中考2025年寧夏中考數(shù)學(xué)試題一、選擇題（本題共8小題，每小題3分，共24分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中只有一個符合題目要求）1.如圖，數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)可能是（）A. B. C. D.12.如圖，直線被直線所截，根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”判定，需要的條件是（）A. B. C. D.3.下列運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.4.如圖，將書本上面的橡皮擦沿箭頭方向（垂直于右邊緣）平移到書本右邊緣．在此過程中，下列敘述正確的是（）A.主視圖不變 B.左視圖不變C.俯視圖不變 D.三種視圖都不變5.《九章算術(shù)》中有一段文字的大意是：有人合伙買羊，若每人出5錢，還差45錢；若每人出7錢，還差3錢．問合伙人數(shù)、羊價各是多少？設(shè)合伙人數(shù)為人，羊價為錢，則可列方程組為（）A. B.C. D.6.下列判斷正確的是（）A.若點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)在第二象限，則B.夜晚，小明走向一盞路燈，他在地面上的影長由短變長C.4的平方根是2D.過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直7.函數(shù)和的部分圖象如圖所示，點(diǎn)在的圖象上，過點(diǎn)作軸交軸于點(diǎn)，交的圖象于點(diǎn)．若，則的值為（）A. B. C. D.38.老師帶領(lǐng)數(shù)學(xué)小組僅用測角儀和皮尺測量某橋外側(cè)拱頂離水面的高度．如圖，拱頂離水面的高度為，點(diǎn)，是水平地面上兩點(diǎn)，且與點(diǎn)，均在同一豎直平面內(nèi)．已知水平地面離水面的高度為2米，測角儀支架高度為1.5米，為達(dá)成目的，還需測量的數(shù)據(jù)是（）A.的長，的度數(shù)B.的長，的度數(shù)C.的長，的度數(shù)D.的長，的度數(shù)二、填空題（本題共8小題，每小題3分，共24分）9.計(jì)算：___．10.如圖，直線與直線交于點(diǎn)，則關(guān)于的方程組的解是______．11.為提升學(xué)生藝術(shù)素養(yǎng)，學(xué)校在周三同時開展了多種文藝社團(tuán)活動．現(xiàn)從參加器樂、舞蹈和聲樂這三個文藝社團(tuán)的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名，他們恰好參加同一社團(tuán)的概率為_____．12.不等式組的解集是______．13.如圖，⊙是的內(nèi)切圓，，則_____．14.一個數(shù)學(xué)游戲規(guī)則是：如圖，在以同一點(diǎn)為位似中心的三個位似三角形的頂點(diǎn)處任意填入9個不同的數(shù)，使每個三角形的三個頂點(diǎn)與同一直線上的三個頂點(diǎn)的三個數(shù)之和均相等，則____．15.編程機(jī)器人表演中，一機(jī)器人從沙盤平面內(nèi)某點(diǎn)出發(fā)向前直行步后右轉(zhuǎn)，沿轉(zhuǎn)后方向直行步后右轉(zhuǎn)，再沿轉(zhuǎn)后方向直行步后右轉(zhuǎn)…，依此方式繼續(xù)行走，第一次回到出發(fā)點(diǎn)時，該機(jī)器人共走了_____步．16.如圖，在單位長度均為的平面直角坐標(biāo)系中，放置一個圓柱形筆筒的展開圖．其中，側(cè)面展開圖的邊在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)坐標(biāo)為．將一根長度為的鉛筆放入筆筒內(nèi)，露出筆筒部分的最小長度是______(結(jié)果保留整數(shù)，取3，壁厚忽略不計(jì))．三、解答題（本題共10道小題，其中17、18、19、20、21、22題每題6分，23、24題每題8分，25、26題每題10分，共72分）17.計(jì)算：．18.化簡求值：，其中．19.如圖，點(diǎn)在直線外．①在直線上任取一點(diǎn)，連接；②以點(diǎn)為圓心，長為半徑畫弧，交直線于點(diǎn)；③分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)，作射線；④以點(diǎn)為圓心，長為半徑畫弧，交射線于點(diǎn)；⑤連接．（1）由②得與的數(shù)量關(guān)系是__________；由③得到的結(jié)論是__________．（2）求證：四邊形是菱形．20.定義：若一個三位數(shù)的十位數(shù)字減去個位數(shù)字的差恰好等于百位數(shù)字，則這個三位數(shù)叫做“極差數(shù)”．例如，三位數(shù)，因?yàn)?，所以它是“極差數(shù)”．【理解定義】三位數(shù)是否為“極差數(shù)”？___________．【建模推理】（1）設(shè)一個“極差數(shù)”的百位、十位、個位數(shù)字分別為，則與的關(guān)系式為___________；（2）任意一個“極差數(shù)”都能被11整除嗎？為什么？21.中國結(jié)起源于舊石器時代結(jié)繩記事，唐宋時期發(fā)展為裝飾藝術(shù)，明清達(dá)到鼎盛．某種中國結(jié)有大、小兩個型號，編織一個大號需用繩4米，編織一個小號需用繩3米．（1）編織這種中國結(jié)恰用繩25米，則大、小號各編織多少個？（2）計(jì)劃用不超過1200米的繩子編織350個這種中國結(jié)，一個大號的利潤為12元，一個小號的利潤為8元．當(dāng)大號編織多少個時總利潤最大？最大利潤是多少？22.如圖，在的方格中，每個小正方形邊長均為1個單位長度．的頂點(diǎn)、點(diǎn)和點(diǎn)都在格點(diǎn)上．僅用無刻度直尺作圖，保留作圖痕跡，不寫作法．（1）過點(diǎn)作垂線段；（2）過點(diǎn)作的平行線．23.寧夏葡萄酒品質(zhì)優(yōu)良，深受消費(fèi)者青睞．為了解某基地的葡萄種植情況，九（1）班同學(xué)對該基地的試驗(yàn)田中甲、乙兩種葡萄樹的產(chǎn)量進(jìn)行調(diào)查．【調(diào)查與收集】甲、乙兩種葡萄樹各種植了500株，計(jì)劃從中各抽取100株作為各自的樣本．以下抽樣調(diào)查方式合理的是___________．A．依次抽取100株B．隨機(jī)抽取100株C．在長勢較好的葡萄樹中隨機(jī)抽取100株D．在方便采摘的葡萄樹中隨機(jī)抽取100株【整理與描述】同學(xué)們采用合理的抽樣調(diào)查方式獲得甲、乙兩個樣本中每株的產(chǎn)量（單位：kg），將所得數(shù)據(jù)整理描述如下：甲樣本的頻數(shù)分布表頻數(shù)745152013乙樣本的頻數(shù)分布直方圖注：每組含最小值，不含最大值．根據(jù)以上信息，解答問題：（1）甲樣本中組的頻率是_________；（2）補(bǔ)全乙樣本頻數(shù)分布直方圖．【分析與應(yīng)用】（1）填表：樣本平均數(shù)（kg）中位數(shù)出現(xiàn)的組別方差甲

5.73乙15.74

4.85（計(jì)算平均數(shù)時，把各組中每株的產(chǎn)量用這組數(shù)據(jù)的中間值代替，如的中間值為）（2）估計(jì)試驗(yàn)田中甲種葡萄樹每株產(chǎn)量不低于的株數(shù)；（3）結(jié)合以上數(shù)據(jù)為基地的葡萄種植提出一條合理化建議．24.如圖，四邊形內(nèi)接于⊙平分，連接．（1）求證：；（2）延長至點(diǎn)，使，連接．求證：．25.如圖，拋物線與軸負(fù)半軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）如圖1，將直線沿軸向上平移個單位長度，當(dāng)它與拋物線有交點(diǎn)時，求的取值范圍；（3）如圖2，拋物線的對稱軸交直線于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，連接．拋物線上是否存在點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），使得．若存在，直接寫出點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在，說明理由．26.如圖，在和中，，，．連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在上時，求證：是等邊三角形；（2）將圖1中的繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)．①當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為時，如圖2所示，（1）中結(jié)論還成立嗎？說明理由；②當(dāng)最長時，與交點(diǎn)記作．若，則_________．

2025年寧夏中考數(shù)學(xué)試題一、選擇題（本題共8小題，每小題3分，共24分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中只有一個符合題目要求）1.如圖，數(shù)軸上點(diǎn)表示數(shù)可能是（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】本題考查了數(shù)軸上數(shù)的表示及有理數(shù)的大小比較，解題的關(guān)鍵是根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸上的位置確定其表示的數(shù)的取值范圍，再與選項(xiàng)對比．明確數(shù)軸上數(shù)的分布特點(diǎn)：原點(diǎn)左側(cè)為負(fù)數(shù)，右側(cè)為正數(shù)，且離原點(diǎn)越近數(shù)值的絕對值越?。挥深}意知點(diǎn)A在0與之間，因此點(diǎn)A表示的數(shù)是大于且小于0的負(fù)數(shù)；分析各選項(xiàng)，找出符合該取值范圍的數(shù)．【詳解】分析點(diǎn)A的位置范圍：∵點(diǎn)A在數(shù)軸上0與中間，∴點(diǎn)A表示的數(shù)滿足該數(shù)．逐一分析選項(xiàng)：選項(xiàng)不滿足該數(shù)，不符合要求．選項(xiàng)滿足，符合要求．選項(xiàng)是正數(shù)，不滿足該數(shù)，不符合要求．選項(xiàng)是正數(shù)，不滿足該數(shù)，不符合要求．故選：B．2.如圖，直線被直線所截，根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”判定，需要的條件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】此題考查平行線的判定定理：同位角相等兩直線平行，據(jù)此依次判斷．詳解】解：A.，不能判定，故不符合題意；B.，不能判定，故不符合題意；C.能判定，故符合題意；D.，不能判定，故不符合題意；故選：C．3.下列運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了合并同類項(xiàng)的法則，同底數(shù)冪相乘，積的乘方，完全平方公式，正確掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．根據(jù)合并同類項(xiàng)的法則，同底數(shù)冪相乘，積的乘方，完全平方公式計(jì)算即可．【詳解】解：A.，故此選項(xiàng)錯誤；B.，故此選項(xiàng)錯誤；C.，故此選項(xiàng)錯誤；D.，故此選項(xiàng)正確；故選：D．4.如圖，將書本上面的橡皮擦沿箭頭方向（垂直于右邊緣）平移到書本右邊緣．在此過程中，下列敘述正確的是（）A.主視圖不變 B.左視圖不變C.俯視圖不變 D.三種視圖都不變【答案】B【解析】【分析】本題考查了平移的性質(zhì)以及幾何體三視圖的概念，解題的關(guān)鍵是理解平移過程中幾何體的形狀和大小不變，分析平移方向?qū)Σ煌晥D的影響．?明確平移的性質(zhì)：平移不改變物體的形狀和大小，只改變物體的位置；分析橡皮擦的平移方向?yàn)榇怪庇跁居疫吘?，即左右方向平移；分別判斷主視圖（從正面看）、左視圖（從左面看）、俯視圖（從上面看）在平移過程中的變化，主視圖和俯視圖會因位置改變而變化，左視圖不受左右平移影響．?【詳解】?選項(xiàng)A：主視圖是從正面觀察物體所得到的圖形．橡皮擦沿垂直于書本右邊緣的方向（即左右方向）平移時，其在正面視角中的水平位置發(fā)生了改變，導(dǎo)致主視圖呈現(xiàn)的圖形位置隨之變化，因此主視圖是會改變的，該選項(xiàng)錯誤．選項(xiàng)B：左視圖是從左面觀察物體所得到的圖形．橡皮擦左右平移時，左視圖主要反映的是橡皮擦的側(cè)面高度和寬度，而平移方向（左右方向）不會影響側(cè)面的形狀和大小，左視圖的形狀和大小均未發(fā)生變化，因此左視圖不變，該選項(xiàng)正確．選項(xiàng)C：俯視圖是從上面觀察物體所得到的圖形．橡皮擦左右平移時，其在水平面上的位置發(fā)生了改變，俯視圖中圖形的位置也會隨之變化，因此俯視圖是會改變的，該選項(xiàng)錯誤．選項(xiàng)D：由上述分析可知，主視圖和俯視圖會因平移導(dǎo)致的位置變化而改變，只有左視圖不變，并非三種視圖都不變，該選項(xiàng)錯誤．故選：B．5.《九章算術(shù)》中有一段文字的大意是：有人合伙買羊，若每人出5錢，還差45錢；若每人出7錢，還差3錢．問合伙人數(shù)、羊價各是多少？設(shè)合伙人數(shù)為人，羊價為錢，則可列方程組為（）A. B.C D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了根據(jù)實(shí)際問題列二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是理解題意，找出題目中的等量關(guān)系，將文字信息轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)式子．明確題目中的兩個等量關(guān)系：每人出5錢時，總錢數(shù)加上還差的錢等于羊價；每人出7錢時，總錢數(shù)加上還差的3錢等于羊價；設(shè)合伙人數(shù)為x人，羊價為y錢，根據(jù)上述等量關(guān)系分別列出方程，組成方程組．【詳解】解：分析題目中的等量關(guān)系：若每人出5錢，還差錢，則總錢數(shù)加上還差的錢等于羊價即，若每人出7錢，還差3錢，則總錢數(shù)加上還差的3錢等于羊價即，因此，可列方程組為，故選：C．6.下列判斷正確的是（）A.若點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)在第二象限，則B.夜晚，小明走向一盞路燈，他在地面上的影長由短變長C.4的平方根是2D.過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直【答案】A【解析】【分析】本題考查了關(guān)于x軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)特征、中心投影的特點(diǎn)、平方根的定義以及垂線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是逐一分析每個選項(xiàng)所涉及的知識點(diǎn)，判斷其正確性．分別對各選項(xiàng)涉及的知識點(diǎn)進(jìn)行分析：根據(jù)關(guān)于x軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律判斷選項(xiàng)A；結(jié)合中心投影中物體與光源距離對影長的影響分析選項(xiàng)B；依據(jù)平方根的定義判斷選項(xiàng)C；根據(jù)垂線的性質(zhì)（強(qiáng)調(diào)“在同一平面內(nèi)”的前提）判斷選項(xiàng)D，進(jìn)而選出正確選項(xiàng)．【詳解】解：選項(xiàng)點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為．若對稱點(diǎn)在第二象限，則橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)，即，該選項(xiàng)正確．選項(xiàng)夜晚走向路燈時，人與光源的距離逐漸減小，根據(jù)中心投影特點(diǎn)，影長應(yīng)由長變短，而非由短變長，該選項(xiàng)錯誤．選項(xiàng)的平方根是（因?yàn)?，并非只?，該選項(xiàng)錯誤．選項(xiàng)垂線的性質(zhì)為“在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直”，選項(xiàng)中未強(qiáng)調(diào)“同一平面內(nèi)”，表述不嚴(yán)謹(jǐn)，該選項(xiàng)錯誤．故選：A．7.函數(shù)和的部分圖象如圖所示，點(diǎn)在的圖象上，過點(diǎn)作軸交軸于點(diǎn)，交的圖象于點(diǎn)．若，則的值為（）A. B. C. D.3【答案】A【解析】【分析】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義：從反比例函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)向x軸和y軸作垂線，垂線與坐標(biāo)軸所圍成的矩形面積為．連接，由、軸得到，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義可得，繼而求出，再根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義即可求解．【詳解】解：如圖，連接，軸，，，．點(diǎn)A在反比例函數(shù)圖象上，，，且，∴，∴．故選A．8.老師帶領(lǐng)數(shù)學(xué)小組僅用測角儀和皮尺測量某橋外側(cè)拱頂離水面的高度．如圖，拱頂離水面的高度為，點(diǎn)，是水平地面上兩點(diǎn)，且與點(diǎn)，均在同一豎直平面內(nèi)．已知水平地面離水面的高度為2米，測角儀支架高度為1.5米，為達(dá)成目的，還需測量的數(shù)據(jù)是（）A.的長，的度數(shù)B.的長，的度數(shù)C.的長，的度數(shù)D.的長，的度數(shù)【答案】D【解析】【分析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用——仰角俯角問題，根據(jù)題意構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．設(shè)，．，．，．則．，若已知的長，設(shè)，則，代入可解得，進(jìn)而求得，最終得到．【詳解】解：由題意可得，測角儀水平視線到水面的高度為米，即3.5米，因此，要求只需先求．設(shè)，．在中，，則．在中，，則．所以．又因?yàn)槭堑孛嫔蟽牲c(diǎn)的距離，且與測角儀測量點(diǎn)在同一水平線上，測角儀支架高度相同，所以，若已知的長，設(shè)，則，代入可解得，進(jìn)而求得，最終得到．綜上，需要測量、，這樣就能通過解方程組求出，從而得到．選項(xiàng)中的長和的度數(shù)，無法直接求EH，也無法建立兩個方程求解：選項(xiàng)缺少，無法聯(lián)立方程組：選項(xiàng)中的長已知則無需，但實(shí)際測量中無法直接得到；選項(xiàng)中的長、的度數(shù)，符合上述分析，通過兩個仰角和兩點(diǎn)距離可求解，進(jìn)而得到．故選：D二、填空題（本題共8小題，每小題3分，共24分）9.計(jì)算：___．【答案】3【解析】【分析】求數(shù)a的立方根，也就是求一個數(shù)x，使得x3=a，則x就是a的一個立方根，根據(jù)立方根的定義計(jì)算可得．【詳解】解：∵33=27，∴．故答案為3．【點(diǎn)睛】此題考查了求一個數(shù)的立方根，熟記立方根定義是解題的關(guān)鍵．10.如圖，直線與直線交于點(diǎn)，則關(guān)于的方程組的解是______．【答案】【解析】【分析】本題考查了一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是理解兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與方程組解的對應(yīng)關(guān)系．明確一次函數(shù)與二元一次方程組的聯(lián)系：兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)同時滿足兩個直線對應(yīng)的函數(shù)解析式；因此方程組的解就是兩直線交點(diǎn)的坐標(biāo)；已知直線與交于點(diǎn)，該點(diǎn)坐標(biāo)即為方程組的解．【詳解】∵直線與直線交于點(diǎn)，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)同時滿足兩個函數(shù)的解析式，即方程組的解為點(diǎn)A的坐標(biāo)．故答案為：．11.為提升學(xué)生藝術(shù)素養(yǎng)，學(xué)校在周三同時開展了多種文藝社團(tuán)活動．現(xiàn)從參加器樂、舞蹈和聲樂這三個文藝社團(tuán)的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名，他們恰好參加同一社團(tuán)的概率為_____．【答案】【解析】【分析】本題考查了用列表法或畫樹狀圖法求概率．列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點(diǎn)為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果以及他們恰好參加同一社團(tuán)的情況，再利用概率公式求解即可求得答案．【詳解】解：把器樂、舞蹈和聲樂這三個文藝社團(tuán)分別記為、、，畫樹狀圖得：共有9種等可能的結(jié)果，他們恰好參加同一個社團(tuán)的有3種情況，兩人恰好參加同一社團(tuán)的概率為：；故答案為：．12.不等式組的解集是______．【答案】【解析】【分析】本題考查了一元一次不等式組的解法，解題的關(guān)鍵是分別解出每個不等式的解集，再找出它們的公共部分．先解第一個不等式通過移項(xiàng)、系數(shù)化為1求出解集；再解第二個不等式，通過去分母、移項(xiàng)求出解集；最后根據(jù)“同小取小，同大取大，大小小大中間找”的原則確定不等式組的解集．【詳解】解不等式解不等式①，移項(xiàng)得即解得．解不等式②，去分母得，移項(xiàng)得，即．則不等式組的解集為與的公共部分，即故答案為：13.如圖，⊙是的內(nèi)切圓，，則_____．【答案】【解析】【分析】本題考查三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)與三角形內(nèi)角和定理，此題難度不大．根據(jù)是的內(nèi)切圓，得出，，進(jìn)而得出，即可得出答案．【詳解】解：∵是的內(nèi)切圓，∴，，∵，∴，∴故答案為：．14.一個數(shù)學(xué)游戲規(guī)則是：如圖，在以同一點(diǎn)為位似中心的三個位似三角形的頂點(diǎn)處任意填入9個不同的數(shù)，使每個三角形的三個頂點(diǎn)與同一直線上的三個頂點(diǎn)的三個數(shù)之和均相等，則____．【答案】【解析】【分析】此題考查了二元一次方程組和零指數(shù)冪等知識，根據(jù)題意得到關(guān)于的方程組，求出，根據(jù)零指數(shù)冪即可得到答案．【詳解】解：由題意可得，，解得，∴，故答案為：15.編程機(jī)器人表演中，一機(jī)器人從沙盤平面內(nèi)某點(diǎn)出發(fā)向前直行步后右轉(zhuǎn)，沿轉(zhuǎn)后方向直行步后右轉(zhuǎn)，再沿轉(zhuǎn)后方向直行步后右轉(zhuǎn)…，依此方式繼續(xù)行走，第一次回到出發(fā)點(diǎn)時，該機(jī)器人共走了_____步．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了多邊形的外角和定理，任何一個多邊形的外角和都是，用外角和求正多邊形的邊數(shù)可直接讓除以一個外角度數(shù)即可．由題意可得機(jī)器人正好走了一個正多邊形，根據(jù)多邊形的外角和定理即可求出答案．【詳解】解：∵由題意可得機(jī)器人正好走了一個正多邊形，

∴根據(jù)外角和定理可知正多邊形的邊數(shù)為：，

則第一次回到出發(fā)點(diǎn)時，該機(jī)器人共走了步，

故答案為：．16.如圖，在單位長度均為的平面直角坐標(biāo)系中，放置一個圓柱形筆筒的展開圖．其中，側(cè)面展開圖的邊在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)坐標(biāo)為．將一根長度為的鉛筆放入筆筒內(nèi)，露出筆筒部分的最小長度是______(結(jié)果保留整數(shù)，取3，壁厚忽略不計(jì))．【答案】2【解析】【分析】本題考查了圓柱的性質(zhì)、圓的直徑與周長關(guān)系以及勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確圓柱內(nèi)鉛筆能放置的最大長度為以底面直徑和高為直角邊的直角三角形的斜邊．根據(jù)圓柱側(cè)面展開圖的周長求出底面直徑；由點(diǎn)B坐標(biāo)確定圓柱的高；利用勾股定理計(jì)算以底面直徑和高為直角邊的直角三角形的斜邊長度，即筆筒內(nèi)鉛筆能放置的最大長度；用鉛筆總長度減去該最大長度，得到露出部分的最小長度并保留整數(shù)．【詳解】解：如圖，表示圓柱底面直徑，為圓柱的高，示意鉛筆能放置的最大長度，為露出部分的最小長度，∵點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，，∴，∵鉛筆總長度為，即，∴，∵，∴，∴即，∵結(jié)果保留整數(shù)，∴露出部分的最小長度約為．故答案為：2．三、解答題（本題共10道小題，其中17、18、19、20、21、22題每題6分，23、24題每題8分，25、26題每題10分，共72分）17.計(jì)算：．【答案】【解析】【分析】本題考查了絕對值的化簡、特殊角的三角函數(shù)值以及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是分別掌握各知識點(diǎn)的運(yùn)算法則，準(zhǔn)確進(jìn)行化簡和計(jì)算．先化簡絕對值，因?yàn)?，所以；再?jì)算特殊角的三角函數(shù)值，；接著計(jì)算負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，；最后將各部分結(jié)果代入原式進(jìn)行加減運(yùn)算．【詳解】解：．18.化簡求值：，其中．【答案】；【解析】【分析】本題考查了分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是先通過通分、因式分解等方法化簡分式，再代入數(shù)值計(jì)算．先對括號內(nèi)的分式進(jìn)行通分，計(jì)算減法；將除法轉(zhuǎn)化為乘法，并對分子分母進(jìn)行因式分解；約分后得到最簡分式；最后將代入最簡分式，求出結(jié)果．【詳解】當(dāng)時，原式．19.如圖，點(diǎn)在直線外．①在直線上任取一點(diǎn)，連接；②以點(diǎn)為圓心，長為半徑畫弧，交直線于點(diǎn)；③分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)，作射線；④以點(diǎn)為圓心，長為半徑畫弧，交射線于點(diǎn)；⑤連接．（1）由②得與的數(shù)量關(guān)系是__________；由③得到的結(jié)論是__________．（2）求證：四邊形是菱形．【答案】（1）；射線平分（2）見解析【解析】【分析】本題考查了尺規(guī)作圖——基本作圖，全等三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定定理，解題的關(guān)鍵是理解尺規(guī)作圖中所蘊(yùn)含的線段等量關(guān)系，利用“四邊相等的四邊形是菱形”進(jìn)行判定．（1）根據(jù)步驟②中“以點(diǎn)A為圓心，長為半徑畫弧交直線l于點(diǎn)B”，直接得出與的數(shù)量關(guān)系；步驟③是作角平分線的尺規(guī)作圖方法，據(jù)此得出射線的性質(zhì)．（2）利用尺規(guī)作圖得到相等線段和角度，可證，結(jié)合菱形的判定定理“四邊相等的四邊形是菱形”進(jìn)行證明，即可得出結(jié)論．【小問1詳解】解：∵以點(diǎn)A為圓心，長為半徑畫弧，交直線l于點(diǎn)B，∴，∵步驟③是作角平分線的尺規(guī)作圖方法，∴射線平分．故答案為：；射線平分．【小問2詳解】證明：∵以點(diǎn)A為圓心，長為半徑畫弧，交直線l于點(diǎn)B，∴，∵射線平分，∴；在和中，，∴，∴，又∵以點(diǎn)為圓心，長為半徑畫弧，交射線于點(diǎn)，∴，∴，∴四邊形是菱形．20.定義：若一個三位數(shù)的十位數(shù)字減去個位數(shù)字的差恰好等于百位數(shù)字，則這個三位數(shù)叫做“極差數(shù)”．例如，三位數(shù)，因?yàn)?，所以它是“極差數(shù)”．【理解定義】三位數(shù)是否為“極差數(shù)”？___________．【建模推理】（1）設(shè)一個“極差數(shù)”的百位、十位、個位數(shù)字分別為，則與的關(guān)系式為___________；（2）任意一個“極差數(shù)”都能被11整除嗎？為什么？【答案】理解定義：不是；建模推理：（1）；（2）任意一個“極差數(shù)”都能被11整除．理由見解析．【解析】【分析】本題考查數(shù)字類問題．旨在考查學(xué)生的信息處理能力．理解定義：根據(jù)定義進(jìn)行驗(yàn)證即可；建模推理：（1）根據(jù)“極差數(shù)”的定義即可求出答案；（2）設(shè)任意一個“極差數(shù)”的百位數(shù)字是a，十位數(shù)字是b，個位數(shù)字是c，根據(jù)定義和（1）的結(jié)論即可求證．【詳解】理解定義：∵十位數(shù)字減去個位數(shù)字的差為，百位數(shù)字為，∴十位數(shù)字減去個位數(shù)字的差不等于百位數(shù)字，∴三位數(shù)不是“極差數(shù)”故答案為：不是建模推理：（1）設(shè)一個“極差數(shù)”的百位、十位、個位數(shù)字分別為，根據(jù)題意可得，，故答案為：；（2）任意一個“極差數(shù)”都能被11整除．證明：設(shè)任意一個“極差數(shù)”的百位數(shù)字是a，十位數(shù)字是b，個位數(shù)字是c，∵，∴，∴能被11整除，∴任意一個“極差數(shù)”都能被11整除．21.中國結(jié)起源于舊石器時代的結(jié)繩記事，唐宋時期發(fā)展為裝飾藝術(shù)，明清達(dá)到鼎盛．某種中國結(jié)有大、小兩個型號，編織一個大號需用繩4米，編織一個小號需用繩3米．（1）編織這種中國結(jié)恰用繩25米，則大、小號各編織多少個？（2）計(jì)劃用不超過1200米的繩子編織350個這種中國結(jié)，一個大號的利潤為12元，一個小號的利潤為8元．當(dāng)大號編織多少個時總利潤最大？最大利潤是多少？【答案】（1）大號中國結(jié)編了4個，則小號中國結(jié)編了3個或大號中國結(jié)編了1個，則小號中國結(jié)編了7個．（2）當(dāng)大號編織個時總利潤最大，最大利潤元．【解析】【分析】此題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次不等式和二元一次方程的應(yīng)用，正確列出方程和函數(shù)解析式是關(guān)鍵．（1）設(shè)大號中國結(jié)編了個，小號中國結(jié)編了個，編織這種中國結(jié)恰用繩25米，據(jù)此列出二元一次方程，求出整數(shù)解即可；（2）設(shè)大號編織個，則小號編織個，根據(jù)用不超過1200米的繩子編織350個這種中國結(jié)列不等式，解得的取值范圍，設(shè)總利潤為元，得到關(guān)于的一次函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可求出答案．【小問1詳解】解：設(shè)大號中國結(jié)編了個，小號中國結(jié)編了個，由題意列方程得：，∴，∵，均是正整數(shù)，∴當(dāng)時，，當(dāng)時，，答：大號中國結(jié)編了4個，則小號中國結(jié)編了3個或大號中國結(jié)編了1個，則小號中國結(jié)編了7個．【小問2詳解】解：設(shè)大號編織個，則小號編織個，則，解得，∵為正整數(shù)，∴，設(shè)總利潤為元，則，∵，∴隨著的增大而增大，∴當(dāng)時，取得最大值，最大值為，答：當(dāng)大號編織個時總利潤最大，最大利潤是元．22.如圖，在的方格中，每個小正方形邊長均為1個單位長度．的頂點(diǎn)、點(diǎn)和點(diǎn)都在格點(diǎn)上．僅用無刻度直尺作圖，保留作圖痕跡，不寫作法．（1）過點(diǎn)作的垂線段；（2）過點(diǎn)作的平行線．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】本題考查了網(wǎng)格中利用無刻度直尺作平行線和垂線的作圖方法，解題的關(guān)鍵是借助格點(diǎn)間的位置關(guān)系構(gòu)造垂直或平行的線段．（1）可證，則，因，，，即．（2）可證，則，又，(等量減等量，差相等)，即可求解．【小問1詳解】如圖，連接，即為所求作的垂線段．如圖，則，因，∴，∴，即．【小問2詳解】如圖，即為所求作的平行線．如圖，，則，又，∴(等量減等量，差相等)，∴．23.寧夏葡萄酒品質(zhì)優(yōu)良，深受消費(fèi)者青睞．為了解某基地的葡萄種植情況，九（1）班同學(xué)對該基地的試驗(yàn)田中甲、乙兩種葡萄樹的產(chǎn)量進(jìn)行調(diào)查．【調(diào)查與收集】甲、乙兩種葡萄樹各種植了500株，計(jì)劃從中各抽取100株作為各自的樣本．以下抽樣調(diào)查方式合理的是___________．A．依次抽取100株B．隨機(jī)抽取100株C．在長勢較好的葡萄樹中隨機(jī)抽取100株D．在方便采摘的葡萄樹中隨機(jī)抽取100株【整理與描述】同學(xué)們采用合理的抽樣調(diào)查方式獲得甲、乙兩個樣本中每株的產(chǎn)量（單位：kg），將所得數(shù)據(jù)整理描述如下：甲樣本的頻數(shù)分布表頻數(shù)745152013乙樣本的頻數(shù)分布直方圖注：每組含最小值，不含最大值．根據(jù)以上信息，解答問題：（1）甲樣本中組的頻率是_________；（2）補(bǔ)全乙樣本的頻數(shù)分布直方圖．【分析與應(yīng)用】（1）填表：樣本平均數(shù)（kg）中位數(shù)出現(xiàn)的組別方差甲

5.73乙15.74

4.85（計(jì)算平均數(shù)時，把各組中每株的產(chǎn)量用這組數(shù)據(jù)的中間值代替，如的中間值為）（2）估計(jì)試驗(yàn)田中甲種葡萄樹每株產(chǎn)量不低于的株數(shù)；（3）結(jié)合以上數(shù)據(jù)為基地的葡萄種植提出一條合理化建議．【答案】[調(diào)查與收集]B；[整理與描述]（1）；（2）見解析；[調(diào)查與收集]（1）見解析；（2）65；（3）見解析【解析】【分析】[調(diào)查與收集]利用樣本具有代表性對抽樣調(diào)查方式進(jìn)行判斷；[整理與描述]（1）根據(jù)頻率的定義計(jì)算甲樣本中組的頻率；（2）先計(jì)算出乙樣本組的頻數(shù)，再補(bǔ)全乙樣本的頻數(shù)分布直方圖；[分析與應(yīng)用]（1）先根據(jù)平均數(shù)的定義求出甲樣本平均數(shù)，再根據(jù)中位數(shù)的定義求出乙樣本中位數(shù)出現(xiàn)的組別，然后填表即可；（2）根據(jù)兩者的方差提出建議即可．【詳解】解：[調(diào)查與收集]為了樣本具有代表性，隨機(jī)抽取能保證樣本的代表性，避免系統(tǒng)性偏差，所以應(yīng)該隨機(jī)抽取100株作為樣本；故選：B；[整理與描述]（1）甲樣本中組的頻率，（2）乙樣本總頻數(shù)為100，已知各組頻數(shù)為，則組的頻數(shù)為：，補(bǔ)全乙樣本的頻數(shù)分布直方圖：[分析與應(yīng)用]（1）甲樣本各組中間值分別為12、14、16、18、20，?甲樣本平均數(shù)=，乙樣本共100個數(shù)據(jù)，中位數(shù)為第50、51個數(shù)據(jù)的平均值，前兩組頻數(shù)和為，前三組頻數(shù)和為，第50、51個數(shù)據(jù)落在組，乙樣本中位數(shù)出現(xiàn)的組別落在組，填表如下：樣本平均數(shù)（kg）中位數(shù)出現(xiàn)的組別方差甲15.745.73乙15.744.85（2）估計(jì)甲種葡萄樹每株產(chǎn)量不低于的株數(shù)：甲樣本中組頻數(shù)為13，頻率為，試驗(yàn)田甲種葡萄樹共500株，故估計(jì)株數(shù)為（株）（3）合理化建議：乙種葡萄樹的方差（4.85）小于甲種（5.73），產(chǎn)量更穩(wěn)定，建議優(yōu)先推廣乙種葡萄樹的種植技術(shù)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了抽樣調(diào)查的合理性，補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖，平均數(shù)，中位數(shù)及方差的相關(guān)知識，掌握抽樣調(diào)查以及讀懂頻數(shù)分布直方圖是解題的關(guān)鍵．24.如圖，四邊形內(nèi)接于⊙平分，連接．（1）求證：；（2）延長至點(diǎn)，使，連接．求證：．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理、角平分線的定義以及全等三角形與相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用圓周角與弧的對應(yīng)關(guān)系轉(zhuǎn)化角的等量關(guān)系，通過構(gòu)造輔助線（延長線段）創(chuàng)造全等或相似的條件．（1）利用平分得到角相等，結(jié)合圓周角定理（同弧所對的圓周角相等），將角平分線得到的等角轉(zhuǎn)化為與、相關(guān)的角，進(jìn)而證明兩角相等．（2）由可得通過圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)性質(zhì)得到結(jié)合第一問結(jié)論及角平分線性質(zhì)證明再通過角的等量轉(zhuǎn)化證明，最終得到比例式．【小問1詳解】證明：∵平分∴．∵四邊形內(nèi)接于∴（同弧所對的圓周角相等）．∵∴．【小問2詳解】證明：∵∴．∵四邊形內(nèi)接于∴（圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)）．又∵（平角定義），∴．由（1）知∴（等角對等邊）．在和中∴．∴．∵∴．又∵，，∴即∴（兩角分別相等）．∴，∴，即．25.如圖，拋物線與軸負(fù)半軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）如圖1，將直線沿軸向上平移個單位長度，當(dāng)它與拋物線有交點(diǎn)時，求的取值范圍；（3）如圖2，拋物線的對稱軸交直線于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，連接．拋物線上是否存在點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），使得．若存在，直接寫出點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【答案】（1）（2）（3）存在點(diǎn)P，橫坐標(biāo)為,，【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)（包括頂點(diǎn)坐標(biāo)、與坐標(biāo)軸交點(diǎn)求解）、直線與拋物線的位置關(guān)系（交點(diǎn)存在性條件）、三角形面積的計(jì)算（基于坐標(biāo)公式）以及面積相等的點(diǎn)的存在