湖北省新八校協(xié)作體2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期2月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷學(xué)校：___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________

一、選擇題1．[2025春·高三·湖北·開學(xué)考試聯(lián)考]設(shè)集合，，則()A. B. C. D.1．答案：C解析：因，，故，故選：C2．[2025春·高三·湖北·開學(xué)考試聯(lián)考]已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，且，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2．答案：C解析：，故，設(shè)，由于復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，故，，，故，，因此在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，故選：C3．[2025春·高三·湖北·開學(xué)考試聯(lián)考]函數(shù)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)x，下列結(jié)論正確的是()A.是偶函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增 B.是奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增C.是奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞減 D.是偶函數(shù)，且在R上單調(diào)遞減3．答案：B解析：的定義域?yàn)镽，而，則，故是奇函數(shù)，由于，函數(shù)單調(diào)遞增，故在R上單調(diào)遞增，故選：B4．[2025春·高三·湖北·開學(xué)考試聯(lián)考]已知向量，，且，則的面積為()A. B. C. D.4．答案：A解析：因?yàn)?，得到，化?jiǎn)得，所以，又，，所以，得到，所以，則，，所以的面積為，故選：A.5．[2025春·高三·湖北·開學(xué)考試聯(lián)考]已知，，則()A. B. C. D.5．答案：A解析：因?yàn)椋?，所以，得到，又，所以，故選：A.6．[2025春·高三·湖北·開學(xué)考試聯(lián)考]如圖，在四棱錐中，底面是矩形，，，，則該四棱錐的體積為()A.1 B.2 C. D.6．答案：B解析：如圖：取，的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連接，，，則，，且，平面，故平面，平面，故平面平面，平面平面，過P作的垂線，垂足為O，即，平面，故平面，由題意可知，，，由余弦定理可得，，，故，所以四棱錐的高為1，則四棱錐的體積為.故選：B7．[2025春·高三·安徽師范大學(xué)附中·開學(xué)考試]費(fèi)馬定理是幾何光學(xué)中的一條重要原理，在數(shù)學(xué)中可以推導(dǎo)出圓錐曲線的一些光學(xué)性質(zhì).例如，點(diǎn)P為雙曲線，為焦點(diǎn)）上一點(diǎn)，點(diǎn)P處的切線平分.已知雙曲線，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)處的切線為直線l，過左焦點(diǎn)作直線l的垂線，垂足為M，若，則雙曲線C的離心率為()A.2 B. C. D.7．答案：B解析：如圖，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,由于M是的角平分線上的一點(diǎn)，且,所以點(diǎn)M為的點(diǎn)，所以,又O為的中點(diǎn)，所以，故，故，即，將點(diǎn)代入可得，解得，故離心率為，故選：B8．[2025春·高三·湖北·開學(xué)考試聯(lián)考]已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且對(duì)任意，滿足，且則下列結(jié)論一定正確的是()A. B. C. D.8．答案：D解析：當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，故，，…，，由累加法可得，，故，故AB錯(cuò)誤，由，，…，，所以，故，所以C錯(cuò)誤，D正確，故選：D二、多項(xiàng)選擇題9．[2025春·高三·湖北·開學(xué)考試聯(lián)考]已知函數(shù)，若將的圖象向右平移個(gè)單位后，再把所得曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是()A.B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D.的圖象與的圖象在內(nèi)有4個(gè)交點(diǎn)9．答案：BD解析：的圖象向右平移個(gè)單位后，可得，進(jìn)而可得，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，，故B正確，對(duì)于C，，故不是的對(duì)稱軸，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，分別作出與在內(nèi)的圖象，可知有4個(gè)交點(diǎn)，故D正確，故選：BD10．[2025春·高三·湖北·開學(xué)考試聯(lián)考]函數(shù)叫自然指數(shù)函數(shù)，是一種常見的超越函數(shù)，它常與其它函數(shù)進(jìn)行運(yùn)算產(chǎn)生新的函數(shù).已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()A.函數(shù)在上單調(diào)遞減B.函數(shù)既有極大值，也有極小值C.方程有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)解D.在定義域內(nèi)，恒有10．答案：BCD解析：易知的定義域?yàn)?，，?duì)于選項(xiàng)A，由，得到，且，所以減區(qū)間為，，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)B，由，得到或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，當(dāng)時(shí)，，所以的極大值為，極小值為，故選項(xiàng)B正確，對(duì)于選項(xiàng)C，由選項(xiàng)B知，的增區(qū)間為，，減區(qū)間為，，當(dāng)時(shí)，，且時(shí)，，當(dāng)x從左邊時(shí)，，當(dāng)x從右邊時(shí)，，且時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，圖象如圖所示，由圖知，只有一個(gè)零點(diǎn)，且，令，由，得到，所以，令，由圖知，與有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，所以選項(xiàng)C正確，對(duì)于選項(xiàng)D，令，易知的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，所以，即，得到，故選項(xiàng)D正確，故選：BCD.11．[2025春·高三·湖北·開學(xué)考試聯(lián)考]二元一次方程：可以表示平面內(nèi)所有的直線，二元二次方程可以表示平面內(nèi)所有的二次曲線.下列對(duì)二元二次方程所表示曲線的性質(zhì)描述正確有()A.曲線關(guān)于直線對(duì)稱B.曲線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)的范圍是C.存在，使與曲線相切D.過的直線與曲線交于A，B兩點(diǎn)，的最小值為211．答案：ABD解析：對(duì)于A，將x換成y，將y換成x，方程不變，因此方程所表示的曲線關(guān)于直線對(duì)稱，A正確，對(duì)于B，，故，故，故B正確，對(duì)于C，聯(lián)立，化簡(jiǎn)得，即，故，該方程有唯一的實(shí)數(shù)根，故曲線與直線有唯一的交點(diǎn)，因此無論m為何值，與曲線均不相切，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，由選項(xiàng)A可知：曲線關(guān)于對(duì)稱，故，可得，，此時(shí)，故的最小值為2，故D正確，故選：ABD三、填空題12．[2025春·高三·湖北·開學(xué)考試聯(lián)考]現(xiàn)有5名志愿者被派往A，B，C三個(gè)小區(qū)參加志愿者活動(dòng)，每個(gè)志愿者只能選其中一個(gè)小區(qū)，A小區(qū)安排1人，B小區(qū)安排2人，C小區(qū)安排2人.則不同的安排方案共有種________.（用數(shù)字作答）12．答案：30解析：首先從5名志愿者中選出1人去A小區(qū)，共有種情況，再?gòu)氖Ｏ碌?名志愿者中選出2人去B小區(qū)，共有種情況，剩下的2個(gè)人安排到C小區(qū)，因此不同的安排方法共有種，故答案為：3013．[2025春·高三·安徽師范大學(xué)附中·開學(xué)考試]已知直線與曲線相切，則直線l的方程為：__________.13．答案：解析：將變形為，故直線l恒過點(diǎn)，又經(jīng)過點(diǎn)，若直線l與相切于點(diǎn)，，故，所以直線l的方程為，即，若直線l與不相切于點(diǎn)，設(shè)切點(diǎn)為，則，故，故，化簡(jiǎn)可得，記，則，由于且，，在單調(diào)遞增，故單調(diào)遞增，且，故，因此在，單調(diào)遞減，由于，結(jié)合可知，當(dāng)時(shí)，無實(shí)根，故當(dāng)不是切點(diǎn)時(shí)，無滿足條件的切線方程，綜上可知：切線方程為故答案為：14．[2025春·高三·湖北·開學(xué)考試聯(lián)考]在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知，，若的面積不超過，則滿足條件的整點(diǎn)（橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)）M的個(gè)數(shù)為________.14．答案：24解析：設(shè)，直線方程為，可知，故，得設(shè)，則k為整數(shù)，則，，可得，故，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M在直線上，此時(shí)不能構(gòu)成三角形，故舍去，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)有4個(gè)整數(shù)點(diǎn)，，，，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)有4個(gè)整數(shù)點(diǎn)，，，，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)有4個(gè)整數(shù)點(diǎn)，，，，根據(jù)對(duì)稱性可知：當(dāng)時(shí)，也分別有4個(gè)整數(shù)點(diǎn)，故共有24個(gè)整點(diǎn)，故答案為：24四、解答題15．[2025春·高三·湖北·開學(xué)考試聯(lián)考]在矩形中，點(diǎn)E在線段上，且，，.(1)求；(2)若動(dòng)點(diǎn)M，N分別在線段，上，且與面積之比為，試求的最小值.15．答案：(1)6；(2)解析：（1）過E作于H，設(shè)，易知，，則，，由，整理得到，解得或（舍），所以.（2）由（1）易知，，設(shè)，，又，得到，在中，由余弦定理得到，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最小值為.16．[2025春·高三·湖北·開學(xué)考試聯(lián)考]秋收冬藏，禳禳滿家，神州大地，又是一個(gè)豐收年.2024年我國(guó)糧食年產(chǎn)量首次邁上1.4萬億斤新臺(tái)階，實(shí)現(xiàn)高位增產(chǎn).某地農(nóng)科院為研究不同土壤條件對(duì)大豆產(chǎn)量的影響，在該地區(qū)選取了一批試驗(yàn)田種植大豆，現(xiàn)隨機(jī)抽取了面積相等的10塊試驗(yàn)田，得到各塊試驗(yàn)田的畝產(chǎn)量（單位：），并整理得下表：畝產(chǎn)量頻數(shù)1324現(xiàn)將畝產(chǎn)量不少于的試驗(yàn)田記為“優(yōu)等田”.(1)從這10塊試驗(yàn)田中任選3塊田，求恰有1塊是“優(yōu)等田”的概率；(2)以這10塊試驗(yàn)田的檢驗(yàn)結(jié)果來估計(jì)該地區(qū)不同土壤條件對(duì)大豆產(chǎn)量的影響，若從該地區(qū)隨機(jī)抽取3塊試驗(yàn)田，記“優(yōu)等田”的塊數(shù)為X，求X的分布列和期望.16．答案：(1)；(2)分布列見解析，解析：（1）由題知10塊試驗(yàn)田中，“優(yōu)等田”有4個(gè)，所以從這10塊試驗(yàn)田中任選3塊田，恰有1塊是“優(yōu)等田”的概率為.（2）由題知X可能取值為0，1，2，3，又，，，，所以X的分布列為X0123P.17．[2025春·高三·湖北·開學(xué)考試聯(lián)考]已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1，過x軸下方的一動(dòng)點(diǎn)P作拋物線C的兩切線，切點(diǎn)分別為A，B，且直線剛好與圓相切.設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線E，過點(diǎn)的直線l與曲線E相交于M，N兩點(diǎn).(1)求拋物線的方程；(2)求點(diǎn)P的軌跡方程；(3)設(shè)曲線E與y軸交點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，記直線，的斜率分別為，，證明：是定值.17．答案：(1)；(2)；(3)證明見解析解析：（1）由題意可得，故拋物線的方程為（2）設(shè)，，，，所以直線，即，同理可得，設(shè)，則，且，故，在直線上，即直線方程為，由于直線與圓相切，故，化簡(jiǎn)可得，故點(diǎn)P的軌跡方程（3）由題意可知，，設(shè)直線l的方程為，，，聯(lián)立方程，化簡(jiǎn)可得，則，，故，由于直線l與雙曲線的下支相交于M，N兩點(diǎn)，故，解得，，故為定值.18．[2025春·高三·湖北·開學(xué)考試聯(lián)考]如圖，在平面四邊形中，為等腰直角三角形，為正三角形，，，現(xiàn)將沿翻折至，形成三棱錐，其中S為動(dòng)點(diǎn).(1)證明：；(2)若，三棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，求球心O到平面的距離；(3)求平面與平面夾角余弦值的最小值.18．答案：(1)證明見解析；(2)；(3)解析：（1）取的中點(diǎn)E，連接，，因?yàn)椋?，且的中點(diǎn)E，所以，又，平面，故平面，由于平面，故，（2）當(dāng)時(shí)，由，則，取的中點(diǎn)O，連接，，故O到A，B，C，S四點(diǎn)的距離相等，故O為三棱錐外接球的球心，因?yàn)椋?，故，，，設(shè)S到平面的距離為，B到平面的距離為，由等體積法可得，而，由于，故，所以，從而，故O到平面的距離為，（3）以B為原點(diǎn)，，，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，過點(diǎn)S作平面的垂線，垂足為Q，設(shè)為翻折過程中所旋轉(zhuǎn)的角度，則，，，故，，，，，則，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，，設(shè)平面的法向量，，，，取，則，，設(shè)平面平面與的夾角為，故，，令，，故，由于，故當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，故平面與平面夾角余弦值的最小值為，此時(shí).19．[2025春·高三·湖北·開學(xué)考試聯(lián)考]已知函數(shù)，.(1)求在處的瞬時(shí)變化率；(2)若恒成立；求a的值；(3)求證：.19．答案：(1)1；(2)；(3)證明見解