一、函數(shù)連續(xù)的概念二、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)三、初等函數(shù)的連續(xù)性四、函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類

函數(shù)的連續(xù)性

一、函數(shù)連續(xù)的概念0.函數(shù)的增量(改變量)1．函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的定義則(3)10函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)必須具備下列條件:(2)極限存在；(1)在點(diǎn)即有定義,存在；注20函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)是局部性概念．例1討論處的連續(xù)性．解因?yàn)閺亩谔幉贿B續(xù)．例2討論處的連續(xù)性．解因?yàn)楣试谔幉贿B續(xù)．因?yàn)楣试谔幉贿B續(xù)．解因?yàn)槔?設(shè)處連續(xù)，求常數(shù)由在處連續(xù)得，故2．左連續(xù)與右連續(xù)的定義定理13．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù)的定義連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不斷開的曲線．注

二、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)定理2（連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性）（反函數(shù)的連續(xù)性）

【簡言之，單調(diào)連續(xù)函數(shù)必有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù).】定理3（復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性）

（極限號(hào)與函數(shù)號(hào)換序定理）

定理4定理5例4求下列極限：一般地，則三、初等函數(shù)的連續(xù)性定理6一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的．注10定義區(qū)間──包含在定義域內(nèi)的區(qū)間──定義域中除去＂孤立點(diǎn)＂的部分．20基本初等函數(shù)的定義域中沒有孤立點(diǎn)，故30定理6表明：初等函數(shù)的連續(xù)區(qū)間就是其定義區(qū)間．40定理6還提供了求極限的一個(gè)簡單而又重要的方法：基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的．四、函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類1．間斷點(diǎn)的定義注2.間斷點(diǎn)的分類:第一類間斷點(diǎn):及均存在,第二類間斷點(diǎn):及中至少一個(gè)不存在,若稱為可去間斷點(diǎn).若稱為跳躍間斷點(diǎn).則稱若其中至少有一個(gè)為為無窮間斷點(diǎn).若其中至少有一個(gè)振蕩,則稱為振蕩間斷點(diǎn).第一類間斷點(diǎn)跳躍型無窮型振蕩型第二類間斷點(diǎn)oyx可去型oyxoyx.例5解為函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn),屬于第一類．例6解為函數(shù)的可去間斷點(diǎn),屬于第一類．注意只要改變或者補(bǔ)充可去間斷點(diǎn)處函數(shù)的定義,即可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn).例7解為函數(shù)的無窮間斷點(diǎn),屬于第二類．例8解且當(dāng)時(shí)函數(shù)值在－1與1之間變動(dòng)無限多次．為函數(shù)的振蕩間斷點(diǎn),屬于第二類．例9解（1）為初等函數(shù)，其定義域?yàn)槭翘S間斷點(diǎn)，屬于第一類．例10解（1）為初等函數(shù)，其定義域?yàn)橐?、有界性二、最值性三、介值性四、零點(diǎn)存在性閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)〇、預(yù)備知識(shí)1．函數(shù)的最值定義12．函數(shù)的零點(diǎn)定義2注一、有界性在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必在上有界．定理1（有界性定理）若區(qū)間不是閉區(qū)間或區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn),則結(jié)論不一定成立．注二、最值性在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必在上取得它的最大值和最小值．定理2（最值性定理）若不是閉區(qū)間或閉區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn),則結(jié)論不一定成立．注三、介值性定理3（介值定理）MCmabyx四、零點(diǎn)存在性定理4（零點(diǎn)定理）例1證令則在上連續(xù)，且由零點(diǎn)定理得：至少存在一點(diǎn)使得即方程至少有一個(gè)小于1的正根．例2證由零點(diǎn)定理,則在上連續(xù)，且至少存在一點(diǎn)使得上連續(xù),且恒為正,例3

設(shè)在對(duì)任意的必存在一點(diǎn)證使令使故由零點(diǎn)定理知,存在即當(dāng)時(shí),取或,則有證明:小結(jié)則在上連續(xù)，且思考題1下述命題是否正確？思考題1解答不正確.例如，函數(shù)

任給一張面積為A的紙片(如圖),證明必可將它一刀剪為面積相等的兩片.提示:建立坐標(biāo)系如圖.則面積函數(shù)因故由介值定理可知:

思考題2在上連續(xù)．則證明：使提示:令則易證

設(shè)至少存在一點(diǎn)習(xí)題課思考題3在上連續(xù)，且在上連續(xù)，且備用題

至少有一個(gè)不超證證明令且根據(jù)零點(diǎn)定理,原命題得證.內(nèi)至少存在一點(diǎn)在開區(qū)間顯然過4的正根.

思考題1思考題1解答且（夾逼準(zhǔn)則）但反之不成立.反例:但思考題2思考題2解答一個(gè)函數(shù)的間斷點(diǎn)是否只有是有限個(gè)？不一定．

狄利克雷函數(shù)在