第02講空間向量基本定理

【人教A版2019】

1.空間向量基本定理

如果三個(gè)向量a,b,c不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量p,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(無(wú)，y,z),使得p

—xa+yb+zc.

我們把｛a,b,c｝叫做空間的一個(gè)基底，a,b,c都叫做基向量.

2.用基底表示向量的步驟：

(1)定基底：根據(jù)已知條件，確定三個(gè)不共面的向量構(gòu)成空間的一個(gè)基底.

(2)找目標(biāo)：用確定的基底(或已知基底)表示目標(biāo)向量，需要根據(jù)三角形法則及平行四邊形法則，結(jié)合

相等向量的代換、向量的運(yùn)算進(jìn)行變形、化簡(jiǎn)，最后求出結(jié)果.

(3)下結(jié)論：利用空間的一個(gè)基底｛。，b,c｝可以表示出空間所有向量.表示要徹底，結(jié)果中只能含

有7b,c,不能含有其他形式的向量.

3.空間向量的正交分解

(1)單位正交基底

如果空間的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量?jī)蓛纱怪?，且長(zhǎng)度都是1,那么這個(gè)基底叫做單位正交基底，常用

[i,j,A｝表示.

(2)向量的正交分解

由空間向量基本定理可知，對(duì)空間任一向量”，均可以分解為三個(gè)向量xi,yj,z左使得a=xi+W+z左像

這樣把一個(gè)空間向量分解為三個(gè)兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進(jìn)行正交分解.

?題型歸納

【題型1用空間基底表示向量】

【例1.1](23-24高一下?安徽?階段練習(xí))在直三棱柱ABC—4/iG中，4B=ABC重心為點(diǎn)G,棱/G

的中點(diǎn)為M,設(shè)荏=江，前=西=冷則流=()

A.—ad—b+cB.—ctH—b-c

3666

C.-1aT——lMb—c-DTA.——1af——lzb—c-

6666

【解題思路】由空間向量基本定理求解即可.

【解答過(guò)程】取BC中點(diǎn)N,連接MN,AN,由底面為正三角形，

知4N過(guò)點(diǎn)G,且麗=[麗.

于是麗=MN+~NG=_標(biāo)_:前=-AA1-i(AB+ZC)=-^a-^b-c,

故選：D.

【例1.2](23-24高二上?安徽宣城?期末)在三棱柱ABC—4BiG中，已產(chǎn)分別是B&CG的中點(diǎn)，E=2謠,

則閑=()

A.B.［荏+|尼+|理

C一|萬(wàn)+!而后標(biāo)D.V通+|市+1痂

【解題思路】根據(jù)條件，利用空間向量的線性運(yùn)算，即可求出結(jié)果.

【解答過(guò)程】如圖，因?yàn)榉謩e是8C,CCi的中點(diǎn)，AG=2GE,又磯=南,

所以而=Tc+CE+EG=-|Z47+|（AB-XC）-|AE=|XB-|XC-1X|（XB+ZC）-|Z42,

得到前=-|ZC-］京，

故選：A.

【變式1.1]（23-24高二上.陜西寶雞.期末）如圖，在四面體。4BC中，OA=a,OB=b,方=落點(diǎn)”、

N分別在線段。4、BC上,且20M=M4CN=2NB,則麗等于（）

1fI2二11TD1712宣1T

A.——a+-D+-cB.——a+-b——c

333333

IT2二I1Tn172T2T

C.-a——b+-cD.—CL—bH—C

333333

【解題思路】由空間向量基本定理結(jié)合線段比例關(guān)系分解向量即可.

【解答過(guò)程】由題意而=詬+M=--OA+OB+JN=--OA+OB+^~BC

=-i0X+UB+|（B0+0C）=-|a+|^+|c.

故選：A.

【變式1.2]（23-24高三上.山東臨沂.期末）正方體ABCD中，M是棱的中點(diǎn).記力名=出

AC=b,ADr=c,24M用出b,8表2K為（）

A1T,37",1T

A.—dH—b4—cB.-3a~+1-1b-+-1c-

444444

C1TI1NI3T

C.一。4—bH—cD.一a+-b+-c

444444

【解題思路】根據(jù)幾何體的特征，結(jié)合向量的線性運(yùn)算，即可求解.

【解答過(guò)程】前=荏+而，AB^=AB+AA^,而=詬+砧,

三個(gè)式子相加得前+南+福=2(AB+而+麗>)=2福\

T1TT11T1T1TT

=—(ACr+Acy=-f—i4C+-AB1+-ADr+Acy

乙\/乙\乙乙乙/

17111

=—A4—AC4—AD^=—ci4—bH—c.

4441444

4G

故選：A.

【題型2由空間向量基本定理求參數(shù)】

【例2.1】(23-24高二上?河南南陽(yáng)?期末)如圖，在三棱柱ABC-Z/iCi中，砸=2麗，若而xCA+yCB+

zCC；,則％+y+z=()

44s

A.1B.-C.-D.-

323

【解題思路】由空間向量的線性運(yùn)算和空間向量基本定理求解即可.

【解答過(guò)程】由題意知：

________________________________2___>___>__>2___>__>__>

CD=CC]+C]/]+A^D=CC]+CA>4-=C+CA+~4~AC+CB)

----->---->9---->9----?7--?1----?7---?1------>

=CC1+CA--CC--CA+-CB=-CA+-CB+-CQ,

131r333331

又而=xCA+yCB+zCC；,

所以＜y=I，則％+y+z=:

故選：B.

【例2.2](23-24高二下?甘肅蘭州?期末)已知矩形4BCD,P為平面力BCD外一點(diǎn)，P41平面2BCD,點(diǎn)M,N滿

足麗=亞,~PN=|PD.若標(biāo)=無(wú)荏+丫而+zZ?,貝l|x+y+z=()

A.-1B.1C.-jD.|

【解題思路】根據(jù)題意，由平面向量基本定理結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算，即可得到結(jié)果.

【解答過(guò)程】

因?yàn)閮?(而，麗=|麗，

所以麗=兩一兩=|而麗=|(前—而)_((前一而)

=|(AD-ZP)-|(AB+AD-AP)=-^AB+^AD-^AP,

因?yàn)槎?%荏+y而+zZ?,所以X=-L,y=-,Z=

266

所以久+y+z=—[.

故選：C.

【變式2.1](23-24高二上.廣東江門?階段練習(xí))如圖，在三棱錐。-ABC中，點(diǎn)G為底面AABC的重心，

點(diǎn)M是線段。G上靠近點(diǎn)G的三等分點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M的平面分別交棱。4,OB,。。于點(diǎn)D,E,F,若前=k次,

OE=mOB,OF=nOC,則工+工+乙=()

kmn

o

【解題思路】由空間向量基本定理，用瓦?，0B,況表示由，由D,E,F,M四點(diǎn)共面，可得存在實(shí)數(shù)尢〃,

使麗=ADE+fiDF,再轉(zhuǎn)化為麗=(1-A-i￡)kOA+AmOB+finOC,由空間向量分解的唯一性，分析

即得解.

【解答過(guò)程】由題意可知，0M=10G-|(01+^4G)=|[OX+|x|(AB+ZC)]

2r_____.1____,____,i____T9_____9_________2_________

=i\oA+L(oB-oA)+L(oc^oA)\=ioA+ioB+ioC

JLJJJ.zJJ

因?yàn)椤?，E,F,M四點(diǎn)共面，所以存在實(shí)數(shù)尢〃，使麗=2屁+〃而，

所以南-0D=A(OE-0D)+n(OF-0D),

所以麗=(1-A-n)OD+WE+iiOF=(1一4一^kOA+AmOB+[mOC,

/(1-"〃)k=:2

所以｛2m=-7,

[^n=l

1119999

++A++

----------

kn2222

rn

故選：D.

[變式2.2](23-24高二下?江蘇南通?期末)已知產(chǎn)是448C所在平面外一點(diǎn),M是2C的中點(diǎn),若前xPA+

yPB+zPC,貝ij()

A.%+y+z=0B.%+y+z=1

C.x-y—z=1D.x—y—z=—1

【解題思路】推導(dǎo)出施=^（AB+AC）,利用空間向量的減法結(jié)合空間向量的基本定理可得出小y、z的值,

即可得出合適的選項(xiàng).

【解答過(guò)程】如下圖所示:

P

AC

R

因?yàn)镸為BC的中點(diǎn)，則宿=屈+麗=荏+（麗=荏+]（左-荏）=j（Zfi+ZC）,

所以，AM=^（PB-JA+PC-PA）=-E?+1PB+|PC,

又因?yàn)榍?+y而+z無(wú)，且可、麗、而不共面，則％=-1,y=z=$

故x+y+z=O,x—y—z=-2,

故選：A.

【題型3正交分解】

【例3.1]（23-24高二上?河北?期中）已知BD1平面ABC,AB1BC,BD=1,AB=2,BC=3,則空間

的一個(gè)單位正交基底可以為（）

A.｛萍，麗（呵B.[|BC,BD,|B2]

C.（BC,BD,yAD]D.國(guó)麗,|網(wǎng)

【解題思路】先得到4B,8C,B0兩兩垂直，再根據(jù)其長(zhǎng)度得到空間的一個(gè)單位正交基底.

【解答過(guò)程】因?yàn)?01平面ABC,u平面48C,

所以8。1AB,BD1BC.

因?yàn)榱1BC,即4B,BC,BD兩兩垂直，

又BD=1,AB=2,BC=3,

所以空間的一個(gè)單位正交基底可以為《阮,BD,^BA\.

故選：B.

【例3.2]（23-24高二上.河南洛陽(yáng)?階段練習(xí)）已知｛乙3,百是空間的一個(gè)單位正交基底，向量萬(wàn)=a+2h+3c,

色+風(fēng)之-江碼是空間的另一個(gè)基底，向量日在基底｛2+3,2-3,成下的坐標(biāo)為（）

【解題思路】設(shè)p=x(a+B)+y(a-刃+z*根據(jù)空間向量基本定理建立關(guān)于%,%z的方程，解之即可得

解.

【解答過(guò)程】解：設(shè)p=%(a+W+y(a_1+zi

=(x+y)a+(%—y)b+zc=a+2h+3c,

%+y=1

所以％—y=2,解得

z=3

所以向量力在基底缶+b,a-b,或下的坐標(biāo)為(I，6,3).

故選：A.

【變式3.1](23-24高二上.江西撫州.期末)已知色是同是空間的一個(gè)基底，歸+3,2-另，碼是空間的另一

個(gè)基底，一向量力在基底但2,｝下的坐標(biāo)為(4,2,3),則向量力在基底｛2+3,2-3,現(xiàn)下的坐標(biāo)是()

A.(4,0,3)B.(3,1,3)C.(1,2,3)D.(2,1,3)

【解題思路】利用空間向量基本定理求解即可.

【解答過(guò)程】設(shè)向量力在基底向+3,N-3,4下的坐標(biāo)為(x,y,z),則萬(wàn)=x(N+3)+y(2-3)+z落

又向量力在基底值b,成下的坐標(biāo)為(4,2,3),則萬(wàn)=4a+2b+3c,

所以4d+2b+3c=x(a+b)+y(d—b)+zc,即4五+2h+3c=(%+y)a+(x—y)b+zc,

x+y=4,儼=3,

所以x-y=2,解得y=1,

z—3,z—3f

所以向量力在基底但+b,a-b,耳下的坐標(biāo)為(3,1,3).

故選:B.

【變式3.2](23-24高二上.湖北武漢?階段練習(xí))己知優(yōu)3,現(xiàn)是空間的一組單位正交基底，若向量力在基底

優(yōu)b,4下用有序?qū)崝?shù)組表示為(3,2,1),則與向量力同向的單位向量在基底優(yōu)b+c,b-4下用有序?qū)崝?shù)組表

示為()

/3V463^46V46\/3V14V14V14\

，\231461467，\14/7/14/

/3V143^1^V14\34H3^1^_V14\

rD.

，\14/28'2871428,28)

【解題思路】求出與向量力同向的單位向量沆的有序?qū)崝?shù)組，設(shè)與向量力同向的單位向量沆在基底

[a,b+c,b-a下有序?qū)崝?shù)組表示為{x,y,z},根據(jù)記=%五+(y+z\b+(y—z)c=a+b+曹c,

可得％,y,z,從而求出答案.

【解答過(guò)程】因?yàn)橄蛄苛υ诨椎蛦T訂下用有序?qū)崝?shù)組表示為(3,2,1),

所以與向量洞向的單位向量記的有序?qū)崝?shù)組表示為品q(3,2,1)=(雪，等岑)，

設(shè)與向量力同向的單位向量沅在基底伺1+5,3-仃下有序?qū)崝?shù)組表示為{x,y,z},

所以沆=xa+y(b+c)+z(b—c)=xa+(y+z)b+(y—z)c,

BPP4-3mT.2V147*.V14->

又因?yàn)?n=卞。+丁6+京c,

3V1413A/14

X=X=

1414

_2V143y/14

所以，y+z--------,解得<

14y=28

V14V14

j-z、

Fz=28

故選：C.

模塊二用空間向量基本定理解決相關(guān)的幾何問(wèn)題。|

?知識(shí)梳理

1.證明平行、共線、共面問(wèn)題

(1)對(duì)于空間任意兩個(gè)向量a,a〃％的充要條件是存在實(shí)數(shù)九使。=M.

(2)如果兩個(gè)向量a,5不共線，那么向量p與向量a,》共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y),

使p—xa+yb.

2.求夾角、證明垂直問(wèn)題

(1)。為a,?的夾角，則cos(9=j^卷.

⑵若a,6是非零向量，則a,60az>=0.

3.求距離(長(zhǎng)度)問(wèn)題

\tt\=yja-a(|XB|AB-AB).

4.利用空間向量基本定理解決幾何問(wèn)題的思路:

(1)平行和點(diǎn)共線都可以轉(zhuǎn)化為向量共線問(wèn)題；點(diǎn)線共面可以轉(zhuǎn)化為向量共面問(wèn)題；

(2)幾何中的求夾角、證明垂直都可以轉(zhuǎn)化為向量的夾角問(wèn)題，解題中要注意角的范圍;

(3)幾何中求距離(長(zhǎng)度)都可以轉(zhuǎn)化為向量的模，用向量的數(shù)量積可以求得.

【注】用已知向量表示某一向量的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：

(1)用已知向量來(lái)表示某一向量，一定要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵.

(2)要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量

的始點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量.

(3)在立體幾何中三角形法則、平行四邊形法則仍然成立.

A題型歸納

【題型4證明平行、共線、共面問(wèn)題】

【例4.1］（23-24高二上.上海.課后作業(yè)）四棱柱4BCD—49的六個(gè)面都是平行四邊形，點(diǎn)M在對(duì)角

線43上，且14Ml點(diǎn)N在對(duì)角線4C上，且|4N|=：|NC|,

CBf

DA

（1）設(shè)向量AB=a,AD=b,AAr=c,用N、b、3表示向量D'N；

（2）求證：M、N、D'三點(diǎn)共線.

【解題思路】（1）借助空間向量的線性運(yùn)算計(jì)算即可得；

（2）借助向量共線定理證明麗〃而即可得.

【解答過(guò)程】⑴因?yàn)閨AM|則而=（彳厲=式前5+福）=一市+市,

33

CB'

DA

所以西+而=-AD+（-|A7+jA6）

又因?yàn)閨AN|=||NC|,則=］衣=；（卬/+而+前），

了

所以而=西+祈=-而+［（0+同+而）=*-：而-那

IT37*1-

--a—b—c；

444

（2）因?yàn)槎?行一行=：衣一］誦/一祠）一卷初=￡BC--W

12

=：畫-3幅）,且iiTF=40'一行=A，D；一=前一■市,

所以標(biāo)=工而，即M、N、。三點(diǎn)共線.

4

【例4.2](23-24高二上.福建廈門?階段練習(xí))已知何是。是空間的一個(gè)基底，且31=32+3京OC=-a+

2b+3c,OD=2a+b—c.

(1)求證：A,B,C,。四點(diǎn)共面；

(2乂瓦?,4,而｝能否作為空間的一個(gè)基底？若能，試用這一基底表示礪；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解題思路】(1)確定4B=—3+￡>+2c,AC=—4a—/74-3c,AD=一3.一2b—c,得到4D=——AB+—AC)

得到證明.

(2)計(jì)算得到瓦？=?加+反，故不能作為基底，得到答案.

【解答過(guò)程】(1)南=費(fèi)一市=(2d+跖+22一(3N+3&=一2+3+2旗

AC=0C-0A=(一a+2b+3c)—(3a+3b)=-4a—￡>+3c；

AD=OD-OA=(2a+b-c)—(3a+3b)=-a-2b-c；

設(shè)4Z)A.AB+p.AC,即—a—2b—c—2(—a+b+2c)+“(—4a—b+3c)

'―1—X_4fl4=—_

5

故一2=2-4，解得|3,故而=-2荏+三元，

「1=22+3〃=g

故A,B,C,。四點(diǎn)共面.

(2)假設(shè)市=mOB+nOC,貝！J3d+3b=m(2d+4b+2c)+n(2a+b—c),

(3=2m+2nr_i_>_

故3=4m+n,解得｛m2,OA=|OB+OC,

.0—2m—n(n=1

故就，麗，反不能作為基底.

【變式4.1](23-24高二上.湖北武漢.階段練習(xí))在正四棱錐P-4BCD中，點(diǎn)MMS分別是棱P4,PB,PC上

的點(diǎn)，且麗=久兩，兩=y而，麗=z而，其中久,y,z6(0,1].

(1)若x=l,y=｝且PD〃平面MNS,求z的值；

(2)若x=|,y=且點(diǎn)。6平面MNS,求z的值.

【解題思路】(1)由PD〃平面MNS利用共面定理可得麗=4而+〃而再將而、示轉(zhuǎn)化為用同、PB,

麗來(lái)表示，再利用空間向量的基本定理即可求解.

(3)由點(diǎn)。e平面MNS,可知D、M、N、S四點(diǎn)共面，再利用共面定理的推論即可求解.

【解答過(guò)程】(1)PM=xPA,~PN=yPB,~PS=z正且x=l,y=

??.PM=PA,PN=：PB,

在正四棱錐P—48CD中麗=瓦？+前，

可得麗-麗=麗一麗+玩一方，

即而^~PA-PB+~PC,

又PD〃平面MNS.?.所以存在實(shí)數(shù)入〃使得麗=力而+〃而，

即麗=A(PN-PM)+fi(PS-PM)=(-2-iiyPA+^PB+(izPC,

又麗=方一而+而且西、PB.而不共面，

-A—〃=1

；=-1解的z=l.

｛〃

z=1

(2)由(2)可知麗=方一麗+而

又兩=xPA,PN=yPB,~PS=z而且x=|,y=｝

可得而=-PM—2PN+-PS

2z

又點(diǎn)。e平面MNS,即0、M,N、S四點(diǎn)共面

所照-2+工=1解得z=|.

2z3

【變式4.2](23-24高二.全國(guó).課后作業(yè))已知同可,｝為空間的一個(gè)基底，且而=2久-瓦+3石，0A=

e1+262—03,0B=—3e1+e2+Ze3,0C=e1+e2一.

(1)判斷P,4B,C四點(diǎn)是否共面；

(2)能否以｛初，礪，云｝作為空間的一個(gè)基底？若能，試以這一組基表示M；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解題思路】

(1)假設(shè)P,4B,C四點(diǎn)共面，然后利用空間向量共面定理列方程求解；

(2)先判斷出，布，反不共面，再利用空間向量基本定理列方程求解.

【解答過(guò)程】(1)

假設(shè)P,48,C四點(diǎn)共面，

則存在實(shí)數(shù)x,y,z,UOP=xOA+yOB+zOC,且x+y+z=l,

即福一石+3石=x（e7+2/一可）+y（-3瓦（+/+2可）+zQ7+/一瓦）

比較對(duì)應(yīng)的系數(shù)，得到關(guān)于x,y,z的方程組

'x—3y+z=2（x=17

2%+y+z=-1,解得，y=-5與％+y+z=1矛盾，

-x+2y—z=3z=—30

故P,4SC四點(diǎn)不共面.

(2)

若8彳,而，反共面，則存在實(shí)數(shù)6,71,使萬(wàn)？=小麗+71沆,

所以q+2^2一久=血（-3q+3+2瓦）+九（前+葭一可），

—3m+n=1

所以'm+n=2，方程組無(wú)解，

2m—n=-l

所以府，而，沆不共面，

所以｛瓦5,赤，而｝可以作為空間的一組基底，令瓦？=a,OB=b,OC=c,

'瓦+2eJ—e^=a=3a—b—5c

所以?一3瓦+￡+2冤=3，解得e^-a-c

、可+石一瓦=3le^=4a—b—7c

所以。P=2e1—e2+363=2(3a—b—5c)-(a-c)+3(4a-b-7c)

=17a-5b-30c=17OA-SOB-30OC.

【題型5幾何中的求夾角、證明垂直問(wèn)題】

【例5.1］（23-24高二下?江蘇常州?階段練習(xí)）如圖所示，平行六面體48CD—4B1C1D1中，ABAD=

I,.=2/BAD=^,z.BAA1=ADAA1=

（1）用向量屈，而，瓦彳表示向量珂，并求|西|；

（2）求cos（BZ）i，4C）.

【解題思路】（1）借助空間向量的線性運(yùn)算與模長(zhǎng)與數(shù)量積的關(guān)系計(jì)算即可得;

（2）結(jié)合題意，借助空間向量的線性運(yùn)算與夾角公式計(jì)算即可得.

【解答過(guò)程】（1）西=砧一荏=而+硒*-南，

貝山西廣=(AD+~AA[-AB｝2=AD2+AA^2+AB2+2AD-AA1-2AD-AB-2AB■AA[

11

=l+4+l+2xlx2x--0-2x2xlx-^6,

所以|西|

（2）由空間向量的運(yùn)算法則，可得前=而+而,

因?yàn)?B=AD=1,AA1=2且NB/W==ND4&=p

所以|河=J廊+AD\2=J麗Z+2|祠.\AD\cos^+I珂2

=Vi+0+1=V2,

~BD1-AC=（AD+AAl-AB｝-（AB+AD）

=AD-AB+AD2+AAi-AB+AA^-AD-AB2-AD-AB

=1x1xcos；+l2+2x1xcos=+2X1Xcos=-l2-lxlxcos；=2,

贓時(shí)西，祠=*=△=當(dāng)

【例5.2]（23-24高二?全國(guó)?隨堂練習(xí)）已知在空間四邊形ABCD中，DA1BC,DBVAC,求證：DC1AB.

【解題思路】選取基底，將已知直線垂直關(guān)系轉(zhuǎn)換為數(shù)量積為0,得到相應(yīng)的等量關(guān)系，進(jìn)而證明瓦？?瓦=0

即可.

【解答過(guò)程】如圖所示:

不妨選空間的一組基底向量為｛離，麗,比｝,

由題意ZM1BC,DB1AC,

所以有病-~BC=DA-（BD+DC）=-DA~DB+DA-DC=0,即市-DC=DA-DB,

同理有麗■AC^'DB-（AD+DC）=-DA-DB+^B-DC^O,即麗-DC^DA-DB,

因此刀?皮=（前+市）?皮=-DC-JB+DCDA=DA-DB-DA-DB=0,

從而瓦？1反，即BAIDC.

【變式5.1]（23-24高二上?山東聊城?階段練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正四面體。4BC中，M,N分別是邊02,

BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在MN上，且MG=2GN,設(shè)瓦I=五，OB=b,0Cc.

o

（1）試用向量出b,5表示向量OG；

(2)求cos<OG,BA>.

【解題思路】（1）根據(jù)平面向量基底運(yùn)算即可得到結(jié)果.

（2）分別求出|直|,|而瓦？?赤的值，再結(jié)合向量的夾角公式即可求得結(jié)果.

【解答過(guò)程】（1）而=礪+標(biāo)=（反+|（拓？+南+麗）

1211111

=—OA+—OA-[-OB-OA^-BCj=-OA+OB--OA+-

2322I畫

1-，21111—.11］一

=X+-OB——OA+—OCI=-OA+—OB——OA+—OC

2°3222/2333

1111_1-1

=_0A+_0B+_0C=_a+-b+-c

(2)由題意知，|五|=網(wǎng)=Q=1,a-b=d-c=b-c=^fBA=a—bf

、、2

|a|2-2a-6+|b|=1,

.ir,i--i2r-V17

a+b+"訐+州『+打2z+-a-b+-a-c+-D-c=——

i39996

’14l1J

OG.B4=Q-司.(-a+-Dr+-c

633,

1一1一一1一一1一一1-1一一1

=-d2+-d-b+-a-c--d'b--b2--b-c=—

63363312

OGBA_V17

所以cos<OG,BA>=

|OG||RA|-34

【變式5.2］（23-24高二下.江蘇常州.階段練習(xí)）如圖，在底面/BCD為菱形的平行六面體/BCD-//1C1A

中，M,N分別在棱ZALCCI上，且=^AAltCN=|CC1,且44遇。=^ArAB=4DAB=60°.

(1)求證：D,M,B],N共面；

(2)當(dāng)?shù)臑楹沃禃r(shí)，力

AD

(3)若AB=AA1=1,且2止=^A1C1,求4P的長(zhǎng).

【解題思路】(1)利用向量證明前=祈瓦，然后可證；

(2)以理，AD,荏為基底表示出扃，幣，然后根據(jù)宿?碰=0求解可得；

(3)利用基底表示出衣，然后平方轉(zhuǎn)化為數(shù)量積求解即可.

【解答過(guò)程】(1)在平行六面體4BCD-481的￡)1中，連接MD、DN、NB】、BrM,

-1-1

因?yàn)?^A4i，CN=：CC「

所以]=：可+=/京+荏，

DN=DC+CN=A1B1+^CC1=^AA1+AB,

所以麗=瓦瓦，即。N="當(dāng)且。N〃MB「

所以四邊形DMB】N為平行四邊形，即共面.

(2)當(dāng)也=1時(shí)，力G1&B,理由如下，

AB

設(shè)441=c,AD=b,AB=a,且號(hào)與b、'與,、匕與日的夾角均為60。，

因?yàn)榈酌?BCD為菱形，所以同=|磯，

ACr=AA-^+AiQ=4+A1D1+AA1=a+b+c,ArB=AtA+AB=a—c,

若"iia/,則宿i京瓦

22

即4cl?A1B=(^a+c+b^(a.-c)=a.—c+a-b—c-b=0,

即|那—|c|2+|a|-|fo|cos60"—|c|-|b|cos600=\a\2—|c|2+1\a\2—||c|-|a|=0,

解得同=用或3㈤+2|c|=0舍去，

所以"1=1時(shí)，XQ14/

DyG

(3)-：A^P=^A1C1,

->-------->1---------->-------->1------?1------>

.?.XP=^1+-711C1=^1+-XB+-XD,

AB=AAr=1,

AP2=(麗++jAD)2

>21>c1>C>>>>1>?

22

=AA±+-AB+-AD+AA1-AB+AA±-AD+-AB?AD

144112

1111111

=1+-4+-4+2-+2^+4T=-4T

所以函=手，所以4P的長(zhǎng)為手.

【題型6幾何中的求距離(長(zhǎng)度)問(wèn)題】

【例6.11(23-24高二上?山東?階段練習(xí))如圖，空間四邊形OABC中，0A=2,。8=3,0C=4,且布，而，反

任意兩個(gè)之間的夾角均為60。，OM=2MA,麗=2祝，則|而|=()

【解題思路】利用基底法表示出而=-|瓦5+,礪+|擊，再根據(jù)向量模的計(jì)算公式和向量數(shù)量積的運(yùn)

算律即可得到答案.

【解答過(guò)程】由題意得麗=麗一麗=方+而一血=前+：方一|瓦？

-OC+-(OB-OC)--0A--OA+-OB+-0C,

3vJ3333

而市?OB=|01|-|OB|cos60°=2X3X|=3,

OBOC=\0B\■|OC|cos60°=3x4x|=6,

OX-OC=|01|-|OC|cos60°=2x4x；4,

貝!J|麗|=J(-|04+|0B+|0C)2

414448

=\-OA2+-7)B2+-OC2--OA-OB+-OB-OC--OA-OC

(4ZZT1.4:4c,4,87V69

=-x22+-x32+-x42——x3+-x6——x4=—.

\9999993

故選：A.

【例6.2](23-24高二上?吉林?階段練習(xí))在三棱臺(tái)力BC-力iBiQ中，AAr=AB=AC=2A1B1=2,

COSNBTMI=cos乙B2C=COSNCA4t=工，181G的重心為。，BC的中點(diǎn)為D,與4。相交于點(diǎn)E,則4E

的長(zhǎng)為()

AV179DV178cV179nV178

A.---D.C.D.

4488

【解題思路】延長(zhǎng)4。交BiG于點(diǎn)尸，通過(guò)三角形重心的性質(zhì)得出F為BiG的中點(diǎn)，結(jié)合已知即可得出公。=

=2x24。=工4),再通過(guò)三棱臺(tái)的性質(zhì)得出AAIE。?△DE4則會(huì)=黑=；,即可將荏分解為

3323DEDA3

：(6標(biāo)+AB+AC),即可利用向量模的求法結(jié)合已知得出答案.

【解答過(guò)程】如圖，延長(zhǎng)久。交8停1于點(diǎn)尸，

,.,△&B1Q的重心為0,

&F為△&B1G在B】Ci邊上的中線，即尸為BiG的中點(diǎn)，

；三棱臺(tái)4BC—4/iCi中，A?AABC,AB—AC—2X1B1-2

T

???ArF—^AD,A1B1=41C1=1,

.??&0=-2AF=-2x-A1D=1-AD,

131323

??,三棱臺(tái)/BC-AiBiG中，面4181cl||面/8C,且面/OF/1分別交面^ABC^ArF,AD,

???ArF||AD,

??.△A1LE。?△。瓦4,則晝=&￡=工，

DEDA3

得旗二河+海二河+；傳同+4)?京+焉荏+押=式6麗+樂(lè)+硝,

所以網(wǎng)=^(6AA^+AB+AC)2=iJ36A472+AB2+AC2+12A4^?AB+12AA1-AC+2AB-AC=

8?

故選：D.

【變式6.1](23-24高二上?上海?期末)如圖所示，在四棱錐M-4BCD中，底面ZBCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，

側(cè)棱4M的長(zhǎng)為2,且AM和的夾角都是60。，N是CM的中點(diǎn)，設(shè)石=荏，b=AD,c=AM,試以出

b,1為基向量表示出向量前，并求BN的長(zhǎng).

【解題思路】根據(jù)題中條件，由向量的線性運(yùn)算法則求出前另+：房再由向量模的計(jì)算公式,

結(jié)合題中條件求出I前I=當(dāng)，即得出結(jié)果.

【解答過(guò)程】因?yàn)镹是CM的中點(diǎn)，底面ABCD是正方形，

所以前=阮+麗=AD+^CM=AD+|(AM-AC}=AD+|(AM-XB-AD)

=--2AB2+-AD2+-AM2=--d2+-b2+-c,

由題意，可得|d|=\b\=lf\c\=2|,^MAB=Z.MAD=60°,乙BAD=90°,

因此互譚=f--a+-h+-c)=-a2+-b2+-c2--a-b--a-c+-b-c

\222J444222

11113

=-+-+1—0--xlx2cos60°+-x1x2cos60°=-

44222

所以忸所=?，即BN的長(zhǎng)為當(dāng)

【變式6.21(23-24高二上?浙江?期中)如圖，空間四邊形。48c中，。4=OB=0C=2,4AOC=乙BOC=p

AAOB=點(diǎn)點(diǎn)M,N分別在04BC上，且。M=2MA,BN=CN.

⑴以｛瓦?，而，沆｝為一組基底表示向量而；

(2)求MN的長(zhǎng)度.

【解題思路】(1)利用空間向量運(yùn)算的幾何表示及空間向量基本定理求解；

(2)利用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，由而2=(_|而+|礪+(反丫展開(kāi)計(jì)算即可.

【解答過(guò)程】⑴,；0M=2MA,BN=CN,

MN^ON-OM^-COB+~oc~\--OA=--OA+-OB+-oc.

2k73322

(2)0A=OBOC=2,^AOC=^BOC=-,^AOB=-,

23

所以市.沆=0,OBOC=0,OA-OB=\OA\\OB\cos^2,

2

所以而2=f-|o2+loB+|oc^

4__1______12__?__,2__?1_

=-OA2+-'OB2+-OC2--OA.~0B--OA-OC+-OB-OC

944332

=§|。川+-\0B\+-\0C\--OAOB

=-x22+-x22+-x22--x2=—

94439f

所以I而I=與.

【題型7空間向量基本定理與其他知識(shí)綜合】

【例7.1］（23-24高二上.江西?階段練習(xí)）中國(guó)古代數(shù)學(xué)瑰寶《九章算術(shù)》中記載了一種稱為“芻童”的幾何

體，該幾何體是上下兩個(gè)底面平行，且均為矩形的六面體.現(xiàn)有一“芻童”BCD-4/1的。1，如圖所示.45=

AA!=4,A1B1=AD=2,ArDr=1,AB/ZA^,ABAAr+^DAAr=y,416與Bi。1的交點(diǎn)為。，貝?。莶?前

C.8V3+5D.21

【解題思路】設(shè)NB441=a,從而ND44i=詈-a,然后由｛河，屈，而｝為基底，表示向量福左，再利用

向量數(shù)量積的運(yùn)算律求解.

【解答過(guò)程】解：設(shè)N8441=a,則ND44=*一處

由題意得前=磯+7^0=祐++可/；=彳否+^AB+^AD,AC=AB+AD.

所以南.前=（AAl+^AB+^AD）-（AB+AD）,

=麗.荏+可.而+［語(yǔ)+］砂+（兩而,

=16cosa+8cos（詈-a）+4+1,

=4V3sina+12cosa+5=8>/3sin（a+0+5,

當(dāng)NBA%=a=源.而-尼取得最大值，且最大值為8百+5.

故選：C.

【例7.2］（23-24高三下.湖南長(zhǎng)沙.階段練習(xí)）如圖，已知四棱柱ABC?！?B1GD1的體積為憶四邊形ABCD

是平行四邊形，點(diǎn)E在平面ACC1al內(nèi)，且荏=；而+|福，則三棱錐Oi-ADC與三棱錐E-BCD的公共部

分的體積為（）

【解題思路】作出輔助線，找到兩三棱錐的公共部分，結(jié)合三角形相似知識(shí)得到邊長(zhǎng)比，從而得到體積比，

求出答案.

【解答過(guò)程】先找兩三棱錐的公共部分，由荏=；照+|宿知:X荏-而）=*宿-荏），故而=3可，

在CQ上取點(diǎn)E,使得CE=3EC「連接DE,

設(shè)DEnDiC=F,4CnBD=G,連接FG,

則三棱錐F-CDG為三棱錐劣-ADC與三棱錐E-BCD的公共部分,

?：ACEFSAD'DF,

D]F_DDt_4FC_3

二7F=7F=§=布=T

???點(diǎn)F到平面2BCD的距離是點(diǎn)到平面ABCD的距離的3又S^DG=衿嫉°，

Vp-CDG=-義—X—X/=一.

2LUh34728

故選：A.

【變式7.1]（23-24高二上?江西新余?期末）已知點(diǎn)。在△ZBC確定的平面內(nèi)，0是平面ZBC外任意一點(diǎn),

正實(shí)數(shù)X,y滿足時(shí)=3瓦-茄7-y礪，貝嶺+：的最小值為（）

A.1+V2B.-+V2C.1+2&D.3+2V2

2

【解題思路】根據(jù)空間四點(diǎn)共面的性質(zhì)，結(jié)合基本不等式“1”的妙用即可得解.

【解答過(guò)程】因?yàn)槎?3反-防7-y礪，且4B,C,D四點(diǎn)共面，

由空間四點(diǎn)共面的性質(zhì)可知3-x-y=1,即％+y=2,

又%>0,y>0,

所以：+；=*x+y)G+3=X3+?+3213+2jf^)=|+a,

當(dāng)且僅當(dāng)過(guò)=與即x=4-2Vxy=2夜一2時(shí)，等號(hào)成立，

xy

所以三+三的最小值為；+y[2.

xy2

故選：B.

【變式7.21(24-25高二上?上海?課后作業(yè))已知空間向量瓦?、而、前都是單位向量,且瓦？1而，萬(wàn)？1瓦，

布與反的夾角為60。,若尸為空間任意一點(diǎn)，且|而|=1,滿足|赤?瓦|<\OP-OB\<|加,瓦?|,求而?瓦

的最大值.

【解題思路】根據(jù)空間向量基本定理設(shè)赤=mOA+nOB+sOC,由|而|=1,得/+n2+s2+sn=1^,

設(shè)巴+S=071+三=匕，則九=2(2b—a),s=2(2a—匕),代入①式，得Q2十一。力=?Q一7n2),結(jié)合已知可求

22