專題30解直角三角形模型之12345模型

初中幾何，直角三角形具有舉足輕重的地位，貫徹初中數(shù)學(xué)的始終，無(wú)論是一次函數(shù)、平行四邊形、

特殊平行四邊形、反比例函數(shù)、二次函數(shù)、相似、圓，都離不開(kāi)直角三角形。今天我們要重點(diǎn)介紹的“12345”

模型就是中考（選填題）解題神器，需要我們反復(fù)斷鉆研、領(lǐng)悟?，F(xiàn)在帶領(lǐng)大家領(lǐng)略一下，“12345”模型的

獨(dú)特魅力。

.........................................................................................................................................................................................1

模型1.“12345”模型及衍生模型.................................................................................................................1

.............................................................................................................................................................3

.................................................................................................................................................14

模型1.“12345”模型及衍生模型

（19年北京市中考）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，則∠PAB+∠PBA＝°（點(diǎn)A，B，P是網(wǎng)格交點(diǎn)）。

該類問(wèn)題解法很多，這里我們就根據(jù)現(xiàn)有的方格紙來(lái)構(gòu)造一個(gè)等腰直角三角形。

如圖，即：∠PAB+∠PBA=∠BPQ=45°。

上面的∠PAB和∠PBA便是今天要說(shuō)的特殊角，除了它們的和為45°之外，用三角函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)看：

11

tan∠PAB=，tan∠PBA=，對(duì)于這里的數(shù)據(jù)，為了便于記憶，總結(jié)為“12345”模型。

23

12345基礎(chǔ)模型模型還可變式為

1a

tan=tan=a

2；變式：b；變式：tan=ba。

451452btan

1baab

tantan45

3ab

證明：（基礎(chǔ)模型）如圖，作矩形ABCD，且AB=CD=3，AD=BC=4，在BC上取一點(diǎn)E使得BE=1，在DC

111

上取一點(diǎn)F使得DF=2，根據(jù)矩形性質(zhì)得：EC=3，CF=1，故tan∠DAF=，tan∠BAE=，tan∠FEC=，

233

易證：ABE≌△ECF，∴∠BAE=∠CEF，AE=EF，

∵∠BA△E+∠AEB=90°，∴∠CEF+∠AEB=90°，∴∠AEF=90°，∴∠EAF=45°

圖1

證明：（模型變式1）如圖，作矩形ABCD，且AB=CD=a，AD=BC=a+b，在BC上取一點(diǎn)E使得BE=a，在

DC上取一點(diǎn)F使得DF=b-a，根據(jù)矩形性質(zhì)得：EC=b，CF=a，

baaa

故tan∠DAF=，tan∠BAE=，tan∠FEC=，

abbb

易證：ABE≌△ECF，∴∠BAE=∠CEF，AE=EF，

∵∠BA△E+∠AEB=90°，∴∠CEF+∠AEB=90°，∴∠AEF=90°，∴∠EAF=45°

模型變式2可借鑒變式1證明方法，自行證明即可。

1143

注意：下面模型中，，2，3，，均為對(duì)應(yīng)角的正切值。

2334

（1）∠α+∠β＝45°；（2）∠α+45°＝∠GAF；（3）∠DAF+45°＝∠EAH；（4）∠α+∠β＝135°；

（5）∠α+∠β＝90°；（6）∠ADB+∠DBA＝∠BAC；（6）∠ADB+∠DBA＝∠BAC；

上面的這些補(bǔ)充的模型，證明并不算困難，有興趣的同學(xué)可借助網(wǎng)格圖或構(gòu)造圖形自行進(jìn)行證明。

切記：做題不光要知道題目告訴我什么，還要根據(jù)已知的信息，思考這里需要什么，而“12345”模型用來(lái)

解決相關(guān)的選填題非常方便。下面所列舉的某些題，利用“12345”解題也許未必是最簡(jiǎn)，最巧妙的，

但至少可以成為一種通性通法，可在短時(shí)間內(nèi)快速破題。畢竟在考試的時(shí)候時(shí)間是非常寶貴的。

例1．（2022·四川樂(lè)山·中考真題）如圖，在RtABC中，C90，BC5，點(diǎn)D是AC上一點(diǎn)，連接

11

BD．若tanA，tanABD，則CD的長(zhǎng)為（）

23

A．25B．3C．5D．2

【答案】C

11

【分析】法1：先根據(jù)tanA，tanABD，再由12345模型知：∠BDC＝45°，從而可求出CD．

23

法2：先根據(jù)銳角三角函數(shù)值求出AC25，再由勾股定理求出AB5,過(guò)點(diǎn)D作DEAB于點(diǎn)E，依據(jù)三角

113

函數(shù)值可得DEAE,DEBE,從而得BEAE，再由AEBE5得AE=2，DE=1，由勾股定理得

232

AD=5，從而可求出CD．

11

【詳解】法1：∵tanA，tanABD，∴根據(jù)12345模型知：∠BDC＝45°，

23

∵C90，∴三角形BCD為等腰直角三角形，∵BC5，∴CD=BC5

BC1

法2：在RtABC中，C90，BC5，∴tanA∴AC2BC25,

AC2

由勾股定理得,ABAC2BC2(25)2(5)25過(guò)點(diǎn)D作DEAB于點(diǎn)E，如圖，

11DE1DE1

∵tanA，tanABD，∴,,

23AE2BE3

11113

∴DEAE,DEBE,∴AEBE∴BEAE

23232

3

∵AEBE5,∴AEAE5∴AE2,∴DE1,

2

在RtADE中,AD2AE2DE2∴ADAE2DE222125

∵ADCDAC25,∴CDACAD2555,故選：C

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，由銳角正切值求邊長(zhǎng)，正確作輔助線求出DE的長(zhǎng)是解答本題的關(guān)鍵．

例2．（2024·吉林長(zhǎng)春·?？级＃┤鐖D，正方形ABCD中，AB=8，G是BC的中點(diǎn)．將ABG沿AG對(duì)折至

AFG，延長(zhǎng)GF交DC于點(diǎn)E，則DE的長(zhǎng)是（）△

△

48

A．B．2C．D．3

33

【答案】C

【分析】法1：連接AE，由折疊的性質(zhì)可得AF=AB=AD，BG=GF，易證RtADE≌RtAFE，得到DE=EF，

設(shè)DE=x，在RtCEG中利用勾股定理建立方程求解．法2：先求出∠GAE=△45°，再利用△12345模型的變式，

求解即可?！?/p>

【詳解】解：法1：如圖所示，連接AE，∵四邊形ABCD為正方形，

∴AB=BC=CD=AD=8，∠B=∠C=∠D=90°∵G為BC的中點(diǎn)∴BG=GC=4

由折疊的性質(zhì)可得AF=AB=8，BG=GF=4，在RtADE和RtAFE中，

∵AE=AE，AF=AD=8，∴RtADE≌RtAFE（H△L）∴DE=E△F

△△2228

設(shè)DE=EF=x，則EC=8-x在RtCEG中，GC2+EC2=GE2，即48x4x解得x故選：C．

3

△

法2：由法1知：RtADE≌RtAFE，∴∠DAE=∠FAE，由翻折知：∠BAG=∠FAG，

△△

1

∵∠DAB=90°，∴∠GAE=45°，∵AB=8，G是BC的中點(diǎn)，∴tanBAG，

2

18

由12345模型變式知：tanDAE，∵AD=8，∴DE，故選：C．

33

【點(diǎn)睛】本題考查正方形中的折疊問(wèn)題，利用正方形的性質(zhì)證明DE=EF，然后利用勾股定理建立方程是解

題的關(guān)鍵．

例3．（23-24八年級(jí)下·江蘇南京·期中）如圖，在四邊形ABCD中，AB90，ABBC4，AD3，

E是AB上一點(diǎn)，且DCE45，則DE的長(zhǎng)度是（）

A．3.2B．3.4C．3.6D．4

【答案】B

【分析】法1：過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AD，交AD延長(zhǎng)線于F，利用12345模型變式求解即可。

法2：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AD，交AD延長(zhǎng)線于F，CG⊥CD，交AB延長(zhǎng)線于G，可證明四邊形ABCF

是正方形，可得DF的長(zhǎng)，根據(jù)角的和差關(guān)系可得∠DCF=∠GCB，利用ASA可證明DCF≌△GCB，可得

CD=CG，BG=DF，根據(jù)∠DCE=45°可知∠ECG=∠DCE=45°，利用SAS可證明DCE≌△△GCE，可得DE=GE，

根據(jù)S正方形ABCF=SAED+2SGCE列方程可求出AE的長(zhǎng)，進(jìn)而求出GE的長(zhǎng)△即可得答案．

△△

【詳解】法1：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AD，交AD延長(zhǎng)線于F，

1

∵AB90，ABBC4，AD3，∴四邊形ABCF是正方形，DF=1，CF=4，∴tanDCF，

4

a

由模型變式即：tan=ba知：3

12345(btan)tanBCE

ab5

45

12817

∵BC=4，∴BE，AE，∵AF=4，DF=1，∴AD=3，∴DE，故選：B．

555

法2：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AD，交AD延長(zhǎng)線于F，CG⊥CD，交AB延長(zhǎng)線于G，

∵AB90，ABBC4，AD3，∴四邊形ABCF是正方形，DF=1，

∵∠DCF+∠BCD=90°，∠GCB+∠BCD=90°，∴∠DCF=∠GCB，

GBCCFD90

在DCF和GCB中，BCCF，∴△DCF≌△GCB，∴CG=CD，BG=DF=1，

GCBDCF

△△

∵∠DCE=45°，CG⊥CD，∴∠ECG=∠DCE=45°，

CDCG

在DCE和GCE中，DCEECG，∴△DCE≌△GCE，

CECE

△△

∴SGCE=SDCE，DE=GE，∴S正方形ABCF=SAED+2SGCE，

△△△△

111

∴AE·AD+2×GE·BC=AB2，即×3AE+4（5-AE）=42，解得：AE=1.6，∴DE=GE=5-AE=3.4．故選：B．

222

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的判定與性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及判定定理是解題

關(guān)鍵．

例4．（2023·山西晉城·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為BC，AB的中點(diǎn)，連接AE，

點(diǎn)G是線段AE上一點(diǎn)，連接GF，延長(zhǎng)FG交CD于點(diǎn)M，若AB4，AGF45，則CM的長(zhǎng)為．

2

【答案】

3

【分析】．法1：過(guò)點(diǎn)作AH//FM，交DC于點(diǎn)H，先求出∠HAE=45°，再用12345模型的變式，求解即可。

法2：連接AC交MF于N，過(guò)點(diǎn)F作FHAE于H，由正方形的性質(zhì)得DB=90°，ABBC4，AB∥CD，

AFAHFH

ACMBAC45，由勾股定理得22，再證明△AHF∽△ABE，得，

ACABBC42AEABBE

45252565210

從而求得AH，F(xiàn)H，繼而求得GHFH，AGAHGH，F(xiàn)GFH2GH2，

55555

AGFG65210

然后證明AGF∽NAF，得，即，從而求得AN32，繼而求得CNANAN2，

ANAF55

AN2

AFAN2322

最后證明ANF∽CNM，得∴，即，從而可求得CM．

CMCNCM23

【詳解】法1：過(guò)點(diǎn)作AH//FM，交DC于點(diǎn)H，

∵正方形ABCD，∴AB∥CD，∴四邊形AFMH為平行四邊形?！逜GF45，∴EAH45

1

∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別為BC，AB的中點(diǎn)，AB4，∴BE=AF=HM=2，∴tanBAE，

2

142

∵EAH45，由12345模型變式知：tanDAH，∵AD=4，∴DH，∴CM，

333

法2：連接AC交MF于N，過(guò)點(diǎn)F作FHAE于H，如圖，

∵正方形ABCD，∴DB=90°，ABBC4，AB∥CD，ACMBAC45，

∴ACAB2BC242，∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別為BC，AB的中點(diǎn)，

11

∴AFAB2，BEBC2，∴AEAB2BE225，

22

∵FHAE，AGF45，∴HFGAGF45，∴FHGH，

AFAHFH2AHFH

∵AHFB90，∴△AHF∽△ABE，∴，即，

AEABBE2542

45252565210

∴AH，F(xiàn)H，∴GHFH，∴AGAHGH，F(xiàn)GFH2GH2，

55555

AGFG65210

∵AGFFAN45，AFGNFA，∴AGF∽NAF，∴，即，

ANAF55

AN2

∴AN32，∴CNANAN42322，∵AF∥CM，∴ANF∽CNM，

AFAN23222

∴，即，∴CM，故答案為：．

CMCNCM233

【點(diǎn)睛】本題詞考查正方形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形判定與性質(zhì)，等腰直角三角形，熟練掌握相似

三角形判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

例5.（2023.成都市九年級(jí)期中）如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，若

AE=5，∠EAF=45°，則AF的長(zhǎng)為.

【答案】410

3

1

【解析】根據(jù)AB=2，AE=5，∠B=90°得到：BE=2，可得tan∠BAE=，

2

∵∠FAE＝45°，∠BAD＝90°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，

14

根據(jù)12345模型知：tan∠DAF=，∴DF=，

33

再根據(jù)勾股定理求得：AF=410，故答案為：410

33

例6．（23-24九年級(jí)上·福建泉州·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線yxm分別交x軸，y軸于A，B

兩點(diǎn)，已知點(diǎn)C2，0，點(diǎn)P為線段OB的中點(diǎn)，連結(jié)PA，PC，若CPAABO，則m的值為．

【答案】12

【分析】法1：由12345模型求解；法2：構(gòu)造相似三角形PCD∽APB，對(duì)m的取值分析進(jìn)行討

論，在m0時(shí)，點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸，而此時(shí)，APCOBA45，不合題意；故m0．由相似比求

得邊的相應(yīng)關(guān)系．

【詳解】法1：∵一次函數(shù)yxm的圖像分別交x、y軸于點(diǎn)A、B。

∴A（m，0）B（0，m），AO=m，BO=m，∴∠ABO=45°，

∵∠CPA=∠ABO，∴∠APC=45°，設(shè)∠PAO=α，∠OPC=β，

∵∠α+∠β+∠APC＝90°，∠APC＝45°，∴∠α+∠β＝45°，

mm1

∵點(diǎn)P為線段OB的中點(diǎn)，∴P（0，），PO=，可得tanα=，

222

1

根據(jù)12345模型知：tanβ=，∴3OC=OP，∵C（2,0）∴OP=6，∴OB=OA=12，m=12．

3

法2：作ODOC2，連接CD．則PDC45，CD22,如圖，

由yxm可得A(m,0)，B(0，m)．∴OAOB，AB2m∴OBAOAB45．

當(dāng)m0時(shí)，APCOBA45，

所以，此時(shí)CPA45，故不合題意．∴m0．

∵CPAABO45，∴BPAOPCBAPBPA135，即OPCBAP，∴PCD∽APB，

1

m2

11PDCD222

∵點(diǎn)P為線段OB的中點(diǎn)，∴OPBPm，PDm2∴，即解得m12．

1

22ABPB2mm

2

故答案是：12．

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形．

例7.（2023·龍華區(qū)九年級(jí)上期末）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，E為BC的中點(diǎn)，將ABE沿直

△

線AE折疊后，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，AF交對(duì)角線BD于點(diǎn)G，則FG的長(zhǎng)是________．

【答案】12

7

11

【解析】∵E為BC的中點(diǎn)，AB=6，∴BE=3，可得tan∠BAE=，由翻折知：tan∠FAE=，

22

3

根據(jù)12345模型知：tan∠GAD=，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥AD，∵ABCD是正方形，∴DH=GH

4

設(shè)AH=4x，則GH=DH=3x，AG=5x，AD=7x，故AB=AF=7x，GF=2x。

∵AB=6，∴7x=6，x=6，GH=12，故答案為：12。

777

8．（2024九年級(jí)上·浙江·專題練習(xí)）如圖，將已知矩形紙片ABCD的邊BC斜著向AD邊對(duì)折，使點(diǎn)B落在AD

上，記為B，折痕為CE；再將CD邊斜向下對(duì)折，使點(diǎn)D落在BC邊上，記為D￠，折痕為CF，BD2，

1

BEBC．則矩形紙片ABCD的面積為．

3

AB′FD

ED′

BC

【答案】15

【分析】根據(jù)折疊性質(zhì)和勾股定理求得BC和AB的長(zhǎng)，或者利用相似三角形的判定與性質(zhì)求出相應(yīng)線段長(zhǎng)，

再由勾股定理解方程，然后根據(jù)矩形的面積公式代值求解即可得到答案．

【詳解】解：方法1：由題意，BC＝B'C，CD＝C'D，∠BCE＝∠B'CE，∠DCF＝∠D'CF．

∵∠BCD＝90°，∴∠ECF＝∠B'CE＋∠D'CF＝45°．

1113

∵BE＝BC，∴tan∠BCE＝，由12345模型變式知∴tan∠D'CF＝，tan∠B'CB＝．

3324

3

∵AD∥BC，∴∠FB'D'＝∠B'CB，∴tan∠FB'D'＝，

4

33

∴DF＝D'F＝BD’＝，∴CD＝CD'＝2D'F＝3，

42

∴BC＝B'C＝B'D'＋CD'＝2＋3＝5，∴S矩形ABCD＝BC·CD＝5×3＝15．

解：方法2：設(shè)BEa，則BC3a，由題意可得CBCB，CDCD，BEBEa，

BD2，CD3a2，CD3a2，AE3a2a2a2，

DBCB2CD2(3a)2(3a2)212a423a1，AB3a23a1，

2

2225

BA2AE2BE2，3a23a1(2a2)a，解得a或a，

33

22

當(dāng)a時(shí)，BC2，ABCD3a20，a時(shí)不符合題意，舍去；

33

5

當(dāng)a時(shí)，BC5，ABCD3a23，矩形紙片ABCD的面積為5315，故答案為：15；

3

ABEB

方法3：設(shè)CDx，則CDx，CBx2，CBx2，由題意可得ABE∽ΔDCB，，

DCBC

1EB1AB111△2

BEBC，，，ABx，BDx2xx2，

3BC3x3333

在RtCDB中，由勾股定理可得BD2CD2BC2，

2

222

即x2x(x2)，解得x13，x20（舍去），矩形紙片ABCD的面積為5315，故答案：15．

3

【點(diǎn)睛】本題考查翻折變化、矩形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵

是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件，利用翻折的性質(zhì)和矩形的面積公式解答．

例9.（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形ABCD中，AB3,BC4，以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半

1

徑畫(huà)弧，分別交BC，BD于點(diǎn)E，F(xiàn)，再分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心，大于EF長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交于點(diǎn)P，作射線

2

BP，過(guò)點(diǎn)C作BP的垂線分別交BD,AD于點(diǎn)M，N，則CN的長(zhǎng)為（）

A．10B．11C．23D．4

【答案】A

110

【簡(jiǎn)證】易知tan，故CN10NDCD10

33

【詳解】解：如圖，設(shè)BP與CN交于點(diǎn)O，與CD交于點(diǎn)R，作RQBD于點(diǎn)Q，

矩形ABCD中，AB3，BC4，CDAB3，BDBC2CD25．

由作圖過(guò)程可知，BP平分CBD，四邊形ABCD是矩形，CDBC，

RQRC

又RQBD，RQRC，在RtBCR和RtBQR中，，RtBCRRtBQRHL，

BRBR

BCBQ4，QDBDBQ541，設(shè)RQRCx，則DRCDCR3x，

2

在RtDQR中，由勾股定理得DR2DQ2RQ2，即3x12x2，

444

解得x，CR．BRBC2CR210．

333

4

4

11，CRBC32．

SBCRCRBCBROCOC10

224

BR105

3

CORCDN90，OCRDCN，OCR∽DCN，

24

10

OCCR

，即53，解得CN10．

DCCN3CN

例10.（2023.呼和浩特中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為25，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，BE與AC交于點(diǎn)

M，F(xiàn)是AD上一點(diǎn)，連接BF分別交AC，AE于點(diǎn)G，H，且BFAE，連接MH，則AH，

MH．

【答案】2213

3

14

【簡(jiǎn)證】易知AF5，AH2FH2，接下來(lái)對(duì)AME分析，如圖易知tanA,tanE，過(guò)M作

33

△

213

AE的垂線段，設(shè)EM=5x，則AE15x5，12x22，則MH

3

【常規(guī)法思路】如圖，證明△AFB≌△DEA，得到AFDE，勾股定理求出BF的長(zhǎng)，等積法求出AH的長(zhǎng)，

∽∽

證明AGFCGB，相似比求出AG的長(zhǎng)，證明AMBCME，求出AM的長(zhǎng)，證明AHGANM，求

出HN,MN的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出MH的長(zhǎng)．

【常規(guī)法】解：∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為25，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，

1

∴BADCDA90,ABADCD25,DECD5，ABCD,ADBC，∴AC2AD210，

2

∵BFAH，∴AHF90BAD，∴DAEBAF90AFH，

∴△AFB≌△DEA，∴AFDE5，∴BFAB2AF25，

11

SABFABAFBFAH

∵22，∴2555AH，∴AH2；

AGAF1AMAB

∵ABCD,ADBC，∴AGFCGB，AMBCME，∴,2，

CGBC2CMCE

121024102

∴AGAC,AMAC，∴GHAG2AH2，

33333

∽

故點(diǎn)M作MNAE，則：GHMN，∴AHGANM，

AHGHAG14

∴，∴AN2AH4,MN2GH，

ANMNAM23

213

∴HN2，∴MHNM2NH2

3

1．（23-24廣東汕頭·模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形ABCD中，AB6，G是BC的中點(diǎn)．將ABG沿AG對(duì)折至

AFG，延長(zhǎng)GF交DC于點(diǎn)E，則GE的長(zhǎng)是（）

A．5B．4C．3D．2

【答案】A

【分析】法1：連接AE，根據(jù)正方形與軸對(duì)稱的性質(zhì)證明RtAFE≌RtADE，得出EF＝DE，設(shè)DE＝FE

＝x，在RtECG中應(yīng)用勾股定理求出x，進(jìn)而求解．法2：先△求出∠GA△E=45°，再利用12345模型的變式，

求解即可。△

【詳解】如圖，連接AE，由題意知，AB＝AD＝AF，∠D＝∠B＝∠AFE＝90°，

AEAE

在RtAFE和RtADE中，，∴RtAFE≌RtADE（HL），∴EF＝DE，

AFAD

△△△△

設(shè)DE＝FE＝x，則EC＝6﹣x，∵G為BC中點(diǎn)，BC＝6，∴CG＝3，

在RtECG中，由勾股定理，得：(6x)29(x3)2，解得，x＝2，即DE＝2，∴GE＝3+2＝5，故選A．

法2：△由法1知：RtAFE≌RtADE，∴∠DAE=∠FAE，EF＝DE，由翻折知：∠BAG=∠FAG，GF＝GB，

△△1

∵∠DAB=90°，∴∠GAE=45°，∵AB=6，G是BC的中點(diǎn)，∴BG=3，tanBAG，

2

1

由12345模型變式知：tanDAE，∵AD=6，∴DE=2，GE＝3+2＝5，故選：A．

3

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，證明RtAFE≌

RtADE是解題的關(guān)鍵．△

2．△（2024·山東淄博·?？家荒＃┤鐖D，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為9，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，AD上，若E是

AB中點(diǎn)，且∠ECF=45°，則CF的長(zhǎng)為（）

A．12B．3C．310D．35

【答案】C

【分析】法1：利用12345模型的變式，求解即可。

法2：將CDF逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90到CBM的位置，易證CEF與CEM全等，設(shè)DFx，表示出EF，AF長(zhǎng)

度，解直△角三角形即可求解x，再△通過(guò)勾股定理求算C△F．△

1

【詳解】法1：∵BC=8，E是AB中點(diǎn)，∴BE=4，∴tanBCE，

2

1

∵∠ECF=45°，由12345模型變式知：tanDCF，

3

∵DC=9，∴DF=3，∴CF9232310，故選：C．

法2：將CDF逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90到CBM

∵∠ECF△=45°，四邊形ABCD是正△方形∴ECM45∴CEF≌CEM∴EFEM

9△△9

設(shè)DFx，E是AB中點(diǎn)∴AF9x,AEEB,BMx∴EFEMx

22

22

299

在直角三角形AEF中：9xx解得：x3∴CF9232310故答案選：C．

22

【點(diǎn)睛】本題考查正方形與旋轉(zhuǎn)、勾股定理綜合．轉(zhuǎn)化相關(guān)的線段建立等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．

3．（23-24九年級(jí)下·江蘇南通·階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，AB90，ABBC8，AD6，

E是邊AB上一點(diǎn)，且DCE45，則DE的長(zhǎng)度是（）

A．8B．7.4C．7D．6.8

【答案】D

【分析】法1：利用12345模型的變式，求解即可。

法2：本題考查了正方形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，作CGAD于G，延長(zhǎng)DG

至F，使GFBE，證明四邊形ABCG為正方形，得出AGBC8，BCG90，BCCG，證明

EBC≌FGCSAS以及ECD≌FCDSAS，得出EDDF，設(shè)EDx，則EBFGDFDGx2，

再由勾股定理計(jì)算即可得出答案．

【詳解】法1：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AD，交AD延長(zhǎng)線于F，

1

∵AB90，ABBC8，AD6，∴四邊形ABCF是正方形，DF=2，CF=8，∴tanDCF，

4

a

由模型變式即：tan=ba知：3

12345(btan)tanBCE

ab5

45

241634

∵BC=8，∴BE，AE，∵AF=8，DF=2，∴AD=6，∴DE，故選：D．

555

法2：解：如圖，作CGAD于G，延長(zhǎng)DG至F，使GFBE，

∵ABCGA90，ABBC，∴四邊形ABCG為正方形，∴AGBC8，BCG90，BCCG，

∵AD6，∴DGAGAD862，∵BCCG，BCGF，BEFG，

∴EBC≌FGCSAS，∴CECF，ECBFCG，∵DCE45，

∴BCEDCGDCGFCG45，∴DCEDCF，

∵CECF，DCFDCE，DCDC，∴ECD≌FCDSAS，∴EDDF，

設(shè)EDx，則EBFGDFDGx2，∴AEABBE8x210x，

222

在Rt△AED中，AE2AD2DE2，∴10x6x，解得：x6.8，∴DE6.8，故選：D．

4．（23-24九年級(jí)上·貴州銅仁·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝﹣x＋m（m≠0）分別交x

軸，y軸于A，B兩點(diǎn)，已知點(diǎn)C（3，0）．點(diǎn)P為線段OB的中點(diǎn)，連接PA，PC，若∠CPA＝45°，則m的

值是．

【答案】18

【分析】法1：由12345模型求解；法2：構(gòu)造相似三角形PCD∽△APB，對(duì)m的取值分析進(jìn)行討

論，在m＜0時(shí)，點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸，而此時(shí)，∠APC＞∠OBA=△45°，不合題意；故m＞0．由相似比求

得邊的相應(yīng)關(guān)系．

【詳解】法1：∵一次函數(shù)y＝﹣x＋m的圖像分別交x、y軸于點(diǎn)A、B。

∴A（m，0）B（0，m），AO=m，BO=m，∴∠ABO=45°，

∵∠CPA=∠ABO，∴∠APC=45°，設(shè)∠α＝∠PAC，∠β＝∠OPC

∵∠α+∠β+∠APC＝90°，∠APC＝45°，∴∠α+∠β＝45°，

mm1

∵點(diǎn)P為線段OB的中點(diǎn)，∴P（0，），PO=，可得tanα=，

222

1

根據(jù)12345模型知：tanβ=，∴3OC=OP，∵C（3,0）∴OP=9，∴OB=OA=18，m=18．

3

法2：作OD=OC=3，連接CD．則∠PDC=45°，如圖，

由y=-x+m可得A（m,0），B（0，m）．∴OA=OB，∴∠OBA=∠OAB=45°．

當(dāng)m＜0時(shí)，∠APC＞∠OBA=45°，所以，此時(shí)∠CPA＞45°，故不合題意．∴m＞0．

∵∠CPA=∠ABO=45°，∴∠BPA+∠OPC=∠BAP+∠BPA=135°，即∠OPC=∠BAP，

1

m3

PDCD32

∴△PCD∽△APB，∴，即2解得m=18．故答案是：18．

1