專題19全等與相似模型之一線三等角（K字）模型

全等三角形與相似三角形在中考數(shù)學幾何模塊中占據(jù)著重要地位。相似三角形與其它知識點結合以綜

合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，難度大，是中考的常考題型。如果大家平時注重解題方法，熟練掌握基本

解題模型，再遇到該類問題就信心更足了．本專題就一線三等角模型進行梳理及對應試題分析，方便掌握。

.........................................................................................................................................................................................1

模型1.一線三等角模型（全等模型）..........................................................................................................1

模型2.一線三等角模型（相似模型）........................................................................................................10

.................................................................................................................................................19

大家在掌握幾何模型時，多數(shù)同學會注重模型結論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導致本末倒

置。要知道數(shù)學題目的考察不是一成不變的，學數(shù)學更不能死記硬背，要在理解的基礎之上再記憶，這樣

才能做到對于所學知識的靈活運用，并且更多時候能夠啟發(fā)我們解決問題的關鍵就是基于已有知識、方法

的思路的適當延伸、拓展，所以學生在學習幾何模型要能夠做到的就是：①認識幾何模型并能夠從題目中

提煉識別幾何模型；②記住結論，但更為關鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯點，因

為多數(shù)題目考察的方面均源自于易錯點。當然，以上三點均屬于基礎要求，因為題目的多變性，若想在幾

何學習中突出，還需做到的是，在平時的學習過程中通過大題量的訓練，深刻認識幾何模型，認真理解每

一個題型，做到活學活用！

模型1.一線三等角模型（全等模型）

一線三等角模型是指三個相等的角的頂點在同一條直線上，這個模型在七八年級階段往往用來證明三條線

段的和差或線段的求值及角度的證明等，是一類比較典型的全等模型；模型主要分為同側型和異側型兩類。

1）一線三等角（K型圖）模型（同側型）

銳角一線三等角直角一線三等角（“K型圖”）鈍角一線三等角

條件：ACEDB，AE=DE；結論：ABEECD，AB+CD=BC。

2）一線三等角（K型圖）模型（異側型）

銳角一線三等角直角一線三等角鈍角一線三等角

條件：DCFABCAED，AE=DE；結論：ABEECD，AB-CD=BC。

1）（同側型）證明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE，

∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。

在ABE和ECD中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴ABEECD，

∴△ABEC△，BECD，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。

2）（異側型）證明：∵DCFABC，∴∠ECD=∠ABE，

∵ABCAEBA，∠AED=∠AEB+∠CED，ABCAED，

∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED，

在ABE和ECD中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴ABEECD，

∴△ABEC△，BECD，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。

例1．（2024·山東煙臺·中考真題）在等腰直角ABC中，ACB90，ACBC，D為直線BC上任意一點，

連接AD．將線段AD繞點D按順時針方向旋轉90得線段ED，連接BE．

【嘗試發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，當點D在線段BC上時，線段BE與CD的數(shù)量關系為________；

【類比探究】（2）當點D在線段BC的延長線上時，先在圖2中補全圖形，再探究線段BE與CD的數(shù)量關

系并證明；

【聯(lián)系拓廣】（3）若ACBC1，CD2，請直接寫出sinECD的值．

21325

【答案】（1）BE2CD；（2）BE2CD，補圖及證明見解析；（3）sinECD或sinECD

135

【分析】本題考查三角形全等的判定與性質，三角函數(shù)，掌握一線三垂直全等模型是解題的關鍵．

（1）過點E作EMCB延長線于點M，利用一線三垂直全等模型證明△ACD≌△DME，再證明BMEM

即可；（2）同（1）中方法證明△ACD≌△DME，再證明BMEM即可；

（3）分兩種情況討論：過點E作EMCB延長線于點M，求出EM，CE即可．

【詳解】解：（1）如圖，過點E作EMCB延長線于點M，

由旋轉得ADDE，ADE90，∴ADCEDM90，

∵ACB90，∴ACDDME，ADCCAD90，

∴CADEDM，∴△ACD≌△DME，∴CDEM，ACDM，

∵ACBC，∴BMDMBDACBDBCBDCD，∴BMEM，

∵EMCB，∴BE2EM2CD，故答案為：BE2CD；

（2）補全圖形如圖：BE2CD，理由如下：過點E作EMBC交BC于點M，

由旋轉得ADDE，ADE90，∴ADCEDM90，

∵ACB90，∴ACDDME，ADCCAD90，

∴CADEDM，∴△ACD≌△DME，∴CDEM，ACDM，

∵ACBC，∴BMBCCMDMCMCD，∴BMEM，

∵EMCB，∴BE2EM2CD；

（3）如圖，當D在CB的延長線上時，過點E作EMCB于點M，連接CE，

由（2）得DMAC1，EMCD2，∴CMCDDM3，

EM2213

∴CECM2EM213，∴sinECD．

CE1313

當D在BC的延長線上時，過點E作EMCB于點M，如圖，連接CE，

同理可得：△ACD≌△DME，∴DMAC1，MECD2，∴CM211，

EM22521325

∴CE22125，∴sinECD；綜上：sinECD或sinECD

CE55135

例2．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考一模）如圖，在ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，點D在線段BC上運動（點D

不與點B、C重合），連接AD，作∠ADE=40°，DE交線段AC于點E．

（1）當∠BDA=115°時，∠EDC=______°，∠AED=______°；

（2）線段DC的長度為何值時，ABD≌△DCE，請說明理由；（3）在點D的運動過程中，ADE的形狀

可以是等腰三角形嗎？若可以，求△∠BDA的度數(shù)；若不可以，請說明理由．△

【答案】（1）25°，65°；（2）2，理由見詳解；（3）可以，110°或80°.

【分析】（1）利用鄰補角的性質和三角形內角和定理解題；（2）當DC=2時，利用∠DEC+∠EDC=140°，

∠ADB+∠EDC=140°，求出∠ADB=∠DEC，再利用AB=DC=2，即可得出ABD≌△DCE．

（3）當∠BDA的度數(shù)為110°或80°時，ADE的形狀是等腰三角形．△

【詳解】解：（1）∵∠B=40°，∠ADB=1△15°，∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-115°-40°=25°，

∵AB=AC，∴∠C=∠B=40°，∵∠EDC=180°-∠ADB-∠ADE=25°，

∴∠DEC=180°-∠EDC-∠C=115°，∴∠AED=180°-∠DEC=180°-115°=65°；

（2）當DC=2時，ABD≌△DCE，理由：∵∠C=40°，∴∠DEC+∠EDC=140°，

又∵∠ADE=40°，∴△∠ADB+∠EDC=140°，∴∠ADB=∠DEC，又∵AB=DC=2，

ADB＝DEC

在ABD和DCE中，B＝C∴△ABD≌△DCE（AAS）；

AB＝DC

△△

（3）當∠BDA的度數(shù)為110°或80°時，ADE的形狀是等腰三角形，

∵∠BDA=110°時，∴∠ADC=70°，△

∵∠C=40°，∴∠DAC=70°，∴△ADE的形狀是等腰三角形；

∵當∠BDA的度數(shù)為80°時，∴∠ADC=100°，

∵∠C=40°，∴∠DAC=40°，∴△ADE的形狀是等腰三角形．

【點睛】本題主要考查學生對等腰三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，三角形外角的性質等

知識點的理解和掌握，此題涉及到的知識點較多，綜合性較強，但難度不大，屬于基礎題．

例3．（2024·甘肅·中考真題）【模型建立】（1）如圖1，已知ABE和△BCD，ABBC，ABBC，CDBD，

AEBD．用等式寫出線段AE，DE，CD的數(shù)量關系，并說明理由．

【模型應用】（2）如圖2，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在對角線BD和邊CD上，AEEF，AEEF．用

等式寫出線段BE，AD，DF的數(shù)量關系，并說明理由．

【模型遷移】（3）如圖3，在正方形ABCD中，點E在對角線BD上，點F在邊CD的延長線上，AEEF，

AEEF．用等式寫出線段BE，AD，DF的數(shù)量關系，并說明理由．

【答案】（1）DECDAE，理由見詳解，（2）AD2BEDF，理由見詳解，（3）AD2BEDF，

理由見詳解

【分析】（1）直接證明△ABE≌△BCD，即可證明；（2）過E點作EMAD于點M，過E點作ENCD于

2

點N，先證明RtAEM≌RtFEN，可得AMNF，結合等腰直角三角形的性質可得：MDDNDE，

2

22

NFNDDFMDDF，即有NFAMADMDADDE，NFDEDF，進而可得

22

22

ADDEDEDF，即可證；（3）過A點作AHBD于點H，過F點作FGBD，交BD的延長

22

線于點G，先證明HAE≌GEF，再結合等腰直角三角形的性質，即可證明．

【詳解】（1）DECDAE，理由如下：

∵CDBD，AEBD，ABBC，∴ABCDAEB90，

∴ABECBDCCBD90，∴ABEC，

∵ABBC，∴△ABE≌△BCD，∴BECD，AEBD，

∴DEBDBEAECD，∴DECDAE；

（2）AD2BEDF，理由如下：過E點作EMAD于點M，過E點作ENCD于點N，如圖，

∵四邊形ABCD是正方形，BD是正方形的對角線，∴ADBCDB45，BD平分ADC，ADC90，

∴2AD2CDBD，即DEBDBE2ADBE，

∵ENCD，EMAD，∴EMEN，∵AEEF，∴RtAEM≌RtFEN，∴AMNF，

∵EMEN，ENCD，EMAD，ADC90，∴四邊形EMDN是正方形，

2

∴ED是正方形EMDN對角線，MDND，∴MDDNDE，NFNDDFMDDF，

2

22

∴NFAMADMDADDE，NFDEDF，

22

22

∴ADDEDEDF，即AD2DEDF，

22

∵DE2ADBE，∴AD22ADBEDF，即有AD2BEDF；

（3）AD2BEDF，理由如下，過A點作AHBD于點H，過F點作FGBD，交BD的延長線于點

G，如圖，∵AHBD，F(xiàn)GBD，AEEF，∴AHEGAEF90，

∴AEHHAEAEHFEG90，∴HAEFEG，

又∵AEEF，∴HAE≌GEF，∴HEFG，

∵在正方形ABCD中，BDC45，∴FDGBDC45，

22

∴DFG45，∴DFG是等腰直角三角形，∴FGDF，∴HEFGDF，

22

2

∵ADB45，AHHD，∴ADH是等腰直角三角形，∴HDAD，

2

2222

∴DEHDHEADDF，∴BDBEDEADDF，

2222

22

∵BD2AD，∴2ADBEADDF，∴AD2BEDF．

22

【點睛】本題主要考查了正方形的性質，等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定與性質，角平分線的

性質等知識，題目難度中等，作出合理的輔助線，靈活證明三角形的全等，并準確表示出各個邊之間的數(shù)

量關系，是解答本題的關鍵．

例4．（23-24八年級上·重慶綦江·期末）（1）如圖①，MAN90，射線AE在這個角的內部，點B、C分

別在MAN的邊AM、AN上，且ABAC，CFAE于點F，BDAE于點D．求證：VABD≌VCAF；

（2）如圖②，點B、C分別在MAN的邊AM、AN上，點E、F都在MAN內部的射線AD上，1、2

分別是ABE、VCAF的外角．已知ABAC，且12BAC．求證：EFBECF；

（3）如圖③，在VABC中，ABAC，ABBC．點D在邊BC上，CD3BD，點E、F在線段AD上，

12BAC．若VABC的面積為17，求△ACF與VBDE的面積之和．

17

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

4

【分析】本題主要考查了三角形全等的判定和性質，三角形面積的計算，三角形外角的性質，余角的性質，

解題的關鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法，ASA，ASA，SSS，SAS，HL．

（1）根據(jù)AAS證明三角形全等即可；（2）證明VABE≌VCAFASA，得出BEAF，CFAE，即可得

117

出結論；（3）根據(jù)VABC的面積為17，CD3BD，得出△ABD的面積是：17，由△ABE≌△CAF，

44

17

得出S△S△，根據(jù)SSSSS，即可求出結果．

ABEACFACFBDEABEBDEABD4

【詳解】證明：（1）∵CFAE，BDAE，MAN90，∴BDAAFC90，

∴ABDBAD90，BADCAF90，∴ABDCAF，

ADBCFA

在△ABD和VCAF中，ABDCAF，∴ABD≌CFAAAS；

ABAC

（2）∵12BAC，1BAEABE，BACBAECAF，2FCACAF，

∴ABECAF，BAEFCA，

ABECAF

在ABE和VCAF中，ABAC，∴VABE≌VCAFASA；

BAEACF

∴BEAF，CFAE，∴EFBECF；

117

（3）∵VABC的面積為17，CD3BD，∴△ABD的面積是：17，

44

根據(jù)解析（2）同理可證△ABE≌△CAF，∴S△ABES△ACF，

17

∴SSSSS．

ACFBDEABEBDEABD4

例5．（23-24九年級下·黑龍江哈爾濱·期末）如圖，在平面直角坐標系中，ABC的頂點A在y軸正半軸，

點C在x軸正半軸，ABAC，CAB90，BC交y軸于點E．(1)如圖1，若點B坐標為3,3，直接寫

出點A的坐標，點C的坐標；(2)如圖2，若點B坐標為m,mm0，過點B作BDBC交

x軸于點D，設OD的長為d，請用含m的式子表示d；(3)如圖3，若點B為第三象限內任意一點，過點B

作BDBC交x軸于點D，判斷CD和AE的數(shù)量關系，并給出證明．

4

【答案】(1)A0,3，C6,0(2)dm(3)CD2AE，證明見解析

3

【分析】（1）過點B作BHy軸于點H，證明ABH≌CAO，可得BHAO3，即可；（2）過點B作BHy

軸于點H，BGx軸于點G，連接OB，則BGDBHEGOH90，證明BHE≌BGD，可得

DGEH，由（1）得：AOC≌BHA，OABHm，OCAH2m，然后根據(jù)

112

SOCBGOEOCOG，可得OEm，即可求解；（3）在BC上取CFBD，連接AD,AF，

BOC223

證明△ACF≌△ABD，可得45,ADAF，從而得到BAEACO，過點B作BG∥AF交y軸于點

G，可證明ABG≌CAD，可得BGADAF,AGCD．再根據(jù)AEF≌GEB，可得AEEG，即可．

【詳解】（1）解：過點B作BHy軸于點H，

在Rt△ABH中，1ABH90，∵BAC9012，∴2ABH，

∵點B坐標為3,3，∴BHOH3，

又∵ABAC，AOCAHB90，∴ABH≌CAOAAS，∴BHAO3，

OCAHAOOH336，∴A0,3，C6,0；

（2）解：過點B作BHy軸于點H，BGx軸于點G，連接OB，則BGDBHEGOH90，

∴2CBG90，∵BDBC，∴1CBG90，∴12，

∵點B坐標為m,mm0，∴BHBGm，∴BHE≌BGD，∴DGEH，

由（1）得：AOC≌BHA，∴OABHm，OCAH2m，

1111

SOCBGOEOCOG，2mmOE2mm

BOC2222

21

OEm，DGEHOHOEm，

33

144

ODOGDGmmm，即dm；

333

（3）解：CD2AE，證明如下：如圖，在BC上取CFBD，連接AD,AF，

∵BAC90，1290，∵BDBC，DBC9023，∴31，

∵ABAC，∴△ACF≌△ABD，∴45,ADAF，

∴BAFDACBAF4BACBAF5BACBACBAC290180，

∵AOC90,BAC90BAEEAC，∴EACACO90，BAEACO，

過點B作BG∥AF交y軸于點G，∴EBGAFE，

∴ABGBAF2EBGBAF2AFEBAF180，∴ABGDAC，

又∵ABAC，∴ABG≌CAD，∴BGADAF,AGCD．

又∵AEFGEB,AFBEBG，∴AEF≌GEB，∴AEEG，CDAG2AE

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，坐標與圖形等知識，得到全

等三角形是解題的的關鍵．

模型2.一線三等角模型（相似模型）

“一線三等角”型的圖形，因為一條直線上有三個相等的角，一般就會有兩個三角形的“一對角相等”，再利用

平角為180°，三角形的內角和為180°，就可以得到兩個三角形的另外一對角也相等（或利用外角定理也可），

從而得到兩個三角形相似．

1）一線三等角模型（同側型）

（銳角型）（直角型）（鈍角型）

條件：如圖，∠1=∠2＝∠3，結論：ACE∽△BED。

證明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理△），∠1=∠2

∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴ACE∽△BED。

2）一線三等角模型（異側型）△

條件：如圖，∠1=∠2＝∠3，結論：ADE∽△BEC.

證明：∵∠1=∠2，∴∠CBE=∠EAD（等角△的補角相等），∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴ACE∽△BED。

△

∵∠2=∠C+∠CEB（外角定理），∠3=∠DEA+∠CEB，∠2＝∠3∴∠C=∠DEA，∴ADE∽△BEC.

3）一線三等角模型（變異型）△

圖1圖2圖3

①特殊中點型：條件：如圖1，若C為AB的中點，且∠1=∠2＝∠3，結論：ACE∽△BED∽△ECD.

證明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2，∴∠C=∠DEB，∵∠△1=∠3，∴ACE∽△BED。

AECEBECEBEBD

∴，∵C為AB的中點，∴AE=EB，∴，∴，∵∠2=∠3，△∴BED∽△ECD

BDEDBDEDCEED

△

②一線三直角變異型1：條件：如圖2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.結論：ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.

證明：∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABF+∠CBF=90°，∠A+∠ABF=90°，△∴∠CBF=∠A，

∵∠ABD=∠BDE=90°，∴ABC∽△BDE，∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABC=∠BFC=90°，

∴ABC∽△BFC，同理可證△：ABC∽△AFB°，故ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.

③△一線三直角變異型2：條件：△如圖3，∠ABD=∠A△CE=∠BDE=90°.結論：ABM∽△NDE∽△NCM.

證明：∵∠ABD=∠ACE=90°，∴∠ABM=∠MCN=90°，△

∵∠AMB=∠NMC（對頂角相等）∴ABM∽△NCM.同理可證：NDE∽△NCM

故：ABM∽△NDE∽△NCM.△△

△

例1．（2023·山東東營·統(tǒng)考中考真題）如圖，ABC為等邊三角形，點D，E分別在邊BC，AB上，ADE60，

若BD4DC，DE2.4，則AD的長為（）

A．1.8B．2.4C．3D．3.2

【答案】C

4

【分析】證明△ADC∽△DEB，根據(jù)題意得出BDBC，進而即可求解．

5

【詳解】解：∵ABC為等邊三角形，∴BC60，

ADAC

∵ADBADEBDECDAC，ADE60，∴BDEDAC，∴△ADC∽△DEB∴

DEBD

BC5

4ADAC5

∵BD4DC，∴BDBC，∴44∵DE2.4∴ADDE3，故選：C．

5DEBDBC4

5

【點睛】本題考查了相似三角形的性質與判定，等邊三角形的性質，熟練掌握相似三角形的性質與判定是

解題的關鍵．

例2．（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）在以“矩形的折疊”為主題的數(shù)學活動課上，某位同學進行了如下操作：

第一步：將矩形紙片的一端，利用圖①的方法折出一個正方形ABEF，然后把紙片展平；

第二步：將圖①中的矩形紙片折疊，使點C恰好落在點F處，得到折痕MN，如圖②．

根據(jù)以上的操作，若AB8，AD12，則線段BM的長是（）

A．3B．5C．2D．1

【答案】C

【分析】根據(jù)折疊的性質得：ABAFBE8，F(xiàn)DEC4，F(xiàn)NCN，設DNx，則CNFN8x，

利用勾股定理求出DN,FN，再證明MFHFND，得MFMC，求解即可．

【詳解】解：如圖，過點M作MHAD，交AD于點H，

DFNDNF90MFHDFN90MFHDNF

DMHD90

DMHD90在MFH和FND中，MFHDNFMFHFND

FMHDFN

MFMHFHMFFH8

DF4,MH82設DNx，則CNFN8x，

FNDFDNFNDN4

2

FN2DN2DF2，即：8xx242，解得：x3，

MFMF

DN3，CNFN5，2，MF10，MCMF10，

FN5

ADBC12BMBCMC12102，故選：C．

【點睛】本題考查折疊問題及矩形的性質、正方形的性質，相似三角形的判定與性質，掌握折疊的性質并

能熟練運用勾股定理方程思想是解題的關鍵．

例3．（2024·湖北武漢·?？寄M預測）【試題再現(xiàn)】如圖1，Rt△ABC中，ACB90，ACBC，直線l

過點C，過點A、B分別作ADl于點D，BEl于點E，則DEADBE（不用證明）．

(1)【類比探究】如圖2，在ABC中，ACBC，且ACBADCBEC100，上述結論是否成立？若成

立，請說明理由：若不成立，請寫出一個你認為正確的結論．

(2)【拓展延伸】①如圖3，在ABC中，ACnBC，且ACBADCBEC100，猜想線段DE、AD、BE

之間有什么數(shù)量關系？并證明你的猜想．

②若圖1的Rt△ABC中，ACB90，ACnBC，并將直線l繞點C旋轉一定角度后與斜邊AB相交，分別

過點A、B作直線l的垂線，垂足分別為點D和點E，請在備用圖上畫出圖形，并直接寫出線段DE、AD、

BE之間滿足的一種數(shù)量關系（不要求寫出證明過程）．

111

【答案】(1)成立，見解析(2)①DEADnBE，見解析；②DEADnBE或DEnBEAD

nnn

【分析】（1）易證ACD≌CBE，則有ADCE，CDBE，從而可得DEADBE；

ADCDAC1

（2）①易證△ADC∽△CEB，則有n，從而可得CEAD，CDnBE，即可得到

CEBEBCn

11

DEDCCEADnBE；②同①可得CEAD，CDnBE．由于直線l在繞著點C旋轉過程中，點A到

nn

直線l的距離AD與點B到直線l的距離BE大小關系會發(fā)生變化，因此需分情況討論（如圖4、圖5)，然后

只需結合圖形就可解決問題．

【詳解】（1）猜想DEADBE．理由：如圖2，

ADC100，DACDCA80．ACB100，DCAECB80，DACECB．

ADCCEB

在ACD和△CBE中，DACECB，ACD≌CBE，ADCE，CDBE，DEADBE；

ACCB

1

（2）①猜想：DEADnBE．理由：如圖3，ADC100，DACDCA80．

n

ACB100，DCAECB80，DACECB．

ADCDAC11

ADCCEB，ADC∽CEB，n，CEAD，CDnBE，DEDCCEADnBE；

CEBEBCnn

111

②DEADnBE或DEnBEAD．同①可得：CEAD，CDnBE．

nnn

11

如圖4，DECECDADnBE；如圖5，DECDDEnBEAD．

nn

【點睛】本題是一道探究題，用到了全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、三角形的內角

和定理、平角的定義等知識，考查了探究能力，滲透分類討論的思想以及特殊到一般的思想，是一道好題．

例4．（2023·浙江寧波·二模）【基礎鞏固】如圖1，P是ABC內部一點，在射線BP上取點D、E，使得

CEPADPABC．求證：ABD∽BCE；

【嘗試應用】如圖2，在RtABC中，BAC90，ABAC，D是AC上一點，連接，在上取點E、

F，連接CE、AF，使得AFDCED45．若BF2，求的長；????

【拓展提高】如圖3，在RtABC中，BAC90，ACB3?0?，D是AC上一點，連接，在上取點

BE8????

E，連接．若CED60，，求BCE的正切值．

DE5

??

3

【答案】【基礎鞏固】見解析【嘗試應用】22【拓展提高】

6

【分析】【基礎鞏固】利用兩角相等的三角形相似證明即可；【嘗試應用】根據(jù)等腰直角三角形的性質可得

CEBC

ABCACB45，BC2AB,再推導BEC∽AFB，然后利用等腰三角形的性質得到2，

BFAB

計算解題；【拓展提高】如圖所示，在上取點F，使AFD60，作AGBD于點G，則可得到AFB∽BE，

ABAF1??2

即，BCEABF，進而證明ABG∽DAG，得到AGDG·BG，設BE8t，可以求出

BCBE2

BG12t解題即可．

【詳解】【基礎鞏固】證明：∵ABDCBEABC，ABDBADADP,

ABCADP，∴CBEBAD,

又∵ADB180ADP,BEC180CEP,ADPCEP，∴ADBBEC,∴ABD∽BCE.

【嘗試應用】解：∵BAC90，ABAC,

∴ABCACB45，BC2AB,即：ABFCBEABC45，

又∵ABFBAFAFD45，BC2AB，即：ABFCBEABC45，

又ABFBAFAFD45.∴CBEBAF,

又∵AFB180AFD135，BEC180CED135，

CEBC

∴BECAFB,∴BEC∽AFB,∴2，∴CE2BF22，故CE的長為：22.

BFAB

【拓展提高】解：如圖所示，在上取點F，使AFD60，作AGBD于點G，

??

1

∵BAC90，ACB30，∴ABC60，ABBC.即：ABFCBEABC60，

2

又∵ABFBAFAFD60，∴BAFCBE，

又AFB180AFD120，BEC180CED120，∴AFBBEC，∴AFB∽BE，

ABAF11

∴，BCEABF，∴AFBE，

BCBE22

BE81

∵，∴令BE8t，則DE5t，∴AFBE4t，

DE52

1

又∵AFD60，F(xiàn)GDF∴在RtAFG中，F(xiàn)AG30，∴FGAF2t，

2

由勾股定理可得：AGAF2FG223t，

又∵ABGBAG180AGB90，BAGDAGBAC90，

AGBG

∴∠ABGDAG，∴ABG∽DAG，∴，∴AG2DG·BG，

DGAG

設EFx，則BG10tx，DGDEEFFG3tx.

2

∴23t10tx3tx，解得：x2t,∴BG12t,

23t33

∴tanABGtanBCE故BCE的正切值為：．

12t66

【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質，勾股定理，解直角三角形，三角形上午外角，掌握相似三角

形的判定和性質是解題的關鍵．

例5．（2023·河北滄州·?？级＃┤鐖D，在Rt△ABC中，ABC90，ABBC，點D是線段AB上的一

點，連接CD，過點B作BGCD，分別交CD、CA于點E、F，與過點A且垂直于AB的直線相交于點G，

連接DF，下列結論錯誤的是（）

AGAF2

A．B．若點D是AB的中點，則AFAB

ABFC3

DB1

C．當B、C、F、D四點在同一個圓上時，DFDBD．若，則S9S

AD2ABCBDF

【答案】D

11

【分析】由AFG∽CFB，可確定A項正確；由ABG≌BCD可得AGABBC，進而由AFG∽CFB

22

確定點F為CA的三等分點，可確定B項正確；當B、C、F、D四點在同一個圓上時，由圓內接四邊形的

性質得到CFDABC90，得到CD為圓的直徑，因為BGCD，根據(jù)垂徑定理得到DFDB，故C

AF1

項正確；因為D為AB的三等分點，AFG∽CFB即，可得SABC12SBDF，由此確定D項錯誤．

CF3

AGAF

【詳解】解：依題意可得BCAG，∴AFG∽CFB，∴，

BCCF

AGAF

又ABBC，∴．故A項正確；如圖，

ABCF

34

∵1+3=90，1490，∴3=4．在ABG與△BCD中，ABBC，

BAGCBD90

∴ABG≌BCD（ASA），∴AGBD，又∵BDAD，∴AGAD；

11

∵ABC為等腰直角三角形，∴AC2AB；∴AGADABBC；

22

AGAF12

∵AFG∽BFC，∴，∴FC2AF，∴AFACAB．故B項正確；

BCCF33

當B、C、F、D四點在同一個圓上時，由圓內接四邊形的性質可得CFDABC90，

∴CD是B、C、F、D四點所在圓的直徑，∵BGCD，∴DFBD，∴DFDB，故C項正確；

AGAFBD1BD11AF1

∵，AGBD，，∴，∴S△S△，，

ABCFAD2AB3BDF3ABFCF3

11

∴AFAC，∴SVSV；∴S12S．故D項錯誤．故選：D．

4ABF4ABCABCBDF

【點睛】本題考查了等腰直角三角形中相似三角形與全等三角形的應用，有一定的難度．對每一個結論，

需要仔細分析，嚴格論證；注意各結論之間并非彼此孤立，而是往往存在邏輯關聯(lián)關系，需要善加利用．

1．（2024·重慶·中考真題）如圖，在正方形ABCD的邊CD上有一點E，連接AE，把AE繞點E逆時針旋轉

FG

90，得到FE，連接CF并延長與AB的延長線交于點G．則的值為（）

CE

3233

A．2B．3C．D．

22

【答案】A

【分析】過點F作DC延長線的垂線，垂足為點H，則H90，證明ADE≌EHF，則ADEH1，

設DEHFx，得到HFCHx，則HCF45，故CF2x，同理可求CG2BC2，則

FG21x

FGCGCF21x，因此2．

CE1x

【詳解】解：過點F作DC延長線的垂線，垂足為點H，則H90，由旋轉得EAEF,AEF90，

∵四邊形ABCD是正方形，∴DD=90°，DC∥AB，DADCBC，設DADCBC1，∴DH，

∵AEH1AEF2D，∴12，∴ADE≌EHF，∴DEHF，ADEH1，

設DEHFx，則CEDCDE1x，∴CHEHEC11xx，