專題8二次函數(shù)

1.一般地，如果是常數(shù)，a≠0)，那么y叫作x的二次函數(shù).其中，是二次項，

是一次項，?=??2+是?常?數(shù)+項?(?.,?,?

2.二次函數(shù)的圖象的性質：二次函數(shù)的圖象是，對稱軸是.(1)若a>0，當時，y隨x

的增大而增大；當時，y隨x的增大而減?。划敃r，函數(shù)有最小值，為.(2)若a<0,當

時,y隨x的增大而減?。划敃r，y隨x的增大而增大；當時，函數(shù)有最大值，為

.

3.二次函數(shù)(a,b,c是常數(shù),a≠0)中,a,b,c的含義:a的符號與有關，時拋物線開

口向上，?時=拋??物2+線?開?口+向?下；b的符號與對稱軸有關，對稱軸為先根據(jù)開口方向確定a的符號，

?

2?

再根據(jù)對稱軸的確定b的符號；c的符號與拋物線和的交?點=有?關，,拋物線和y軸的交點坐標為

，當拋物線和y軸正半軸相交時，，當拋物線和y軸負半軸相交時,.

4.二次函數(shù)與一元二次方程的關系：一元二次方程的解是其對應的的圖象與x軸的交點坐標的

；一元二次方程中的可以判定二次函數(shù)的圖象與x軸是否有交點，當時，圖象與x軸有

；當時，圖象與x軸有;當時,圖象與x軸.

5.二次函數(shù)的平移法則:、.

6.二次函數(shù)的解析式有三種形式：(1)一般式:;(2)頂點式:;(3)交點式：.若已知拋物線上任

意三點，通常選擇，利用待定系數(shù)法列來解；當已知拋物線的或時，常設其解析

式為頂點式來解；結合題設的具體情況，亦可選擇頂點式的為所求函數(shù)的解析式；當已知拋物線與x軸有

時，則選擇設函數(shù)解析式為來解.

7.用二次函數(shù)解決實際問題

(1)二次函數(shù)常用來解決最優(yōu)化問題，這類問題實際上就是求函數(shù)的值.

(2)二次函數(shù)的應用包括以下幾個方面：分析和表示不同背景下實際問題中變量之間的關系；運用二次

函數(shù)的知識解決實際問題中的值.

實戰(zhàn)演練

1.拋物線.的頂點坐標是()

A.(9,-3)B.(-9,-3)

?=2?+92?3

C.(9,3)D.(-9,3)

2.點A(m-1,y1),B(m,y2)都在二次函數(shù)的圖象上.若y1<y2,，則m的取值范圍為()

A.m>2?=??12+?

3

C.m<1?.?>2

3

3.已知拋物線?.2<?<(2a,b,c是常數(shù),0<a<c)經(jīng)過點(1,0),有下列結論：

①2a+b<0;?=??2+??+?

②當x>1時，y隨x的增大而增大；

③關于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根.

其中，正確結論的?個?2數(shù)+是??+?+?(=0)

A.0B.1C.2D.3

4.如圖,二次函數(shù)bx+c的圖象與x軸相交于A(--1,0),B兩點，對稱軸是直線x=1，下列說法正確

的是()?=??2+

A.a>0

B.當x>-1時，y的值隨x值的增大而增大

C.點B的坐標為(4,0)

D.4a+2b+c>0

5.拋物線的函數(shù)表達式為y=，若將x軸向上平移2個單位長度，將y軸向左平移3個單位長度，

則該拋物線在新的平面直角坐標系3中?的?函2數(shù)2表+達1,式為()

?.?=3?+12+3

?.?=3??52+3

?.?=3??52?1

?.?=3?+12?1

6.下表中列出的是一個二次函數(shù)的自變量x與函數(shù)y的幾組對應值：

x-2013

y6-4-6-4

下列各選項中，正確的是()

A.這個函數(shù)的圖象開口向下

B.這個函數(shù)的圖象與x軸無交點

C.這個函數(shù)的最小值小于--6

D.當x>1時，y的值隨x值的增大而增大

7.二次函數(shù)(a>0)的圖象過A(-3,y1),B(-1,y2),C(2,y3),D(4,y4)四個點，下列說法一定正確的

是?(=??)2?2??+?

A.若則y1y2>0

B.若????>0,則

C.若????>0,則????>0

D.若????<0,則????<0

????<0,????<0

8.“聞起來臭，吃起來香”的臭豆腐是長沙特色小吃.臭豆腐雖小，但制作流程卻比較復雜，其中在進行加工煎炸

臭豆腐時，我們把“焦脆而不糊”的豆腐塊數(shù)的百分比稱為“可食用率”.在特定條件下，“可食用率”p與加工煎炸時間

t(單位：分鐘)近似滿足的函數(shù)關系為：,a,b,c是常數(shù))，如圖記錄了三次實驗的數(shù)據(jù).根據(jù)上述

函數(shù)關系和實驗數(shù)據(jù)，可以得到加工煎炸?=臭豆??2腐+的?最?+佳?時(?間≠為0()

A.3.50分鐘B.4.05分鐘

C.3.75分鐘D.4.25分鐘

9.設拋物線其中a為實數(shù).

(1)若拋物?線=?經(jīng)2+過?點+1(?-1+,m?,),則m=;

(2)將拋物線向上平移2個單位，所得拋物線頂點的縱坐標的最大值是.

10.單板滑雪大?跳=臺?2是+北?京+冬1奧?會+比?賽項目之一，舉辦場地為首鋼滑雪大跳臺，運動員起跳后的飛行路線可以看

作是拋物線的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標系，從起跳到著陸的過程中，運動員的豎直高度y(單位：

m)與水平距離x(單位：m)近似滿足函數(shù)關系(a<0).

?=????2+?

某運動員進行了兩次訓練.

(1)第一次訓練時，該運動員的水平距離x與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如下：

水平距離x/m02581114

豎直高度y/m20.0021.4022.7523.2022.7521.40

根據(jù)上述數(shù)據(jù)，直接寫出該運動員豎直高度的最大值，并求出滿足的函數(shù)關系y=

(2)第二次訓練時，該運動員的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數(shù)關系y=????2+?(?<記0)該;運動

?0.04??92+23.24.

員第一次訓練的著陸點的水平距離為d1，第二次訓練的著陸點的水平距離為d2，則d1d2(填“>”“=”或“<”).

11.如圖,在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于點A(4,0),與y軸交于點B(0,3).

32

4

(1)求拋物線的函數(shù)表達式；?=??+??+?

(2)點P為直線AB上方拋物線上一動點,過點P作PQ⊥x軸于點Q,交AB于點M,求的最大值

6

5

及此時點P的坐標；??+??

12.在一條筆直的滑道上有黑、白兩個小球同向運動，黑球在A處開始減速，此時白球在黑球前面70cm處.

小聰測量黑球減速后的運動速度v(單位：cm/s)、運動距離y(單位:cm)隨運動時間t(單位：s)變化的數(shù)據(jù)，整

理得下表.

運動時間t/s01234

運動速度v/cm/s109.598.58

運動距離y/cm09.751927.7536

小聰探究發(fā)現(xiàn)，黑球的運動速度v與運動時間t之間成一次函數(shù)關系，運動距離y與運動時間t之間成二次函

數(shù)關系.

(1)直接寫出v關于t的函數(shù)解析式和y關于t的函數(shù)解析式(不要求寫出自變量的取值范圍)；

(2)當黑球減速后運動距離為64cm時，求它此時的運動速度；

(3)若白球一直以2cm/s的速度勻速運動，問黑球在運動過程中會不會碰到白球?請說明理由.

13.已知二次函數(shù)bx+c的圖象經(jīng)過(-2,1),(2,-3)兩點.

(1)求b的值;?=??2+

(2)當c>-1時，該函數(shù)的圖象的頂點的縱坐標的最小值是；

(3)設(m，0)是該函數(shù)的圖象與x軸的一個公共點.當--1<m<3時，結合函數(shù)的圖象，直接寫出a的取值范圍.

14.在平面直角坐標系中，拋物線的頂點為A.

(1)求頂點A的坐標(用含有字母?m=?的2代+2數(shù)?式?表+示2?)；2??

(2)若點B(2,yB),C(5,yc)在拋物線上，且yB>yc,則m的取值范圍是；(直接寫出結果即可)

(3)當1≤x≤3時,函數(shù)y的最小值等于6,求m的值.

15.某工廠計劃在每個生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)并銷售完某型設備，設備的生產(chǎn)成本為10萬元/件.

(1)如圖,設第x(0<x≤20)個生產(chǎn)周期設備售價z萬元/件，z與x之間的關系用圖中的函數(shù)圖象表示.求z關于x

的函數(shù)解析式(寫出x的范圍)；

(2)設第x個生產(chǎn)周期生產(chǎn)并銷售的設備為y件,y與x滿足關系式y(tǒng)=5x+40(0<x≤20).在(1)的條件下,工廠第幾個

生產(chǎn)周期創(chuàng)造的利潤最大?最大為多少萬元?(利潤=收入-成本)

壓軸預測

1.若點A(-1,m),B(3,m)在同一個函數(shù)圖象上，這個函數(shù)可能為()

?.?=??12+9?.?=?+12+9

2.?已.?知=二次?+函3數(shù)2?9?.?=??當2自2變?量9x的值滿足a<x≤2時，函數(shù)y的最大值與最小值的差為1，則a的

值可以為()?=??2+2?+3,

B.C.-1D.1

11

3.?已.?知2二次函數(shù)2的圖象與x軸交于(x?,0),(x?,0)兩點,且滿足則下列

說法正確的個數(shù)是?=??2+??+?()?1<??<0,1<??<2,

①a+b+c<0;

②b<0;

③abc>0;

④若則

22

A.1??3+??3=B??.24+??4?3≠?4,0<??+??<2.

C.3D.4

4.運動場上，小明投球時，發(fā)現(xiàn)籃球軌跡最高點距離地面3米，小明距離最高點的水平距離為1米，籃球落地

處距離小明3米，那么你能計算出小明投籃的最高點距離地面為多少米嗎?

5.如圖已知二次函數(shù)圖象與直線y=-x+2交于點A(-2,m),點B.

(1)求m,a的值;?=??2

(2)求點B坐標;

(3)連接OA,OB,求△AOB的面積.

參考答案

1.ax2bxc

2.拋物線

?

?=?2?

2

???4????

1?>?2??<?2??=?2?4?

2

???4????

3.開2口?>方?向2?a?><0?a<20??位=置?2y?軸4(?0,c)c>0c<0

4.二次函數(shù)橫坐標△>0兩個交點△=0一個交點△<0沒有交點

5.左加右減上加下減△=?2?4??

(a,b,c是常數(shù),a≠0)

(26).y=1a(?x-=h)2?+?k2(a+,h?,k?是+常?數(shù),a≠0)

是常數(shù)，a≠0)一般式三元一次方程組頂點對稱軸特殊形式兩個交點

交點式3?=??????????(?,??,??

7.(1)最大(小)(2)二次函數(shù)最大(小)

1.B【解析】本題考查拋物線的頂點坐標.拋物線y=的頂點坐標是(-9,-3),故選B.

2.B【解析】本題考查二次函數(shù)的性質、解不等式.∵點2?A+(m9-12,y??3)和點B(m,y?)都在二次函數(shù)y=(x-1)2+n

的圖象上,

n,即(∴??=??1?12+?,=整理?得?-2m2++3<?0,,∴??m=>?,故?選12B+.?.∵??<??,∴??22+?<??12+

3

2

3.C【?解?析2】2?本題?考?查1二2<次0函,數(shù)的圖象與性質、一元二次方程根的判別式.對于①，∵拋物線經(jīng)過點((1,0),∴a

+b+c=0.∵0<a<c,∴2a+b<0,故①正確;對于②,若點(1，0)在拋物線的對稱軸的左邊時，在點(1，0)到頂點這段拋物線

上，y隨x的增大而減小，故②錯誤；對于③，∵a+b+c=0,∴b+c=-a,∴原方程可化為(

∴方程(有兩個不相等的實數(shù)根，故③正確.綜上所述，正??確2+的?結?論?是?①=③0.,共∵△有=2?2個+,

4?2>0,??2+??+?+?=0

故選C.

4.D【解析】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質.

選項逐項分析正誤

A∵拋物線開口向下，∴a<0

由圖象可知，當x>-1時，在對稱軸的右

B

邊，y隨x的增大而減小

C∵點A(-1,0)和點B關于直線x=1對稱,∴點B的坐標為(3,0)×

D由題可知,當x=2時,y=4a+2b+c>0?

故選D.

5.C【解析】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質、函數(shù)圖象的平移變換.由題意可知，將x軸向上平移2個單位

長度，即將函數(shù)圖象向下平移2個單位長度；同理，將y軸向左平移3個單位長度，即將函數(shù)圖象向右平移3個單

位長度.∵拋物線的表達式為∴平移后的函數(shù)表達式為.即為y=3(x-

故選C.?=3??22+1,?=3??2?32+1?2,

5)2?6.1,C【解析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質.∵當x=0和x=3時，函數(shù)值y相等，∴二次函數(shù)的圖象關于直

線對稱，∴對稱軸為∴當時，函數(shù)y最小值小于-6，且拋物線開口向上，A選項錯誤，C選項

333

222

正確?;函=數(shù)y經(jīng)過(-2,6),(0,-4)?,∴=其圖,象與?x=軸有交點，B選項錯誤；當x>1時，y的值隨x的增大先減小后增大，D

選項錯誤，故選C.

7.C【解析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質.∵y=拋物線的對稱軸為.

x=1，∴四點中距離對稱軸遠近關系為A>D>B>C，∵a>0,∴拋?物?2線?開2?口?向+上?=,∴?y???>y1?2>?y??2>+y??,,:當y?>

時,y?y?>0,y?y?<0,且y?y?>0,y?y?<0,故選項A,B,D錯誤;當y?>y?>0>y?>y?時,y?y??<?0>,y???y>?

<00>,故?選?項C正確,故選C.

8.C【解析】本題考查二次函數(shù)的應用.將圖象中的三個點(3,0.8),(4,0.9),(5,0.6)代入函數(shù)關系.bt+c

?=??2+

中得解得所以函數(shù)關系式為.由題意可知，加工煎炸臭豆

9?+3?+?=0.8,?=?0.2,

16?+4?+?=0.9,?=1.5,?=?0.2?2+1.5??1.9.

腐的最2佳5時?+間5應?為+拋?=物0線.6頂,點的橫?坐=?標1.9t=,則當t=3.75分鐘時，為最佳時間，故選C.

?1.5

?2?=?2×?0.2=3.75,

9.(1)0；(2)2【解析】本題考查二次函數(shù)的性質、函數(shù)圖象的平移.(1)將(-1,m)代入得m

?=?2+?+1?+?,

原拋物線頂點的縱坐標為向上平移個單位長度后的縱坐標為

=1--(a+1)+a=0;(2)222

4???+1??+2??1

4=4,

當時，所得拋物線頂點的縱坐標存在最大值，最大值為

222a=12.

??+2??1??+2?+7???1+8

410.(1+)223.=20,4=4,∴(2)<

(1)由表格中的?數(shù)=?據(jù)0確.0定5拋??物8線2的+頂23點.2坐0標，從而可得h，k的值，k的值即為運動員豎直高度的最大值，再將(0，

20.00)代入函數(shù)關系式即可求出a的值，據(jù)此可得函數(shù)關系式；(2)設著陸點的縱坐標為t，分別代入第一次和第二

次的函數(shù)關系式，求出著陸點的水平距離，比較大小即可作出判斷.

解:(1)由題知,拋物線的頂點坐標為(8,23.20),所以h=8,k=23.20,

即該運動員豎直高度的最大值為23.20m.

根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可知,當x=0時,y=20.00,代入,得20.00=64a+23.20,解得a=-0.05,

所以函數(shù)關系式為?=???82+23.20,

(2)<.?=?0.05??82+23.20.

由題意，設著陸點的縱坐標為t(t<20.00)，

則第一次訓練時，

解得?=?0.05??82+23.20,

由圖知?，=第8一±次2訓0練23著.2陸0?點?的,水平距離

第?二1=次8訓+練時20,t=2-30.2040(?x-9?)2,+23.24,

解得

由圖知?，=第9二±次2訓5練23著.2陸4?點?的,水平距離

因?為2=209(+23.220-5t)<2235.2(243?.24?-t.),

所以d?<d?.

329279

(11)1將.點1?A=，?B4的?坐+標4分?+別3代2入拋4,物1線2解析式，解出b，c的值即可求解；(2)根據(jù)待定系數(shù)法求出直線AB的解

析式，設出P點的坐標(t為待定系數(shù))，進而得出點M的坐標，用含t的式子表示出PM，MQ的長，利用勾股定

理及銳角三角函數(shù)的定義用含t的式子表示出AM的長，進而表示出利用二次函數(shù)的性質可得答案.

6

5

解:(1)∵拋物線經(jīng)過點A(4,0),B(0,3),??+??,

32

?=?4?+??+?

解得

9

?12+4?+?=0,?=4,

∴

∴拋物線的?函=數(shù)3.表達式為?=3.

329

?=?4?+4?+3.

(2)∵直線AB經(jīng)過點A(4,0),B(0,3),

∴直線AB的函數(shù)表達式為

3

設?=?4?+3.

329

???4?+4?+3,

則其中0<t<4,

3

???4?+3,

3293323

∵∴A?O?=4=,B?O4=?3,+∴4A?B+=3?2+44?2=+5.3=?4?+3?,??=?4?+3.

3

????3

∵sin∠???=??=??=5,

55

∴??=3??=?4?+5.

632653233227

∴??+5??=?4?+3?+5?4?+5=?4?+2?+6=?4??1+4.

3

∴∵t=01<時?,<4,?4<01,取得最大值，最大值為此時，點P的坐標為(1，).

6279

??+5??42

112

(21)26.c1m?/s=(3?)不2?會+,理10由,?略=?4?+10?

(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)由待定系數(shù)法即可求得兩函數(shù)解析式；(2)把y=64代入函數(shù)解析式求得時間t，再由t的值即

可求解；(3)根據(jù)題意建立兩球距離與時間的函數(shù)關系式，再根據(jù)函數(shù)的性質即可求解.

解：

112

24

(2)依題1意?，=得??+10,?=??+10?.

12

64.?4?+10?=64.

解∴得?2.?40?+256=0.

當t?=?8?=時,8v,=?6?;=32.

當t?=32時,v=-6(舍).

答:黑球減速后運動64cm時的速度為6cm/s.

(3)設黑白兩球的距離為wcm.

1212

?=70∴+當2??t=1?6=時4,w?的?值8?最+小70為=64,??16+6.

1

4

∴∵黑、>白0,兩球的最小距離為6cm，大于0，黑球不會碰到白球.

另解1:當ω=0時,判定方程無解.

12

4

另解2：當黑球的速?度?減8小?+到720c=m/0s,時，如果黑球沒有碰到白球，此后，速度低于白球速度，不會碰到白球.先

確定黑球速度為2cm/s時，其運動時間為16s，再判斷黑白兩球的運動距離之差小于70cm.

13.(1)b=-1(2)1(3)a<0或

4

5

(1)將已知點的坐標代入二次?函>數(shù)，列出三元一次方程組，兩式相減，可直接求出b的值；(2)根據(jù)(1)中結論得

到a與c的等量關系，代入頂點坐標公式，構造關于頂點縱坐標的不等式，即可求解；(3)根據(jù)題意得x=-1和x=3

時函數(shù)值一正一負，即可求解.

解:(1)把點(-2,1),(2,-3)代入

?=??2+??+?,

得

1=4??2?+?,

兩式?相3減=,得4?4+=-24?b,+?,

解得b=-1.

(2)1.

把b=-1代入4a-2b+c=1,

得4a+2+c=1,

?1??

∴∴頂?點=縱4坐標,為

2

4????11

∵c>-1,∴c+1>0.4?=?+?+1=?+1+?+1?1.

下證對于任意的正數(shù)a，b，都有

?+?≥2??.

2

∵???=，?+當?a?=b2時?取?等≥號0,，

∴?+?≥2??,

即

1

?+1

∴頂?點+縱1+坐標的?最1小≥值1,為1.

(3)a<0或

4

5

由4a-2+c=?-3>得.c=-4a-1.

當x=-1和x=3時函數(shù)值一正一負，

∴(a+1-4a-1)(9a-3-4a-1)<0,

∴-3a(5a-4)<0,

∴a(5a-4)>0,

或a<0.

4

∴?>5

14.(1)(-m,m2-m)(2)m<-3.5

(3)m=-2或

41?1

4

(1)根據(jù)配方?法或=頂點公式法即可求得頂點坐標；

(2)根據(jù)開口方向、函數(shù)的增減性確定對稱軸位置，從而求出m的取值范圍;(3)分-m≤1,1<-m≤3,-m>3三種情況討

論x取何值時，y有最小值6，代入函數(shù)y中，解方程即可求值.

解:(1)解法一:

∴?頂=點?2+2??+2?2??=?+?2??2+2?2??=?+?2+?2??.

解法二：????2??.

2?

∵?=?2×1=??,

22

4×1×2????2?2

∴?頂=點A的4坐×1標為(=???.

(2)m<-3.5.???2??.

(3)分三種情況討論：

①-m≤1,即m≥-1.

當x=1時,y=6.

解1方+程2?，+得2?2??=6.(不符合題意，舍去).

41?141+1

?1=4,?2=?4

41?1

∴?=4.

②1<-m≤3即-3≤m<-1.

當x=-m時,y=6.

解∴方?程2?，?得=6.(不符合題意，舍去).

∴m=-2.??=?2,??=3

③-m>3即m<-3.當x=3時,y=6.

解∴方9程+，6?得+2?2??=6.(均不符合題意，舍去).

3

?1=?1,?2=?2

綜上所述：m=-2或

41?1

?=4.

116,(0<?≤12)

15.1?=

(2)工廠在第?144個?生+1產(chǎn)9周.(1期2創(chuàng)<造?的≤利20潤)最大，最大是605萬元.

(1)分0<x≤12,12<x≤20兩種情況求z關于x的函數(shù)解析式；(2)根據(jù)自變量取值范圍確定利潤W的函數(shù)關系式，

結合一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象與性質即可求得最大利潤.

解:(1)由圖可知,當0<x≤12時,z=16.

當12<x≤20時,z是關于x的一次函數(shù),設z=kx+b,則得

1

12?+?=16,

?=?4,?=19,

即20?+?=14,

1

4

∴z?關=于?x?的+函1數(shù)9,解析式為

(2)設第x個生產(chǎn)周期工廠創(chuàng)造的利潤為W萬元.

①0<x≤12時,

W=(16-10)×(5x+40)=30x+240,

當x=12時,

W最大值=30×12+240=600(萬元).

②12<x≤20時,

1

?=4?+19?10×5?+40

52

=?4?+35?+360

52

當=x?=414?時?,14大+仙605,(萬元).

最

?=605

綜上所述，工廠在第14個生產(chǎn)周期創(chuàng)造的利潤最大，最大是605萬元.

壓軸預測

1.A【解析】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質.∵點A(-1,m)和點B(3,m)在同一拋物線上,∴點A和

點B關于拋物線的對稱軸對稱，且對稱軸為直線x=1，∴這個函數(shù)的解析式可能是.故選A.

2.B【解析】本題考查二次函數(shù)的性質.∴?對=稱?軸?為1x2=+1,9當,x=1時,y取

得最大值為4.當x=2時,y=3,恰好滿足4-3=1,∴當∵?a<=x?≤2?2時+，2函?+數(shù)最3=大?值在??x=112處+取4,得:，最小值在x=2處取得.根據(jù)

二次函數(shù)的對稱性，可得2--1≥1-a，∴a≥0.∵a一定在對稱軸左邊,即a<1,∴0≤a<1.綜上,故選B.

3.A【解析】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質.對于①，當a<0時，二次函數(shù)的圖象開口向

下，由,當x=1時,y=a+b+c>0,故①錯誤；對于②，拋物線的對稱