微積分學的創(chuàng)始人:德國數(shù)學家Leibniz微分學導數(shù)描述函數(shù)變化快慢微分描述函數(shù)變化程度都是描述物質(zhì)運動的工具(從微觀上研究函數(shù))導數(shù)與微分英國數(shù)學家Newton

第一節(jié)

導數(shù)的概念一、引例二、導數(shù)的定義三、由定義求導數(shù)舉例四、導數(shù)的幾何意義五、可導與連續(xù)的關(guān)系

一、引例1.變速直線運動的瞬時速度設(shè)質(zhì)點運動的位置函數(shù)為則在內(nèi)的平均速度為而在時刻的瞬時速度為2.切線的斜率切線——割線的極限位置播放如圖,如果割線MN繞點M旋轉(zhuǎn)而趨向極限位置MT,直線MT就稱為曲線C在點M處的切線.設(shè)則割線MN的斜率為切線MT的斜率為二、導數(shù)的定義定義11.函數(shù)在某點處導數(shù)的定義注2．左導數(shù)與右導數(shù)的定義定義2注20左導數(shù)與右導數(shù)統(tǒng)稱為單側(cè)導數(shù)．3．導函數(shù)的定義定義3注10（＊＊）式稱為導函數(shù)的定義式．20導數(shù)與導函數(shù)的關(guān)系：30

在不至于引起混淆的場合，導函數(shù)通常簡稱為導數(shù)．三、按定義求導數(shù)舉例例1按定義求函數(shù)的導數(shù)．解解一般地例如,例2按定義求函數(shù)的導數(shù)．例3設(shè)按定義求．解例4解例5設(shè)求解例6設(shè)求解四、導數(shù)的幾何意義注法線方程為切線方程為30

解切線方程為法線方程為即即五、可導與連續(xù)的關(guān)系【簡言之，可導一定連續(xù).】證定理注連續(xù)不一定可導，不連續(xù)一定不可導．例8解（１）連續(xù)性在x=０處連續(xù)．（２）可導性在x=０處不可導．例9解（１）連續(xù)性函數(shù)y

在x=０處不連續(xù)．（２）可導性但函數(shù)y在x=０處不可導．由（1）知，2.切線的斜率切線——割線的極限位置2.切線的斜率切線——割線的極限位置2.切線的斜率切線——割線的極限位置2.切線的斜率切線——割線的極限位置2.切線的斜率切線——割線的極限位置2.切線的斜率切線——割線的極限位置2.切線的斜率切線——割線的極限位置2.切線的斜率切線——割線的極限位置2.切線的斜率切線——割線的極限位置2.切線的斜率切線——割線的極限位置思考與練習1.函數(shù)在某點處的導數(shù)區(qū)別:是函數(shù),是數(shù)值;聯(lián)系:注意:有什么區(qū)別與聯(lián)系?？與導函數(shù)

2.設(shè)存在,則3.已知則4.

若時,恒有問是否在可導?解:由題設(shè)由夾逼準則故在可導,且

5.

設(shè),問a取何值時,在都存在,并求出解:故時此時在都存在,顯然該函數(shù)在x=0連續(xù).

備用題

解:因為1.設(shè)存在,且求所以

在處連續(xù),且存在，證明:在處可導.證：因為存在，則有又在處連續(xù),所以即在處可導.2.設(shè)故

牛頓(1642–1727)偉大的英國數(shù)學家,物理學家,天文學家和自然科學家.他在數(shù)學上的卓越貢獻是創(chuàng)立了微積分.1665年他提出正流數(shù)(微分)術(shù),次年又提出反流數(shù)(積分)術(shù)，并于1671年完成《流數(shù)術(shù)與無窮級數(shù)》一書(1736年出版).他還著有《自然哲學的數(shù)學原理》和《廣義算術(shù)》等.

萊布尼茲(1646–1716)德國數(shù)學家,哲學家.他和牛頓同為微積分的創(chuàng)始人,他在《學藝》雜志上發(fā)表的幾篇有關(guān)微積分學的論文中,有的早于牛頓,所用微積分符號也遠遠優(yōu)于牛頓.他還設(shè)計了作乘法的計算機，系統(tǒng)地闡述二進制計數(shù)法，并把它與中國的八卦聯(lián)系起來.

一、基本初等函數(shù)的導數(shù)公式二、函數(shù)的和、差、積、商的求導法則三、反函數(shù)的求導法則四、復合函數(shù)的求導法則五、分段函數(shù)的求導法第二節(jié)求導法則與基本導數(shù)公式

一、基本初等函數(shù)的導數(shù)公式注三角函數(shù)與反三角函數(shù)的導數(shù)公式的符號記憶法：正“＋”，余“－”二、函數(shù)的和、差、積、商的求導法則定理1設(shè)函數(shù)都可導，則注解解例1求．設(shè)例2求設(shè)例3求設(shè)解例4求．設(shè)解例5求．設(shè)解例6求設(shè)解三、反函數(shù)的求導法則定理2【簡言之，反函數(shù)的導數(shù)等于直接函數(shù)導數(shù)的倒數(shù).】例7證證明：是的反函數(shù)，內(nèi)單調(diào)、可導，內(nèi)有四、復合函數(shù)的求導法則定理3【簡言之，因變量對自變量的導數(shù)等于因變量對中間變量的導數(shù)乘以中間變量對自變量的導數(shù)】則設(shè)注解例8設(shè)求可分解為解例9設(shè)求解例10設(shè)求解例11設(shè)求解例12設(shè)求解解例14設(shè)求例13設(shè)求解例16設(shè)求其中為可導函數(shù),例15設(shè)求解五、分段函數(shù)的求導法分段點處按定義求導，在分段區(qū)間內(nèi)部按導數(shù)公式與運算法則求導．

例17設(shè)求當時，解當時，解例18設(shè)求當時，當時，當時，綜上得：思考題設(shè)求思考題解答⑥①②③④⑤二、高階導數(shù)的求法第三節(jié)一、高階導數(shù)的概念高階導數(shù)

一、高階導數(shù)的概念（一）定義（二）記號一階，二階，三階，四階，，ｎ階二、高階導數(shù)的求法例1解（一）逐次求導歸納法（直接法）設(shè)例2解設(shè)特別地，例3解同理可得設(shè)例4解設(shè)1.高階導數(shù)的運算法則:【萊布尼茲（Leibniz）公式】（二）公式法（間接法）

運用高階導數(shù)的運算法則及常用的高階導數(shù)公式2．常用的高階導數(shù)公式特別地，例5解設(shè)例6解設(shè)例7解設(shè)例8解設(shè)解例9設(shè)解解例10設(shè)其中存在，求例11設(shè)其中存在，求解例12試從導出：思考題設(shè)連續(xù)，且，求.思考題解答不一定存在,故用定義求解:

設(shè)求其中f二階可導.備用題

隱函數(shù)及由參數(shù)方程

所確定的函數(shù)的導數(shù)

相關(guān)變化率一、隱函數(shù)的求導方法二、冪指函數(shù)及“乘積型”復雜函數(shù)的求導方法三、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導法則第四節(jié)

一、隱函數(shù)的求導方法方程兩邊對自變量x求導，得到關(guān)于所求導數(shù)的等式，從中出解,即得所求導數(shù)．解解得例1設(shè)方程兩邊對求導，得解解得例2設(shè)方程兩邊對求導，得解例3設(shè)方程兩邊對求導，得方程(1)兩邊對求導，得將二、冪指函數(shù)及“乘積型”復雜函數(shù)的

求導方法例4設(shè)解一等式兩邊取對數(shù)得方程兩邊對求導，得（對數(shù)求導法）解二（指數(shù)求導法）例4設(shè)例5設(shè)解等式兩邊取對數(shù)得方程兩邊對求導，得三、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導法則若則解例6設(shè)解例7設(shè)方程兩邊對x求導,得再求導,得②當時,故由①得①由方程確定,求設(shè)思考題1思考題1解答再將代入②得方程組兩邊同時對t求導,得思考題2,求設(shè)思考題2解答練習1.求螺線在對應于的點處的切線方程.解:化為參數(shù)方程當時對應點斜率∴切線方程為

求其反函數(shù)的導數(shù).解:方法1方法2等式兩邊同時對求導2.設(shè)

3.設(shè)求提示:分別用對數(shù)微分法求答案:

第五節(jié)

函數(shù)的微分

○、引例

函數(shù)增量的近似值問題一、微分的定義二、可導與可微的關(guān)系

三、微分的幾何意義四、基本微分公式與微分的運算法則

五、微分的求法

○、引例

函數(shù)增量的近似值問題實例:正方形金屬薄片受熱后面積的增量的計算.∵正方形面積Δx的線性函數(shù)，是ΔS的主要部分．一、微分的定義定義注二、可導與可微的關(guān)系定理證(1)必要性從而【簡言之，可導可微】(2)充分性由函數(shù)極限與無窮小的關(guān)系得,∴函數(shù)30

注10

且當時，三、微分的幾何意義MNT）PQ例1解例2解四、基本微分公式與微分的運算法則1.基本微分公式2.微分的四則運算法則3．復合函數(shù)的微分法則u是自變量u是中間變量注五、求微分的方法方法一直接法

利用微分的公式與法則．方法二間接法

利用微分與導數(shù)的關(guān)系：例3解法二設(shè)解法一例4解設(shè)例5解設(shè)例6解在下列等式的括號中填入適當?shù)暮瘮?shù),使等式成立.六、微分在近似計算中的應用當很小時,使用原則:得近似等式:

1.函數(shù)值與函數(shù)增量的近似計算特別當很小時,常用近似公式:很小)證明:令得

的近似值.解設(shè)取則例7求

的近似值.解例8計算

例9有一批半徑為1cm的球,為了提高球面的光潔度,解已知球體體積為鍍銅體積為V在時體積的增量因此每只球需用銅約為(g)用銅多少克.估計一下,每只球需要鍍上一層銅,厚度定為0.01cm,

2.誤差估計某量的精確值為A,其近似值為a,稱為a

的絕對誤差稱為a

的相對誤差若稱為測量

A

的絕對誤差限稱為測量

A

的相對誤差限

誤差傳遞公式:已知測量誤差限為按公式計算y值時的誤差故y的絕對誤差限約為相對誤差限約為若直接測量某量得x,

例10

設(shè)測得圓鋼截面的直徑

測量D的

絕對誤差限欲利用公式圓鋼截面積,解計算A

的絕對誤差限約為

A

的相對誤差限約為試估計面積的誤差.計算

(mm)思考題設(shè)函數(shù)的圖形如下,試在圖中標出點處的及并說明其正負.思考題解答第七節(jié)曲線的彎曲程度與切線的轉(zhuǎn)角有關(guān)與曲線的弧長有關(guān)

主要內(nèi)容:一、弧微分二、曲率及其計算公式三、曲率圓與曲率半徑平面曲線的曲率

一、弧微分設(shè)在(a,b)內(nèi)有連續(xù)導數(shù),其圖形為

AB,弧長

則弧長微分公式為或幾何意義:若曲線由參數(shù)方程表示:

二、曲率及其計算公式在光滑弧上自點M開始取弧段,其長為對應切線定義弧段上的平均曲率點M處的曲率注意:直線上任意點處的曲率為0!

轉(zhuǎn)角為例1.

求半徑為R的圓上任意點處的曲率.解:如圖所示,可見:R愈小,則K愈大,圓弧彎曲得愈厲害;R愈大,則K愈小,圓弧彎曲得愈小.

有曲率近似計算公式故曲率計算公式為又曲率K的計算公式二階可導,設(shè)曲線弧則由

說明:(1)若曲線由參數(shù)方程給出,則(2)若曲線方程為則

例2.

我國鐵路常用立方拋物線作緩和曲線,處的曲率.點擊圖片任意處播放\暫停說明:鐵路轉(zhuǎn)彎時為保證行車平穩(wěn)安全,求此緩和曲線在其兩個端點

且

l<<R.

其中R是圓弧彎道的半徑,l是緩和曲線的長度,離心力必須連續(xù)變化,因此鐵道的曲率應連續(xù)變化.例2.

我國鐵路常用立方拋物線作緩和曲線,且

l<<R.

處的曲率.其中R是圓弧彎道的半徑,l是緩和曲線的長度,求此緩和曲線在其兩個端點

解:顯然例3.

求橢圓在何處曲率最大?解:故曲率為K最大最小

求駐點:設(shè)從而K取最大值.這說明橢圓在點處曲率

計算駐點處的函數(shù)值:最大.三、曲率圓與曲率半徑設(shè)M為曲線C上任一點,在點在曲線把以D為中心,R為半徑的圓叫做曲線在點M處的曲率圓(密切圓),R叫做曲率半徑,D叫做曲率中心.在點M處曲率圓與曲線有下列密切關(guān)系:(1)有公切線;(2)凹向一致;(3)曲率相同.M處作曲線的切線和法線,的凹向一側(cè)法線上取點D使

設(shè)曲線方程為且求曲線上點M

處的曲率半徑及曲率中心設(shè)點M處的曲率圓方程為故曲率半徑公式為滿足方程組的坐標公式.

由此可得曲率中心公式(注意與異號)當點M(x,y)沿曲線移動時,的軌跡G稱為曲線C的漸屈線,相應的曲率中心曲率中心公式可看成漸曲線C稱為曲線G的漸伸線.

屈線的參數(shù)方程(參數(shù)為x).點擊圖中任意點動畫開始或暫停例4.設(shè)一工件內(nèi)表面的截痕為一橢圓,現(xiàn)要用砂輪磨削其內(nèi)表面,問選擇多大的砂輪比較合適?解:設(shè)橢圓方程為由例3可知,橢圓在處曲率最大,即曲率半徑最小,且為顯然,砂輪半徑不超過時,才不會產(chǎn)生過量磨損,或有的地方磨不到的問題.例3(仍為擺線)例5.

求擺線的漸屈線方程.解:代入曲率中心公式,得擺線擺線半徑為a的圓周沿直線無滑動地滾動時,點擊圖中任意點動畫開始或暫停其上定點M的軌跡即為擺線.參數(shù)的幾何意義擺線的漸屈線點擊圖中任意點動畫開始或暫停

內(nèi)容小結(jié)1.弧長微分或2.曲率公式3.曲率圓曲率半徑曲率中心

思考與練習1.曲線在一點處的曲率圓與曲線有何密切關(guān)系?答:有公切線;凹向一致;曲率相同.2.求雙曲線的曲率半徑

R,并分析何處R

最小?解:則利用

作業(yè)第八節(jié)P1754；5；7；8；9三、一般迭代法(補充)

第八節(jié)可求精確根無法求精確根求近似根兩種情形(有時計算很繁)本節(jié)內(nèi)容:一、根的隔離與二分法二、牛頓切線法及其變形方程的近似解

一、根的隔離與二分法(1)作圖法1.求隔根區(qū)間的一般方法

(2)逐步收索法由圖可見只有一個實根可轉(zhuǎn)化為以定步長h一步步向右搜索,若搜索過程也可從b開始,取步長h<0.2.二分法取中點對新的隔根區(qū)間重復以上步驟,反復進行,得則誤差滿足

例1.

用二分法求方程的近似實根時,要使誤差不超過至少應對分區(qū)間多少次?解:設(shè)故該方程只有一個實根

,欲使必需即可見只要對分區(qū)間9次,即可得滿足要求的實根近似值(計算結(jié)果見“高等數(shù)學”(上冊)P177～178)

二、牛頓切線法及其變形有如下四種情況:

牛頓切線法的基本思想:程的近似根.記縱坐標與同號的端點為用切線近似代替曲線弧求方在此點作切線,其方程為令y=0得它與x軸的交點其中再在點作切線,可得近似根如此繼續(xù)下去,可得求近似根的迭代公式:稱為牛頓迭代公式

牛頓法的誤差估計:由微分中值定理得則得說明:用牛頓法時,若過縱坐標與異號的端點作切線,則切線與x軸焦點的橫坐標未必在

牛頓法的變形:(1)簡化牛頓法若用一常數(shù)代替即用平行則得簡化牛頓迭代公式.線代替切線,得優(yōu)點:因而節(jié)省計算量.缺點:逼近根的速度慢一些.

(2)割線法為避免求導運算,用割線代替切線,例如用差商代替從而得迭代公式:(雙點割線法)特點:逼近根的速度快于簡化牛頓法,但慢于牛頓法.說明:若將上式中則為單點割線法,逼近根的速度與簡化牛頓法相當.

例2.用切線法求方程的近似解,使誤差不超過0.01.解:由草圖可見方程有唯一的正實根,且

得而再求因此得滿足精度要求的近似解

三.一般迭代法(補充)在隔根區(qū)按遞推公式則

即為原方程的根.①①稱為迭代格式,初值.否則稱為發(fā)散.

例3.

用迭代法求方程解法1將方程變形為迭代格式為發(fā)散!解法2將方程變形為迭代格式為迭代收斂,1.32472為計算精度范圍內(nèi)的所求根.

定理.(證明略)迭代法的斂散性與迭代函數(shù)的特性有關(guān).

可以證明下述定理:內(nèi)容小結(jié)1.隔根方法作圖法二分法2.求近似根的方法二分法牛頓切線法簡化牛頓法割線法一般迭代法思考與練習比較求方程近似根的方法之間的關(guān)系及優(yōu)缺點.……習題課

作業(yè)(習題3-8)P1801;3二、導數(shù)應用習題課一、微分中值定理及其應用

中值定理及導數(shù)的應用

拉格朗日中值定理一、微分中值定理及其應用1.微分中值定理及其相互關(guān)系羅爾定理柯西中值定理泰勒中值定理

2.微分中值定理的主要應用(1)研究函數(shù)或?qū)?shù)的性態(tài)(2)證明恒等式或不等式(3)證明有關(guān)中值問題的結(jié)論

3.有關(guān)中值問題的解題方法利用逆向思維,設(shè)輔助函數(shù).一般解題方法:證明含一個中值的等式或根的存在,(2)若結(jié)論中涉及到含中值的兩個不同函數(shù),(3)若結(jié)論中含兩個或兩個以上的中值,可用原函數(shù)法找輔助函數(shù).多用羅爾定理,可考慮用柯西中值定理.必須多次應用中值定理.(4)若已知條件中含高階導數(shù),多考慮用泰勒公式,(5)若結(jié)論為不等式,要注意適當放大或縮小的技巧.有時也可考慮對導數(shù)用中值定理.

例1.

設(shè)函數(shù)在內(nèi)可導,且證明在內(nèi)有界.證:取點再取異于的點對為端點的區(qū)間上用拉氏中值定理,得(定數(shù))可見對任意即得所證.

例2.

設(shè)在內(nèi)可導,且證明至少存在一點使上連續(xù),在證:問題轉(zhuǎn)化為證設(shè)輔助函數(shù)顯然在[0,1]上滿足羅爾定理條件,故至使即有少存在一點

例3.且試證存在證:欲證因f(x)在[a,b]上滿足拉氏中值定理條件,故有將①代入②,化簡得故有①②即要證

例4.

設(shè)實數(shù)滿足下述等式證明方程在(0,1)內(nèi)至少有一個實根.證:令則可設(shè)且由羅爾定理知存在一點使即

例5.

設(shè)函數(shù)f(x)在[0,3]上連續(xù),在(0,3)內(nèi)可導,且分析:所給條件可寫為(03考研)試證必存在想到找一點c,使證:因f(x)在[0,3]上連續(xù),所以在[0,2]上連續(xù),且在[0,2]上有最大值M與最小值m,故由介值定理,至少存在一點由羅爾定理知,必存在例6.

設(shè)函數(shù)在上二階可導,且證明證:由泰勒公式得兩式相減得

二、導數(shù)應用1.研究函數(shù)的性態(tài):增減,極值,凹凸,拐點,漸近線,曲率2.解決最值問題目標函數(shù)的建立與簡化最值的判別問題3.其他應用:求不定式極限;幾何應用;相關(guān)變化率;證明不等式;研究方程實根等.4.補充定理(見)

設(shè)函數(shù)在上具有n階導數(shù),且則當時證:令則利用在處的n－1階泰勒公式得因此時定理.

的連續(xù)性及導函數(shù)例7.填空題(1)設(shè)函數(shù)其導數(shù)圖形如圖所示,

單調(diào)減區(qū)間為

;極小值點為

;極大值點為

.提示:的正負作f(x)的示意圖.單調(diào)增區(qū)間為

;

.在區(qū)間

上是凸弧;拐點為提示:的正負作f(x)的示意圖.形在區(qū)間

上是凹弧;則函數(shù)f(x)的圖(2)

設(shè)函數(shù)的圖形如圖所示,

例8.

證明在上單調(diào)增加.證:令在[x,

x+1]上利用拉氏中值定理,

故當x>0時,從而在上單調(diào)增.得例9.

設(shè)在上可導,且證明f(x)至多只有一個零點.

證:設(shè)則故在上連續(xù)單調(diào)遞增,從而至多只有一個零點.又因因此也至多只有一個零點.思考:若題中改為其它不變時,如何設(shè)輔助函數(shù)?

例10.

求數(shù)列的最大項.證:設(shè)用對數(shù)求導法得令得因為在只有唯一的極大點因此在處也取最大值.又因中的最大項.極大值

列表判別:例11.證明證:設(shè),則故時,單調(diào)增加,從而即思考:

證明時,如何設(shè)輔助函數(shù)更好?

提示:例12.設(shè)且在上存在,且單調(diào)遞減,證明對一切有證:設(shè)則所以當令得即所證不等式成立.

例13.

證:只要證

利用一階泰勒公式,得故原不等式成立.例14.證明當x>0時,證:令則法1由在處的二階泰勒公式,得故所證不等式成立.與1之間)

法2列表判別:即

法3利用極值第二判別法.故也是最小值,因此當時即

例15.求解法1利用中值定理求極限原式