sinA=2sin—cos—.

2222

..A..A1D??CA兀.A7i,.7i

22222263

(2)???。為5。邊中點(diǎn)，???24。=45+4。，即4卜。|=(AB+AC)2,

2222

AD=2,**-16=c+Z?+2Z?ccosAf**?b+c=16—be,

?**2bc<b2+c2=16—bei即beW—,當(dāng)且僅當(dāng)/?=c=^―■時(shí)取等號(hào)，

33

,**a2=b2+c2-2bccosA-b1+c1—bc=16—2bc,

/.a2>16-2x^=^,即此生叵.故。的最小值為速.

3333

2.(2022.重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí))如圖，在△ABC中，A3=2,AC=6夜,E,尸分別是5cAe的中點(diǎn).從

條件①⑻cf；②*癡中選擇一個(gè)作為已知條件，完成以下問題:

⑴求ZACB的余弦值；

⑵若AE,8尸相交于點(diǎn)G,求ZEGF的余弦值.

(注：若兩個(gè)條件都選擇作答，則按第一個(gè)條件作答內(nèi)容給分)

【答案】(1)條件選擇見解析，生叵⑵條件選擇見解析，聲叵

2650

【分析】(1)若選擇條件①：由余弦定理計(jì)算5C,再由余弦定理計(jì)算ZAC》的余弦值；若選擇條件②：由

余弦定理得出=BC,再由余弦定理計(jì)算ZACB的余弦值；

4

(2)若選擇條件①：由余弦定理得出班AE,再由△ABGsAEFG得出GE=gAE=g,GF=*BF=當(dāng),

最后由余弦定理得出/EG/的余弦值；若選擇條件②：由余弦定理得出AE,再由ZWG-zWG得出

GE=1AE=|,GF=(BF=^,最后由余弦定理得出NEGb的余弦值；

(1)若選擇條件①：

在AABC中，由余弦定理可求得BC=/2?+(6夜)2-2*2*6夜乂孝=2小，

,.rD72+52-45而

cos/ACB=----7=---產(chǎn)=------.

2x2^13x67226

若選擇條件②：

在AABF中，AB=2,AF=3垃,BF二屈,由余弦定理可求得cosZBAF=4+18-1=交,

2x2x3應(yīng)2

所以NBA尸=?,在"IBC中，由余弦定理可求得8C」22+(60)2-2x2x6&x變=2歷.

4V2

72+52—45>/26

cosZACB=

2x2而x6&26

(2)若選擇條件①：在中，由余弦定理可求得^+(30r-2X2X3&X￥=&5,

由于E,尸分別是8GAe的中點(diǎn)，所以砂〃AB,貝|NEE4=寧，EF=1,AF=3五,

在△田中，由余弦定理可得AE=J(3應(yīng)＞+儼一2x30xlx-率=5.

連接￡尸，由EF〃AB,可得△ABGC/?Z\￡FG,貝U二？^=7^="7^二片

ACJCJDAD2

2510,

——+---1

所以GE=：AE=|,GF=；BF=^,在△EGP中，余弦定理求得cosNEGF9913710

、5M50,

2x—x------

33

若選擇條件②：

由于E,尸分別是8GAe的中點(diǎn)，所以砂〃AB,

則NEE4=￥，即=1,Ab=30，在△AEF中，由余弦定理可得AE={(3&了+仔—2x3&xlx1一事J=5.

連接￡尸，由石尸〃?^,可得AABG^AEFG,貝===1,所以G￡=gAE='|,GF=-BF=,

AGGB

在△EGF中，余弦定理求得cos/EG/=

2x-x------

【題型四】三角形高的類型

【典例分析】

(2022?安徽蚌埠?一模)記AABC內(nèi)角A,3,C的對(duì)邊為a,b,c,已知51世=$1114$迅氏。￡)_143于￡).

⑴證明：CD=c；

⑵若a2+b2=-J5ab,求sinC的值.

【答案】(1)證明見解析(2)手

【分析】(1)利用正弦定理邊化角，再結(jié)合正弦值的計(jì)算公式列方程即可；

(2)由面積公式得c2=MsinC,利用余弦定理和輔助角公式化簡即可.

(1)根據(jù)正弦定理和題設(shè)可得sin8=M=￡,又sinB=y,所以CD=c.

sinAaa

(2)由三角形的面積公式可得Su"1■。戾inC=LABxC￡>=」c2,

所以，=absinC

又由余弦定理=/+/_2abcosC=y[5ab-2abcosC

因此absinC=^5ab-2H?cosC,得sinC+2cosC=底in(C+^)=75

其中。為銳角，且tan0=2,于是C+6=工，所以sinC=sin[&-/=cose=Y5

【提分秘籍】

基本規(guī)律

高的處理方法：

1.等面積法：兩種求面積公式

S=-bcsinA=-BCxAD=-c2

2

2.三角函數(shù)法:

在ABC。中,BD=ABcosZABD,AD=ABsinZABD,

【變式演練】

1.(2022.河南安陽?高三開學(xué)考試(理))已知AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且

(a+Z?)(sinA—sinB)+fc—y/3a\sinC=0.

(1)求角8的大小；

(2)若BC邊上的高為j，求sinA.

【答案】(1)^(2)/上述

66

【分析】(1)先根據(jù)式子形式采取角化邊，然后利用余弦定理的推論即可解出；

(2)先根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可知，b-c=csmy,得出6,c關(guān)系，再根據(jù)sinC="^可求出sinC,

6b

然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，誘導(dǎo)公式，兩角和的正弦公式化簡sinA=sin兀=sin|^C+^,即

可解出.

(1)

由(Q+Z?)(sinA—sinB)+(c—G4sinC=0,得(a+b)(Q—b)+(c—ga)c=0,即〃+/_/=，.?.

_—_A/3.?八/A/E?D

cosBD=--------------=—9?1_)<8<兀，??D一■—.

lac26

(2)

_/rr&

B=~2,且5c邊上的另j為。-。，b—c=csin—,c——b,

663

**?sinC—―--=—.\*c<b?**?C為銳角，**?cosC=2y，

b33

??A-r萬YI.萬).「兀,「?兀班+20

..sinA-sin兀-CH■一=sinCH--=sinCcos—+cosCsin—=------------.

_16〃16)666

2.(2023?全國?高三專題練習(xí))記△AfiC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,Z;,c,且bcosC+ccosB=2^cosA.

⑴求A的大?。?/p>

(2)若BC邊上的高為正，且A的角平分線交BC于點(diǎn)。，求AD的最小值.

2

【答案】(l)A=g(2)也

32

【分析】(1)利用正弦定理進(jìn)行邊化角，結(jié)合三角恒等變換整理；(2)根據(jù)等面積可得稅=?,利用余弦

定理得62c2=巨+°2一切和基本不等式可得歷之1,根據(jù)面積得AZ)=?,整理分析.

b+c

（1）由正弦定理得sin5cosc+sinCeos3=2sinAcosA,得sin（8+C）=sinA=2sinAcosA,因?yàn)锳E（0,71）,

1JT

所以cosA=/,即A=1.

22

（2）因?yàn)?；Z?csinA=,所以歷=〃.由余弦定理得片十°2一慶，得b2c之=b+c-bc^bc

1Ijr1TT

（當(dāng)且僅當(dāng)》=c=l時(shí)，等號(hào)成立），即歷.因?yàn)镾a6c=7AsinA=7〃-AD-sin：+7LAD?sin：,所以

22626

3

.Rur2AD~=3b0人?因?yàn)楹瘮?shù)”加

AD==一.因?yàn)?*+3兒=修+<?)~,所以一6202+3牡口在［1,+?）上單調(diào)

b+c

beX

遞增，所以=所以即4。與￥.故的）的最小值為日

【題型五】三角形內(nèi)心

【典例分析】

（2022?全國?模擬預(yù)測(cè)）在AASC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,a=3,b=2,sinA=m.

（1）若AABC唯一確定，求機(jī)的值；

⑵設(shè)/是AABC的內(nèi)切圓圓心，廠是AABC內(nèi)切圓半徑，證明：當(dāng)c=2r+l時(shí)，IC=IAIB.

【答案】（1）1（2）證明見解析

【分析】（1）若0〈加<1,根據(jù)sinA=機(jī)，b<a,可知A可以為銳角，也可以為鈍角，AAfiC有兩種情況，

若加=1,則三角形為直角三角形，AASC有唯一解.

（2）由c=2r+l可推導(dǎo)出AABC為直角三角形，故可計(jì)算出（,叢,口的值，即得證.

（1）

設(shè)AB邊上的高為〃°,則兒=6sinA=2〃z>0.

當(dāng)加力1時(shí)，由勾股定理，若A為銳角，則,=耳下+也-修；若A為鈍角，則。=耳下-"4一修,所

以AABC存在兩種情況，不能被唯一確定.

當(dāng)m=l時(shí)，&4BC為直角三角形，其中A為直角頂點(diǎn)，。=^/^^=迅可以唯一確定，即AAfiC唯一確

定，故機(jī)的值為1.

-（r-2）（l+r）=（3+r）r,解得一與1（負(fù)值舍去），c=2r+l=正，所以AABC是以A為直角頂點(diǎn)的直

【提分秘籍】

基本規(guī)律

內(nèi)切圓：等面積構(gòu)造法求半徑

S.=—(a+b+c\ror=-------

人2、)a+b+c

A

【變式演練】

1.(2022.云南省下關(guān)第一中學(xué)高三開學(xué)考試)在AABC中a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C,的對(duì)邊，已知

(Q—Z>)(sinA+sinB)=c(sinC-sinB).

⑴求角A；

(2)若q=2,且AA5c的內(nèi)切圓半徑r=",求AABC的面積.

4

【答案】(l)A=g(2)M

316

【分析】(1)將已知式子利用正弦定理統(tǒng)一成邊的形式，再利用余弦定理可求出角4

(2)先利用面積法可求得匕+c=?c-2,再結(jié)合(1)得到的式子可求出。c,從而可求出三角形的面積.

(1)

由已知及正弦定理得:(a-b)(a+b)=(c-b)c,^b2+c2-a2=bc,

所以cosA又因?yàn)锳e(0,萬)，故A=g.

2bc23

(2)由已知得++=,即Z?+c=2歷—2,

2422

又因?yàn)?+c2—4=bc,即(Z?+c)2=3。。+4,所以(2力c—2)2=3bc+4,解得Z?c=U,或加=0(舍去)，

4

所以AABC的面積為S即c='bc?正=衛(wèi)@.

aABC2216

2.(2021?河南南陽?高三期末(理))在VABC中，sinC+cosC=smB+smC.

sinA

⑴求A;

(2)若VABC的內(nèi)切圓半徑r=2,求AB+AC的最小值.

【答案】(1)A=|；(2)873.

【分析】(1)根據(jù)已知條件、三角形的內(nèi)角和定理及兩角和的正弦公式，再結(jié)合解三角方程即可求解.

(2)由題意可知，利用三角形的等面積法AABC=gbcsinA=g(a+b+c)r及余弦

定理得出含有6+c和6c的關(guān)系式，再利用基本不等式的變形即可求得AB+AC的最小值.

(1)在VABC中，百sinC+cosC=^^^,

sinA

整理得退sinCsinA+sinAcosC=sinB+sinC=sin(A+C)+sinC,即

A/3sinCsinA4-sinAcosC=sinAcosC+cosAsinC+sinC,于是

所以A/3sinCsinA=cosAsinC+sinC,

因?yàn)閟inCwO,所以gsinA-cosA=1,即^^sinA—』cosA=!，

222

所以sin(A-j］=：,又因?yàn)?<A<?,所以，

koJ26v66J

所以A—2=9,解得A=g.所以A=g.

6633

-TT11

(2)4^=a,AB=c,AC=b,(1)知A=§.由=5〃csinA=5(〃+0+c)r,得

^-bc=2(a+/?+c),即^^bc-Z?-c=4,由余弦定理及(1)知4=￡,得

243

a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-be,所以［乎人。一。一c=b2+c2-be=(b+c)2-3bc,

即9(Z7C)2+(b+c)2-^-bc(b+c)=(b+c)2-3bc，于^—bc=^-(b+c)-3

16